Tổ 22 đợt 3 đc thpt chuyên lhp tích vh hki trang 1 đến 7 hh10

SP TỔ 22-STRONG TEAM NĂM HỌC 2022-2023 ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 10- CHƯƠNG VÉC TƠ NĂM HỌC 2022 - 2023 Mơn: TỐN - Lớp 10- Chương trình đổi 2018 TỔ 22 PHẦN I: ĐỀ BÀI A Đề cương Hình học 10 (Từ câu đến câu 20) Câu 1:Cho tam giác ABC có trung tuyến AM D trung điểm đoạn AM Chứng minh rằng:     DA  DB  DC  a     OA  OB  OC 4OD với O điểm tùy ý b Lời giải          DA  DB  DC 0  DA  DM 0  DA  DM O   a.Ta có ln D trung điểm đoạn AM            2OA  OB  OC 4OD  OM  MA  OM  MB  OM  MC 4OD b.Ta có         4OM  2OA  OB  OC 4OD  4OM 4OD       Câu 2:Cho tam giác ABC Gọi D, E , F trung điểm cạnh BC , CA, AB Chứng minh     AD  BE  CF 0 Lời giải      1    AD  BE  CF  AB  AC  BA  BC  CA  CB 2 Ta có        1   1   AB  BA  AC  CA  CB  BC O 2       Câu 3:Cho điểm A, B, C , D Gọi E , F trung điểm AB, CD O trung điểm EF Chứng minh rằng:  1  EF  ( AC  BD) a      OA  OB  OC  OD  b      MA  MB  MC  MD 4MO với M điểm tùy ý c STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang SP TỔ 22-STRONG TEAM NĂM HỌC 2022-2023 A1 B1C1 A2 B2C2 có trọng tâm G1 G2     A A  B B  C1C2 3G1G2 2 a Chứng minh Câu 4:Cho tam giác b Suy điều kiện cần đủ để hai tam giác có trọng tâm Câu 5:Cho lục giác ABCDEF Gọi M , N , P, Q, R, S trung điểm cạnh AB, BC , CD, DE , EF Chứng minh rằng: tam giác MPR NQS có trọng tâm Câu 6:Cho tam giác ABC , gọi A điểm đối xứng A qua B , B điểm đối xứng B qua C , C  điểm đối xứng C qua A Chứng minh tam giác ABC , ABC  có trọng tâm Câu 7: Cho tam giác ABC Tìm điểm M thỏa mãn đẳng thức sau:     a) MA  MB  MC BC    b) MA  MB BC    MA  MB CB c) Câu 8: H điểm đối xứng B qua G Cho tam giác ABC tâm G  có trọng  ,   a) Tính AH CH theo AB AC    MH  AC  AB 6 b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh Câu 9: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi D điểm đối xứng A qua B E điểm AE  AC đoạn AC cho     a) Tính DE , DG theo AB AC b) Chứng minh điểm D, G , E thẳng hàng     KA  KB  KC 2 KD Chứng minh KG CD song song K c) Gọi điểm thỏa mãn O Câu 10: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn   Gọi G, H trọng tâm trực tâm tam giác, M trung điểm BC   a) Chứng minh HA 2MO         HA  HB  HC  HO OA  OB  OC OH b) Chứng minh c) Suy điểm O, H, G thẳng hàng  3 AD  AC ABC Gọi D điểm định Câu 11: Cho tam giác I trung điểm BD , M điểm   thoả BM  xBC ( x   )    AI AB a Tính theo AC    x b Tính AM theo , AB AC STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang SP TỔ 22-STRONG TEAM NĂM HỌC 2022-2023        M , N , P ABC MB  MC  NA  NC PA  PB 0 Câu 12: Cho tam giác Lấy cho:     PM , PN a Tính theo AB, AC b Chứng minh M , N , P thẳng hàng Câu 13: Cho tam giác ABC cố định     a) Xác định điểm I cho IA  3IB  IC 0     N M b) Lấy điểm di động Ta dựng cho MN MA  3MB  2MC Chứng minh rằng: MN qua điểm cố định      I , J ABC Gọi điểm thỏa mãn IA 2 IB;3JA  JC 0 Câu 14: Cho tam giác    a) Phân tích (biểu diễn) IJ theo AB AC b) Chứng minh IJ qua trọng tâm G tam giác ABC MI    IJ cắt BC M Chứng tỏ hệ thức 3MB  MC 0 Tính tỷ số MJ c) Câu 15: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn:     a MA  MB  MC 0     b MA  2MB  MC k BC     | c MA  MB || MA  MC |     | d MA  MB || MA  MC | Câu 16: Cho hình bình hành ABCD Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện:     MA  MB  MC  MD 4 AB a)     MA  MB  MA  MD b) Câu 17 Cho tam giác ABC      MA  MB  MA  MB  MC a) Tìm quỹ tích điểm M cho      MA  MB  MC 3 MB  MC b) Tìm quỹ tích điểm M cho      3MA  2MB  MC  MB  MC c) Tìm quỹ tích điểm M cho Câu 18 Cho tam giác ABC      4.DA  DB 0; EA  2.EC 0 a) Xác định điểm D, E thỏa mãn hệ thức  sau:  4MA  MB  MA  2MC b) Tìm tập hợp điểmcác điểm M thỏa mãn Câu 19: Cho hình bình hành ABCD tâm O Trên cạnh AB lấy M cho 3AM  AB , cạnh CD lấy N cho 2CN CD STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang SP TỔ 22-STRONG TEAM NĂM HỌC 2022-2023    AN AB a) Tính theo AC    b) Gọi G trọng tâm tam giác BMN Tính AG theo AB AC   11 BI  BC Chứng minh rằng: A , I , G thẳng hàng I c) Lấy điểm thoả     MA  MB  MC  MD 4 AB d) Tìm tập hợp điểm M thoả: Câu 20: Cho tam giác ABC tâm O M điểm tam giác hình chiếu xuống ba cạnh     MD  ME  MF  MO D, E , F Chứng minh: PHẦN 2: HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT A Đề cương Hình học 10 (Từ câu đến câu 20) Câu 1:Cho tam giác ABC có trung tuyến AM D trung điểm đoạn AM Chứng minh rằng:     a DA  DB  DC 0     b 2OA  OB  OC 4OD với O điểm tùy ý Lời giải         DA  DB  DC 0  DA  DM 0  DA  DM O    a.Ta có ln D trung điểm đoạn AM            2OA  OB  OC 4OD  OM  MA  OM  MB  OM  MC 4OD b.Ta có         4OM  2OA  OB  OC 4OD  4OM 4OD       Câu 2:Cho tam giác ABC Gọi D, E , F trung điểm cạnh BC , CA, AB Chứng minh     AD  BE  CF 0 Lời giải      1    AD  BE  CF  AB  AC  BA  BC  CA  CB 2 Ta có        1   1   AB  BA  AC  CA  CB  BC O 2       Câu 3:Cho điểm A, B, C , D Gọi E , F trung điểm AB, CD O trung điểm EF Chứng minh rằng:  1  EF  ( AC  BD) a      b OA  OB  OC  OD 0 STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê tốn THPT Trang SP TỔ 22-STRONG TEAM NĂM HỌC 2022-2023      MA  MB  MC  MD 4MO với M điểm tùy ý c Lời giải a.Ta có     EF EB  BC  CF     EF EA  AD  DF             EF EB  BC  CF  EA  AD  DF BC  AD  EF  ( AC  BD) Suy        OA  OB  OC  OD 2 OE  OF O b.Ta có   c Ta có             MA  MB  MC  MD  MO  OA  MO  OB  MO  OC  MO  OD       4MO  OA  OB  OC  OD 4MO         A1 B1C1 A2 B2C2 có trọng tâm G1 G2     a Chứng minh A1 A2  B1 B2  C1C2 3G1G2 Câu 4:Cho tam giác b Suy điều kiện cần đủ để hai tam giác có trọng tâm Lời giải     G A B C G a.Vì trọng tâm tam giác 1 nên ta có A2  G2 B2  G2C2 O     G A B C G Vì trọng tâm tam giác 1 nên ta có A1  G1 B1  G1C1 O Lại có              A1 A2  B1 B2  C1C2  A1G1  G1G2  G2 A2  B1G1  G1G2  G2 B2  C1G1  G1G2  G2C2 3G1G2       b.Ta có              A1 A2  B1 B2  C1C2  A1G1  G1G2  G2 A2  B1G1  G1G2  G2 B2  C1G1  G1G2  G2C2 3G1G2      Do điều kiện cần đủ để hai tam giác có trọng tầm STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang  SP TỔ 22-STRONG TEAM NĂM HỌC 2022-2023       G1G2 O  A1 A2  B1 B2  C1C2 O Câu 5:Cho lục giác ABCDEF Gọi M , N , P, Q, R, S trung điểm cạnh AB, BC , CD, DE , EF Chứng minh rằng: tam giác MPR NQS có trọng tâm Lời giải Gọi điểm G tâm tam giác MPR            GM  GP  GR  O  GA  GB  GC  GD  GE  GF  O Ta có            GA  GF  GB  GC  GD  GE O  GN  GQ  GS O              GN  GQ  GS O Vậy G tâm tam giác NQS Câu 6: Cho tam giác ABC , gọi A điểm đối xứng A qua B , B điểm đối xứng B qua C , C  điểm đối xứng C qua A Chứng minh tam giác ABC , ABC  có trọng tâm Lời giải STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang SP TỔ 22-STRONG TEAM NĂM HỌC 2022-2023 Gọi điểm G tâm tam giác ABC            GA  GB  GC O  GC  GC   GB  GB   GA  GA O Ta có      GA  GB  GC  O Do G trọng tâm tam giác ABC    Vậy hai tam giác có ABC , ABC  có trọng tâm Câu 7: Cho tam giác ABC Tìm điểm M thỏa mãn đẳng thức sau:     a) MA  MB  MC BC    MA  MB BC b)    c) MA  MB CB Lời giải FB tác giả: Nguyễn Diệu Linh     a) MA  MB  MC BC     Gọi K điểm cho KA  KB  KC 0        KA  KB  KC 0  CA  KB 0    CA BK Lấy K cho tứ giác ACBK hình bình hành           MA  MB  MC MK  KA  MK  KB  MK  KC  MK Từ   Suy MK BC Khi lấy M cho K trung điểm đoạn AM   STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang SP TỔ 22-STRONG TEAM NĂM HỌC 2022-2023    MA  MB BC b)    Gọi K điểm cho KA  KB 0      KA  KB 0  KA 2 KB Lấy K cho B trung điểm đoạn AK        MA  2MB MK  KA  MK  KB  MK Từ   Suy KM BC Khi lấy M cho cho tứ giác BCMK hình bình hành      c) MA  MB CB    Gọi K điểm cho KA  KB 0      KA  KB 0  KA 2 BK AK  AB Lấy K cạnh AB cho        MA  2MB MK  KA  MK  KB 3MK Từ   Suy 3MK CB   Khi lấy M cho cho tứ giác BKMI hình bình hành với I điểm cạnh AB BI  BC cho Câu 8: H điểm đối xứng B qua G Cho tam giác ABC có trọng tâm G   ,   a) Tính AH CH theo AB AC STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang SP TỔ 22-STRONG TEAM NĂM HỌC 2022-2023    MH  AC  AB 6 b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh Lời giải FB tác giả: TVN    a) Tính AH theo AB AC : Gọi M , I trung điểm BC AC Ta thấy AHCG hình bình hành nên       2    AH  AG  AC  AH  AM  AC  AH  AB  AC  AC 3    1     AH  AC  AB  AC  AH  AB  AC 3        +) Tính CH theo AB AC Ta thấy AHCG hình bình hành nên     2   1 1 CH GA  AM  AB  AC  AB  AC  AB  AC 3 3    MH  AC  AB 6 b) Chứng minh            1   MH MA  AH  AM  AC  AB  AB  AC  AC  AB 3 3 Ta có   Câu 9:  1 5 AB  AC 6 ( ĐPCM ) Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi D điểm đối xứng A qua B E điểm AE  AC đoạn AC cho     a) Tính DE , DG theo AB AC b) Chứng minh điểm D, G , E thẳng hàng     c) Gọi K điểm thỏa mãn KA  KB  3KC 2 KD Chứng minh KG CD song song Lời giải FB tác giả: Nguyễn Hằng STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang SP TỔ 22-STRONG TEAM NĂM HỌC 2022-2023 A E G B m3 M C D        DE DA  AE 2 BA  AC  AC  AB 5 a) Ta có Gọi M trung điểm AC , ta có:         DG DB  BG BA  BM  AB  BA  AM 3  2    1  AB  AB  AC  AC  AB 3 3    2    1 5  DE  AC  AB   AC  AB   DG  D, E , G 5 3  b) Ta có thẳng hàng     c) KA  KB  3KC 2 KD         KG  GA  KG  GB  KG  GC 2 KD          KG  GA  GB  GC  2GC 2 KG  GC  CD    3KG 2CD  2  KG  CD   KG , CD hai vectơ phương, mà K  CD KG ∥ CD           O Câu 10: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn   Gọi G, H trọng tâm trực tâm tam giác, M trung điểm BC   a) Chứng minh HA 2MO         HA  HB  HC  HO OA  OB  OC OH b) Chứng minh c) Suy điểm O, H, G thẳng hàng Lời giải STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang 10 SP TỔ 22-STRONG TEAM NĂM HỌC 2022-2023 a) Kéo dài AO cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D Ta có BD  AB    BD CH CH  AB  Chứng minh tương tự BH  DC Suy BHCD hình bình hành Do BC HD cắt trung điểm M đường HA 2MO hướng từ M đến O trùng với Suy MO đường trung bình  của tam giác AHD nên hướng từ H đến A nên HA 2 MO     HC 2 HO b) Chứng minh HA  HB      Áp dụng quy tắc hình bình hành HB  HC HD 2 HM nên            HA  HB  HC HA  HB  HC 2MO  2HM 2 HM  MO 2HO (đpcm)     Chứng minh OA  OB  OC OH Ta có          OA  OB  OC  OH  HA  OH  HB  OH  HC        3OH  HA  HB  HC 3OH  HO OH (*) (đpcm)     c) Áp dụng hệ  thức trọng tâm OA  OB  OC 3OG (**) Từ (*) (**) suy OH 3OG suy điểm O, H, G thẳng hàng              3 AD  AC ABC Gọi D điểm định Câu 11: Cho tam giác I trung điểm BD , M điểm   thoả BM  xBC ( x   )    a Tính AI theo AB AC    x AM AB b Tính theo , AC Lời giải FB tác giả: Trần Lê Thuấn STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang 11 SP TỔ 22-STRONG TEAM NĂM HỌC 2022-2023    a Ta có: AI  AB  BI    AI  AD  DI     1       AI  AB  AD  AB  AC  AI ( AB  AD )  ( BI  DI ) 2     x BM  xBC  BM  MC 1 x b Ta có:        (1  x) BM  xMC  (1  x)( AM  AB)  x( AC  AM )     AM  x AC  (1  x) AB        Câu 12: Cho tam giác ABC Lấy M , N , P cho: MB  MC NA  NC PA  PB 0    PM , PN a Tính theo AB, AC b Chứng minh M , N , P thẳng hàng Lời giải FB tác giả: Hung Tran a Từ giả thiết ta có P trung điểm AB , C trung điểm BM Ta có          1 PM PB  BM  AB  2BC PN PA  AN  AB  AC 2 ;  1      1  PM  AB  BC  AB  AC  AB  AB  AC 3PN 2 b Ta có:   STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang 12 SP TỔ 22-STRONG TEAM NĂM HỌC 2022-2023 Do điểm M , N , P thẳng hàng Câu 13: Cho tam giác ABC cố định     IA  IB  IC 0 I a) Xác định điểm cho     N M b) Lấy điểm di động Ta dựng cho MN MA  3MB  2MC Chứng minh rằng: MN qua điểm cố định Lời giải Fb tác giả: Ánh Trang               IA  3IB  IC 0  IA  IB  IB  IC 0  IE  2CB 0  EI CB   a) điểm AB Suy I đỉnh hình bình hành BCEI với E trung b)          MN MA  3MB  MC  MN MA  MB  MB  MC         MN 2MK  2CB  MN  MK MK  2CB với K trung điểm AB       KN  KM 2CB  KF CB với F trung điểm MN Suy F đỉnh hình bình hành BCKF Vậy MN qua điểm cố định F      ABC Gọi I , J điểm thỏa mãn IA 2 IB;3JA  JC 0 Câu 14: Cho tam giác    IJ AB a) Phân tích (biểu diễn) theo AC b) Chứng minh   IJ qua trọng tâm G tam giác ABC MI    IJ cắt BC M Chứng tỏ hệ thức 3MB  MC 0 Tính tỷ số MJ c) Lời giải FB tác giả: Khánh Ngô Gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang 13 SP TỔ 22-STRONG TEAM NĂM HỌC 2022-2023 a) Ta có:        IA 2 IB   AI 2 AB  AI  AI 2 AB            3JA  JC 0   3AJ  AC  AJ 0  AJ  AC      IJ AJ  AI  AB  AC Từ   b) Gọi K trung điểm BC  2   2 1 AG  AK  AB  AC  AB  AC G ABC nên 3 3 Vì trọng tâm tam giác         1      5    IG AG  AI  AB  AC   AB  AB  AC    AB  AC   IJ 3 6 3   Khi   IG phương IJ  G, I , J thẳng hàng hay IJ qua trọng tâm G tam giác Suy ABC     B , M , C MB , MC   x : BM  xBC thẳng hàng nên phương c) Vì          BM  xBC  AM  AB x AC  AB  AM   x  AB  x AC         IM  AM  AI    x  AB  x AC  I, M , J thẳng hàng nên IM , IJ phương Vì   1 x x   x  5 x  x  2 Như vậy:      BM  BC  3MB  MC 0 *, *,    IJ  AB  AC  8  MI 5  IJ  IM    5  MJ  IM  AB  AC  4 STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê tốn THPT Trang 14 SP TỔ 22-STRONG TEAM NĂM HỌC 2022-2023 Lưu ý: Có thể sử dụng định lý Menelaus để tính MB MI ; MC MJ Câu 15: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn:     a MA  MB  MC 0     b MA  2MB  MC k BC     | c MA  MB || MA  MC |     | d MA  MB || MA  MC | Lời giải     a Ta có MA  MB  MC 0 suy M trọng tâm tam giác ABC     b Ta có MA  2MB  MC k BC     Gọi điểm E thỏa mãn EA  EB  EC O ta có E điểm cố định            MA  2MB  MC k BC  ME  EA  ME  EB  ME  EC k BC Khi ta có      2ME k BC  ME  k BC  *       * Vậy tập hợp M điểm thỏa mãn hệ thức         | MA  MB |  | MA  MC |  | 2MI || 2MJ | MI MJ c Ta có Vậy tập hợp điểm M trung trực IJ với I , J trung điểm AB, AC       | MA  MB || MA  MC || 2MI || CA | MI  CA d Ta có R  CA Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm I bán kính với I trung điểm AB Câu 16: Cho hình bình hành ABCD Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện:     MA  MB  MC  MD 4 AB a)     MA  MB  MA  MD b) Lời giải  a)    MA  MB  MC  MD 4 AB Fb tác giả: HuyenPham Gọi I tâm hình bình hành ABCD             Ta có: MA  MB  MC  MD MI  IA  MI  IB  MI  IC  MI  ID STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê tốn THPT Trang 15 SP TỔ 22-STRONG TEAM NĂM HỌC 2022-2023           4 MI  IA  IB  IC  ID 4MI  IA  IC  IB  ID     4 MI   4 MI     MA  MB  MC  MD 4 AB  4MI 4 AB  MI  AB     Vậy tập hợp điểm M đường trịn tâm I bán kính AB b) Gọi I trung điểm AB       MA  MB  MA  MD  2MI  DA  2MI  AD Ta có:  MI  AD AD Suy tập hợp điểm M đường tròn tâm I bán kính Câu 17 Cho tam giác ABC      MA  MB  MA  MB  MC a) Tìm quỹ tích điểm M cho      MA  MB  MC 3 MB  MC b) Tìm quỹ tích điểm M cho      3MA  2MB  MC  MB  MC c) Tìm quỹ tích điểm M cho Lời giải     Gọi G trọng tâm tam giác ABC Khi đó: MA  MB  MC 3MG        AB MA  MB  MA  MB  MC  BA  3MG  MG  Ta có FB tác giả: Tim Banglang      AB MA  MB  MA  MB  MC Vậy tập hợp điểm M thoả mãn đường trịn tâm G bán kính      MA  MB  MC 3 MB  MC b) Tìm quỹ tích điểm M cho FB tác giả: Phan Thị Vân A G B I C Gọi G trọng tâm tam giác ABC I trung điểm cạnh BC Khi ta có STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang 16 SP TỔ 22-STRONG TEAM NĂM HỌC 2022-2023     MA  MB  MC 3MG    MB  MC 2 MI      MA  MB  MC 3 MB  MC Do    3MG 3 MI  MG MI  M nằm đường trung trực đoạn MI MI Vậy quỹ tích điểm M đường trung  trực   đoạn   3MA  MB  MC  MB  MC c) Tìm quỹ tích điểm M cho Lời giải FB tác giả: Chí Tính      3MA  2MB  MC  MB  MC Ta có:        MA  2MB  MA  MC  CB  BA  MI BC AC ) I (với   trung điểm đoạn Gọi J điểm cho tứ giác BAJI hình bình hành  BA IJ      BC BA  MI BC  IJ  MI BC  2MJ BC  MJ  Nên BC R Vậy quỹ tích điểm M đường trịng tâm J , bán kính Câu 18 Cho tam giác ABC       D , E DA  DB  0; EA  2.EC 0 a) Xác định điểm thỏa mãn hệ thức sau:     4MA  MB  MA  2MC b) Tìm tập hợp điểmcác điểm M thỏa mãn Lời giải Fb tác giả: Lâm Tài          4.DA  DB 0  4.DA  DA  AB 0  AB  AD, điểm D thỏa mãn nằm tia đối tia AB AB 3 AD         EA  2.EC 0  EC  3.CA 0  CE 3.CA, điểm E thỏa mãn nằm tia CA CE 3CA STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê tốn THPT Trang 17 SP TỔ 22-STRONG TEAM b) Tìm tập hợp điểmcác điểm M thỏa mãn NĂM HỌC 2022-2023     4MA  MB  MA  2MC FB tác giả: cuongkhtn        IA  IB 0  3IA  AB  IA  AB Gọi I điểm thỏa mãn đẳng thức: K điểm thỏa        KA  KC 0  3KA 2CA  AK  AC mãn đẳng thức: Khi ta có:     MA  MB  MA  MC    3MI  3MK  MI MK  M nằm đường trung trực đoạn IK Vậy quỹ tích điểm M đường trung trực đoạn IK Câu 19: Cho hình bình hành ABCD tâm O Trên cạnh AB lấy M cho 3AM  AB , cạnh CD lấy N cho 2CN CD    a) Tính AN theo AB AC    b) Gọi G trọng tâm tam giác BMN Tính AG theo AB AC   11 BI  BC Chứng minh rằng: A , I , G thẳng hàng I c) Lấy điểm thoả     MA  MB  MC  MD 4 AB d) Tìm tập hợp điểm M thoả: Lời giải FB tác giả: Khánh Thy STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang 18 SP TỔ 22-STRONG TEAM NĂM HỌC 2022-2023        AN CN  CA  CD  AC  AB  AC 2 a) Ta có b) Gọi E trung điểm MB        AG  AC  CN  NG  AC  AB  NE Ta có           NE  AE  AN  AB    AB  AC   AB  AC   Mà     2    AG  AC  AB   AB  AC   AB  AC 3  18 Suy     11BI 6 BC  BI  BC 11 c) Ta có   6      AI  AB  AC  AB  AI  AB  AC 11 11 11  5  AG  AB  AC 18 Mà   11 AG  AI 18 Suy   Suy AG , AI phương   Vậy A , I , G thẳng hàng     d) Do hình bình hành ABCD tâm O suy OA  OB  OC  OD 0           MA  MB  MC  MD 4 MO  OA  OB  OC  OD 4MO Ta có  MO 4 AB  MO  AB Suy   Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm O , bán kính AB Câu 20: Cho tam giác ABC tâm O M điểm tam giác hình chiếu xuống ba cạnh     MD  ME  MF  MO D, E , F Chứng minh: Lời giải FB tác giả: Nguyễn Nga STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang 19 SP TỔ 22-STRONG TEAM NĂM HỌC 2022-2023 Từ M kẻ ba đường thẳng song song với ba cạnh tam giác Các giao điểm với cạnh I , J , K , L, P, Q Khi ta có hình bình hành AQML; BIMK ; CJMP Suy tam giác MIQ; MLJ ; MKP cân M Do tam giác có đường cao MD; MF ; ME Nên D; F ; E trung điểm IQ; LJ ; KP        MI  MQ  MK  MP MJ  ML MD  ; ME  ; MF  2 Ta có:          ML  MQ  MI  MK  MP  MJ  MD  ME  MF     MA  MB  MC    2   3MO  OA  OB  OC 3MO   2         STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang 20