Giải tích lồi pgs ts đỗ văn lưu, pgs ts phan huy khải

PGS.TS ĐỖ VÃN LƯU - PGS.TS PHAN HUY KHẢI G I Ả I TÍCH L Ồ I ro NHÀ XUẤT BẢN KHOA H Ọ C V À KỸ THUẬT HÀ NÔI - 2000 - £ / / £ r - 00 451- L Ờ I NĨI Đ Ầ U Giải tích lồi đóng lý thuyết vai trị quan trọng cục tốn dụng có sù dụng cơng trị việc nghiên ngành nghiên lồi, lý thuyết cứu tiếng J.J.Moreau, Jensen, Giáo (1910) lồi thu hút sụ nhà tốn khoảng học Lý thuyết trình Chuơng tập lồi quan giải C.Carathéodory, L.Klee, A.Brondsted, trình bày kiến số ứng dụng ì trình với bày kiến lồi địa phuơng định li nghiên lý thúc tâm tích lồi trình W.Fenchel, W.V.­ lý thuyết thúc giải toán cực tập lồi nón khơng gian h u tiếng Carathéodory IU trình ve lồi hạn tập cứu hàm lồi, phép tốn hàm lồi tính liên tục hàm lồi không gian lồi địa Chuơng tính ba chục nấm nay, sau cơng R.T.Rockafellar, khơng gian lồi ứng G.Choquet, Chương chiều, tích H.Minkowski, tích lồi trị giải nhiêu hồn ihiện học cụ giải tích khơng gian tuyến Sau kết đầu Hên H.Minkowski hàm toán cứu bày định lý tách bàn, phuơng tính chất hàm liên hợp, bao gồm định lý Fenchel-Moreau định lý đối ngẫu quan trọng Chương IV nghiên cứu khái niệm duới vi phân hàm lồi định lý ve duới phân, có định lý Moreau-Rockafellar địa phuơng Lớp hàm lồi đuợc khảo sái chương kế t nghiên cứu chuơng V trình Dựa chương ỈTUỚC, bày điều kiện cực trị cho lớp toán trơn toán trơn-lồi tổng quát Sau lồi, chương đền,: có tập nhằm cố nâng cao nời dung kiế n thúc trình vi bày Dể hiểu giáo trình này, đờc giả cằn có mời số kiế n thức tối thiểu vê giải tích hàm đại số tuyế n tính trình dành cho học viên cao học, nghiên sinh viên toán trường cứu sinh Giáo trinh dùng làm tài liệu cho học viên cao học Viện Toán học Các tác giả xin chân thành đại học Giáo cẩm ơn Trung tâm Dào tạo sau đại học - Viện Toán học, đờng viên khuyế n tác giả biên soạn cử nhân Đỗ Kim Văn Đạt xù lý văn sách Chung, khích TS hệ soạn AMSTEX CÁC TÁC G I Ả Vũ thào Chu ưng ì TẬP L Ồ I 1.1 1.1.1 TẬP LỒI Định nghĩa tính chất G i sử X l k h ô n g g i a n t u y ế n t í n h , R l t ậ p c c số t h ự c Đ i n h n g h ĩ a 1.1 Vtfi,.T Tập A c X đ ợ c gọi lồi, n ế n : € A, VA e R : < A < Ì Axi+(1-A). < /2(.r) > / ( )+, Vx e £»(/0; >, Vi e D ( f ) T suy ra: / ma > + / t ò , X - r° > , + //.,& d ( í l M x ° )+ / i H2Ỉ2{x )+ to f ữ + / ( * £>(/) ) ) Như t h ế ta (là chứng minh v.r G z?( f ) , thì: VidMx) + H2df {x) C df(x) (1) 226 2) Ta sè chứng minh Va: € D(f), df{x)Qmdh{x)+Ịi df (x) (2) T h ậ t vậy, l ấ y x° cố định Dự) y G ô / ( x ° ) Theo đ ị n h nghĩa v i phân: )+ < y, X - z° > , /(!•) > =» P\h{?) + V2Ỉ2(x) > ụ fị(x°)+ +fi f2(x )+, VxeD(f) - A í i / i U ) - < y,z - x ° >Vihự)-ịi2Ĩ2{x), Xét hai t p hợp Ci = {(x,0 Va: e £>(/) >> VxeDỰ) (3) sau: : £ > mfi(x) - mfi{x )- < y,x ũ - x >., VxeD(/i)}, c = {(x,£): e -Ệ = a } t c h C Ị v c*2Rõ r n g a = (:r°,0) d < X- x°,a > -Hifi(x) n c Từ suy ra: + ụifi{x°)+ < X - x°,y Vx eDựtị ữ < ì: - r ° a > - Ị X f { x ) + f i f { x ) > 0, 2 >< Va- € D( f ) 2 Đ i ề u đ ó có n g h ĩ a là: a + y € Ịiidfi(x°) ữ - a en df {x ) => ỡ/(x°) c f i l d f i i x ) + f i d f ( x ) D o a;° t ù y ý € suy ra: Ô/(.r) C /Líiỡ/^x) + ^ ỡ / ( x ) , 2 Vx € £ ( / ) V ậ y (2) đ ú n g T (1) v (2) suy r a đ i ề u p h ả i chứng m i n h T h e o đ ị n h nghĩa, y e ỡ/(0) / ( * ) > / ( ) + < y, X - > , (Vx = ( a r , x ) f { x ) >< y,x > 2 eR ) 228 +ỉ/2.T2,Va' = ( x i , x ) € R = » max{|a-i|, | x | } > ViXi a) Nếu \x 0,Xịyi \ > \yi \ + > > Ì, ta chọn \yz\ 0,T y > (1) ĩ = mà IXi (xi,x~2) I = Khi đó, m a x { | c i | , | x | } = |afi| = \x \ + y x yiXi 2 = lyixil + = |z~i|(|yi| + \V2X \ IV2D- Như ta có: max{|ĩT|, Từ (1) suy ra: y = { y u y \xĩ\} ) ị < ViXi IJ2.V-2- + ỡ/(0), \ V l ị + \y \ > b) Nếu | y i | + | y | < l : Ta chi xét y\Xi + ỊI2X2 ta có : max{|a'i|, yỊXị + y < Do \yi\ x - \y1V1 h / i | M+ | y + \y \ < Ì ==> ( > \X2\} y\Xi ViXi + + y2X )- | M < m a x { | x i | , \x \}(\yi\ + +V2X2Ì > < Lúc < y\Xi Ị/2X2 + y x < |y |) max{|xi|, |-r |} Vậy (1) thỏa mãn lỉ/il + \y \ < Ì, tức y = (ỉ/iiĩ/a) e ỡ/(0) Như ta chứng minh được: ỡ/(0) = { y : | y i | + | y | < l } 229 4.4 Áp dụng định lý Moreau-Rockafellar, ta có: li ri n (fì A",)* = -dối Pi À-; XO) = -d{j2ốiũ)(0) i=l í=i 1=] Tỉ TI = -£a«5À\(0) = J>7 i-1 ==>• i=l đ.p.c.m n 4.5 a) Cần: K h ô n g giảm t ố n g q u t , giả sử A" = Pl Ki Ỷ 1=1 K h i A' n ó n l i m , không giao v i K +1 n Theo định lý tách tồn t i p h i ế m h m t u y ế n t í n h y* G X* cho: < y*,x inf >> sup < ỉ/*,;r > Điều có nghĩa y* K* —y* G A ' * đ i ể m giới h n Á" n h K +i) n + ( điểm X = Theo 4.4 ta khai t r i ể n y* t h n h t ổ n g n y* = 5^ J * , x *i e K i> i = i=l Ký hiệu —í/* qua ta đ i ề u phải chứng minh b) Dù: G i ả sử n g ợ c l i tồn t i X* G A"*, không đồng t h i b ằ n g 0, ị > ; = 0, 1=1 i = 1,77 + 230 n+ l tồn X €: KịỵX Ỷ- 0- Í=1 G i ả sử X * 7^ ( Ì < ?'o < n ) K h i đ ó X G intKi < x* ,x > > =>• v đ i ề u đ ó có n g h ĩ a l : n = < ^ < z*,:r » i=i M â u thuẫn nhận đ ợ c chứng minh phần điều kiện đ ủ TÀI LIỆU T H A M KHẢO Ì F.H Clarke Optimization m u i N o n s m o o t h Analysis YVilry I n t c r s c i c n r c X c w Y o r k 1983 C c b i giàn", v ô lý t h u y ế t / V.Girtunov t o n hoe c ù a c c l)ài t o n cực t r ị M G U M o s k v a ( t i c i i K A.D.Ioffc V.M.Tikhomirov Lý thuyết Xgii) hài lOíui cực r r ị X a u k i i M o s k v a 1974 ( r i r n g N g a ) I- B.N.Psh-fuic.hnyi Giai tích l i v c c toán cực t r ị Nauka M o s k v í i 1980 ( t i ế n g N g a ) , ũ R.T.R()C.kaf(dỉ(i.T Convex Analysis, Princeton University P r e s s P r i n c e t o n N e w Jersey, (j Dồ Vàn Lưu G i ã i t í c h Lipsc-liitz N h x u ấ t b n Khoa học K ỹ t h u ậ t H N ộ i 1999 Dồ ban Văn Lun, Lý thuyết ríu' ( l i o n k i ê n t ố i u N h x u ấ t K h o a h ọ c K ỷ t h u ậ t H N ô i 9 MÚC L Ụ C Tiiiii'j; L i n ó i (Hiu Ì Chu ưng TẬP ì LỊI 1.1 T Ạ P l()i 1.2 Xôn lồi 1.3 Đ ị n h lý C m a t h r o đ o r y 15 1.4 T i ) i i f f i n r Ví! b í m a f f i n r 19 Lõ Phần t n g (lối 30 ữìú t Ti Ị ) 34 Ch (TIU] li HÀM LỒI '? H m lồi 38 C c p h é p t o n Y