Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Học sinh giỏi 99 Câu Tỉnh Bắc Kạn (6,0 điểm) 3x x 14 x 3 x 2 x P : x 1 x x x x x 1) Cho biểu thức x 0, x 9 Rút gọn biểu thức P tính giá trị biểu thức P x 13 d : y m2 1 x m Oxy , 2) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho đường thẳng Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng d cắt trục hoành, trục tung hai điểm A, B cho tam giác OAB có diện tích 0, 4cm ( O gốc tọa độ, đơn vị đo trục cm ) Câu (4,0 điểm) 1) Giải phương trình Câu x x 2 2) Giải hệ phương trình (3,0 điểm) x 3 x 1 x x y y 2 x y 25 x2 y2 1) Tìm tất cặp số nguyên x, y thỏa mãn x yx y 0 p 2) Tìm tất số nguyên tố p cho p số nguyên tố Câu (6,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AP, BM , CN cắt trọng tâm G, BM BC K BC vng góc với CN AH đường cao tam giác ABC , GK vng góc 1 2 BM CN Chứng minh AH 3GK AH A AB AC I nội tiếp tam giác ABC tiếp 2) Cho tam giác ABC vuông Đường tròn xúc với cạnh BC , CA, AB D, E , F Gọi S giao điểm AI DE AIB 900 C IAB EAS a) Chứng minh b) Gọi K trung điểm AB, M giao điểm KI AC Đường thẳng chứa đường cao AH tam giác ABC cắt đường thẳng DE N Chứng minh AM AN CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 40 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Câu (1,0 điểm) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a b 3c 2 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức T ab ac 6bc -Hết - HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (6,0 điểm) 3x x 14 x 3 x 2 x P : x 1 x x x x x 1) Cho biểu thức x 0, x 9 Rút gọn biểu thức P tính giá trị biểu thức P x 13 d : y m2 1 x m Oxy , 2) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho đường thẳng Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng d cắt trục hoành, trục tung hai điểm A, B cho tam giác OAB có diện tích 0, 4cm ( O gốc tọa độ, đơn vị đo trục cm ) Lời giải 1) Với x 0, x 9 Ta có P P x x 14 x 1 x 3 x 3 x x 3 x 1 x : x x 2 x 1 x 1 x 3 x1 x3 : x 1 x x x 1 x 1 x Vậy với x 0, x 9 P x Ta có x 13 13 Với 2 1 x 1 1 13 2 19 ta có: P x 1 3 2 3 3 2) CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 41 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 m A ,0 , B 0, m + Tìm điểm m + Tính + Tính OA 1 m m2 SOAB OA.OB m 2 m 1 m 1 SOAB 0, + m , OB m m m 1 m2 0, m 4 m 2 m 1 Vậy m 2 thỏa mãn yêu cầu toán Câu (4,0 điểm) 1) Giải phương trình x x 2 x 3 x 1 x x y y 2 1 25 2 x y x2 y2 2) Giải hệ phương trình Lời giải x 1) Điều kiện: Đặt t x x , t 0 x 3 x t2 t2 t 2 t 2 t 2 0 2 Ta có phương trình x t 2 x 3 x 0 x 1 (thỏa mãn) Với Với t 0 x 3 x t 2 t 0 PTVN Vậy tập nghiệm phương trình T 3;1 2) Điều kiện: x, y 0 1 x y x y 2 1 25 x y x y Hệ pt tương đương với CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 42 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 u v 1 25 2 u x 2, v y u v x y Đặt ta có hệ phương trình u v u v 25 v u u u 25 2 x 2 x x x 0 y 3 2 y y 0 y Câu Vậy hệ phương trình có nghiệm (3,0 điểm) 1) Tìm tất cặp số nguyên x, y v u u 2, v 2u 7u 0 x 1 x 1 y 2 y 1, , 1, 1 2 thỏa mãn x yx y 0 p 2) Tìm tất số nguyên tố p cho p số nguyên tố Lời giải y x 1 x 1) PT Nếu x 1 PT y.0 3 (vơ lí) Xét x 1 y Để y ta cần có Ta có bảng x 1 x y x2 x2 3 x 1 x x x x U 3 x 1 1,3, 1, 3 1 3 2 2 2 Vậy phương trình có nghiệm ngun 2,6 , 4,6 , 0, , 2, 2) Trong toán này, ta xét trường hợp sau p 2 TH1: Nếu p 2 , ta có p 2 8 hợp số TH2: Nếu p 3 , ta có 8 17 số nguyên tố TH3: Nếu p , dễ thấy p không chia hết cho Ta đặt p 2k , p p 22 k 1 p 2.4 k p 2 0 mod3 p Lập luận cho ta biết, p hợp số, mâu thuẫn Câu Vậy p 3 số nguyên tố thỏa mãn toán (6,0 điểm) CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 43 Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 1) Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AP, BM , CN cắt trọng tâm G, BM BC K BC vng góc với CN AH đường cao tam giác ABC , GK vng góc 1 2 BM CN Chứng minh AH 3GK AH A AB AC I nội tiếp tam giác ABC tiếp 2) Cho tam giác ABC vng Đường trịn xúc với cạnh BC , CA, AB D, E , F Gọi S giao điểm AI DE AIB 900 C IAB EAS a) Chứng minh b) Gọi K trung điểm AB, M giao điểm KI AC Đường thẳng chứa đường cao AH tam giác ABC cắt đường thẳng DE N Chứng minh AM AN Lời giải 1) A M N G H B K P C Ta có GK //AH (Do vng góc với BC ) Theo định lí Thales ta có PG GK PA AH (1) PG Mặt khác G trọng tâm tam giác nên ta có PA (2) GK Từ (1) (2) ta có AH hay AH 3GK Vì BM CN , theo hệ thức lượng tam giác vng ta có 1 1 2 GK GB GC 2 BM CN 3 3 1 2 9GK BM 4CN CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 44 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 1 2 BM CN Mặt khác theo chứng minh AH 9GK Suy AH 2 A E F K I M S B H C D N AIB 1800 BAC ABC 1800 180 C 900 C 2 Ta có AES AED 900 C (là góc ngồi tam giác DEC cân C) Mặt khác Câu IAB AIB AES Và EAS nên IAB EAS AK IK Vì IA phân giác AMK nên AM IM Áp dụng định lý Talet ta có: IK FK AK FK AK AM (1) IM FA AM FA FK FA AN SA AK (2) SI FK Mặt khác , ID AM AN ID mà FA ID nên AM AN Từ (1) (2) suy FA (1,0 điểm) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a b 3c 2 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức T ab ac 6bc Lời giải Tìm Max Ta có T ab ac 6bc ab ac, (do bc 0 ) ab 3ac 2ac ab 3ac, (do ac 0 ) a b 3c a b 3c 1 (Theo bất đẳng thức Cô – si) MaxT 1 c 0, a b 1 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 45 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Tìm Min Ta có T ab ac 6bc 6bc (do a 0 ) Mặt khác a b 3c b 3c 2 3bc , (do a 0 bất đẳng thức Cô – si) 1 bc 6bc 2 6bc T Min T a 0, b 1, c 3 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 46