Chuyên đề 6 hình thoi và hình vuông

Chương Chun đề HÌNH THOI VÀ HÌNH VNG A Kiến thức cần nhớ Định nghĩa:  Hình thoi tứ giác có bốn cạnh (h.6.1)  Hình vng tứ giác có bốn góc vng có bốn cạnh (h.6.2) Tính chất: * Trong hình thoi:  Hai đường chéo hình thoi vng góc với nhau;  Hai đường chéo đường phân giác góc hình thoi; * Hình vng có đủ tính chất hình chữ nhật hình thoi Dấu hiệu nhận biết: * Nhận biết hình thoi:  Tứ giác có bốn cạnh hình thoi;  Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi;  Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với hình thoi;  Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc hình thoi * Nhận biết hình vng:  Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng;  Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc hình vng;  Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc hình vng;  Hình thoi có góc vng hình vng;  Hình thoi có hai đường chéo hình vng B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho hình thoi ABCD , độ dài cạnh 13cm Gọi O giao điểm hai đường chéo Vẽ OH  AD Biết OH 6cm , tính tỉ số hai đường chéo BD AC Trang Giải (h.6.3) * Tìm cách giải Vẽ thêm BK  AD để dùng định lí đường trung bình tam giác, định lý Py-ta-go tính bình phương độ dài đường chéo * Trình bày lời giải Vẽ BK  AD Xét BKD có OH  BK (vì vng góc với AD ) OB OD nên KH  HD Vậy OH đường trung bình BKD Suy OH  BK , BK 12cm Xét ABK vng K , có AK  AB  BK 132  122 25  AK 5cm KD 8cm Xét BKD vng K có BD  BK  KD 122  82 208 Xét AOH vuông H có OA2 OH  AH 62  92 117  AC    117  AC 468   Do đó: BD 208 BD     468 AC AC Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân A , hai đường cao BE CF cắt H Đường thẳng AH cắt EF D , cắt BC G Gọi M N hình chiếu G AB AC Chứng minh tứ giác DNGM hình thoi Giải (h.6.4) * Tìm cách giải Dùng định lý đường trung bình tam giác ta chứng minh tứ giác DNGM hình bình hành Sau chứng minh hai cạnh kề * Trình bày lời giải ABE ACF (cạnh huyền, góc nhọn)  AE  AF BE CF Vì H trực tâm ABC nên AH đường cao, đồng thời đường trung tuyến, từ GB GC DE  DF Xét EBC có GN  BE (cùng vng góc với AC ) GB GC nên NE  NC Trang Chứng minh tương tự, ta được: MF  MB Dùng định lý đường trung bình tam giác ta chứng minh DM  GN DM GN nên tứ giác DNGM hình bình hành Mặt khác, DM  DN (cùng hai cạnh nhau) nên DNGM hình thoi Ví dụ 3: Cho hình vng ABCD Lấy điểm M đường chéo AC Vẽ ME  AD , MF  CD MH  EF Chứng minh điểm M di động AC đường thẳng MH ln qua điểm cố định Giải (h.6.5) * Tìm cách giải Vẽ hình xác ta thấy đường thẳng MH qua điểm cố định điểm B Vì ta  M  chứng minh ba điểm H , M , B thẳng hàng cách chứng minh M * Trình bày lời giải Gọi N giao điểm đường thẳng EM BC Khi BN  AE ; AE  ME (vì ∆AEM vng cân) suy BN ME Chứng minh tương tự, ta được: MN  MF Nối MB ta được: BMN EFM (c.g.c)  E  M  M  Suy B 1 Từ ba điểm H , M , B thẳng hàng Vậy đường thẳng MH qua điểm cố định điểm B Ví dụ 4: Cho hình vng ABCD cạnh a Trên cạnh BC lấy điểm M , cạnh CD lấy điểm N cho chu vi tam giác CMN 2a Chứng minh góc MAN có số đo khơng đổi Giải (h.6.6) * Tìm cách giải  Vẽ hình xác ta ln thấy MAN 450 Vì ta vẽ hình  phụ tạo góc 900 chứng minh MAN nửa góc vng * Trình bày lời giải Trên tia đối tia DC lấy điểm E cho DE  BM   BAM DAE (c.g.c) suy AM  AE BAM  DAE   Ta có: BAM  DAM 900 Trang     DAE  DAM 900 hay EAM 900 Theo đề bài, CM  CN  MN 2a mà CM  CN  MB  ND 2a nên MN MB  ND hay MN  DE  ND  EN  EAM   MAN EAN (c.c.c)  MAN  EAN  450 Vậy, góc MAN có số đo khơng đổi Ví dụ 5: Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB, BC , CD lấy điểm M , N , P cho AM  BN CP Qua N vẽ đường thẳng vng góc với MP cắt AD Q Chứng minh tứ giác MNPQ hình vng Giải (h.6.7) * Tìm cách giải Từ giả thiết ta nghĩ đến việc chứng minh tam giác để suy bốn cạnh tứ giác MNPQ nhau, ta tứ giác hình thoi Sau chứng minh hai đường chéo để hình vng * Trình bày lời giải Vẽ ME  CD , NF  AD Gọi O giao điểm ME NF Ta có: AB BC CD  DA mà AM  BN CP nên BM CN  DP Dễ thấy tứ giác AMOF hình vng EMP FNQ có:  F  900 ; ME  NF (bằng cạnh hình vng); E   (hai góc có cạnh tương ứng vng góc) EMP  FNQ  EMP FNQ (g.c.g)  MP  NQ EP  FQ Ta có: DE  AM  AF  DP  AQ DQ CP Các tam giác BNM , CPN , DQP AMQ suy ra: MN  NP  PQ QM Do tứ giác MNPQ hình thoi Hình thoi có hai đường chéo nên hình vng C Bài tập vận dụng  Hình thoi 6.1 Một hình thoi có góc nhọn 300 Khoảng cách từ giao điểm hai đường chéo đến cạnh h Tính độ dài cạnh hình thoi 6.2 Cho hình thoi ABCD , chu vi 8cm Tìm giá trị lớn tích hai đường chéo Trang 6.3 Cho hình thoi ABCD , A 400 Gọi M trung điểm AB Vẽ DH  CM Tính số đo góc MHB 6.4 Cho hình thoi ABCD Trên nửa mặt phẳng bờ BD có chứa điểm C , vẽ hình bình hành BDEF có DE  DC Chứng minh C trực tâm tam giác AEF 6.5 Cho hình bình hành ABCD , hai đường chéo cắt O Gọi E , F , G, H giao điểm đường phân giác tam giác AOB, BOC , COD DOA Chứng minh tứ giác EFGH hình thoi 6.6 Dựng hình thoi ABCD biết AC  BD 8cm ABD 250  Hình vng 6.7 Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E F cho BE  EF  FC Trên cạnh AD lấy điểm G cho AG  AD Tính tổng: AEG  AFG  ACG 6.8 Cho hình vng ABCD Trên đường chéo AC lấy điểm M Vẽ ME  AD , MF  CD Chứng minh ba đường thẳng AF , CE BM đồng quy 6.9 Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Vẽ phía ngồi tam giác hình vng ABDE ACFG Chứng minh rằng: a) Ba đường thẳng AH , DE FG đồng quy; b) Ba đường thẳng AH , BF CD đồng quy 6.10 Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia BA lấy điểm E Trên tia đối tia CB lấy điểm F cho AE CF Gọi O trung điểm EF Vẽ điểm M cho O trung điểm DM Chứng minh tứ giác DEMF hình vng 6.11 Cho tam giác ABC , A 450 Vẽ ba đường cao AD, BE , CF cắt H Gọi M , N , P, Q trung điểm AB, AC , HB HC Chứng minh tứ giác MNPQ hình vng 6.12 Cho hình bình hành ABCD Vẽ phía ngồi hình bình hành hình vng có cạnh cạnh hình bình hành Gọi E , F , G, H tâm (tức giao điểm hai đường chéo) hình vng vẽ cạnh AB, BC , CD DA Chứng minh rằng: EG  HF EG  HF 6.13 Dựng hình vng ABCD biết đỉnh A trung điểm M CD 6.14 Một bàn cờ hình vng có kích thước x6 Có thể dùng mảnh gỗ hình chữ nhật có kích thước 1x để ghép kín bàn cờ khơng? 6.15 Một hình chữ nhật có kích thước 3x6 Hãy chia hình chữ nhật thành nhiều phần (hình tam giác, tứ giác) để ghép lại thành hình vng (số phần chia tốt) Trang Hướng dẫn giải 6.1 (h.6.8) Giả sử ABCD hình thoi, A 300 Hai đường chéo cắt O Vẽ OH  AD , BK  AD OH  BK OH đường trung bình tam giác BKD  OH  BK (1) Xét ABK vuông K , A 30  BK  AB (2) Từ (1) (2) suy ra:  OH  AB AB 4OH 4.h 6.2 (h.6.9) Gọi O giao điểm hai đường chéo Ta đặt OA  x, OB  y AC 2 x, BD 2 y Ta có: AB 8 : 2cm x  y 4 Từ bất đẳng thức x  y 2 xy suy xy  x2  y  2 2 Do đó: AC.BD 2 x.2 y 4 xy 8 Vậy giá trị lớn tích AC.BD 8(cm ) x  y  AC BD  ABCD hình vng 6.3 (h.6.10) Gọi N trung điểm CD Ta có AM CN AM CN nên tứ giác AMCN hình bình hành  AN  CM Mặt khác, DH  CM nên DH  AN K Xét HCD có KN  CH NC  ND nên KH  KD ADH Có AK vừa đường cao vừa đường trung tuyến nên ADH cân  AH  AD Trang Mặt khác, AB  AD nên AH  AB  ABH cân Suy ADH  AHD ABH  AHB   Xét tứ giác ABHD có ADH  DHA  BHA  ABH 3600  A      2( DHA  BHA ) 3600  400  BHD 3200  BHD 1600   Mặt khác, DHM 900 nên MHB 1600  900 700 6.4 (h.6.11) Ta có AC  DB mà DB  EF nên AC  EF (1) Vẽ điểm M cho D trung điểm EM Xét CEM có CD đường trung tuyến mà CD  EM nên CEM vuông C  CM  CE Tứ giác MDFB có hai cạnh đối song song nên hình bình hành  DB MF cắt trung điểm đường Mặt khác, O trung điểm DB nên O trung điểm MF Tứ giác AMCF có OA OC , OM OF nên hình bình hành  CM  AF  CE  AF (2) Xét AEF có AC EC hai đường cao cắt C nên C trực tâm Nhận xét: Nếu vẽ hình bình hành DBEF phía điểm A kết luận tốn 6.5 (h.6.12) Ta có OE  OH , OG  OH (hai tia phân giác hai góc kề bù)  E , O, G thẳng hàng Chứng minh tương tự, ta H , O, F thẳng hàng  Ta có AB CD  BAC  ACD   EAO  ACG (một nửa hai góc nhau) AOE COG (g.c.g)  OE OG Chứng minh tương tự, ta OF OH Tứ giác EFGH có hai đường chéo cắt trung điểm đường nên hình bình hành Hình bình hành có hai đường chéo vng góc nên hình thoi Trang 6.6 (h.6.13) Giả sử dựng hình thoi ABCD thỏa mãn đề Gọi O giao điểm hai đường chéo Ta có AC  BD OA OC ; OB OD Do OA  OB 8 : 4(cm) Trên tia OD lấy điểm E cho OE OA Khi BE 4cm AOE vng cân  AEB 450 Từ AEB dựng (g.c.g)  Điểm O thỏa mãn hai điều kiện: O nằm BE O nằm đường trung trực AE  Điểm C thỏa mãn hai điều kiện: C nằm tia AO cho OC OA  Điểm D thỏa mãn hai điều kiện: D nằm tia BO cho OB OB Các bước lại, bạn đọc tự giải 6.7 (h.6.14) Các tứ giác ABEG, AEFG, AFCG hình bình hành nên: AB  EG, AE GF , AF CG   A ; F   A ; C   A Suy E 1 2 3  F  C   A  A  A  BAC  Do đó: E 450 3 6.8 (h.6.15) * Tìm cách giải Muốn chứng minh AF , CE BM đồng quy ta chứng minh chúng đường thẳng chứa đường cao BEF * Trình bày lời giải Tứ giác MEDF có ba góc vng nên hình chữ nhật  ME  DF ; MF  DE  ADC vuông cân  CAD  ACD 450 Do AEM CFM vuông cân  AE  ME  AE  DF ; CF  MF  DE CF   A  H  900 ABE DAF (c.g.c)  B 1 ( H giao điểm BE CF ) Chứng minh tương tự, ta CE  BF Gọi N giao điểm EM với BC ; K giao điểm BM với EF Trang Ta có MF  MN (vì M nằm tia phân giác góc C ) ME  BN ( AE )   MFE NMB (g.c.g)  MFE  NMB   Ta có: NMB  FMK 900 ( NMF 900 )    900  BM  EF  MFE  FMK 900  K Vậy ba đường thằng AF , CE BM ba đường cao BEF nên chúng đồng quy 6.9 (h.6.16) a) Gọi K giao điểm hai đường thẳng DE FG Tứ giác AGKE có ba góc vng nên hình chữ nhật Gọi O giao điểm AH EG  C  AEG ABC (c.g.c)  G 1   A (cùng phụ với ABC ); Và A  A Ta lại có: C 1   A Do OAG cân  G  OG OA Chứng minh tương tự, ta OE OA  OG OE Xét hình chữ nhật AGKE có O trung điểm đường chéo EG nên đường chéo AK phải qua O hay đường thẳng AH qua K Vậy ba đường thẳng AH , DE , FG đồng quy b) BCF KAC có:  900  A ); CF  AC   BC  KA (cùng EG ); BCF (vì 900  C  KAC  C  Do BCF KAC  F 2 Gọi M giao điểm BF KC  C  900  F  C  900  M  900 Vậy BF  KC Ta có C 3 Chứng minh tương tự, ta CD  KB Xét KBC có đường thẳng AH , BF , CD chứa ba đường cao nên chúng đồng quy 6.10 (h.6.17)  ADE CDF (c.g.c)  DE  DF ADE CDF Trang  Ta có ADE  CDF 900     CDF  CDE 900 hay EDF 900 Tứ giác DEMF có hai đường chéo cắt trung điểm đường nên hình bình hành  Hình bình hành có hai cạnh kề nên hình thoi Hình thoi có EDF 900 nên hình vng 6.11 (h.6.18) FAC vng F , A 450 nên tam giác vuông cân  AF  FC  AFH CFB có:  AFH CFB 900 ; AF  FC ;   (hai góc có cạnh tương ứng vng góc) FAH  FCB Do AFH CFB (g.c.g)  AH  BC Vận dụng định lí đường trung bình tam giác ta chứng minh MNPQ hình bình hành 1 Ta có: MQ  AH ; MN  BC 2 mà AH  BC nên MQ MN Hình bình hành MNPQ có hai cạnh kề nên hình thoi  900 suy MNPQ hình vng Bạn đọc tự chứng minh M 6.12 (h.6.19)   ( 900 ) Ta đặt B   Khi EBF GCF 900   EFB GFC (c.g.c)    EF GF EFB GFC   Ta có CFE  EFB 900     CFE  GFC 900 hay EFG 900 Chứng minh tương tự, ta FG GH  HE Tứ giác EFGH có bốn cạnh nên hình thoi  Hình thoi có EFG 900 nên hình vuông, suy EG  HF EG  HF 6.13 (h.6.20) a) Phân tích Trang 10 Giả sử dựng hình vng ABCD thỏa mãn đề Gọi N trung điểm AM Vẽ NH  AD Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với AM cắt đường thẳng AD E Xét ADM có NH  MD AN  NM nên AH  HD  AD Mặt khác, MD  MC  CD nên MD  AH    Ta có DME (cùng phụ với DMA )  HAN DME HAN (g.c.g)  ME  AN  AM Vậy E xác định được, từ xác định D, C , B b) Cách dựng - Dựng đường thẳng d  AM M ; - Trên d lấy điểm E cho ME  AM ; - Dựng MD  AE - Dựng điểm C cho M trung điểm CD ; - Dựng Cx  AD Ay  CD chúng cắt B Tứ giác ABCD hình vng phải dựng c) Chứng minh Thật vậy, tứ giác ABCD có cặp cạnh đối song song nên hình bình hành  900 nên hình chữ nhật Hình bình hành có D Gọi N trung điểm AM Vẽ NH  AD AH  AD HAN DME (cạnh huyền, góc nhọn)  AH  DM  AD  DC Hình chữ nhật có hai cạnh kề nên hình vng d) Biện luận Có hai cách lấy điểm E đường thẳng d (về hai phía điểm M ) nên tốn có hai nghiệm hình hình vng ABCD AB ' C ' D ' 6.14 (h.6.21) Tơ màu bàn cờ hình 6.21 Lúc bàn cờ có 20 đen 16 trắng Trang 11 Mỗi mảnh gỗ 1x đặt lên bàn cờ che lấp ô đen ô trắng Do mảnh gỗ 1x che lấp 18 ô đen Như với cách đặt mảnh gỗ lên bàn cờ cịn thừa hai đen khơng che lấp Vậy dùng mảnh gỗ 1x để lấp kín bàn cờ 6.15 (h.6.22) Trang 12