O Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn , điểm D thuộc cung nhỏ AB Kẻ dây DE vng góc với OA Gọi M giao điểm BD CA , N giao điểm BA CE Chứng minh MN song song với DE Giải N M A E I D O B C Gọi I giao điểm DE AB OA DE OA qua trung điểm dây DE (Liên hệ đường kính dây) DE đường trung trực DE AD AE (Tính chất đường trung trực) AD AE (Liên hệ dây cung) Theo tính chất góc có đỉnh bên ngồi đường trịn ta có: BNC s® s® AE 1 s® AD s® AE BMC s® BC s® BC 2 (Vì AD AE ) BMC BNC Tứ giác BMNC tứ giác nội tiếp (hai góc đỉnh M N nhìn cạnh BC góc) MNB MCB (Cùng chắn cung MB đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC ) 1 s® AD MCB s® AB s® BD 1 2 Mà (Tính chất góc nội tiếp) AIE s® BD s® AE Mặt khác: (Tính chất góc có đỉnh bên ngồi đường trịn) AIE s® BD s® AD ( AD AE ) 1 MNB AIE Từ MN //DE (Cặp góc so le nhau) (đpcm) 2 Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) AB BD Tiếp tuyến đường thẳng BC Q Gọi R giao điểm hai đường thẳng AB CD a) Chứng minh AQ QB.QC O A cắt b) Chứng minh AQRC nội tiếp c) Chứng minh AD //QR Q A B R O C D a) Xét AQB CQA có: BAQ ACQ (góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn chắn AB ) AQB góc chung AQB#CQA (g.g) AQ CQ BQ AQ AQ BQ.CQ b) Ta có: AB BD ABD cân BAD BDA BAD QCR (góc ngồi góc đối tứ giác ABCD nội tiếp) QAB BDA (góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn góc nội tiếp chắn AB ) QAB QCR Tứ giác AQRC nội tiếp (hai góc nhìn cạnh) c) Xét tứ giác AQRC nội tiếp có: AQR ACR 180o o (tổng hai góc đối 180 ) (1) Cần CM: ACR QAD Thật vậy: BAD QCR (chứng minh phần b) QAB ACB (góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn góc nội tiếp chắn AB ) BAD QAB QCR ACB ACR QAD (2) Từ (1) , (2) ta được: AQR QAD 180o AD //QR (trong phía) Bài 2: Cho góc nhọn xBy Từ điểm A tia Bx kẻ AH vng góc với By H kẻ AD vng góc với đường phân giác góc xBy D , Chứng minh tứ giác ABHD nội tiếp đường tròn xác định tâm O đường trịn a) Chứng minh OD AH O cắt By C Đường thẳng BD cắt AC E Chứng b) Tiếp tuyến A với đường tròn minh tứ giác HDEC nội tiếp Lời giải: x A 1 O B D E H C y a) Ta có: ADB vng D nên ba điểm A, D, B thuộc đường tròn đường kính AB 1 ABH vng H nên ba điểm A, B, H thuộc đường tròn đường kính AB 1 Tứ giác ABHD nội tiếp đường tròn đường kính AB Từ Tâm O trung điểm đoạn AB b) Tứ giác ABHD nội tiếp nên: A sd AD B 2 1 H sd AD B 1 2 Mà B1 B2 ( BE phân giác ABH ) Từ 1 , 3 3 A2 H1 sd AD sd HD AD HD D thuộc đường trung trực HA HA Mặt khác OA OH O thuộc đường trung trực , 5 OD đường trung trực AH OD AH c) Ta có: BEC góc ngồi tam giác ABE nên BEC 90 B1 Ta lại có: OD AH cmt OD / / BH BH AH gt DHC ODH (So le trong) Từ OHD ODA c.c.c ODH OAD (hai cạnh tương ứng) Mà DHC ODH (Chứng trên) OHC OAD A B sd AD 1 OAD OAD 90 A 90 B Mặt khác OHC 90 B1 Xét tứ giác HDEC có: BEC OHC 90 B1 90 B1 180 Mà hai góc vị trí đối nên HDEC nội tiếp