Khóa luận tốt nghiệp đại học ứng dụng của kí hiệu christoffel trong vật lý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ THU LÝ ẠI Đ ỨNG DỤNG CỦA KÍ HIỆU CHRISTOFFEL TRONG VẬT LÝ H C Ọ Chuyên ngành: Vật lý lí thuyết SƯ ẠM PH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Hà Thanh Hùng HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo: TS Hà Thanh Hùng người tận tình hướng dẫn em để hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến thầy cô giáo giảng dạy em bốn năm qua, đặc biệt thầy cô Khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, giảng dạy trang bị cho em kiến thức học tập, nghiên cứu khóa luận công việc sau Trong trình nghiên cứu thời gian có hạn bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi ẠI Đ thiếu sót Vì vậy, em mong nhận đóng góp q thầy bạn để đề tài hoàn Ọ H C Em xin chân thành cảm ơn! SƯ ẠM PH Hà Nội, tháng 04 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Lý LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp “ Ứng dụng kí hiệu Christoffel vật lý” hồn thành hướng dẫn tận tình thầy: TS Hà Thanh Hùng Tôi xin cam đoan đề tài kết nghiên cứu không trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Hà Nội, tháng 04 năm 2017 Sinh viên ẠI Đ H C Ọ Nguyễn Thị Thu Lý SƯ ẠM PH MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu: Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Nhiệm vụ nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu: Cấu trúc khóa luận: Đ ẠI NỘI DUNG Ọ H CHƯƠNG I: KÍ HIỆU CHRISTOFFEL C 1.1 Kí hiệu Christoffel SƯ 1.1.1 Một số khái niệm bản: PH 1.1.2 Kí hiệu Christoffel ẠM 1.2 Kí hiệu Christoffel hệ tọa độ 1.2.1 Kí hiệu Christoffel hệ tọa độ tởng qt 1.2.2 Kí hiệu Christoffel hệ tọa độ trụ 1.3 Các tính chất kí hiệu Christoffel 1.3.1 Liên hệ kí hiệu Christoffel loại kí hiệu Christoffel loại k 1.3.2 Kí hiệu Christoffel  ij đối xứng với số i, j k 1.3.3 Sự biến đởi kí hiệu Christoffel  ij hệ tọa độ tổng quát 10 1.3.4 Kí hiệu Christoffer khơng phải tenxơ bậc ba 10 1.4 Đạo hàm hiệp biến kí hiệu Christoffel 11 1.5 Biểu diễn toán tử véctơ dạng Tenxo 21 CHƯƠNG II ỨNG DỤNG CỦA KÍ HIỆU CHRISTOFFEL TRONG VẬT LÍ 26 2.1 Đạo hàm hiệp biến kí hiệu Christoffel 26 Đ ẠI 2.2 Phương trình trắc địa: 31 Ọ H KẾT LUẬN CHUNG 36 C TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 SƯ ẠM PH MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học ngành khoa học khơng phục vụ nó, mà đặc biệt trở thành cơng cụ hữu ích cho việc phát triển ngành khoa học khác, có vật lý Tính chất vật lý tính thực nghiệm Nhưng muốn trình bày định luật định lượng vật lý cách xác ta thường phải sử dụng phương pháp toán học Những quy luật đơn giản vật lý học cổ điển giải gần trọn vẹn Nhưng quy luật vi mô, vĩ mô tác dụng nhiều trường khác lại hồn tồn bất lực Cùng với điều ẠI Đ phát triển mạnh mẽ toán học bề rộng bề sâu Dẫn đến ngành vật lý mới: Vật lý lí thuyết Ọ H Từ lâu người biết sử dụng toán học để giải khúc mắc C vật lý Những phương pháp toán học dùng vật lý học đại SƯ phong phú đa dạng Nó gồm khối lượng kiến thức lớn thuộc PH ngành như: hàm thực, hàm phức, phương trình vi phân, phép tính tích phân, đại số tuyến tính, Các kiến thức khơng cung cấp cho bạn ẠM học sinh, sinh viên để giải tập mà dùng để nghiên cứu, thực hành môn học khác học trường, cơng cụ tốn hữu ích cho cơng việc ta người học sau trường Phương pháp toán học cần thiết cho tất lĩnh vực sống đặc biệt nghiên cứu vật lý, dùng để giải hầu hết khó khăn vật lý Tenxơ khái niệm toán học phục vụ cho việc thiết lập giải vấn đề vật lý nhiều lĩnh vực học môi trường liên tục, lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tương đối rộng, Để giải vấn đề người ta sử dụng nhiều phương pháp khác có sử dụng kí hiệu Christoffel Do để tìm hiểu rõ kí hiệu ứng dụng vật lý, chọn đề tài “ Ứng dụng kí hiệu Christoffel vật lý” Đây số cơng cụ, phương pháp tốn học để nghiên cứu sâu đặc điểm trường Tenxơ Nó giúp tìm hiểu giải tập vật lý cách đơn giản hơn, từ tởng hợp phương pháp tốn học dùng vật lí nói chung vật lý lí thuyết nói riêng Mục đích nghiên cứu: - Nâng cao kiến thức toán học sử dụng chúng cách linh hoạt việc nghiên cứu vật lý - Tìm hiểu kí hiệu Christoffel ẠI Đ - Tìm hiểu ứng dụng kí hiệu Christoffel Vật lý Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Nhiệm vụ nghiên cứu: C Ọ H - Kí hiệu Christoffel ứng dụng vật lý SƯ - Nghiên cứu phương pháp toán học cho vật lý PH - Nghiên cứu kí hiệu Christoffel - Nghiên cứu ứng dụng kí hiệu Christoffel vật lý ẠM Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp toán học - Vật lý lí thuyết - Đọc, tham khảo tra cứu tài liệu có liên quan Cấu trúc khóa luận: Chương 1: Kí hiệu Christoffel 1.1 Kí hiệu Christoffel 1.2 Kí hiệu Christoffel hệ tọa độ 1.3 Các tính chất kí hiệu Christoffel 1.4 Đạo hàm hiệp biến kí hiệu Christoffel 1.5 Biểu diễn toán tử véctơ dạng Tenxơ Chương 2: Ứng dụng kí hiệu Christoffel Vật lý 2.1 Đạo hàm hiệp biến kí hiệu Christoffel 2.2 Phương trình trắc địa ẠI Đ C Ọ H SƯ ẠM PH NỘI DUNG CHƯƠNG I: KÍ HIỆU CHRISTOFFEL 1.1 Kí hiệu Christoffel 1.1.1 Một số khái niệm bản: Định nghĩa Tenxơ trường hợp riêng hệ thống phần tử, thành phần hệ số hàm số xác định hệ sở cho, với phép biến đởi tuyến tính hệ sở thành phần thay đổi theo quy luật xác định Hệ thống kí hiệu Các kí hiệu hệ thống đặc trưng hay nhiều số ẠI Đ Ví dụ như: 𝑒𝑖, 𝑒 𝑖 , 𝑒𝑖𝑗 , 𝑒 𝑖𝑗 H Ọ Theo quy ước: số chữ la tinh lấy giá trị 1,2,3 Ví dụ, C kí hiệu 𝑒 𝑖 nghĩa biểu thị phần tử 𝑒 , 𝑒 , 𝑒 𝑒 𝑖𝑗 biểu thị SƯ phần tử 𝑒 11 , 𝑒 12 , 𝑒 13 , 𝑒 21 , 𝑒 22 , 𝑒 23 , 𝑒 31 , 𝑒 32 , 𝑒 33 PH Hạng tenxơ ẠM Hạng tenxơ xác định số lượng số kí hiệu tenxơ Như 𝑒𝑖 phụ thuộc vào số nên 𝑒𝑖 hệ thống hạng bao gồm hạng tử 𝑒𝑖𝑗 phụ thuộc vào số (i,j) nên 𝑒𝑖𝑗 hệ thống hạng bao gồm 32 =9 phần tử Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n số hệ thống hạng n gồm 3𝑛 phần tử Quy ước số Chỉ số hệ thống tenxơ tuân theo quy ước: “ Trong biểu thức, số lặp lại lần , biểu thị tởng từ đến 3” Chỉ số số câm nên thay chữ khác Ví dụ: 𝑎𝑖 𝑏𝑖 = 𝑎𝑗 𝑏𝑗 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 Tensor đối xứng Xét hệ thống hạng hai 𝑒𝑖𝑗 Nếu đổi chỗ số cho nhau, thành phần tensor không thay đổi dấu giá trị tensor 𝑒𝑖𝑗 gọi đối xứng 𝑒𝑖𝑗 = 𝑒𝑗𝑖 Nếu thay đởi vị trí số cho nhau, thành phần tensor thay đổi dấu mà không thay đổi giá trị tuyệt đối hệ thống 𝑒𝑖𝑗 phản đối xứng 𝑒𝑖𝑗 = −𝑒𝑗𝑖 Ví dụ ký hiệu Kronecker: 1, 0, 𝑖 = 𝑗 tensor đối xứng 𝑖 ≠ 𝑗 ẠI Đ 𝛿𝑖𝑗 = { H C Ọ Mở rộng cho hệ có nhiều hệ số SƯ Tensor đối xứng với hai số đấy, thành phần khơng thay đởi PH đởi chỗ hai số cho ẠM Ví dụ: Nếu tensor 𝑎𝑖𝑗𝑘 đối xứng theo số ( i,j ) 𝑎𝑖𝑗𝑘 = 𝑎𝑖𝑗𝑘 Tensor Levi-Civita tensor phản đối xứng hạng 𝑒𝑖𝑗𝑘 Cụ thể: 0, = { 1, −1, số 𝑖, 𝑗, 𝑘 hoán vị chẵn số 1, 2, 𝑖, 𝑗, 𝑘 hoán vị lẻ số 1, 2, 𝑒123 = 𝑒231 = 𝑒312 = 𝑒132 = 𝑒213 = 𝑒321 = −1 Các thành phần lại 𝑒𝑖𝑗𝑘 = 𝜕𝑎 𝜕𝑎𝑖𝑗 = ∆𝑖𝑗 (1.38) Trong 𝑎𝑖𝑗 không trường hợp ∆𝑖𝑗 Bây giờ, 𝑎𝑖𝑗 phụ thuộc vào hệ tọa độ xác định a chuỗi qui tắc ta có: 𝜕𝑎 𝜕𝑢𝑘 = 𝜕𝑎 𝜕𝑎𝑖𝑗 𝜕𝑎𝑖𝑗 𝜕𝑢𝑘 = ∆𝑖𝑗 𝜕𝑎𝑖𝑗 𝜕𝑎𝑖𝑗 𝜕𝑢 𝜕𝑢𝑘 𝑗𝑖 𝑘 =𝑎𝑏 (1.39) Áp dụng kết (1.39) cho thành phần 𝑔 tenxo metric 𝑔𝑖𝑘 𝑔𝑘𝑗 = 𝛿𝑗𝑖 tính đối xứng 𝑔𝑖𝑗 có: 𝜕𝑔 𝜕𝑢𝑘 = 𝑔 𝑔𝑖𝑗 𝜕𝑔𝑖𝑗 (1.40) 𝜕𝑢𝑘 Đ ẠI Thay (1.40) vào (1.36) ta thấy biểu thức kí hiệu Christoffel H đơn giản hóa: 𝜕𝑔 2𝑔 𝜕𝑢𝑘 = 𝜕 √𝑔 √𝑔 𝜕𝑢𝑘 C = Ọ 𝑖  𝑘𝑖 SƯ Cuối ta biểu thức Div trường véctơ hệ tọa độ chung 𝜕 𝑔 𝜕𝑢𝑗 √ ( √𝑔 𝑣 𝑗 ) (1.41) ẠM  PH ∇ 𝑣 = 𝑣;𝑖𝑖 = Laplacian: Nếu ta thay 𝑣 ∇𝛷 ∇𝑣 ta ∇2 𝛷 Từ (1.35) có: 𝑣𝑖 𝑒 𝑖 = 𝑣 = ∇𝛷 = Và thành phần hiệp biến 𝑣 cho 𝑣𝑖 = 𝜕𝛷 𝑖 𝑒 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝛷 𝜕𝑢𝑖 Trong (1.41) ta có thành phần phản biến 𝑣 𝑖 Ta thu cách sử dụng Tenxơ metric 𝑣 𝑗 = 𝑔𝑖𝑘 𝑣𝑘 = 𝑔 𝑗𝑘 23 𝜕𝛷 𝜕𝑢𝑘 Thay vào (1.41) ta : ∇2 Φ = 𝜕 𝜕𝛷 (√𝑔 𝑔 𝑗𝑘 𝑘 ) 𝑗 𝑔 𝜕𝑢 𝜕𝑢 (1.42) √ Sử dụng (1.42) để diễn tả ∇2 φ hệ tọa độ trực giao với ℎ𝑖 ; 𝑖 = 1,2,3 Đối với hệ trực giao √𝑔 = ℎ1 ℎ2 ℎ3 , 𝑔𝑖𝑗 = i=j 𝑔𝑖𝑗 = ℎ 𝑖 i,j khác Tuy nhiên từ (1.42) có: ∇2 𝛷 =  𝜕 ℎ1 ℎ2 ℎ3 𝜕𝛷 ( ) ℎ1 ℎ2 ℎ3 𝜕𝑢 𝑗 ℎ𝑗2 𝜕𝑢 𝑗 Curl : ẠI Đ Các dạng véctơ Curl trường véctơ tồn chiều Vì ta xét khơng gian chiều: H Ọ Trong không gian chung curl 𝑣 xác định bởi: C (𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑣)𝑖𝑗 = 𝑣𝑖;𝑗 − 𝑣𝑗;𝑖 SƯ Đây tenxo hiệp biến phản đối xứng = 𝜕𝑣𝑗 𝜕𝑢𝑗 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑣𝑖 −  𝑙𝑖𝑗 𝑣𝑙 − ẠM 𝑣𝑖;𝑗 − 𝑣𝑗;𝑖 = PH Trong thực tế, khác biệt đạo hàm đơn giản từ: +  𝑙𝑗𝑖 𝑣𝑙 𝜕𝑣𝑖 𝜕𝑣𝑗 − 𝜕𝑢 𝑗 𝜕𝑢𝑖 Ở kí hiệu Christoffel bị biến tính chất đối xứng Như 𝑣 viết đạo hàm phần: 𝜕𝑣𝑖 𝜕𝑣𝑗 − 𝜕𝑢 𝑗 𝜕𝑢𝑖 tenxo bậc với thành phần phản biến (𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑣)𝑖𝑗 = (∇ × 𝑣)𝑖 = − 2√𝑔 24 𝜀 𝑖𝑗𝑘 (𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑣)𝑗𝑘 =− 𝜕𝑣𝑗 𝜕𝑣𝑘 𝑖𝑗𝑘 𝜕𝑣𝑘 𝜀 𝑖𝑗𝑘 ( 𝑘 − 𝑗 ) = 𝜀 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝑗 √𝑔 √𝑔 Nó tương tự biểu thức tọa độ Đề Các ẠI Đ C Ọ H SƯ ẠM PH 25 CHƯƠNG II ỨNG DỤNG CỦA KÍ HIỆU CHRISTOFFEL TRONG VẬT LÍ 2.1 Đạo hàm hiệp biến kí hiệu Christoffel Trong phần trước ta giới thiệu cách lấy vi phân Tenxơ chung với hệ tọa độ giới thiệu đạo hàm hiệp biến Ở phần tìm hiểu số vấn đề khác đạo hàm hiệp biến kí hiệu Christoffel thơng qua số ứng dụng việc nghiên cứu hệ vật lý Bài 1: Kí hiệu Christoffel viết dạng thứ г𝑖𝑗𝑘 = 𝑔𝑖𝑙 г𝑙𝑖𝑘 Đ Chỉ mối liên hệ thành phần kí hiệu Christoffel dạng thứ ẠI với tensor metric phải có dạng sau: H Ọ 𝜕𝑔𝑖𝑘 𝜕𝑢𝑗 C г𝑖𝑗𝑘 = ( + 𝜕𝑔𝑗𝑘 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑔 − 𝜕𝑢𝑖𝑗𝑘 ) SƯ Bằng cách hoán vị số, rằng: 𝜕𝑢𝑘 PH 𝜕𝑔𝑖𝑗 = г𝑖𝑗𝑘 + г𝑗𝑖𝑘 ẠM 𝑙 Sử dụng tính chất г𝑗𝑘 = г𝑙𝑘𝑗 , chứng tỏ 𝑔𝑖𝑗,𝑘 = Tức đạo hàm hiệp biến tensor metric không hệ tọa độ Bài giải: Kí hiệu Christoffel viết dạng thứ hai liên hệ với tensor metric theo dạng sau: 𝑙 г𝑗𝑘 = 𝑔𝑙𝑚 ( 𝜕𝑔𝑗𝑚 𝜕𝑢𝑗 + 𝜕𝑔𝑘𝑚 𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑔 − 𝜕𝑢𝑗𝑘 𝑚) Chuyển sang kí hiệu Christoffel viết dạng thứ nhất, ta có: 𝜕𝑔𝑗𝑚 𝜕𝑢𝑘 𝑙 Г𝑖𝑗𝑘 = 𝑔𝑖𝑙 г𝑗𝑘 = 𝑔𝑖𝑙 𝑔𝑙𝑚 ( 26 + 𝜕𝑔𝑘𝑚 𝜕𝑢𝑗 − 𝜕𝑔𝑗𝑘 𝜕𝑢𝑚 ) 𝜕𝑔𝑖𝑗 = ( 𝜕𝑢𝑘 + 𝜕𝑔𝑖𝑘 𝜕𝑢𝑗 − 𝜕𝑔𝑘𝑗 𝜕𝑢𝑖 ) (1) Tương tự, ta có: 𝜕𝑔𝑗𝑚 𝜕𝑢𝑘 Г𝑗𝑖𝑘 = 𝑔𝑗𝑙 г𝑙𝑖𝑘 = 𝑔𝑗𝑙 𝑔𝑙𝑚 ( 𝜕𝑔𝑗𝑖 = ( 𝜕𝑢𝑘 + 𝜕𝑔𝑗𝑘 𝜕𝑢𝑖 + − 𝜕𝑔𝑘𝑚 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑔𝑘𝑖 𝜕𝑢𝑗 − ) 𝜕𝑔𝑖𝑘 𝜕𝑢𝑚 ) (2) Rõ ràng từ (1) (2), ta được: 𝜕𝑔𝑖𝑗 𝜕𝑢𝑘 = Г𝑖𝑗𝑘 + Г𝑗𝑖𝑘 Đạo hàm hiệp biến tensor metric là: 𝜕𝑔𝑖𝑗 𝜕𝑢𝑘 − Г𝑖𝑗𝑘 − Г𝑗𝑖𝑘 ) 𝑒𝑖  𝑒𝑗 ≡ ẠI Đ 𝑔𝑖𝑗;𝑘 = ( H Ọ Đạo hàm hiệp biến tensor metric không hệ tọa C độ SƯ Bài 2: Hệ tọa độ cầu thường sử dụng để nghiên cứu hệ vật lý hệ tọa độ cầu ẠM PH có đặc tính tốt so với hệ tọa độ khác Hãy tính đại lượng sau Các thành phần 𝑔𝑖𝑗 tensor metric Các thành phần ký hiệu Christoffel Divergence vector vận tốc vật chuyển động Bài giải: Trong hệ tọa độ cầu, vector sở kí hiệu 𝑢𝑖 = (𝑟, 𝜃, 𝜑) Vi phân dịch chuyển đường xác định công thức: 𝑑𝑠⃗ = 𝑑𝑟𝑒⃗⃗⃗⃗𝑟 + 𝑟𝑑𝜃𝑒⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜃 + 𝑟 sin 𝜃𝑑𝜑𝑒 𝜑 Để xác định thành phần tenxơ metric, sử dụng công thức: 27 𝑑𝑠 = 𝑔𝑖𝑗 𝑑𝑢𝑖 𝑑𝑢 𝑗 = 𝑑𝑟 + 𝑟 𝑑𝜃 + 𝑟 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑑𝜑 Từ đó, ta có thành phần tensor metric 1 g ij   r 0    r sin   Để tính thành phần ký hiệu Christoffel cách đơn giản, làm việc thông qua hệ tọa độ Đề Trong hệ tọa độ Đề các, bán kính vector để xác định vị trí vật chuyển động là: ⃗⃗⃗⃗ 𝑟⃗⃗⃗ = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜑 𝑖⃗ + 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜑𝑗⃗ + 𝑟 cos 𝜃𝑘 ẠI Đ Chuyển sang hệ sở 𝑒 𝑖 = 𝜕𝑟 𝜕𝑢𝑖 ,tương ứng ta có: C Ọ H r  e1  u1  sin  cos  i  sin  sin  j  cos k  r  e2   r cos  cos  i  r cos  sin  j  r sin  k u  r  e3  u  r sin  sin  i  r sin  cos  j  SƯ PH  e1  u1    e1   cos  cos  i  cos sin  j  sin  k  u  e1  u   sin  sin  i  sin  cos  j  ẠM Lấy đạo hàm theo thành phần hệ tọa độ cầu ta có:  e2  u1  cos cos  i  cos sin  j  sin  k   e2   r sin  cos  i  r sin  sin  j  r cos k  u  e2  u  r cos sin  i  r cos cos  j  28  e3  u1   sin  sin  i  sin  cos  j   e3   r cos  sin  i  r cos  cos  j  u  e3  u  r sin  cos  i  r sin  sin  j  Từ đó, thành phần ký hiệu Christoffel tính theo cơng thức: 𝑖 г𝑗𝑘 = 𝑒𝑘 𝜕𝑒𝑖 𝜕𝑢𝑗 Kết là: 111  112  113  0; 112  121  sin   cos   sin  cos ; 122   221  r (cos   sin  ); 123  321  0; Đ 2 122  r ;  22   322  0; 113  131  132   31  0; ẠI 2 123  132  32   23  0; 133  331  r sin  ; Ọ H 333  r sin  cos  C Để tính Divergence vận tốc vật chuyển động, ta sử dụng SƯ công thức:  ( g vj) j g u Do đó, .v  ẠM Trong hệ tọa độ cầu, ta có: PH .v  v i ;i  g  r sin   r sin   vr v v  2 r sin  v  r cos  v      r    r sin   r    Bài 3: Cho biết đạo hàm hiệp biến cấp hai là: 𝑣𝑖;𝑗𝑘 = (𝑣𝑖;𝑗 );𝑘 Và tensor Riemann định nghĩa sau: 𝑙 𝑣𝑖;𝑗𝑘 − 𝑣𝑖;𝑘𝑗 = 𝑅𝑖𝑗𝑘 𝑣𝑙 29 Chứng minh hệ tọa độ tổng quát, thành phần viết là: 𝑙 𝑙 𝑙 𝑅𝑖𝑗𝑘 𝑣𝑙 = 𝜕  𝑖𝑘 − 𝜕𝑢𝑗 𝜕  𝑖𝑗 𝜕𝑢𝑘 𝑚 𝑙 𝑚 𝑙 +  𝑖𝑘  𝑚𝑗 −  𝑖𝑗  𝑚𝑘 Trong hệ tọa độ Đề tất thành phần tensor Riemann không, kết cho không gian Euclide ba chiều Bài giải: Sử dụng định nghĩa đạo hàm hiệp biến, ta có: 𝑣𝑖;𝑗 = 𝑣𝑖,𝑗 −  𝑚 𝑖𝑗 𝑣𝑚 ẠI Đ Đạo hàm hiệp biến cấp hai là: H 𝑙 𝑙 C Ọ (𝑣𝑖;𝑗 );𝑘 = (𝑣𝑖;𝑗 ),𝑘 −  𝑖𝑘 𝑣𝑙;𝑗 −  𝑗𝑘 𝑣𝑖;𝑙 𝑚 𝑙 𝑚 𝑙 = (𝑣𝑖;𝑗 −  𝑖𝑗 𝑣𝑚 ) −  𝑖𝑘 (𝑣𝑙,𝑗 −  𝑙𝑗 𝑣𝑚 ) −  𝑗𝑘 (𝑣𝑖,𝑗 − SƯ ,𝑘 𝑚 PH  𝑖𝑗 𝑣𝑚 ) (1) Tương tự: ẠM 𝑙 𝑙 (𝑣𝑖;𝑘 );𝑗 = (𝑣𝑖;𝑘 ),𝑗 −  𝑖𝑗 𝑣𝑙;𝑘 −  𝑘𝑗 𝑣𝑖;𝑙 𝑚 𝑙 𝑚 𝑙 = (𝑣𝑖;𝑘 −  𝑖𝑘 𝑣𝑚 ),𝑗 −  𝑖𝑗 (𝑣𝑙,𝑘 −  𝑙𝑘 𝑣𝑚 ) −  𝑘𝑗 (𝑣𝑖,𝑙 − 𝑚  𝑖𝑙 𝑣𝑚 ) (2) Từ (1) (2), ta có: 𝑙 𝑙 𝜕  𝑖𝑘 𝑣𝑖;𝑗𝑘 − 𝑣𝑖;𝑘𝑗 = ( 𝜕𝑢𝑗 − 𝜕  𝑖𝑗 𝜕𝑢𝑘 𝑚 𝑙 𝑚 𝑙 𝑙 +  𝑖𝑘  𝑚𝑗 −  𝑖𝑗  𝑚𝑘 ) 𝑣𝑙 = 𝑅𝑖𝑗𝑘 𝑣𝑙 Vậy tensor cong Riemann là: 𝑙 𝑙 𝑙 𝑅𝑖𝑗𝑘 𝑣𝑙 = 𝜕  𝑖𝑘 𝜕𝑢𝑗 − 𝜕  𝑖𝑗 𝜕𝑢𝑘 𝑚 𝑙 𝑚 𝑙 +  𝑖𝑘  𝑚𝑗 −  𝑖𝑗  𝑚𝑘 30 Trong hệ tọa độ đề các, tensor metric 𝑔𝑖𝑗 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(1,1,1), thành phần kí hiệu Christoffel khơng nên tất thành phần tensor Riemann không Kết cho không gian Euclide ba chiều, khơng gian phẳng có tensor metric khơng đởi 2.2 Phương trình trắc địa: Trong không gian chiều, quỹ đạo chuyển động hạt xác định từ nguyên lí tối thiểu Trong không gian N chiều, quỹ đạo chuyển động hạt xác định theo phương pháp: sử dụng nguyên lí tác dụng tối thiểu phép dịch chuyển song song véctơ Phương trình mơ tả địa ẠI Đ tọa độ không gian N chiều phụ thuộc vào thời gian ta gọi đường trắc H Ọ Trong phần ta xây dựng phương trình trắc địa dựa vào phương C pháp dịch chuyển song song véctơ PH phương trình trăc địa: SƯ Như ví dụ việc sử dụng đạo hàm tuyệt đối – ta tìm hiểu Một trắc địa không gian chiều đường thẳng, có ẠM định nghĩa tương đương - Thứ đường cong ngắn điểm - Thứ hai đường cong mà véctơ tiếp tuyến luôn hướng Mặc dù chương ta xét đến khơng gian chiều Có nhiều phương pháp tốn học để phát triển khơng gian chiều (thứ nguyên) ý tưởng quen thuộc hình học Euclide khơng cịn giá trị, thường dùng để tìm đường cong, phương trình trắc địa khơng gian cách sử dụng tính chất phương trình đường thẳng khơng gian Euclide 31 Ta xét không gian phức tạp mà cịn xét phương trình trắc địa khơng gian chiều Euclide Xét đường cong r(s) chọn tiếp tuyến trắc địa ta thấy véctơ 𝑡= 𝑑𝑟 𝑑𝑠 ln ln hướng 𝑑𝑡 𝑑𝑠 =0 (2.1) Ngoài khai thác tính chất điểm phương trình trắc địa sử dụng cách tính tốn biến đổi ta thấy kết sau: Chúng ta giới thiệu hệ tọa độ tùy ý 𝑢𝑖 với vecto sở 𝑒𝑖 , 𝑖 = 1,2,3 𝑡 = 𝑡 𝑖 𝑒𝑖 từ (2.1) có: ẠI Đ viết 𝑑𝑡 = =0 Ọ H 𝑑𝑠 𝑘 𝑖 𝑑𝑢 𝑡, 𝑒 𝑑𝑡 𝑖 C Viết từ đạo hàm hiệp biến, ta được: SƯ 𝑘 𝑑𝑡 𝑖 𝑖 𝑗 𝑑𝑢 +  𝑗𝑘 𝑡 ( ) 𝑒𝑖 = 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑠 ta thấy thỏa mãn phương trình trắc địa: 𝑑 𝑢𝑖 𝑑𝑠2 ẠM Nhưng từ 𝑡 = 𝑑𝑢𝑗 PH 𝑗 𝑗 𝑘 𝑖 𝑑𝑢 𝑑𝑢  𝑗𝑘 𝑑𝑠 𝑑𝑠 + =0 (2.2) Ví dụ: Tìm phương trình trắc địa tọa độ trụ Ta có:  22 = −𝜌 2  21 =  12 = 𝜌 Ta phương trình trắc địa: 𝑑 𝑢1 𝑑𝑠2 𝑑 𝑢2 𝑑𝑠2 𝑑 𝑢3 𝑑𝑠2 + 2 𝑑𝑢 𝑑𝑢  22 𝑑𝑠 𝑑𝑠 +  112 =0 → =0→ 𝑑𝑢1 𝑑𝑢2 𝑑𝑠 𝑑2 𝑧 𝑑𝑠2 𝑑𝑠 =0 32 𝑑2 𝜌 =0→ 𝑑𝑠2 𝑑𝛷 −𝜌( 𝑑2 𝛷 𝑑𝑠2 + 𝑑𝑠 ) =0 𝑑𝜌 𝑑𝛷 𝜌 𝑑𝑠 𝑑𝑠 =0 Khảo sát đường cong không gian N chiều Gọi s s+ds giá trị ứng điểm gần P P’ C Nếu 𝑥 𝑖 tọa độ điểm P 𝑥 𝑖 hàm s Tức là: 𝑥 𝑖 = 𝑥 𝑖 (𝑠) Khảo sát véctơ đơn vị tiếp tuyến đường cong, véctơ tiếp tuyến xác định 𝑑𝑥 𝑖 (𝑠) 𝑑𝑠 Độ lớn véctơ tiếp tuyến: (𝑔𝑖𝑗 Giả sử 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑠 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑗 𝑑𝑠 𝑑𝑠 ) (2.3) véctơ tiếp tuyến đường cong P Giả sử đường cong C véctơ tiếp tuyến điểm song với Tức hướng Đ ẠI không gian điểm Trong không gian chiều, đường cong H thỏa mãn tính chất đường thẳng Trong không gian chiều N C Ọ chiều, đường cong gọi đường trắc địa SƯ Xét hai điểm P 𝑃′ hai điểm lân cận có tọa độ 𝑥 𝑖 𝑥 𝑖 + 𝑑𝑥 𝑖 đường trắc địa Nếu véc to tiếp tuyến P dịch chuyển song song tới điểm PH 𝑃′ véc tơ sau dịch chuyển lại trùng với véctơ tiếp tuyến điểm 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑠 𝑑𝑥 𝑖 + 𝛿 ( 𝑑𝑠 ) = ẠM Theo dịch chuyển song song, ta có: 𝑑𝑥 𝑖 − 𝑑𝑠 𝑖 𝑖 𝑑𝑥 𝑘 𝑑𝑥  𝑗𝑘 𝑑𝑠 (2.4) Mặc khác, khai triển véctơ tiếp tuyến 𝑃 ′ theo vec tơ tiếp tuyến P 𝑑𝑥 𝑖 ( 𝑑𝑠 ) 𝑠+𝑑𝑠 = 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑠 (2.5) =0 (2.6) 𝑑𝑠 𝑑𝑠 Từ phương trình (2.4) (2.5) ta có: 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑠 + 𝑗 𝑘 𝑖 𝑑𝑥 𝑑𝑥  𝑗𝑘 𝑑𝑠 𝑑𝑠 33 Phương trình cho điểm đường trắc địa nên ta gọi phương trình trắc địa Tham số s chưa có ý nghĩa vật lí Sau ta thấy tham số liên quan tới thời gian riêng (proper time) Bài 4: Trong không gian cho đường cong r(t) Chỉ độ dài hai điểm A & B đường cong tính theo cơng thức 𝐵 𝐿 = ∫𝐴 √𝑔𝑖𝑗 𝑑𝑢𝑖 𝑑𝑢𝑗 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Từ rằng, L cực tiểu thỏa mãn phương trình: 𝑑 𝑢𝑖 𝑑𝑡 + 𝑗 𝑘 𝑖 𝑑𝑢 𝑑𝑢 г𝑗𝑘 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = 𝑠̈ 𝑑𝑢𝑖 𝑠̇ 𝑑𝑡 Đ ẠI Với s độ dài đường cong L 𝑠̇ = 𝑑𝑠 𝑑𝑡 , 𝑠̈ = 𝑑2𝑠 𝑑𝑡 H Ọ Đồng thời liên hệ phương trình chuyển động có dạng đơn giản C 𝑡 = 𝑎𝑠 + 𝑏, a b số, có phương trình trắc địa 𝑑𝑠2 + 𝑗 𝑘 𝑖 𝑑𝑢 𝑑𝑢 г𝑗𝑘 𝑑𝑠 𝑑𝑠 SƯ 𝑑 𝑢𝑖 =0 PH Bài giải: ẠM Giữa hai điểm gần đường cong bất kỳ, khoảng cách xác định công thức: 𝑑𝑠 = 𝑔𝑖𝑗 𝑑𝑢𝑖 𝑑𝑢 𝑗 1 đó: 𝑑𝑠 = (𝑔𝑖𝑗 𝑑𝑢 𝑖 𝑑𝑢 𝑗 )2 = 𝑑𝑢𝑖 𝑑𝑢𝑗 (𝑔𝑖𝑗 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ) 𝑑𝑡 Khoảng cách hai điểm đường cong 𝐿 = ∫ 𝑑𝑠 = 𝐵 𝑑𝑢𝑖 𝑑𝑢𝑗 ∫𝐴 ( 𝑖𝑗 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ) 𝑑𝑡 𝑔 (1) Điều kiện để L xác định biểu thức (1) cực tiểu, xác định từ lý thuyết cực tiểu hàm đa biến 34 𝜕𝐹 𝜕𝑦 ′ Và 𝑑𝑦 = 𝑘 với k số 𝑦 ′ = 𝐹 = (1 + 𝑦 ′2 ) 1⁄ 2, 𝑑𝑡 𝑦 ′2 = − 𝑔𝑖𝑗 𝑑𝑢𝑖 𝑑𝑢𝑗 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Áp dụng điều kiện đó, ta được: 𝑑 𝑢𝑖 𝑑𝑡 𝑖 + г𝑗𝑘 𝑑𝑢𝑗 𝑑𝑢𝑘 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = 𝑠̈ 𝑑𝑢𝑖 (2) 𝑠̇ 𝑑𝑡 Với s độ dài đường cong L 𝑠̇ = 𝑑𝑠 𝑑𝑡 , 𝑠̈ = 𝑑2𝑠 𝑑𝑡 Khi t phụ thuộc vào s theo dạng đơn giản 𝑡 = 𝑎𝑠 + 𝑏, a b số, 𝑠̈ = có: 𝑑 𝑠 𝑑𝑡2 𝑑 𝑑𝑠 𝑑 = 𝑑𝑡 (𝑑𝑡) = 𝑑𝑡 (𝑎) 𝑑 𝑢𝑖 𝑖 + г𝑗𝑘 𝑑𝑢𝑗 𝑑𝑢𝑘 𝑑𝑠 𝑑𝑠 =0 Ọ H 𝑑𝑠2 ẠI Đ Do đó, thay 𝑑𝑡 = 𝑎𝑑𝑠 vào (2), có phương trình trắc địa Từ phương trình trắc địa, nghiên cứu nhiều tượng C SƯ vật lý khác như: tọa độ hốc định xứ, tọa độ Robinson-Walker, nghiệm Schwarzschild… nhiều ứng dụng khác vũ trụ học ẠM PH 35 KẾT LUẬN CHUNG Với đề tài: “Ứng dụng kí hiệu Christoffel vật lý” em hoàn thành việc nghiên cứu vấn đề sau: - Tìm hiểu sơ lược lí thuyết kí hiệu Christoffel - Vận dụng kí hiệu Christoffel để nghiên cứu giải tập Vật lý Do vây, đề tài bở sung thêm vào nguồn tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên q trình tìm hiểu kí hiệu Christoffel ứng dụng Vật lý ẠI Đ C Ọ H SƯ ẠM PH 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] K.F Riley, M.P Hobson and S.J Bence, Mathematical Methods for Physics and Engineering [2] Nguyễn Hữu Mình, Cơ học lí thuyết – Nhà xuất Đại học quốc gia1998 [3] Nguyễn Hữu Mình, Đỗ Khắc Hướng, Nguyễn Khắc Nhập, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường, Bài tập Vật Lý lý thuyết - Nhà xuất Đại học quốc gia-1998 [4] Đỗ Đình Thanh, Phương pháp tốn lí – Nhà xuất giáo dục [5] Hồng Ngọc Long, Đỗ Thị Hương, Bài giảng thuyết tương đối vũ ẠI Đ trụ học - (2012) C Ọ H SƯ ẠM PH 37