Hh9 cđ3 tu giac noi tiep 3

Dạng toán: Ứng dụng tứ giác nội tiếp A Kiến thức D B  O; R  Hệ thức 1: Cho đường trịn điểm A nằm ngồi đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB (B tiếp điểm) cát C O tuyến ACD, AEF với đường tròn Chứng minh rằng: F AB  AC AD  AE AF  AO  R E M Hệ thức 2: Cho đường tròn  O; R  điểm A nằm D E đường tròn  A O  Qua A Kẻ hai dây cung CD EF Ta có AC AD  AE AF R  OA2 A C F N Bài 1: Cho tam giác ABC (các góc B , C nhọn), đường cao BD , CE cắt A D H Chứng minh BH BD  CH CE BC E B C K Lời giải Gọi K giao điểm AH BC Vì H trực tâm tam giác  AK  BC  KHBC nội tiếp  BH BD BK BC Tương tự ta có CH KE CK CB Vậy BH BD  CH CE CK CB  BK BC BC Bài 2: Cho tam giác ABC với I , J tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường trịn bàng tiếp góc A Chứng minh AI AJ  AB AC A I B E D O J C Lời giải Ta có A, I , J thẳng hàng BI , BJ hai tia phân giác hai góc kề bù  IB  JB  JCI 900  BICJ Tương tự ta có tứ giác nội tiếp Lấy D thuộc tia AB cho AC  AD  Vì JBI 90  tâm O ngoại tiếp tứ giác BICJ trung điểm IJ  Vì AD  AC AO phân giác DAC  AO trung trực DC  OD OC  D, B, I , J nằm đường trịn Xét phương tích điểm A với (O)  AI AJ  AB AD  AP AC (đpcm) Bài 3: Cho nửa đường trịn tâm O , đường kính AB , M điểm đối xứng O qua A D Đường thẳng qua M cắt nửa đường tròn C (O) C D ( C nằm M D ) Gọi E giao điểm AD BC M A E N O BC AE 2 BE Chúng minh AD Lời giải Gọi N giao điểm đường tròn ngoại tiếp ACE AB Suy tứ giác ACEN tứ giác nội tiếp     ENA 1800  ACE 900  ENA  EDB 1800  ENDB nội tiếp Xét phương tích điểm A với đường trịn ngoại tiếp tứ giác ENDB  AE AD  AN AB  AE.AD 3 AN AB Tương tự ta có BE.BC BN BA Vậy ta cần chứng minh 3AN BN    Ta có BCD DAB  ADO         Vậy DCB  ADO  DCE  EDC  ADO  EDC  CEA CDO    Mà CEA DEB DMO Vậy OND ∽ ODM  gg   ON OD   OD OM 1  ON  OD  AN  BN (ddpcm) B Bài 4: Từ điểm M nằm đường tròn A  O; R  Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB ( A, B tiếp điểm) cát tuyến qua M cắt đường tròn C , D ( C nằm M D ) Gọi E giao điểm AB OM D C M O E Khi cung CAD nhỏ cung CBD Chứng   minh DEC 2 DBC B Lời giải Áp dụng hệ thức (*) ta có MB MC.MD Trong tam giác vng OBM có BE đường cao nên MB ME.MO  MC.MD ME.MO      MEC ∽ MDO  cgc   MEC MDO  CDOE nội tiếp  DOC DEC     Mà DOC 2 DBC (cùng chắn cung DC đường tròn (O)) nên DEC 2 DBC Bài 5: Cho đường trịn (O) đường kính AB Vẽ đường trịn tâm A cắt đường tròn (O) C C D Kẻ dây BN đường tròn (O) , cắt N đường tròn ( A) điểm E bên đường tròn (O) Chứng minh E A NE NC.ND F O D Lời giải Do C thuộc đường trịn đường kính AB nên AC  CB hay CB tiếp tuyến đường tròn ( A)    Xét đường trịn (O) , ta có NDC CBE (hai góc nội tiếp chắn cung CN )   Xét đường tròn ( A) , ta có CDE BCE (tính chất góc tạo tiếp tuyến dây cung)       Ta có: NDE NDC  CDE BEC BCE  CBE (góc ngồi tam giác)       Mà NDC CBE , CDE BCE  NDE NEC  1     Vì AB trung trực CD nên CB BD  CNE END   Từ (1)(2) suy NCE ∽ NED  NC NE   NE  NC ND NE ND Bài 6: Cho tứ giác ABCD Các đường thẳng AD, BC AB, CD cắt E E F Chứng minh điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn M B N EA.ED  FA.FB EF A C D F Lời giải Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE cắt EF M , đường tròn ngoại tiếp tam giác ADF cắt EF N Áp dụng hệ thức (*) với hai cát tueyén EAD , ENF hai cát tuyến FAB , FMN ta có: EA.ED EN EF  1 ; FA.FB FM EF  2 Từ (1)(2) ta có EA.ED  FA.FB EF  EN  FM   3      Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp, ta có ABC  ADF (cùng bù ADC ), mà ABC  AME    (cùng bù với ABE ) nên AME  ADF Suy tứ giác AMFD nội tiếp, chứng tỏ M  N Từ (3) suy EA.ED  FA.FB EF   Ngược lại,giả sử có (4) , kết hợp với (3) , suy EF EN  FM Chứng tỏ M  N       Từ AME  ABC ; AME  ADF  ADF  ABC   Nên ADC  ABC 180  ABCD nội tiếp đường tròn Bài 7: Cho tam giác ABC với hai đường N  phân giác BAC AD AE Chứng minh rằng: AB AC DB.DC  AD EB.EC  AE A B D C E M Lời giải Giả sử O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tia AD cắt đường tròn M (điểm cung BC ) Tia đối tia AE cắt đường tròn N  Dễ thấy MAN 90 Nên MN đường kính đường tròn (O) Suy MN  BC     Xét hai tam giác AMB ADC có A1  A2  gt  , AMB  ACD (góc nội tiếp chắn cung AB) , suy AMB ∽ ACD  gg  AB AM   AB AC  AM AD Nên AD AC hay AB AC  AD  DM  AD  AD  DM AD Áp dụng hệ thức (**) với hai dây cung AM BC ta có DM AD DB.DC Do AB AC DB.DC  AD  1     Hai tam giác ANB ACE có A3  A4 (cùng phụ với hai góc A1  A2 ) ABN  AEC  AMN  ANB ∽ ACE  gg   AB  AN AE AC  AB AC  AN AE  EN  EA  AE  AB AC EN AE  AE   Áp dụng hệ thức (*) với hai cát tuyến EAN ECB ta có EN AE EB.EC Do AB AC EB.EC  AE   Kết hợp (1) (2) ta có đpcm Dạng tốn: Định lí Ptơlemê ứng dụng A Kiến thức: Định lí Ptơlêmê phát biểu thành định lí thuận đảo Tứ giác ABCD nội tiếp  AB.CD  BC AD  AC.BD Chứng minh: Phân tích: M  AC  AB.CD  BC AD  AM BD  MC BD AB AM   ABM ∽ DBC Lấy M cho BD DC BC MC   BCM ∽ BDA  gg  BD AD Chứng minh:     + Chiều thuận: Lấy điểm M thuộc đoạn AC cho ABD MBC  ABM DBC  ABM ∽ DBC  gg   AB AM   AB.DC  AM BD BD DC Ta chứng minh BC AD MC.BD Thật BCM ∽ BDA  gg   BC MC  BD AD      + Chiều đảo: Lấy M cho ABD MBC MAB BDC (M nằm góc ABC )  ABM ∽ DBC  1  AB AM   AB.DC  AM DB   DB DC Từ giả thiết ta chứng minh BC AD MC.BD Thật từ  1  BA BM    BD BC ABD MBC  ABD ∽ MBC  cgc   AD BD   AD.BC MC BD  3 MC BC Từ (2)(3)  AB.DC  AD.BC  AM BD  MC BD  AM  MC  BD  AC.BD   Dấu “=” xảy  M  AC  CAB CDB  ABCD nội tiếp Bài 1: Cho tam giấc ABC có cạnh a Trên AC lấy điểm Q di động, tia đối tia CB lấy điểm P di động cho AQ.BP a Gọi M giao điểm BQ AP Chứng minh AM  MC BM Lời giải Bài 2: Định lí Carnot Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn  O; R  ngoại tiếp đường tròn  I ; r  Gọi x, y, z khoảng cách từ O tới cạnh tam giác Chứng minh x  y  z R  r Lời giải Bài 3: Cho đường tròn (O) AB dây cung khác đường kính đường trịn Tìm điểm C thuộc cung lớn AB cho CA  CB lớn Lời giải Bài 4: BC  CA  AB Tam giác ABC vng có Gọi D điểm cạnh BC, E điểm cạnh AB kéo dài phía A cho BD BE CA Gọi P điểm cạnh AC cho E , B, D, P nằm đường tròn Q giao điểm thứ hai BP với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh AQ  CQ BP Lời giải Bài 5: Lời giải Bài 6: Lời giải Bài 7: Lời giải