Chuyên đề 11 CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VNG A Kiến thức cần nhớ Ngồi trường hợp biết hai tam giác vuông, cịn có trường hợp theo cạnh huyền – cạnh góc vng Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng thỡ hai tam giỏc ú bng àÂ= 90ỹ =A ïï A ï BC = B ¢C ¢ ïý Þ D ABC = D A¢B ¢C¢ (cạnh huyền – cnh gúc vuụng) ù AC = AÂC  ùùù ùỵ B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác cân A Đường thẳng vng góc với AB B cắt đường thẳng vng góc với AC C D Chứng minh AD tia phân giác góc BAC Giải * Tìm cách giải Để chứng minh AD tia phân giác góc BAC, cần chứng minh · · Do hiển nhiên cần chứng minh D BAD = D CAD BAD = CAD * Trình bày lời giải · · = ACD Xét D BAD D CAD có: ABD ( = 90°) ; AD cạnh chung; AB = AC ( D ABC cân A) Do D BAD = D CAD (cạnh huyền - cạnh góc vng) · · (cặp góc tương ứng) Þ BAD = CAD Vậy AD tia phân giác góc BAC * Nhận xét Chúng ta cịn có DA tia phân giác góc BDC, tam giác DBC cân D AD vng góc với BC Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vng A, vẽ AH vng góc với BC Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE = BA Kẻ EK ^ AC ( K Ỵ AC) Chứng minh AK = AH Giải * Tìm cách giải Để chứng minh AK = AH , cần ghép chúng vào hai tam giác chứng minh hai tam giác Do cần chứng minh D AEH = D AEK * Trình bày lời giải · · , EK / / AB (vì D ABE cân B nên BAE = BEA · · vng góc với AC) Þ EAB (so le = AEK · · trong) Þ AEH = AEK Þ D AEH = D AEK (cạnh huyền - góc nhọn), suy AK = AH Ví dụ Cho tam giác ABC (AB < AC), M trung điểm BC Đường trung trực BC cắt tia phân giác góc BAC điểm P Vẽ PH PK vng góc với đường thẳng AB đường thẳng AC a) Chứng minh PB = PC BH = CK b) Chứng minh ba điểm H, M, K thẳng hàng c) Gọi O giao điểm PA HK Chứng minh OA2 + OP2 + OH + OK = PA Giải · · = PMC a) D PMB D PMC có PMB ( = 90°) , MB = MC , MP cạnh chung Þ D PMB = D PMC ( c.g.c) Þ PB = PC (hai cạnh tương ứng) · · · · = PKA = PAK b) D PHA D PKA có PHA , AP cạnh chung ( = 90°) , PAH Þ D PHA = D PKA (cạnh huyền - góc nhọn) Þ PH = PK (hai cạnh tương ứng) · · D PHB D PKC có PHB = PKC = 90°, PB = PC, PH = PK Þ D PHB = D PKC (cạnh huyền - cạnh góc vng) Þ BH = CK (hai cạnh tương ứng) · · = AKH b) Kẻ BE / / AC ( E ẻ HK ) ị BEH (hai góc đồng vị) (1) Mà D PHA = D PKA (chứng minh trên) Þ AH = AK (hai cạnh tương ứng) · Þ D AHK cân A Þ ·AHK = AKH (tính chất tam giác cân) (2) · · · · Từ (1) (2) Þ BEH hay BEH = AHK = BHE Þ D BEH cân B Þ BH = BE Mà BH = CK (chứng minh trên) Þ BE = CK · · D BEM D CKM có MB = MC, EBM = KCM , BE = CK Þ D BEM = D CKM (c.g.c) · · (hai góc tương ứng) Þ BME = CMK · · Mà BME + EMC = 180°(hai góc kề bù) · · · Þ CMK + EMC = 180°Þ EMK = 180°Þ E, M, K thẳng hàng M E ẻ HK ị H, M, K thng hng · · c) D AOH D AOK có AH = AK , OAH = OAK , AO cạnh chung · Þ D AOH = D AOK , suy ·AOH = AOK , mà hai góc kề bù nên ·AOH = AOK · = 90°Þ PA ^ HK O Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông O OAH, OAK, OPH, OPK ta có: OA2 + OH = AH ;OA2 + OK = AK OP + OH = PH ; OP + OK = PK Þ ( OA2 + OP2 + OH +OK ) = ( AH + PH ) (vì AH = AK PH = PK ) Þ OA2 + OP2 + OH + OK = AH + PH Mà tam giác PAH vng H Þ AH + PH = PA (định lý Py-ta-go) Þ OA2 + OP + OH + OK = PA C Bài tập vận dụng 11.1 Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lấy D, E (D nằm B E) cho BD = CE Vẽ DM ^ AB M, EN ^ AC N Gọi K giao điểm MD NE Chứng minh rằng: a) D MBD = D NCE; b) D MAK = D NAK 11.2 Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Kẻ BH ^ AD H, kẻ CK ^ AE K Chứng minh rằng: a) D BHD = D CKE; b) D AHB = D AKC; c) BC / / HK 11.3 Cho tam giác ABC có M trung điểm BC, AM tia phân giác góc A Kẻ MH vng góc với AB; MK vng góc với AC Chứng minh rằng: a) MH = MK ; b) D ABC cân µ = 30°, đường cao AH Trên đoạn HC lấy điểm D cho 11.4 Cho tam giác ABC vng A có C HD = HB Từ C kẻ CE ^ AD Chứng minh rằng: a) Tam giác ABD tam giác b) EH song song với AC 11.5 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh BC lấy điểm D cho BD = BA Qua D vẽ đường thẳng vng góc với BC cắt AC E a) Chứng minh rằng: AE = DE · b) Đường phân giác góc ngồi C cắt đường thẳng BE K Tính BAK · 11.6 Cho tam giác ABC có AB = AC; BAC = 90° M trung điểm BC Trên tia đối tia CB lấy điểm D Kẻ BK vng góc với đường thẳng AD K Chứng minh KM tia phân giác · BKD 11.7 Cho tam giác DEF vuông D DF > DE Kẻ DH vng góc với EF (H thuộc cạnh EF) Gọi M · µ- F µ trung điểm EF Chứng minh MDH =E 11.8 Cho tam giác ABC vuông cân đáy BC Gọi M, N trung điểm AB, AC Kẻ NH ^ CM H, kẻ HE ^ AB E Chứng minh rằng: a) Tam giác ABH cân b) HM tia phân giác góc BHE HƯỚNG DẪN GIẢI 11.1 · · = CNE a) Xét D MBD D NCE có: BMD ( = 90°) ; µ =C µ ; BD = CE Do D MBD = D NCE B (cạnh huyền – góc nhọn) Þ MB = NC b) D MBD = D NCE (chứng minh trên) Þ MB = NC AM + MB = AN + NC nên AM = AN · · = ANK Xét D MAK D NAK có: AMK ( = 90°) ; AK cạnh chung; AM = AN Do D MAK = D NAK (cạnh huyền – cạnh góc vng) 11.2 · · · · a) Ta có ABD + ABC = 180°; ACE + ACB = 180° mà · · · · ABC = ACB Þ ACE = ABD · · D ABD D ACE có AB = AC; ABD = ACE ; BD = CE · · Þ D ABD = D ACE (c.g.c) Þ ADB = AEC · · · · = CKE = KEC ; D BHD D CKE có BHD ( = 90°) ; HDB BD = CE Þ D BHD = D CKE (cạnh huyền – góc nhọn) · · = AKC b) Ta có D AHB D AKC có AHB ( = 90°) ; AB = AC; BH = CK ( D BHD = D CKE ) Þ D AHB = D AKC (cạnh huyền – cạnh góc vng) c) D AHB = D AKC Þ AH = AK · 180°- HAK Þ D AHK cân A Þ ·AHK = · 180°- DAE · D ADE cân A Þ ADE = · Þ ·AHK = ADE Þ HK / / DE Vậy BC // HK 11.3 · a) D AHM D AKM có: ·AHM = AKM = 90° ; · · AM chung; HAM = KAM Þ D AHM = D AKM (cạnh huyền góc nhọn) Þ MH = MK · · = CKM b) D BHM D CKM có BHM ( = 90°) ; BM = MC; MH = MK Þ D BHM = D CKM (cạnh huyền, cạnh góc vuụng) =C ị D ABC cõn ti A Þ B 11.4 a) D AHB = D AHD (c.g.c), suy AB = AD µ = 30° nên B µ = 60° D ABC vng A, có C µ = 60° nên D ABD tam giác Tam giác ABD cân, có B · · · b) EAC = BAC - BAE = 90°- 60°= 30° · · Þ EAC = ACB Þ D AHC = D CEA (cạnh huyền – góc nhọn) Suy CH = AE · · D ADC cân DAC nên DA = DC = DCA Suy AE - AD = CH - CD hay DE = DH Do D DEH cân D, hai tam giác cân DAC DEH · · · · có góc đỉnh ADC = EHD Þ EAC = AEH Þ EH / / AC 11.5 a) D ABE D DBE có: µ =D µ = 90° (Vì AE ^ AB, AD ^ BC ) AB = AD (giả thiết), BE: cạnh chung A Vậy D ABE = D DBE (cạnh huyền – cạnh góc vng) Þ AE = DE · · b) Từ câu a) suy ABE , BK phân giác góc ABC = DBE Vẽ KN ^ BA, KH ^ AC, KM ^ BC ả =C (gi thit); CK cạnh chung Tam giác vuông KMC tam giác vuông KHC có: C Do D KMC = D KHC (cạnh huyền – góc nhọn), suy KM = KH (1) Ta lại có D KMB = D KNB (cạnh huyền – góc nhọn) nên KM = KN (2) Từ (1) (2) suy KH = KN Tam giác vng AKH tam giác vng AKN có: KH = KN ; AK cạnh chung Do D AKH = D AKN (cạnh huyền – cạnh góc vng) ả = 45ị BAK à ị A1 = A = 135° 11.6 Kẻ MH ^ BK , MI ^ KD D ABC vng cân A có MB = MC nên dễ dàng suy D AMB = D AMC (c.c.c), từ suy · · AM ^ BC, BMA = CAM · Þ AM = MB; MAC = 45° ( ) · · · · · = CAD = 90°- BAK Þ KBC = MAI Ta có: KBA · · D BMH D AMI có AIM = BHM = 90°; BM = AM · · MBH = MAI Þ D BMH = D AMI (cạnh huyền – góc nhọn) Þ MH = MI · · D MHK D MIK có MHK = MIK = 90° , MK chung; MH = MI · · Þ D MHK = D MIK (cạnh huyền – cạnh góc vng) Þ HKM = IKM · Vậy KM tia phân giác BKD 11.7 Áp dụng ví dụ 10 chun đề 8, ta có: ME = MD · µ Þ D MDE cân M Þ MDE =E · µ (cùng phụ với góc HDF) Mặt khác, ta có: HDE =F · · · µ- F µ Ta có: MDH = MDE - HDE =E 11.8 a) Từ A kẻ AK ^ MC K AQ ^ HN Q Hai tam giác vng MAK NCH có ổ à MA = NC ỗ = ABữ ữ ỗ ữ, A1 = C1 (cựng ph vi gúc AMC) ỗ ố ứ ị D MAK = D NCH ị AK = HC (1) =C , AB = CA D BAK D ACH có AK = CH, A 1 · · Þ D BAK = D ACH ( c.g.c) Þ BKA = AHC D AQN D CHN có AN = NC, · · ANQ = CNH Þ D ANQ =D CNH ( ch - gn) Þ AQ = CH (2) Từ (1) (2), suy ra: AK = AQ · · D AKH D AQH có AKH = AQH = 90°, AK = AQ, AH chung · · Þ D AKH = D AQH ( ch - cgv) KHA = QHA Þ HA tia phân giác góc KHQ · · · Þ AHQ = 45°Þ AHC = 135°Þ BKA = 135° · · · · Từ BKA + BKH + AKH = 360°Þ BKH = 135° · Tam giác AKH có KHA = 45° nên vng cân K suy KA = KH Þ D BKA = D BKH ( c.g.c) Þ BA = BH hay D ABH cõn ti B =H ả b) D chng minh D AKB D HKB ( c.c.c) Þ A 1 ả =C (gúc ng v) vỡ A =C ị H ả =H ả Mà HE / / CA Þ H 1 1 Hay HM tia phân giác góc BHE