Mục lục danh mục bảng viii Các từ viết tắt ix Những kí hiệu luận án xi mở đầu 1 tổng quan phơng pháp song song 1.1 Các phơng pháp RKN 1.1.1 Cấp xác phơng pháp RKN 1.1.2 Tính ổn định phơng pháp RKN 1.2 Các phơng pháp IRKN dạng trùng khớp 1.2.1 Các phơng pháp IRKN dạng trùng khớp gián tiếp 1.2.2 Các phơng pháp IRKN dạng trùng khớp trùc tiÕp 1.2.3 Xác định hệ số phơng pháp RKN 1.3 Các phơng pháp PIRKN 1.3.1 Cấp xác phơng pháp PIRKN 1.3.2 Sự hội tụ phơng pháp PIRKN 1.3.3 Tính ổn định phơng pháp PIRKN 1.3.4 So s¸nh sai sè cđa cđa c¸c phơng pháp PIRKN 1.4 Các phơng pháp IPIRKN 1.4.1 Cấp xác phơng pháp IPIRKN 1.4.2 Xác định hệ số phơng pháp dự báo 1.4.3 Tính ổn định phơng pháp IPIRKN 1.4.4 Sai số phơng pháp PIRKN v z 5 8 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1.5 1.4.5 So sánh phơng pháp PIRKN IPIRKN 1.4.6 Các phơng pháp TRKN 1.4.7 Chọn hệ số phơng pháp 1.4.8 Các phơng pháp PITRKN KÕt luËn Ph−¬ng pháp dự báo-hiệu chỉnh dạng PIRKN với công thức dự b¸o kiĨu adams 2.1 Giíi thiƯu 2.2 Điều kiện cấp xác 2.3 Xác định hệ số phơng pháp PIRKNA 2.4 2.5 2.6 TÝnh chÊt æn định phơng pháp PIRKNA Thử nghiệm tính toán 2.5.1 Các toán thử 2.5.2 So s¸nh víi phơng pháp song song 2.5.3 Bài toán kh«ng dõng tuyÕn tÝnh 2.5.4 Bài toán Fehlberg phi tuyến KÕt luËn 21 22 25 27 31 32 32 34 36 37 39 39 41 41 42 42 phơng pháp lặp song song gi¶ RKN hai b−íc 44 3.1 Giíi thiƯu 44 3.2 Phơng pháp hiệu chØnh PTRKN 45 3.2.1 Điều kiện cấp xác 47 3.2.2 Zero-ổn định 52 3.3 Phơng pháp IPIPTRKN 53 3.3.1 §iỊu kiƯn cÊp chÝnh xác công thức dự báo 54 3.3.2 Tốc độ hội tụ phơng pháp IPIPTRKN 56 3.3.3 Miền ổn định 57 3.4 Thư nghiƯm tÝnh to¸n 59 3.4.1 So s¸nh víi c¸c phơng pháp song song 62 3.4.2 So sánh với phơng pháp 64 3.5 KÕt luËn 65 Phơng pháp dự báo hiệu chỉnh dạng RKN vi z lặp song song liên tục 4.1 Giíi thiƯu 4.2 Phơng pháp RKN liên tục (phơng pháp CRKN) 4.3 Phơng pháp CPIRKN 4.3.1 Tèc ®é héi tô 4.3.2 Miền ổn định 4.4 Thư nghiƯm sè 4.4.1 So sánh với phơng pháp song song 4.4.2 So sánh với phơng pháp 4.5 KÕt luËn 67 67 68 74 76 77 79 80 82 82 Kết luận 84 công trình đà công bố liên quan đến luận án 86 Tài liệu tham khảo 87 vii z Danh sách bảng 2.1 Biên ổn định (m) phơng pháp PIRKNA 2.2 Giá trị NCD/Nseq toán (testprob1) tính phơng pháp PIRKNA, PIRKN IPIRKN 2.3 Giá trị NCD/Nseq toán (testprob2) tính phơng pháp PIRKN, IPIRKN trực tiÕp vµ PIRKNA 39 3.1 Nh©n tư héi tơ cđa mét số phơng pháp song song PC cấp p 3.2 Biên ổn định (m) phơng pháp song song PC cấp p 3.3 NCD/Nseq toán (testprob1) tính phơng pháp IPIPTRKN phơng pháp PIRKN 3.4 NCD/Nseq toán (testprob2) tính phơng pháp IPIPTRKN phơng pháp PIRKN 3.5 NCD/Nseq cña toán (testprob3) tính phơng pháp IPIPTRKN phơng pháp PIRKN 3.6 So sánh phơng pháp IPIPTRKN6 với code giải toán (testprob2) 60 61 4.1 Giá trị NCDp |NCDp cho toán (testprob2) với phơng pháp RKN liên tục khác 4.2 Biên ổn định stab (m) cho phơng pháp CPIRKN khác 4.3 Giá trị NCD/Nseq cho toán (testprob1) với p khác 4.4 Giá trị NCD/Nseq cho toán (testprob2) nhận đợc với p khác 4.5 Giá trị NCD/Nseq cho toán (testprob3) với p khác 4.6 So sánh phơng pháp CPIRKN56 với code DOPRIN ODEX2 giải toán (testprob2) viii z 43 43 63 64 64 65 74 79 81 81 82 83 Các từ viết tắt CPIRKN Continuous parallel-iterated RKN ERKN Explicit Runge-Kutta-Nystro m NCD Number of Correct Decimal Digits LỈp song song liên tục Runge-Kutta-Nystrom Runge-Kutta-Nystrom hiển Giá trị trung bình số chữ số thập phân IPIRKN Improved Parallel Iterated Runge-Kutta-Nystro m IPIPTRKN Improved Parallel-Iterated Pseudo Two-step IRK Implicit Runge-Kutta Lặp song song cải tiến Runge-Kutta-Nystrom Lặp song song c¶i tiÕn gi¶ Runge-Kutta-Nystrom hai b−íc Rungge-Kutta Èn IRKN Implicit Runge-Kutta-Nystro m PC Predictor-Corrector Runge-Kutta-Nystrom Èn Dù b¸o-HiƯu chØnh PIPTRKN Parallel-Iterated Pseudo Two-step Runge-Kutta-Nystro m PIRKNA Parallel Iterated Runge-Kutta-Nystro m with Adams-type predictors PIRKN Parallel Iterated Runge-Kutta-Nystro m PISRKN Parallel-Iterated Symetric Runge-Kutta-Nystro m Lặp song song giả Runge-Kutta-Nystrom hai bớc Lặp song song Runge-Kutta-Nystrom với dự báo kiểu Adams Lặp song Runge-Kutta-Nystrom Lặp song song đối xứng Runge-Kutta-Nystrom ix z PITRKN Parallel Iterated Two step Runge-Kutta-Nystro m PTRKN Pseudo Two-step Runge-Kutta-Nystro m RK Runge-Kutta LỈp song song hai b−íc Runge-Kutta-Nystrom Gi¶ Runge-Kutta-Nystrom hai b−íc Runge-Kutta RKN Runge-Kutta-Nystro m SRKN Symmetric Runge-Kutta-Nystro m TRKN Two Step Runge-Kutta-Nystro m Runge-Kutta-Nystrom Runge-Kutta-Nystrom ®èi xøng Runge-Kutta-Nystrom hai b−íc x z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Nh÷ng kí hiệu luận án Ngoài kí hiệu thông thờng giải tích đại số, luận án dùng số kí hiệu sau: TÝch trùc tiÕp cđa hai ma trËn Gi¶ sư A ma trận p ì q chiều, B ma trận a11 B a12 B a1q B A ⊗ B = [aij B] = a.21 .B a.22 .B a.2q B ap1 B ap2 B apq B L thõa cđa mét vÐc t¬ Gi¶ sư c = (c1 , c2 , , cs )T , ®ã ck = (ck1 , ck2 , , cks )T d To¸n tư exp( dx ) d d d2 dn exp( ) = + + + + dx dx 2!dx2 n!dxn Khi ®ã khai triĨn Taylor hàm y(t) lân cận điểm t0 là: ∞ dn y(t0 ) d y(t0 + h) = exp(h )y(t0 ) = hn n dt n! dx n=0 KÝ hiƯu vÐc t¬ e VÐc t¬ e hiểu có tất thành phần Giả sử f (x, y) hàm thực cđa hai biÕn thùc x vµ y , nÕu thay x y tơng ứng hai véc tơ v = (v1 , v2 , , vs )T vµ w = (w1 , w2 , , ws )T , ta đợc véc tơ hàm với s thành phần: f (v, w) = [f (v1 , w1 ), f (v2 , w2 ), , f (vs , ws )]T NÕu x ∈ R, cßn y thay bëi w = (w1 , w2 , , ws )T ta cã f (x, w) = [f (x, w1 ), f (x, w2 ), , f (x, ws )]T xi 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Mở đầu Hầu hết tợng tự nhiên kĩ thuật đợc mô tả hệ phơng trình vi phân Các hệ phơng trình vi phân thuộc loại thờng không cho nghiệm dới dạng giải tích Vì vậy, vấn đề giải gần hệ phơng trình vi phân đà đợc quan tâm từ lâu Một hớng giải gần giải số Nhng khoa học công nghệ ngày phát triển, dẫn đến kích thớc toán ngày lớn, yêu cầu ngày cao độ xác, lại phải cho kết thời gian thực (real time problems) chẳng hạn nh toán dự báo thời tiết hay toán điều khiển chuyến bay Cần thực khối lợng tính toán khổng lồ, với độ xác cao khoảng thời gian hạn chế Các máy tính hệ cũ đáp ứng đợc yêu cầu Trớc nhu cầu xúc đó, chủng loại máy tính đà đời, máy tính có tốc ®é cao víi nhiỊu bé xư lÝ ®ång thêi lµm việc siêu máy tính ( gọi máy tính song song, máy tính véc tơ ) Sự đời siêu máy tính mở đờng cho hớng phát triển giải tích số nói chung giải số hệ phơng trình vi phân nói riêng Vì phơng pháp số trớc đợc xây dựng nghiên cứu nhằm khai thác loại máy tính truyền thống, có xử lý, phơng pháp đợc gọi phơng pháp Nếu sử dụng phơng pháp không khai thác cách có hiệu siêu máy tính Việc xây dựng nghiên cứu phơng pháp nhằm khai thác tốt siêu máy tính đà trở thành nhu cầu cấp thiết toán học tính toán nói 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 chung giải số hệ phơng trình vi phân nói riêng Cho đến nay, việc xây dựng thuật toán để giải số toán giá trị đầu máy tính song song đà trở thành hớng nghiên cứu quan trọng Có ba cách tiếp cận chính, là: Song song hoá toán Song song hoá bớc lấy tích phân Song song hoá thuật toán Trong ba cách tiếp cận trên, cách tiếp cận thứ ba đợc quan tâm thuật toán đợc xây dựng độc lập với toán Luận án không quan tâm chung Luận án: Một số phơng pháp song song dạng Runge-Kutta-Nystrom giải toán không cơng nghiên cứu phát triển số phơng pháp song song để giải toán Cauchy cho lớp hệ phơng trình vi phân cấp có dạng sau đây: y (t) = f (t, y(t)), y(t0 ) = y0 , y (t0 ) = y0 , t0 t T, y, f ∈ RN (1) đây, nh toàn luận án, hàm vế phải f (t, y(t)) giả thiết liên tục theo biến t Lipschitz theo biến y, nữa, nghiệm toán (1) đợc giả thiết đủ trơn Đây lớp phơng trình quan trọng Vật lí, Cơ học, Thiên văn học mô tả mối quan hệ theo định luật Newton thứ hai Một biện pháp truyền thống để giải toán (1) chuyển đổi hệ phơng trình vi phân cấp với số chiều gấp đôi, sau áp dụng phơng pháp hệ phơng trình vi phân cấp Một lớp phơng pháp truyền thống phổ biến giải hệ phơng trình vi phân cấp phơng pháp Runge-Kutta (RK) có lợc đồ nh sau (xem [6]): Un = e ⊗ un + h(A ⊗ IN )F(tn e + hc, Un ), un+1 = un + h(bT ⊗ IN )F(tn e + hc, Un ) (2) víi A, c, b lµ ma trËn vµ véc tơ tạo thành tham số phơng pháp Phơng pháp RK (1.1) thờng đợc biểu diễn ngắn gọn dới dạng bảng Butcher nh sau: 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 A bT c Cách giải nh gọi cách giải gián tiếp Một cách giải khác không đa hệ phơng trình cấp hệ phơng trình cấp 1, mà giải trực tiếp (còn gọi phơng pháp trực tiếp) Nhiều nhà toán học đà quan tâm xây dựng đợc nhiều phơng pháp số hữu hiệu để giải trực tiếp toán (1) nhờ khả khai thác dạng đặc biệt hàm vế phải không phụ thuộc đạo hàm cấp y Một lớp phơng pháp thành công phơng pháp Runge-Kutta-Nystrom (RKN) Phơng pháp RKN đợc Nystrom đề xuất vào năm 1925 Về sau số nhà toán học khác nh Hairer, Fehlberg, Graf tiếp tục hớng nghiên cứu Nystrom đà xây dựng đợc phơng pháp RKN hiển (explicit RKN - ERKN) với cấp xác cao (xem[24, 25, 26, 27, 28]) Tuy đà đợc nghiên cứu phát triển sớm nhng phơng pháp song song dạng RK đà đợc xây dựng dừng mức áp dụng cho hệ phơng trình vi phân cấp Việc giải toán hệ phơng trình vi phân cấp cao nói chung cấp nói riêng phải giải gián tiếp thông qua việc chuyển đổi hệ phơng trình vi phân cấp Chỉ tới năm 1993 phơng pháp song song giải trực tiếp hệ phơng trình vi phân cấp dạng (1) đợc N.H Cong, P.J van der Houwen, B.P Sommeijer bắt đầu nghiên cứu xây dựng sở phơng pháp RKN ẩn (Implicit RKN - IRKN) gọi phơng pháp song song dạng RKN Luận án gồm phần mở đầu chơng nội dung Chơng 1, trình bày số nét phơng pháp RKN thống kê lại số lớp phơng pháp song song dạng RKN điển hình đà đợc xây dựng Chơng 2, nghiên cứu lớp phơng pháp song song với công thức dự báo hai bớc kiểu Adams (PIRKNA) Kết chơng công bố [3] 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 ||y(tn ew + hcw ) − y(tn )ew − y (tn )hcw − h2 Bwv y (tn ev + hcv ) − h2 Bww y (tn−1 ew + hcw )|| ∞ j j−2 j−2 (j) = || cw − j(j − 1)Bwv cv − j(j − 1)Bww (cw − ew ) y (tn )hj || j! j=2 = O(hs+2 ) (3.17) Chóng ta nhËn ®−ỵc ®iỊu kiƯn bËc ||cjw − j(j − 1)Bwv cj−2 − j(j − 1)Bww (cw − ew )j−2 || = 0, v j = 2, , s + (3.18a) Hay là, dới dạng tơng đơng jBwv cj−1 + jBww (cw − ew )j−1 = v j+1 c , j+1 w j = 1, , s (3.18b) Ma trËn (Bwv , Bww ) đợc xác định từ điều kiện (3.18) Ma trận Pw đợc xác định (3.10) Các điều kiện (3.18a), (3.18b) cã thĨ viÕt l¹i d−íi d¹ng (Bwv , Bww )(c − e)j−1 = cj+1 , j(j + 1) w j = 1, , s (3.18c) Đặt: 2c1 3c21 2c2 3c22 2cv 3c2v Q1 = 2(cv+1 − 1) 3(cv+1 − 1)2 2(c − 1) 3(c − 1)2 v+2 v+2 2(cs − 1) 3(cs − 1)2 scs−1 scs−1 s−1 scv s−1 s(cv+1 − 1) s(cv+2 − 1)s−1 s−1 s(cs 1) Giả thiết điều kiện sau đợc thoả mÃn: ci = cj với i, j = 1, s, ci = cj − víi i = v; j = v + s (3.19a) Khi điều kiện (3.19a) thoả mÃn, ma trận Q1 không suy biến, ma trận (Bwv , Bww ) đợc xác định tờng minh từ (3.18c) ta cã biĨu diƠn 55 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 ma trËn (Bwv , Bww ) mét c¸ch t−êng minh sau ®©y: (Bwv , Bww ) = Pw Q−1 (3.19b) NÕu (3.19) tho¶ m·n ta cã: ||Wn − Wn(0) || = ||[Wn − y(tn ew + hcw )]|| + ||[y(tn ew + hcw ) − Wn(0) ]|| = O(hs+2 ) (3.20) Với giả thiết hàm f liên tục Lipschitz bớc lặp (3.15) làm tăng cấp sai số lặp lên 2, sử dụng (3.20) có hệ thức sau cấp sai số lặp: ||Wn − Wn(m) || = O(h2m+s+2 ), ||yn+1 − zn+1 || = h2 ||bTw [f (Wn ) − f (Wn(m) )]|| = O(h2m+s+4 ), ||yn+1 − zn+1 || = h||dTw [f (Wn ) − f (Wn(m) )]|| = O(h2m+s+3 ), ||y(tn+1 ) − zn+1 || = ||[y(tn+1 ) − yn+1 ] + [yn+1 − zn+1 ]|| ∗ = O(hp +1 ) + O(h2m+s+4 ), || = ||[y (tn+1 ) − yn+1 ] + [yn+1 − zn+1 ]|| ||y (tn+1 ) − zn+1 ∗ = O(hp +1 ) + O(h2m+s+3 ), ®ã p cấp xác phơng pháp hiệu chỉnh PTRKN (3.1) Ta thu đợc Định lí sau: Định lí 3.3.1 Nếu phơng pháp PTRKN (3.1) có cấp xác điểm lới p , điều kiện (3.19) thoả mÃn, phơng pháp IPIPTRKN (3.15) có cấp xác điểm lới p = min(p , 2m + s + 2), víi mäi vÐc t¬ trïng khíp c có toạ độ phân biệt cặp số nguyên dơng v, w thoả điều kiện v + w = s 3.3.2 Tèc ®é héi tơ cđa phơng pháp IPIPTRKN Tốc độ hội tụ phơng pháp IPIPTRKN (3.15) đợc xác định giống nh phơng pháp PITRKN, áp dụng vào phơng trình thử y (t) = y(t), chạy tập giá trị riêng ma trận Jacobi 56 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 f /y Sau áp dụng (3.15) vào phơng trình thử, nhận đợc phơng trình sai số lỈp nh− sau: Wn(j) − Wn = zAww Wn(j−1) − Wn , z := h2 λ, j = 1, , m (3.21) Nh− vËy tèc ®é hội tụ phơng pháp đợc xác định bán kÝnh phỉ ρ(zAww ) cđa ma trËn sai sè lỈp zAww Để phơng pháp hội tụ (zAww ) < 1, nh− vËy |z| < ρ(Aww ) hay h2 < (f/y)(Aww ) (3.22) (Aww ) đợc gọi nhân tử hội tụ 1/(Aww ) đợc gọi biên hội tụ phơng pháp IPIPTRKN Sử dơng sù tù lùa chän vÐc t¬ trïng khíp c phơng pháp hiệu chỉnh PTRKN ta làm cho nhân tử hội tụ (Aww ) nhỏ miền hội tụ Sconv lớn Trong Sconv đợc xác định Sconv := z : |z| < 1/ρ(Aww ) (3.23) Chúng trình bày mục 3.4 việc tính toán số nhân tử hội tụ cho số phơng pháp IPIPTRKN kĩ thuật số 3.3.3 Miền ổn định Sự ổn định tuyến tính phơng pháp IPIPTRKN (3.15) đợc nghiên cứu dựa sở phơng trình thử y (t) = y(t), với đợc giả thiết số thực âm Kí hiệu z := h2 ta thu đợc đánh giá sau: (m) Vn = zAvv Vn−1 + zAvw Wn−1 + ev yn + hyn cv , (3.24a) Wn(m) = [I + zAww + · · · + (zAww )m−1 ](ew yn + hyn cw + zAwv Vn ) + (zAww )m Wn(0) = [I + zAww + · · · + (zAww )m−1 ](ew yn + hyn cw + zAwv Vn ) (m) + (zAww )m (ew yn + hyn cw + zBwv Vn−1 + zBww Wn−1 ) = [I + zAww + · · · + (zAww )m−1 ][ew yn + hyn cw (m) + zAwv (ev yn + hyn cv + zAvv Vn−1 + zAvw Wn−1 )] (m) + (zAww )m (ew yn + hyn cw + zBwv Vn−1 + zBww Wn−1 ) 57 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 = z [I + zAww + · · · + (zAww )m−1 ]Awv Avv + z m+1 (Aww )m Bwv Vn−1 (m) + z [I + zAww + · · · + (zAww )m−1 ]Awv Avw + z m+1 (Aww )m Bww Wn−1 + [I + zAww + · · · + (zAww )m−1 ](ew + zAwv ev + z m (Aww )m ew yn + [I + zAww + · · · + (zAww )m−1 ](cw + zAwv cv + z m (Aww )m cw hyn (m) (m) (m) (m) (m) = M21 (z)Vn−1 + M22 (z)Wn−1 + M23 (z)yn + M24 (z)hyn , (3.24b) yn+1 = yn + hyn + zbTv Vn + zbTw Wn(m) (m) = yn + hyn + zbTv (zAvv Vn−1 + zAvw Wn−1 + ev yn + hyn cv (m) (m) (m) (m) (m) + zbTw (M21 (z)Vn−1 + M22 (z)Wn−1 + M23 (z)yn + M24 (z)hyn ) (m) (m) (m) = z bv Avv + zbTw M21 (z) Vn−1 + z bv Avw + zbTw M22 (z) Wn−1 (m) (m) + + zbv ev + zbTw M23 (z) yn + + zbv cv + zbTw M24 (z) hyn (m) (m) (m) (m) (m) = M31 (z)Vn−1 + M32 (z)Wn−1 + M33 (z)yn + M34 (z)hyn , (3.24c) hyn+1 = hyn + zdTv Vn + zdTw Wn(m) (m) = hyn + zdTv (zAvv Vn−1 + zAvw Wn−1 + ev yn + hyn cv (m) (m) (m) (m) (m) + zbTw (M21 (z)Vn−1 + M22 (z)Wn−1 + M23 (z)yn + M24 (z)hyn ) (m) (m) (m) = z dv Avv + zdTw M21 (z) Vn−1 + z dv Avw + zdTw M22 (z) Wn−1 (m) (m) + zdv ev + zdTw M23 (z) yn + + zbv cv + zbTw M24 (z) hyn (m) (m) (m) (m) (m) = M41 (z)Vn−1 + M42 (z)Wn−1 + M43 (z)yn + M44 (z)hyn (3.24d) Tõ (3.24) nhận đợc hệ thức truy hồi sau: Vn−1 Vn (m) (m) Wn = Mm (z) Wn−1 , yn+1 yn hyn+1 hyn (3.25a) Mm (z) ma trận zAvv (m) M21 (z) Mm (z) = (m) M31 (z) (m) M41 (z) (m) cÊp (s + 2) × (s + 2) đợc xác định zAvw ev cv (m) (m) (m) M22 (z) M23 (z) M24 (z) (3.25b) (m) (m) (m) M32 (z) M33 (z) M34 (z) (m) (m) (m) M42 (z) M43 (z) M44 (z) C¸c ma trËn Mij (z) víi i = 2, 3, 4; j = 1, 2, 3, (3.25b) đợc xác định tờng minh (3.24) Ma trận Mm (z) xác định thuộc tính ổn định phơng pháp IPIPTRKN đợc gọi ma trận khuếch đại 58 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 (amplification matrix) bán kính phổ Mm (x) hàm ổn định (stability function) phơng pháp IPIPTRKN Với số bớc lặp m, miền ổn định phơng pháp IPIPTRKN là: − β(m), := z : ρ Mm (z) < 1, z Nh− c¸c chơng trên, kí hiệu (m) ứng với m biên ổn định phơng pháp IPIPRTKN Trong số thử nghiệm tính toán biên ổn định của phơng pháp IPIPTRKN đợc trình bày Mục 3.4 3.4 Thử nghiệm tính toán Trong mục này, thực số thử nghiệm tính toán phơng ph¸p IPIPTRKN víi sù lùa chän w = v = [(s + 1)/2], s = 3, véc tơ trùng khớp phơng pháp hiệu chỉnh (3.1) với toạ độ 3 + 3 T (3.26a) c= , , 6√ 6√ − + T c= (3.26b) , ,1 10√ 10 √ − 5 + 29 T c= , , , (3.26c) 10 10 20 ã Véc tơ trùng khớp chiều (3.26a) có hai thành phần đầu hai nghiệm đa thức Gauss-Legendre bậc hai, thành phần thứ ba 3/2 Phơng pháp PTRKN dựa véc tơ nµy cã w = nÊc Èn vµ cã cÊp xác p = (xem [18]), theo định lí 3.3.1 cã cÊp chÝnh x¸c p∗∗ = víi gi¸ trị đủ lớn m Phơng pháp đợc kí hiệu IPIPTRKN4 ã Véc tơ trùng khớp (3.26b) véc tơ Radau chiều Phơng pháp PTRKN có w = nấc ẩn có cấp xác nấc p = (xem [18]) Do theo định lí 3.3.1 phơng pháp IPIPTRKN có cấp xác p = với m đủ lớn Phơng pháp đợc kí hiệu IPIPTRKN5 59 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 ã Véc tơ trùng khớp bốn chiều (3.26c) có thành phần đầu nghiệm đa thức Gauss-Legendre bậc ba, thành phần thứ t 29/30 Phơng pháp dựa véc tơ có w = nấc ẩn cấp xác p = (xem [18]) Theo định lí 3.3.1, phơng pháp IPIPTRKN có cấp xác p = với m đủ lớn Phơng pháp đợc kí hiệu IPIPTRKN6 Số xử lý song song pr siêu máy tính cần thoả mÃn điều kiện pr s/2 Trong thực hành tính toán, nªn −u tiªn cho sè chiỊu (j) w cđa vÐc t¬ nÊc Èn Wn b»ng sè bé xư lý máy, tức w = pr Sở (j) dĩ có u tiên nh véc tơ f(Wn ) cần phải lặp m lần, véc tơ f(Vn ) tính lần Chúng không nói r»ng viƯc lùa chän vÐc t¬ trïng khíp c nh− tốt cho phơng pháp IPIPTRKN lựa chọn cấp xác số xử lí nh để giống với phơng pháp PIRKN đợc đề xuất [8, 38] nh thực việc so sánh phơng pháp IPIPTRKN với phơng pháp PIRKN (trực tiếp gián tiếp) cách bình đẳng Kết tính toán thể Bảng 3.1 cho thÊy víi cïng mét cÊp chÝnh x¸c p cho trớc nhân tử hội tụ phơng pháp IPIPTRKN nhỏ so với phơng pháp PIRKN trực tiếp (DirPIRKN) gián tiếp (IndirPIRKN) Bảng 3.1: Nhân tử hội tụ số phơng pháp song song PC cấp p Phơng pháp song song cấp p p=4 p=5 p=6 IndirPIRKN (xem [8]) DirPIRKN (xem [8]) IPIPTRKN(trong chơng này) 0.083 0.048 0.073 0.076 0.049 0.076 0.046 0.029 0.029 Tõ b¶ng 3.2) ta thấy biên ổn định phơng pháp IPIPTRKN lớn dần theo m theo p không lộn xộn nh phơng pháp PIRKN Với đánh giá ban đầu nh ta thấy phơng pháp IPIPTRKN có đặc trng tốt phơng pháp PIRKN tốc độ hội tụ 60 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Bảng 3.2: Biên ổn định (m) phơng pháp song song PC cấp p (m) phơng pháp song song PC cÊp p p=4 p=5 p=6 PIRKN gi¸n tiÕp (xem [8]) β(1) 12.00 7.06 7.06 β(2) 12.00 2.19 0.00 β(3) 0.00 10.46 9.81 β(4) 12.00 4.76 0.00 β(5) 12.00 11.7 9.75 β(6) 0.00 7.81 0.00 PIRKN trùc tiÕp (xem [8]) β(1) 6.83 7.06 7.06 β(2) 0.00 0.49 0.00 β(3) 0.00 14.33 18.77 β(4) 8.57 5.33 0.00 β(5) 0.00 9.51 9.85 (6) 0.00 9.55 0.00 IPIPTRKN (chơng này) (1) 2.66 4.64 2.46 β(2) 4.55 9.51 5.50 β(3) 5.97 9.48 8.63 β(4) 7.07 9.47 9.78 β(5) 7.86 9.47 9.78 β(6) 8.21 9.47 9.78 61 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 tính ổn định Để thực thấy đợc hiệu tính toán phơng pháp IPIPTRKN thực số thử nghiệm tính toán cụ thể số toán kiểm tra kinh điển truyền thống so sánh với phơng pháp song song tốt có Trong thực hành tính toán, bớc giá trị ban đầu V0 , W0 , y1 y1 phơng pháp IPIPTRKN đợc khởi tạo tính toán phơng pháp PIRKN trực tiếp với véc tơ collocation c Sai số tuyệt đối nhận đợc điểm cuối đoạn lấy tích phân đợc biểu diễn dới dạng 10N CD (the Number of Correct Decimal Digits) Trong bảng liệt kê kết sử dụng kí hiệu Nstp tổng số bớc lấy tích phân (total number of integration steps) Nseq số lần tính toán hàm vế phải (total number of sequential f -evaluations) Bá qua thêi gian trun tÝn hiƯu gi÷a xử lí máy tính song song, so sánh với số phơng pháp khác đợc thực việc so sánh tỷ số NCD/Nseq 3.4.1 So sánh với phơng pháp song song Chúng sử dụng chiến lợc động để xác định điều kiện dừng cho số lần lặp m Chúng cho sai số lặp (iteration error) giá trị nghiệm có cấp với sai số địa phơng phơng pháp hiệu chỉnh Điều đa đến điều kiện dừng sau (xem thêm [10, 11]): Wn(m) − Wn(m−1) ∞ T OL = Chp , (3.27) C tham số phụ thuộc toán phụ thuộc phơng pháp, p bậc phơng pháp hiệu chỉnh Các kết tính toán đợc so sánh với phơng pháp PIRKN trực tiếp gián tiếp đà đợc nghiên cứu [8, 38] Chúng giải toán thử đà nói Các điều kiện ban đầu đợc xác định từ nghiệm xác 62 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Bài toán không dừng tuyến tính Các kết tính toán nhận đợc áp dụng vào toán Không dừng tuyến tính (testprob1) đợc liệt kê bảng 3.3 Qua bảng này, chứng tỏ phơng pháp IPIPTRKN hiệu so với phơng pháp PIRKN trực tiếp gián tiếp có cấp xác Hơn toán tuyến tính phơng pháp IPIPTRKN cần lần lặp bớc Bảng 3.3: NCD/Nseq toán (testprob1) tính phơng pháp IPIPTRKN phơng pháp PIRKN Phơng pháp p pr Nstp Nstp Nstp Nstp Nstp 80 160 320 640 1280 7.7/1920 8.8/1920 8.2/1281 9.8/2511 10.4/2511 11.3/1281 8.9/3840 10.0/3840 9.4/2561 11.3/2598 11.9/5098 12.8/2561 IndirPIRKN DirPIRKN IPIPTRKN IndirPIRKN DirPIRKN IPIPTRKN 4 5 2 3 4.0/239 5.2/239 4.7/161 5.3/238 5.8/238 6.7/161 5.3/480 6.4/479 5.8/321 6.8/480 7.5/480 8.3/321 6.5/960 7.6/960 7.0/640 8.3/1179 8.9/1179 9.8/541 IndirPIRKN DirPIRKN IPIPTRKN 6 3 7.4/360 8.0/354 8.4/232 9.2/721 9.9/710 10.3/440 11.0/1441 11.7/1420 12.1/775 12.8/2881 14.6/5769 13.5/2839 15.3/5678 14.2/1282 Bài toán Fehlberg phi tuyến Các kết tính toán áp dụng vào toán Fehlberg phi tuyến (testprob2) đợc liệt kê Bảng 3.4 Các kết thể hiƯn râ tÝnh hiƯu qu¶ vỊ sù tiÕt kiƯm sè lần tính hàm vế phải phơng pháp IPIPTRKN với phơng pháp PIRKN có cấp xác Phơng trình chuyển động Newton Đối với toán Phơng trình chuyển động Newton (testprob3) kết tính toán bảng 3.5 khẳng định tính hiệu phơng 63 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Bảng 3.4: NCD/Nseq toán (testprob2) tính phơng pháp IPIPTRKN phơng pháp PIRKN Phơng pháp p pr Nstp Nstp Nstp Nstp Nstp 200 400 800 1600 3200 IndirPIRKN DirPIRKN IPIPTRKN IndirPIRKN DirPIRKN IPIPTRKN 4 5 2 3 1.7/728 2.4/722 2.2/429 3.2/652 3.8/652 4.2/491 2.8/1457 3.6/1445 3.4/801 4.7/1411 503/1411 5.7/938 4.0/2915 4.8/2889 4.6/1601 6.2/2967 6.8/2967 7.2/1780 5.2/5829 6.0/5778 5.9/3201 7.7/6147 8.3/6147 8.7/3344 6.5/11658 7.2/11555 7.1/6401 9.2/12594 9.8/12594 10.2/6401 IndirPIRKN DirPIRKN IPIPTRKN 6 3 4.0/900 5.0/896 5.2/497 5.8/1812 6.8/1807 7.1/959 7.6/3625 8.6/3615 8.9/1848 9.4/7247 10.4/7230 10.8/3526 11.2/14496 12.2/14458 12.6/6679 pháp Bảng 3.5: NCD/Nseq toán (testprob3) tính phơng pháp IPIPTRKN phơng pháp PIRKN Phơng pháp p pr Nstp Nstp Nstp Nstp Nstp 200 400 800 1600 3200 IndirPIRKN DirPIRKN IPIPTRKN IndirPIRKN DirPIRKN IPIPTRKN 4 5 2 3 2.9/229 2.8/229 2.8/201 3.1/300 3.8/300 4.3/201 3.7/600 4.9/600 4.2/401 4.6/600 5.2/600 5.9/401 4.9/1200 6.2/ 1200 5.6/801 6.1/1200 6.7/1200 7.5/801 6.1/2400 7.4/2400 6.9/1601 7.5/2527 8.2/2527 9.0/1601 7.3/4800 8.6/4800 8.2/3201 9.0/5369 9.7/5369 10.6/3201 IndirPIRKN DirPIRKN IPIPTRKN 6 3 5.0/400 5.8/400 6.1/228 6.8/800 7.5/800 8.0/429 8.6/1600 9.3/1600 9.6/809 10.4/3200 11.1/3200 11.3/1600 12.2/6400 12.9/6400 13.0/3202 3.4.2 So sánh với phơng pháp Trong tiểu mục 3.4.1 đà so sánh phơng pháp IPIPTRKN với phơng pháp PIRKN trực tiếp gián tiếp ( phơng pháp RKN song song hiển hiệu nay) Trong mục so sánh phơng pháp IPIPTRKN với phơng pháp RKN hiển 64 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Bảng 3.6: So sánh phơng pháp IPIPTRKN6 với code giải toán (testprob2) Phơng pháp Nstp N CD DOPRIN (Hairer93) 79 353 1208 4466 200 400 800 1600 3600 3.8 8.3 12.3 16.3 5.2 7.1 8.9 10.8 12.6 IPIPTRKN6 (trong chơng này) Nseq 633 2825 9665 35729 497 959 1848 3526 6679 tn tù phỉ biÕn nhÊt hiƯn Chóng chọn phơng pháp IPIPTRKN6 làm đại diện cho lớp phơng pháp IPIPTRKN để so sánh với số code không song song giải toán Fehlberg phi tuyến (testprob2) Đối với phơng pháp tuần tự, chọn kết tốt đà đợc công bố tạp chí khoa học phơng pháp trun thèng (cã thĨ tham kh¶o vÝ dơ [38, 28]) Các kết đợc trình bày bảng 3.6 Từ kết nêu trên, ta thấy phơng pháp đà đợc trang bị chiến lợc lới biến bớc phơng pháp IPIPTRKN6 dùng bớc lới cố định nhng phơng pháp IPIPTRKN6 tỏ tốt hẳn phơng pháp 3.5 Kết luận Chơng đà xây dựng lớp phơng pháp song song đợc gọi phơng pháp lặp song song giả RKN hai bớc (IPIPTRKN methods) dựa phơng pháp PIPTRKN với công thức dự báo Các công thức tính hệ số đà đợc thiết lập, tính ổn định tốc độ hội tụ đà đợc khảo sát Qua phần phân tích lợc đồ (3.15) ta thấy phơng pháp đợc xây dựng có u điểm tiết kiệm xử lý Các thử nghiệm tính toán phơng pháp IPIPTRKN có biên ổn định lớn biên ổn định PIRKN trực tiếp PIRKN gián tiếp Số lần tính toán hàm vế phải có chỗ nửa so với phơng pháp PIRKN (xem bảng 65 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 3.4, 3.5) Nh phơng pháp hiệu so với phơng pháp song song không song song đà có, đợc áp dụng tốt điều kiện siêu máy tính có Ýt bé xư lÝ 66 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Ch−¬ng Phơng pháp dự báo hiệu chỉnh dạng RKN lặp song song liên tục Trong chơng này, nghiên cứu lợc đồ lặp song song, dự báo hiệu-chỉnh dựa phơng pháp hiệu chỉnh dạng RKN trùng khớp trực tiếp (RKN corrector methods) với công thức đầu liên tục giải số toán Phơng pháp dự báo-hiệu chỉnh kiểu RKN lặp song song liên tục đợc đa với công thức đầu liên tục Xấp xỉ số liên tục dùng để dự báo giá trị nấc trình lặp dự báo-hiệu chỉnh Theo cách làm này, thu đợc phơng pháp dự báo-hiệu chỉnh song song với công thức đầu liên tục dự báo cấp xác cao áp dụng phơng pháp vào vài toán thử, đà cho thấy phơng pháp tỏ hiệu nhiều so với phơng pháp lặp hiển song song (PIRKN) ODEX2 DOBRIN đà có 4.1 Giới thiệu Trong phơng pháp số giải toán (1) phơng pháp rẻ phơng pháp RKN hiển Trong vài tài liệu, phơng pháp hiển ®Õn cÊp 10 cã thÓ thÊy [24], [25] Nh»m tËn dơng tiƯn Ých cđa m¸y tÝnh song song, mét vài lớp phơng pháp song song dựa phơng pháp hiệu chỉnh RKN đà đợc quan tâm nghiên cứu 67 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 báo, chẳng hạn [7], [22], [8] Một thách thức chung cho báo vừa đề cập là, với độ xác cho trớc cách sử dụng xử lí song song, giảm số lần tính toán hàm vế phải f (t, y(t)) bớc Trong chơng nghiên cứu lớp đặc biệt phơng pháp dự báo-hiệu chỉnh hiển RKN lặp song song dựa phơng pháp hiệu chỉnh trùng khớp trực tiếp với công thức đầu liên tục Ngoài ra, xấp xỉ số liên tục đợc sử dụng nh giá trị khởi đầu trình lặp dự báo-hiệu chỉnh Bằng cách này, nhận đợc phơng pháp lặp song song gọi Phơng pháp dự báo hiệu chỉnh kiểu RKN lặp song song liên tục ( Continuous Parallel Iterated Runge-Kutta-Nystrom methods-phơng pháp CPIRKN ) Vì vậy, phơng pháp mà thu đợc có công thức đầu liên tục dự báo cấp cao Đơng nhiên phơng pháp CPIRKN đòi hỏi vài tính toán hàm f (t, y(t)) bớc trình lặp dự báo-hiệu chỉnh Mục 4.2, xét phơng pháp hiệu chỉnh RKN với công thức đầu liên tục ( phơng pháp RKN liên tục) Mục 4.3, dành cho việc phát biểu phơng pháp, nghiên cứu tính ổn định, tốc độ hội tụ cấp xác phơng pháp CPIRKN Mục 4.4, so sánh phơng pháp CPIRKN với phơng pháp lặp song song truyền thống 4.2 Phơng pháp RKN liên tục (phơng pháp CRKN) Một phơng pháp số không hiệu số điểm đầu (các điểm lới điểm lới) lớn Để xây dựng phơng pháp CPIRKN mà phát biểu mục 4.3, phần ta xét mở rộng phơng pháp RKN Xuất phát điểm phơng pháp RKN trïng 68 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z