Trắc nghiệm toán cao cấp A2 (99 câu) có đáp án, được lấy từ đề ôn tập tại trường đại học sư phạm kỹ thuật
BÀI TẬP ƠN TẬP TỐN A2 CHƯƠNG HÀM NHIỀU BIẾN Câu 1: Phương trình tham số đoạn thẳng MN nối từ N 0;3 đến M 1; là: x t ,0 t 1 y 3t x t ,0 t 1 y 3t b) x 1 t ,0 t 1 y t d) a) x 1 t ,0 t 1 y t c) Câu 2: Cho hai điểm A 1, 2 , B 0,1 Hãy xác định phương trình tắc đường thẳng AB x 1 y x y 1 0 1 x y 1 d) AB : 3x y 2 Câu 3: Phương trình tham số đoạn thẳng MN nối từ N 1; 2;3 đến M 1;7;5 là: x 1 y x y 1 0 1 1 x y 1 c) AB : 3x y 2 a) AB : b) AB : x 2t a) y 5t , t z 2t x 2t b) y 5t , t z 2t x 1 t c) y 7t , t z 5t x 1 2t d) y 5t , t z 2t x 2t a) y 5 t , t z 5t x 1 t b) y 5 4t , t z 2t x t c) y 1 5t , t z 3t x 1 t d) y 5t , t z 3t Câu 4: Phương trình tham số đường thẳng qua M 2; 1;5 , N 1; 5;3 Câu 5: Phương trình tắc đường thẳng A 0; 4;7 , B 4;3; x0 y 4 z 7 4 5 x0 y 4 z 7 d) 4 5 Câu 6: Phương trình tham số mặt phẳng qua ba điểm A(1, 2,1), B(0,1, 2), C 1,3, 1 là: x0 4 x4 c) a) y4 y 7 4 z 7 z 5 b) x 1 2s a) AC (2,1, 2) nên ( ABC ) : y s , s z 2s x s 2t b) AB (1, 1,1), AC (2,1, 2) nên ( ABC ) : y s t , ( s, t ) z s 2t Trang x 1 s c) AB (1, 1,1) nên ( ABC ) : y s , s z 1 s x 1 s 2t d) AB (1, 1,1), AC (2,1, 2) nên ( ABC ) : y s t , ( s, t ) z s 2t , đường tròn C : x y y có phương trình tham số là: x cos x cos , 2 , 2 a) b) y 2 2sin y 2sin x cos x cos , 2 , 2 c) d) y 2 4sin y 4sin Câu 8: Cho hình trịn S : x y x Phương trình tham số đường tròn (C) biên (S): x 3 3cos x 3cos , 2 , 2 a) b) y 3sin y 3sin x 3 3cos x 3cos , 2 , 2 c) d) y 3sin y 3sin Câu 9: Trong , viết phương trình tham số đường elip có trục lớn nằm Ox, độ dài trục lớn 20, độ dài trục nhỏ 16, nằm góc phần tư thứ tư x 10 cos t 3 x 10 cos t , , t 2 t 2 a) b) Câu 7: Trong y 8sin t x 8cos t 3 , t 2 c) y 10sin t y 8sin t x 8cos t , t 2 d) y 10sin t 3 Câu 10: Phương trình tham số đường astroid: x y là: x 3cos t , t 2 y 3sin t x 3cos t a) , t 2 2 b) y 3sin t x 3cos t c) , t 2 y 3sin t x 3cos t d) , t 2 3 y 3sin t 3 Câu 11: Phương trình tham số đường astroid: x y 16 nằm góc phần tư thứ hai là: x 8cos t b) , t y 8sin t x 8cos3 t d) ,0 t y 8sin t 2 Câu 12: Phương trình tham số mặt cầu x y z x y z là: x 4cos t a) ,0 t y 4sin t x 4cos3 t c) , t y 4sin t x 1 16sin cos 2 a) y 2 16sin sin , z 16cos x 1 4sin cos 2 b) y 2 4sin sin , z 4cos Trang x 1 sin cos 2 d) y 2 sin sin , z cos 2 Câu 13: Viết phương trình tham số mặt nón z x y , z x 2cos x r cos ,0 ,0 r a) b) y 2sin , 2 y r sin z x 1 2sin cos 2 c) y 2 2sin sin , z 2cos x r cos c) y r sin , 2 , r z r x r cos d) y r sin , , r z r Câu 14: Viết phương trình tham số mặt paraboloid z x y , z x 2cos x r cos ,0 ,0 r a) b) y 2sin , 2 y r sin z x r cos d) y r sin , , r z r2 x r cos c) y r sin , 2 , r z r2 x2 y sin y ( x , y ) (0,0) 3y a) L b) L x2 y Câu 16: Tìm giới hạn L lim ( x , y ) (0,0) 2x2 y Câu 15: Tìm giới hạn L a) L khơng tồn lim b) L 1 c) L d) L không tồn c) L d) L xy , ( x, y) (0, 0) Câu 17: Cho hàm số f ( x, y) x y Tìm a để f liên tục (0,0) a ( x, y ) (0, 0) a) a b) a 1 c) a d) Không tồn a CHƯƠNG VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Câu 18: Tìm vi phân cấp hàm hai biến z x y a) dz x y 1 ydx x ln xdy b) dz x y 1 ydx x ln xdy d) dz x y 1 x ln xdx ydy c) dz x y 1 x ln xdx ydy Câu 19: Tìm vi phân dz hàm hai biến z e x y a) dz xe x y xdx ydy b) dz xe x y ydx xdy 2 d) dz xe x y ydx xdy c) dz xe x y xdx ydy 2 Câu 20: Tìm vi phân dz hàm hai biến z x x2 y Trang a) dz c) dz y x y y x2 y ydx xdy b) dz ydx xdy d) dz y x2 y y x y ydx xdy ydx xdy Câu 21: Cho hàm hai biến f ( x, y ) x y cos xy Tìm f ( x, y) a) f ( x, y ) 1 y sin xy, y x sin xy b) f ( x, y ) 1 y sin xy, y x sin xy d) f ( x, y ) 1 sin xy, y sin xy c) f ( x, y ) 1 sin xy, y sin xy Câu 22: Tìm đạo hàm riêng cấp hai f xx ( x, y ) hàm số f ( x, y) xe y y y sin x f ( x, y ) b) 2e y y sin x x f ( x, y) d) 3 y sin x x Câu 23: Tìm đạo hàm riêng cấp hai f yy ( x, y) hàm số f x, y xe y y y sin x f ( x, y) a) y sin x x f ( x, y ) c) 2e y y sin x x f ( x, y) f ( x, y) ey e y y Do y y f ( x, y) f ( x, y) b) Ta có xe y xe y y sin x Do y y f ( x, y) f ( x, y) c) Ta có ey y 1 e y y y Do y y a) Ta có f ( x, y) f ( x, y) xe y y sin x xe y y y sin x Do y y f Câu 24: Cho hàm số f ( x, y) g ( xy), u( x, y) xy Hãy xác định x f g u g f u a) b) y g '( x) yg '( x) x u x u x x f f g u u g c) d) g '(u) yg '(u ) y x x x x x x 2 Câu 25: Cho z f ( x, y) hàm ẩn thỏa F x, y, z x y z x y z , xung quanh d) Ta có f 0,1 x F (0,1, 2) f x 2( y z ) (0,1, 2) 0,1 x x Fz (0,1, 2) 2 z x F (0,1, 2) x 2( y z ) f (0,1, 2) 0,1 x x Fz (0,1, 2) 2 z x F (0,1, 2) f 2 z x (0,1, 2) 0,1 z x Fx (0,1, 2) x 2( y z ) F (0,1, 2) f 2 z x (0,1, 2) 2 0,1 z x Fx (0,1, 2) x 2( y z ) điểm 0,1, 2 Tính a) b) c) d) Trang Câu 26: Cho z f ( x, y) hàm ẩn thỏa phương trình F x, y, z x y x y e xyz , xung f 1,1 y F f x x y xze xyz f 1 1 y 1,1 6 xyz y Fz xye y 1.1.e0 F f x x y xze xyz f 1 y 1,1 5 xyz y Fz xye y 1.1.e0 F f x x y xze xyz f 1 y 1,1 7 xyz y Fz xye y 1.1.e0 F f x x y xze xyz f 1 1 y 1,1 5 xyz y Fz xye y 1.1.e0 quanh điểm 1,1, Tính a) b) c) d) Câu 27: Tìm điểm dừng hàm hai biến f ( x, y) x x y a điểm dừng M1 0, , M 2, , M 2, b điểm dừng M 0, , M 2, d điểm dừng M 0, , M 2, 2 c điểm dừng M 2, , M 2, Câu 28: Cho hàm hai biến f ( x, y) có đạo hàm riêng cấp f f 3x x , y2 x x Hãy xác định số điểm dừng hàm số a) Hàm số khơng có điểm dừng b) Hàm số có hai điểm dừng c) Hàm số có ba điểm dừng d) Hàm số có bốn điểm dừng 2 Câu 29: Cho hàm f x, y x x y , có M(l,0) điểm dừng f xx ( x, y ) , f yy ( x, y) , f xy ( x, y) Hãy chọn khẳng định a) Ta có 1, 2.2 0, f 1, 2 Suy ra, điểm M(1,0) điểm cực đại b) Ta có 1, 2.0 2 Suy ra, điểm M(1,0) điểm yên ngựa c) Ta có 1, 2.2 0, f xx 1, Suy ra, điểm M(1,0) điểm cực tiểu d) Ta có 1, 22 22 Suy ra, khơng có kết luận với điểm M(1,0) 7 Câu 30: Cho hàm z f ( x, y) có f xx ( x, y) x 4, f yy ( x, y) 2, f xy ( x, y) M1 (1, 0) , M , 3 điểm dừng Hãy xác định điểm cực trị hàm f 7 7 7 7 b (1, 0) 0, , 0, f xx , Nên f không đạt cực trị M , đạt cực tiểu M 3 3 c Ta có x, y x nên 1, 0, f xx 1, Do M điểm cực đại a (1, 0) 0, f xx (1, 0) 0, , 0, f xx , Nên M điểm cực đại, M điểm cực tiểu 3 7 3 d Ta có x, y x nên 1, 0, , Hàm số không đạt cực trị M , M 4 Câu 31: Cho hàm z f ( x, y) có f xx ( x, y) x 4, f yy ( x, y) 2, f xy ( x, y) , M1 (0, 1) , M , 1 3 điểm dừng Hãy xác định điểm cực trị hàm f a Hàm số không đạt cực trị M , M b Không đạt cực trị M , đạt cực tiểu M Trang c M điểm cực đại d M điểm cực đại M điểm cực tiểu Câu 32: Cho hàm hai biến z f ( x, y) có đạo hàm riêng cấp hai f xx ( x, y ) y , f yy ( x, y) y , f xy ( x, y) x M 0, , M 0, , M 1,1 , M 1,1 điểm dừng Hãy xác định điểm cực trị hàm f a Hàm số không đạt cực trị M , M , đạt cực tiểu M , đạt cực đại M b Hàm số khơng có cực trị c Hàm số không đạt cực trị M , M , đạt cực đại M , đạt cực tiểu M d M1 , M , M , M điểm cực tiểu Câu 33: Cho hai hàm f ( x, y, z ) x3 y z xyz g x, y, z xyz Nếu f đạt cực trị điểm cho x, y, z, nghiệm hệ x, y, z với ràng buộc g x, y, z tồn 3x ( 1) yz 3 y ( 1) xz b) 3z ( 1) xy xyz 3x yz yz 3 y xz xz a) 3z xy xy x3 y z xyz 3x xyz yz f g 3 y xyz xz c) d) xyz 3z xyz xy x3 y z xyz Câu 34: Cho hàm f ( x, y, z ) ( x 1)2 ( y 2)2 z thỏa ràng buộc g ( x, y, z ) x y z Hãy xác định điểm cực trị có ràng buộc hàm f a) điểm CĐ 2,1, 1 b) điểm CĐ 2, 0, 2 d) điểm CT 2,1, 1 c) điểm CT 2, 0, 2 Câu 35: Cho hàm f x, y, z x y z thỏa ràng buộc g ( x, y, z ) x 1 ( y 2) z , 1 2 ( x 1) 2 2 ( y 2) có điểm dừng thỏa hệ phương trình 1 2 z x 12 ( y 2) z Hãy xác định điểm cực trị có ràng buộc hàm f a điểm cực đại 2, 0, 1 , cực tiểu 0, 4,1 b điểm cực tiểu 2, 0, 1 , cực đại 0, 4,1 3 1 1 1 1 1 c điểm cực đại , 1, , cực tiểu , 3, 2 2 2 2 3 1 d điểm cực tiểu , 1, , cực đại , 3, 2 2 2 2 2 Câu 36: Cho hàm f x, y, z x y z thỏa ràng buộc g ( x, y, z ) e xyz có điểm dừng (0,0,0) Khẳng định sau đúng? a) (0,0,0) điểm cực đại b) (0,0,0) điểm yên ngựa c) (0,0,0) điểm cực tiểu d) Không có kết luận với điểm dừng (0,0,0) Trang Câu 37: Tìm phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt xy yz zx (0,1,2) a) x y z b) x z 1 c) x y z d) x y z CHƯƠNG TÍCH PHÂN BỘI Câu 38: Nếu ( x, y ) | a x b, g1 ( x) y g ( x) b g2 ( x ) b) f ( x , y ) dxdy a g ( x) f ( x, y)dy dx g2 ( x ) b c) f ( x, y )dxdy f ( x, y )dx dy d) g1 ( x ) a Câu 39: Nếu ( x, y ) | c y d , h1 ( y ) x h2 ( y ) a) b g2 ( x ) f ( x, y)dxdy f ( x, y)dx dy a g1 ( x ) g2 ( x ) b f ( x, y )dxdy f ( x, y )dy dx g1 ( x ) a h2 ( y ) a) b) f ( x, y )dxdy f ( x, y )dy dx c h1 ( y ) h2 ( y ) b h ( y ) d c) f ( x, y )dxdy f ( x, y )dy dx d) f ( x, y )dxdy f ( x, y )dx dy h1 ( y ) a c h1 ( y ) Câu 40: Trên miền lấy tích phân ( x, y) | a x b, c y d , viết tích phân bội thành tích d f ( x, y )dxdy f ( x, y )dx dy h1 ( y ) c h2 ( y ) d phân lặp, khẳng định sau đúng? b a) c) d f ( x) g ( y) dxdy f ( x)dx g ( y)dy a b d a c c f ( x, y)dxdy f ( x)dx f ( x, y)dy b) d) b d f ( x, y)dxdy f ( x, y)dx f ( x, y)dy a c b d a c f ( x) g ( y)dxdy f ( x)dx g ( y)dy Câu 41: Tính tích phân I ( x y )dxdy , hình trịn x y 2 2 2 2 2 2 2 16 a) I r rdr d d r dr 4 b) I r dr d d r 3dr 00 0 0 0 2 2 2 8 c) I r rdr d d r 3dr 8 d) I r dr d d r 3dr 0 0 00 0 Câu 42: Biểu diễn miền D :1 x y hệ tọa độ cực r 1 r 1 r 1 r a) b) c) d) 0 0 2 0 2 0 2 Câu 43: Tính tích phân I ( x y )dxdy , hình vành khăn x y 2 a) I r rdr d 2 2 d. r dr 8 0 0 2 15 c) I r rdr d d r 3dr 1 2 Câu 44: Chuyển tích phân I f 1 0 2 b) I r dr d 2 2 d. r dr 1 2 d) I r rdr d d r 3dr 0 0 2 x y dxdy sang tọa độ cực, : x y 1, y a) I rf (r )dr d b) I rf (r )dr Trang 14 2 1 0 1 0 d) I f (r )dr d c) I rf (r )dr d Câu 45: Trong hệ tọa độ cực, hình trịn x y y có phương trình r 4sin r cos r 4sin a) b) c) 0 0 0 2 Câu 46: Biểu diễn miền D : x y x hệ tọa độ cực 0 r cos 0 r 4sin r 4sin a) b) c) 0 0 2 r 0 d) r cos d) 2 2 Câu 47: Chuyển tích phân I f ( x, y )dxdy sang tọa độ cực, : x y x , ta 4cos a) I rf (r cos , r sin )dr d 2 4 b) I f (r cos , r sin )dr d 0 2 c) I 4sin rf ( r cos , r sin ) dr d 0 2 0 d) I f (r cos , r sin )dr d Câu 48: Trong hệ tọa độ cực, đường tròn tâm I 1; , bán kính R có phưong trình r a) r 2sin c) 0 2 r b) 0 2 Câu 49: Biểu diễn cận lấy tích phân miền ( x, y ) | y x , y x r cos d) a) x 2, x2 y x2 b) x 2, x2 y x2 c) 2 x 2, x y x d) 2 x 2, x y x Câu 50: Nếu miền giới hạn đường x y 1, x y 1, x 1 x x 1 f ( x , y ) dxdy f ( x , y ) dy dx f ( x , y ) dxdy f ( x , y ) dy b) dx 0 x1 1 x 1 1 c) f ( x, y )dxdy f ( x, y )dx dy d) f ( x, y )dxdy f ( x, y )dx dy 1 00 Câu 51: Cho miền giới hạn x 1, y 1, x y Biểu diễn dạng tập hợp: a) a) ( x, y ) |1 y 2,1 x y 3 b) ( x, y ) |1 x 2, x y 1 c) ( x, y ) |1 y 3,1 x y 3 d) ( x, y ) |1 x 3,1 y x 3 Câu 52: Nếu miền tạo tam giác có đỉnh O 0, , A(1, 0), B 1,1 x 1 x f ( x , y ) dxdy f ( x , y ) dy dx f ( x , y ) dxdy f ( x , y ) dy b) dx 0 0 00 1 c) f ( x, y )dxdy f ( x, y )dy dx d) f ( x, y )dxdy f ( x, y )dy dx 00 0 x Câu 53: Trong , cho nửa hình trịn có tâm O, bán kính R , nằm phía trục Ox Biểu diễn dạng tập hợp: a) Trang a) ( x, y ) | 3 x 3, y 3 b) ( x, y) | 3 y 3, x y c) ( x, y) | 3 x 3, y x Câu 54: Thay đổi thứ tự lấy tích phân 0 d) ( x, y ) | x 3, 3 y 3 dy f ( x , y ) dx y 1 y x2 a) ( x, y ) | x 1, x y x nên f ( x, y)dx dy f ( x, y )dy dx 0 y x 0 1 y x b) ( x, y ) | x 1, x y x nên f ( x, y)dx dy f ( x, y )dy dx 0 y x2 y y x c) ( x, y ) | 1 x 1, x y x nên f ( x, y )dx dy f ( x, y )dy dx 0 y 1 x 1 y 1x d) ( x, y ) | x 1, x y x nên f ( x, y)dx dy f ( x, y )dy dx 0 y 0 x x x Câu 55: Cho f x, y x ye , g x, y e y Tìm hàm cặp f , g y x a) ( x, y ) (2t e )dt et dt C x e x ye x C t 0 y x b) ( x, y ) (2t e )dt (et 2t )dt C x e x ye x y C t 0 x y 0 x y 0 c) ( x, y ) et dt (2 x tet )dt C e x xy y 2e x C d) ( x, y ) 2tdt (e x 2t )dt C x ye x y C Câu 56: Cho f ( x, y ), g ( x, y ) ye x e y x, e x xe y y Tìm hàm ( x, y) x y 0 a) ( x, y ) (2t )dt (e x xet 3t )dt C x e x y xe y y C y x b) ( x, y ) (1 2t )dt (e x xet 3t )dt C x ye x xe y y C 0 x y c) ( x, y ) (1 2t )dt (e x xet 3t )dt C x x e x y xe y y C 0 y x d) ( x, y ) (2t )dt (e x xet 3t )dt C x e x y xe y x y C 0 Câu 57: Cho x, y x y y C hàm ( f , g ) C đường cong khả vi xác định y x4 x nối từ (0,0) đến (1,2) Khi a) fdx gdy (0, 0) (1, 2) 8 b) c) fdx gdy (0, 0) (1, 2) C C fdx gdy (1, 2) (0, 0) d) fdx gdy (1, 2) (0, 0) 6 C C Trang CHƯƠNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 4y ds với C cung parabol y x nối từ điểm O(0,0) x C Câu 58: Chuyển tích phân đường I đến A(1, 2) sang tích phân Riemann 1 1 1 8t dt 8tdt b) I t 0 8t a) I 1 16t dt 8t 1 16t dt t 0 8t 16t dt 8t 16t dt d) I 8t 4tdt t 0 x Câu 59: Chuyển tích phân đường I ds với C cung parabol y x nối từ điểm A 1, y C c) I đến B 2, sang tích phân Riemann a) I t2 2t t dt 2 t c) I dt 2t Câu 60: Trong a) C b) b) I 2t t t dt 2 2 t d) I 1 t dt 2t t dt 2 t t dt 2 t t dt x x(t ) , a t b , f hàm liên tục C Khi y y (t ) , cho C : b a b f ( x, y)ds f x(t ), y(t ) dt a b f ( x, y)ds f x(t ), y(t ) ( x '(t )) ( y '(t )) dt f ( x, y)ds f x(t ), y(t ) x '(t ) y '(t )dt C d) t t dt f ( x, y )ds f x(t ), y (t ) ( x '(t )) ( y '(t )) dt C c) 2 a b C a Câu 61: Tính I ( x y)ds với C đoạn thẳng nối điểm A(0,1) đến B(1,3) C b) I (1 3t )dt t t 0 d) I (1 3t ) 5dt t t 14 0 5 c) I (1 3t ) 5dt t t 0 1 a) I (1 3t ) 3dt t t 0 1 Câu 62: Tính I xyds với C : x y nằm góc phần tư thứ C 2 9 a) I 9sin t cos tdt sin 2tdt cos 2t 0 2 27 27 b) I 9sin t cos t 9sin t 9cos tdt 3 sin 2tdt cos 2t 0 2 Trang 10 2 c) I 2 9sin t cos t 9sin t 9cos tdt 2 2 0 d) I 9sin t cos tdt 2 2 27 sin 2tdt cos 2t 2 81 81 sin 2tdt cos 2t Câu 63: Tính xds với C đường tròn x y x C 2 2 2 a) I 4(2 2cos t )dt t sin t 16 2 2 b) I 2(2 2cos t )dt t sin t 8 2 2 c) I 8(2 2cos t )dt 16 t sin t 32 2 d) I 4.sin tdt 16cos t 0 x a (t sin t ) , t 2 sang tích phân Riemann Câu 64: Chuyển I y ds với C : y a(1 cos t ) C 2 x ' a(1 cos t ) t , t 2 nên I 2a3 (1 cos t ) sin dt a) y ' a sin t 2 x ' a(1 cos t ) , t 2 nên I 2a3 (1 cos t )2 dt b) y ' a sin t 2 x ' a cos t t , t 2 nên I 2a3 cos t sin dt y ' a sin t c) 2 x ' a cos t , t 2 nên I 8a3 cos tdt d) y ' a sin t x cos t Câu 65: Tính I ( x y )ds với C đường y 2sin t , t C z t a) I 5(2cos t 4sin t )dt 10(sin t 2cos t ) 40 b) I 5(2sin t 4cos t )dt 5( cos t 4sin t ) 0 c) I (2cos t 4sin t )dt 2(sin t 2cos t ) d) I 5(2cos t 4sin t )dt 5(sin t 2cos t ) 0 Câu 66: Tính I ( x xy )dx (2 xy y )dy , với L : y x nối từ (0,0) đến (2,4) L a) I t 2t 2t t dt c) I t 2t (2t t )2t dt Câu 67: Tính b) I t 2t (2t t )2t dt 136 15 d) I t 2t 2t t dt 29 30 15 ydx xdy , với MN đoạn thẳng nối từ điểm M(1,0) đến điểm N(l, 4) MN Trang 11 208 a) MN c) ydx xdy (12 4)dt 16 b) MN ydx xdy 4dt MN d) ydx xdy (12t 4)dt 10 ydx xdy (12t 1)4dt 28 MN 0 x cos , Tính tích phân đường I ( x y )dx y 2sin C Câu 68: Cho C : 2 b) ( x y )dx 2d (2cos ) 4 a) ( x y )dx 4d (2cos ) 8 C C 0 2 d) ( x y )dx 2d (2sin ) c) ( x y )dx 4d (2sin ) 2 C C 0 Câu 69: Cho hai hàm f ( x, y ) x y, g ( x, y ) e x , C đường tròn tâm I 0, 1 bán kính R Hãy chọn cách biến đổi a) (x y 2 y)dx (e x)dy y C b) (x (x y )dx (e y x)dy y)dx (e y x)dy 2(sin 1) sin esin 1 2cos cos d cos cos 2(sin 1) esin 1 2cos d 2 C d) 2 C c) cos 2(sin 1) sin esin 1 2cos cos d (x y)dx (e x)dy y C Câu 70: Cho f ( x, y) x3 y, g ( x, y) y x , E : a) (x x2 y Hãy chọn cách biến đổi y )dx ( y x)dy E b) (x 2 y )dx ( y x)dy E c) (x y )dx ( y x)dy (x (27 cos 2sin )3sin (8sin 2 y )dx ( y x)dy E Câu 71: Cho 3 2 E d) (27 cos 2sin )sin (8sin 27 cos 2sin 8sin 3 3cos ) cos d 3cos )2cos d 3cos d 2( x y )dx ( x y )2 dy , cạnh tam giác ABC Sử dụng định C lý Green để chuyển tích phân đường sang tích phân kép f ( x, y ) 4x f ( x, y ) 2( x y ) x a) Đặt Do I (6 x y )dxdy g ( x , y ) g ( x, y ) ( x y ) 2( x y ) x f ( x, y) 2( x y ) f x y b) Đặt Do I (2 x y )dxdy g 2( x y ) g ( x , y ) ( x y ) x Trang 12 f ( x, y) 2( x y ) fy 4y c) Đặt Do I (2 y x)dxdy g 2( x y ) g ( x , y ) ( x y ) x f ( x, y) 2( x y ) fy 4y d) Đặt Do I (2 x y )dxdy g 2( x y ) g ( x , y ) ( x y ) x 2 Câu 72: Cho (1 x ) ydx x(1 y )dy , đường trịn x y Sử dụng định lý Green để chuyển tích phân đường sang tích phân kép, ta f ( x, y ) x2 f ( x, y ) y (1 x ) x a) Đặt Do I ( x y )dxdy g ( x, y ) x(1 y ) g ( x, y ) y x f ( x, y ) x2 f ( x, y ) y (1 x ) x b) Đặt Do I (2 x y )dxdy g ( x , y ) g ( x, y ) x(1 y ) y2 1 x f ( x, y ) 2 xy f ( x, y ) y (1 x ) x c) Đặt Do I xydxdy g ( x, y ) x(1 y ) g ( x, y ) xy x f ( x, y ) x2 f ( x, y ) y (1 x ) x d) Đặt Do I ( x y )dxdy g ( x , y ) g ( x, y ) x(1 y ) y2 1 x Câu 73: Tính ( x y )2 dx ( x y )2 dy ,với ( x, y ) | x 2, y x x 32 f ( x, y) ( x y) f y 2( x y) a) Khi I xdxdy xdy dx 00 g x 2( x y) g ( x, y) ( x y) 2 16 f ( x, y) ( x y) f y 2( x y) I ydxdy ydy dx b) Khi 0 x g x 2( x y) g ( x, y) ( x y) x 16 f ( x, y) ( x y) f y 2( x y) I ydxdy ydy dx c) Khi 00 g x 2( x y) g ( x, y) ( x y) 2 32 f ( x, y) ( x y) f y 2( x y) I xdxdy xdy dx d) Khi 0 x g x 2( x y) g ( x, y) ( x y) Câu 74: Cho I ( x y )dxdy , hình trịn x y 2ax, a Sử dụng định lý Green để chuyển tích phân kép sang tích phân đường a) I x ydx xy dy b) I c) I 3 y x dx dy 3 d) I x Trang 13 ydx xy dy CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN y3 x3 dx dy 3 2x2 0 y x2 x3 1 y x a) dx dy C b) dy dx y C y 3y 2x y 2x y y y x2 y 2 x3 c) dy xdx C d) ydy x dx C C 2x 4x 2 Câu 76: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân yy ' 3x Câu 75: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ' 3x x3 dx y C 2y 2y 1 1 c) ydy 3x dx C y x3 C d) dy dx ln y C 3x 2y 3x 2x e Câu 77: Tìm nghiệm tơng qt phương trình vi phân y ' 0 y y y2 y2 a) x dy dx x x C b) ydy e2 x dx e2 x C e 2e 2 y c) ydy e2 x dx 2e2 x C d) ydy e2 x dx C y e x C dx dy Câu 78: Tìm nghiệm phương trình vi phân 0, x x 1 y2 dx dy dy dx a) b) C arctan y C ln x arctan y 1 y x 1 y2 x x dx dy dy dx c) d) C ln x arctan y C arctan y 2 x 1 y 1 y x x dx dy 0 Câu 79: Tìm nghiệm phương trình vi phân 1 x 1 y2 a) 2y y2 dy dx xC 3x 3x b) dy a) arcsin x arctan y C b) arctan y arcsin x c) arctan y arcsin x C d) arctan y ln x x C Câu 80: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân (1 y )dx x3dy dy dx C arctan y C x 2x dy dx c) C arctan y C 1 y x 4x dy dx C arctan y C x 2x dy dx 1 x d) C ln C 1 y x 1 x 4x y Câu 81: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ' 0 x 1 y y a) y ' dy dx y y ln x C x 1 x 1 y 1 b) y ' dy dx C ln y ln x C y ( x 1) C x 1 y x 1 y c) y ' ( x 1)dy ydx ( x 1) y xy C x 1 y x 1 d) y ' 0 dy dx ( x 1) ln y x C x 1 y a) 1 y Trang 14 b) 1 y Câu 82: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y 'cos2 x y 0, x k dy dx C ln y tan x C y eC tan x y cos x dy b) dx C ln y tan x C y Cetan x y cos x dy c) dx C ln y tan x C y etan xC y C e tan x y cos x dy d) dx C ln y tan x C y Ce tan x y cos x Câu 83: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân (1 cos x) y ' y sin x 0, x k 2 dy d (1 cos x) a) C ln y ln(1 cos x) C y cos x C y cos x dy d (1 cos x) C b) C ln y ln(1 cos x) C y y cos x cos x dy d (1 cos x) c) C ln y ln(1 cos x) C y C (1 cos x) y cos x dy d (1 cos x) d) C ln y ln(1 cos x) C y C y cos x cos x a) Câu 84: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ' xy e x a) Đặt u ' 2 x u x Suy y e2 x b) Đặt u ' 2 x u x Suy y e x e e x2 x2 dx C x C e e dx C e dx C x C e dx C e dx C x C e e dx C e dx C x C e x2 e e d) Đặt u ' 2 x u x Suy y e e c) Đặt u ' x u x Suy y e2 x x2 x2 x2 e x dx C e2 x 2 x x2 x2 x2 2x x2 2x x2 y x cos x, x x ln x e x cos xdx C x cos xdx C x sin x C Câu 85: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ' a) y eln x e x cos xdx C 1x cos xdx C 1x sin x C e x cos xdx C x cos xdx C x sin x C e x cos xdx C 1x cos xdx C 1x sin x C b) y e ln x c) y eln x d) y e ln x ln x ln x ln x Câu 86: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân (4 xy y)dx (4 x y x)dy x y 0 x y a) (4t.0 0)dt (4 x 2t x)dt C x y xy C b) (4t.0 0)dt (4 x 2t x)dt C x y x C 0 x y 0 c) (4t.0 0)dt (4 x 2t x)dt C x y y C Trang 15 x2 1 1 1 d) y dy x dx C y y x x C 4 4 4 x3 Câu 87: Tìm nghiệm tổng quát phương trình 3x 1 ln y dx y dy 0, y y y x t a) Nghiệm tổng quát 3t (1 ln 0)dt (2t x3 )dt C x3 y x ln y C 0 y x b) Nghiệm tổng quát 3t dt 2t x3 dt C x (1 ln y ) y C t x3 c) Nghiệm tổng quát 3t dt 2t dt C x (1 ln y ) y C t 1 y x x y 0 d) Nghiệm tổng quát 3t (1 ln 0)dt (2t x3 )dt C x3 y x3 ln y x3 C t Câu 88: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '' x a) y x2 Cx b) y x Ax B c) y x3 Cx d) y x3 Ax B a) yr ln sin x y ln sin x Ax B sin x b) yr ln sin x y ln sin x Ax B c) yr ln sin x y ln sin x C d) yr ln sin x y ln sin x C Câu 89: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '' Câu 90: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '' e x a) Ta có y0 Ax B, yr e x Nên y e x Ax B b) Ta có y0 Ax B, yr e x Nên y e x Ax B c) Ta có y0 Ce0 , yr e x Nên y C e x d) Ta có y0 Ce0 , yr e x Nên y C e x Câu 91: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y " cos x a) Ta có y0 Ce0 , yr sin x Nên y sin x Ce0 b) Ta có y0 Ax B, yr sin x Nên y sin x Ax B c) Ta có y0 Ce0 , yr cos x Nên y cos x C d) Ta có y0 Ax B, yr cos x Nên y cos x Ax B Câu 92: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y " y ' 12 y a) y Ae3 x Be4 x b) y x Ae3 x Be 4 x c) y Ae3 x Be4 x Câu 93: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) y Ae3x B b) y Ae3 x Be3 x c) Câu 94: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) y e x A cos x B sin x b) d) y x Ae3 x Be x y '' y ' y y Ax B e3x d) y Ax B e3x y '' y ' y y A cos x B sin x c) y e x A cos x B sin x d) y e x A cos x B sin x Câu 95: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '' y ' y a) y e x A cos x B sin x b) y e x A cos x B sin x Trang 16 d) y e x A cos x B sin x c) y e2 x A cos x B sin x Câu 97: Một nghiệm riêng phương trình vi phân a) yr x( Ax2 Bx C )e2 x c) yr ( Ax2 Bx C )e2 x Câu 96: Một nghiệm riêng phương trình vi phân a) yr x( Ax B)e5 x b) yr ( Ax B)e5 x Câu 98: Một nghiệm riêng phương trình vi phân a) yr Ax cos x c) yr A cos x Câu 99: Một nghiệm riêng phương trình vi phân a) yr Ax B sin x Cx D cos x c) yr Cx sin x y '' y ' y x 2e2 x có dạng b) yr Ax2e2x d) yr Aex Be3x y '' y ' x có dạng c) yr x( Ax B) d) yr Ax B y '' 10 y ' 25 y 2cos5 x có dạng b) yr A cos x B sin x d) yr x A cos x B sin x y '' 10 y ' 21y x sin x có dạng b) yr Ax B sin x d) yr Ax sin x Bx cos x B D B B B D B A A 10 D 11 C 12 B 13 C 14 C 15 B 16 D 17 C 18 A 19 B 20 D 21 A 22 D 23 B 24 B 25 A 26 D 27 A 28 D 29 C 30 B 31 B 32 C 33 B 34 C 35 A 36 C 37 A 38 A 39 A 40 D 41 C 42 B 43 C 44 B 45 C 46 B 47 A 48 D 49 B 50 A 51 A 52 B 53 C 54 B 55 D 56 B 57 C 58 C 59 A 60 C 61 C 62 B 63 A 64 A 65 D 66 B 67 C 68 A 69 D 70 A 71 D 72 D 73 C 74 B 75 D 76 C 77 D 78 C 79 D 80 B 81 B 82 D 83 C 84 D 85 C 86 A 87 B 88 D 89 B 90 B 91 D 92 A 93 C 94 D 95 A 96 C 97 C 98 B 99 A Trang 17