HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN CHỨA THAM SỐ A Tóm tắt lý thuyết Cho hệ phương trình bậc hai ẩn Để giải hệ phương trình (*) ta thường dùng phương pháp cộng đại số Từ phương trinh hệ phương trình (*), sau dùng phương pháp cộng đại số, ta thu phương trình (một ẩn) Khi số nghiệm phương trình số nghiệm hệ phương trình cho Chú ý: Cách biện luận số nghiệm phương trình bậc ẩn - Nếu phương trình có nghiệm - Nếu ta được: +) Nếu phương trình có vơ số nghiệm +) Nếu phương trình vơ nghiệm B Bài tập dạng toán Dạng 1: Giải biện luận hệ phương trình Cách giải: Để giải biện luận hệ phương trình (*) ta làm sau Bước 1: Từ hai phương trình (*), sau dùng phương pháp cộng đại số, ta thu phương trình (chỉ cịn ẩn ) Bước 2: Giải biện luận phương trình mới, từ đến kết luận giải biện luận hệ phương trình cho Bài 1: Cho hệ phương trình Tìm giá trị ( tham số) để hệ phương trình: a Có nghiệm nhất, tìm nghiệm b Vơ nghiệm c Vơ số nghiệm Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm d Hãy tìm giá trị m nguyên để e Tìm hệ thức liên hệ ngun khơng phụ thuộc vào tham số Lời giải Từ (1) có: , thay vào phương trình cịn lại Số nghiệm hệ phương trình số nghiệm phương trình (*) a hệ phương trình có nghiệm b Vô nghiệm c Vô số nghiệm Với d Ta có: e Hệ thức khơng phụ thuộc vào Bài 2: Cho hệ phương trình ( tham số) Giải biện luận hệ phương trình cho theo Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm a) Tìm hệ thức liên hệ b) Tìm giá trị không phụ thuộc vào để Lời giải 1) Ta xét trường hợp sau - Xét hệ phương trình có nghiệm - Xét +) Với hệ phương trình có nghiệm +) Với hệ phương trình vơ số nghiệm +) Với hệ phương trình vơ nghiệm 2) a) Với hệ phương trình có nghiệm b) Bài 3: Cho hệ phương trình ( tham số) Giải biện luận hệ phương trình cho theo Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm a Chứng minh b Tìm giá trị với giá trị để Lời giải +) Với +) Với hệ phương trình có nghiệm hệ vơ nghiệm hệ phương trình vơ số nghiệm Với a Thay vào (thỏa mãn) b Bài 4: Cho hệ phương trình ( tham số) Giải biện luận hệ phương trình cho theo Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm a Tìm hệ thức liên hệ b Tìm điều kiện để không phụ thuộc vào Lời giải Với +) , hệ phương trình có nghiệm hệ phương trình vơ nghiệm a) Hệ thức cần tìm b) Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước Cách giải: Một số toán thường gặp dạng Bài tốn 1: Tìm điều kiện ngun tham số để hệ phương trình có nghiệm số nguyên Bài tốn 2: Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình có nghiệm hệ thức cho trước Bài 1: Cho hệ phương trình Tìm m để hệ phương trình có nghiệm Tìm m nguyên để nghiệm cho Lời giải nguyên thỏa mãn Từ phương trình thứ ta có: +) Với thay vào phương trình cịn lại ta được: vơ nghiệm +) Với hệ phương trình vơ nghiệm Hệ phương trình +) Với Hệ phương trình vơ nghiệm , hệ phương trình có nghiệm Khi Bài 2: Cho hệ phương trình ( Tìm điều kiện tham số tham số) để hệ phương tình có nghiệm thỏa mãn điều kiện Lời giải Từ thay vào phương trình +) Với hệ phương trình vơ nghiệm +) Với hệ phương trình có dạng ta được: mà trình vơ nghiệm +) Với hệ phương trình có nghiệm Khi Bài 3: Cho hệ phương trình ( tham số) hệ phương Tìm điều kiện tham số để hệ phương tình có nghiệm cho biểu thức đạt giá trị nhỏ Lời giải *) Với Hệ phương trình có nghiệm Khi Bài 4: Cho hệ phương trình ( tham số) a) Giải hệ phương trình b) Tìm giá trị tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn Lời giải a) Với Vậy với hệ phương trình trở thành: hệ phương trình có nghiệm b) Ta tìm Bài 5: Cho hệ phương trình ( tham số) a Giải hệ phương trình b Tìm nguyên cho hệ có nghiệm c Với giá trị m ba đường thẳng Lời giải a Với ta giải được: đồng quy b Hệ phương trình c Xét hệ phương trình: Ba đường thẳng cho đồng quy y = 2x – m qua , nghĩa là: Bài 6: Cho hệ phương trình ( tham số) a Giải hệ phương trình b Chứng minh hệ phương trình ln có nghiệm với c Tìm để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV mặt phẳng tọa độ d Với giá trị m hệ có nghiệm thỏa mãn Lời giải b Ta có: m2 + > với Vậy hệ phương trình có nghiệm với c d Bài 7: Cho hệ phương trình ( tham số) Giả sử hệ có nghiệm a Tìm đẳng thức liên hệ khơng phụ thuộc vào b Tìm giá trị m thỏa mãn c Tìm để biểu thức nhận giá trị nguyên Lời giải Từ (1) thay vào (2) ta được: Hệ có nghiệm a hệ thức cần tìm b Ta có: đó: +) Với +) Với Vậy giá trị cần tìm c Ta có: BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Cho hệ phương trình ( tham số) a Giải biện luận hệ phương trình cho b Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm ướng với nghiệm - Chứng minh , gọi điểm tương hệ phương trình ln nằm đường thẳng cố định - Tìm giá trị - Xác định giá trị để để thay đổi thuộc góc phần tư thứ thuộc đường trịn có tâm gốc tọa độ bán kính Hướng dẫn giải a Với hệ phương trình có nghiệm +) Với hệ phương trình vơ nghiệm +) Với hệ phương trình có vơ số nghiệm b) Ta tìm hệ thức liên hệ Vậy - không phụ thuộc với thuộc chạy đường thẳng có phương trình: thuộc góc phần tư thứ Vậy Bài 2: Cho hệ phương trình ( tham số) a Giải hệ phương trình với b Tìm để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn c Tìm để hệ phương trình có nghiệm cho để hệ phương trình có nghiệm cho đạt giá trị nhỏ d Tìm e Tìm nguyên để hệ phương trình có nghiệm cho ngun f Khi hệ phương trình có nghiệm tìm hệ thức liên hệ mà khơng phụ thuộc vào giá trị Hướng dẫn giải a) Với hệ phương trình trở thành b) Từ: - Với - Với hệ phương trình có vơ số nghiệm hệ phương trình vơ nghiệm - Với Để 10