Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 24 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Chương III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN THIẾT Kiến thức Theo u cầu chuẩn kiến thức mơn Tốn lớp 12 THPT hành, học sinh cần hiểu, nhớ khái niệm kết Các khái niệm: Định nghĩa nguyên hàm hàm số (trên khoảng K ) Định nghĩa tích phân Ký hiệu nguyên hàm, ký hiệu tích phân, cận trên, cận tích phân, Khái niệm diện tích hình thang cong Khái niệm thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình thang cong quanh trục Ox Các kết quả: f x dx F x C F x f x ' f x Chú ý: Khoảng K khoảng xác định Vì vậy, cách xác, phải có F ' x f x , x K dx ln x C kết sai Do đó, x f x dx f x C Kết có nghĩa ' f x nguyên hàm f x f x (nếu có tập xác định) Các tính chất nguyên hàm Công thức đổi biến số nguyên hàm Công thức nguyên hàm phần Bảng nguyên hàm hàm số thường gặp Các tính chất tích phân Cơng thức đổi biến số tích phân Cơng thức tích phân phần Cơng thức tính diện tích hình thang cong Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong Cơng thức tính thể tích khối xoay tạo thành quay hình thang cong quanh trục Ox ' f x ' Kỹ Theo yêu cầu Chuẩn kỹ mơn Tốn lớp 12 THPT hành, học sinh cần luyện tập để thành thục kỹ đây: Có khả tái khái niệm, két nêu mục đây, tình cụ thể; F x f x Biết kiểm tra hàm số có phải nguyên hàm hàm số hay không Biết kiểm tra tính đắn khẳng định f x dx F x C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Biết tính đạo hàm hàm số đơn giản ( học chương trình Tốn 11) phục vụ yêu cầu kiểm tra xem hàm số F x có phải nguyên hàm hàm số f x hay không f x dx F x C ( kiểm tra tính đắn khẳng định ) Biết dùng tính chất nguyên hàm công thức nguyên hàm hàm số thường gặp để tính nguyên hàm hàm số đơn giản Biết tính tích phân hai cách: sử dụng định nghĩa tích phân đưa tốn tìm ngun hàm; sử dụng phương pháp tính tích phân: phương pháp khai triển, phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân phần x f x f x Biết số dạng hàm số tích phân phần: , kx b cos kx b sin kx b ln kx b hàm số e , , , Biết biến đổi biểu thức lượng giác, biết giải phương trình lượng giác đơn giản ( học chương trình Tốn 10 Tốn 11) Biết tính diện tích hình thang cong tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong Biết tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình thang cong quanh trục Ox Vơi tốn tính tích phân hàm số chưa dấu giá trị tuyệt đối , tốn tính diện tích hình phẳng, học sinh cần nắm vững kỹ phá dấu giá trị tuyệt đối, biết xét dấu biểu thức Đặc biệt, học sinh nên nắm tính chất: Nếu hàm số liên tục khơng triệt tiêu điểm khoảng có dấu khơng đổi khoảng học lớp 11 Một số ví dụ Ví dụ (Câu 23 Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): f x 2x Tìm nguyên hàm hàm số f x dx x 1 x C A f x dx C f x dx 3 x 1 B f x dx D 2x C 2x C 2x C Hướng dẫn giải: Cách 1: Học sinh cần nắm vững kỹ kiểm tra tính đắn khẳng định f x dx F x C phải nhứ cách tính đạo hàm thức, tích hai hàm số ' u Cách giải: Áp dụng công thức 2x ' x 1 ' 2x u' ' ' ' u uv u v uv ta có: 2x 2x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word x 1 ' ' x x 1 x x 1 2 x x 1 2x ' 3 x 2x Do với số thực k : ' k k 2x 2x 2x k x 1 k x 1 ' 2x 1 x 3k x ' x 3k 1 k Vậy B đáp án f x dx Cách 2: Học sinh viết tính phương pháp đổi biến số Ví dụ (Câu 25 Đề minh họa mơn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): f x x 1 Tính tích phân I 4 A I cos3 x sin xdx B I I D C I 0 Hướng dẫn giải: Hàm số lấy tích phân hàm lượng giác x Có hai cách tính tích phân loại này: biến đổi lượng giác tích thành tổng để đưa tích phân cos kx , sin kx đổi biến số để đưa tính tích phân hàm lũy thừa Cách giải 1: Áp dụng cơng thức biến tích thành tổng, ta có: cos x cos2 x cos x sin x sin x 2 , 1 cos3 x sin x sin x cos x sin x sin x cos x 4 1 sin x sin x 1 1 I sin x sin x dx sin xdx sin xdx 40 80 0 Do đó, Áp dụng cơng thức sin kxdx cos os cos kx C cos 2n 1 , ta : 1 sin xdx cos x 0 4 0 Tương tự sin xdx 0 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Do I 0 , C đáp án ' sin x cos x Cách giải 2: Đặt t cos x nên sin xdx dt Đổi cận: x 0 t 1 , x t 1 t4 I t dt t dt 1 3 0 1 Do đó, Ví dụ (Câu 26 Đề minh họa mơn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): e Tính tích phân: I A I x ln xdx I e2 2 I e2 I e2 B C D Hướng dẫn giải: Hàm số dươi dấu tích phân tích phân phương pháp tích phân phần x2 du dx v x Do áp dụng cơng thức tính tích phân Đặt u ln x , dv xdx , phần, ta có: e x2 I ln x e e e x2 e2 e2 x e2 e e2 dx xdx x 2 2 2 4 1 D đáp án Ví dụ (Câu 27 Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x x đồ thị hàm số y x x 37 81 D 13 A 12 B C 12 Hướng dẫn giải: Học sinh cần nắm kỹ tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong Trước tiên, cần tìm giao điểm hai đồ thị, học sinh cần biết cách viết phương trình xác định hồnh độ giao điểm hai đường, biết giải phương trình (bậc 3) Sau cần viết cơng thức tính diện tích tích phân (có chứa giá trị tuyệt đối) cuối phải tính tích phân đây, phương trình xác định hồnh độ giao điểm hai đồ thị x x x x x x x 0 x x x 0 (1) Phương trình có nghiệm phân biệt, viết theo thứ tự tăng 2;0;1 Từ đó, diện tích cần tính S x x x dx 2 Chú ý (1) khơng có nghiệm khoảng 2; , 0;1 , suy x x x không đổi dấu khoảng đó, http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 1 3 x x x dx x x x dx x x x dx 2 2 0 x x x dx x x x dx Tính tích phân dấu giá trị tuyệt đối, ta 2 0 x x3 x x x dx x 38 2 2 1 x4 x3 x x x dx x 125 0 37 S 12 12 Đáp án A Từ Ví dụ (Câu 28 Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): y 2 x 1 e x Kí hiệu ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , trục tung trục hồnh Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình ( H ) xung quanh trục Ox A V 4 2e C V e B D V 2e V e2 y 2 x 1 e x Hướng dẫn giải: Học sinh thường lúng túng muốn vẽ đồ thị hàm số Thực ra, ta khơng cần vẽ hình H mà cần giải phương trình tìm hồnh độ giao điểm hai đường y 2 x 1 e x x 1 e x 0 y 0 (trục hoành), phương trình Phương trình có nghiệm x 1 Do đó, cơng thức tính V này, ta tìm V Ở đây, phương trình xác định hồnh độ giao điểm hai đường x 1 e x 0 V x 1 e x dx Tính tích phân y 2 x 1 e x y 0 Phương trình có nghiệm x 1 Do đó, V x 1 e x 2 dx x 4e2 x dx 0 du 2 x 1 dx v 2e x u x 1 dv 4e2 x dx Đặt , , Do x 1 2 4e dx x 1 2e 2x 2x 1 2.e x 1 dx 4e2 x x 1 dx 2x 0 (1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 2x 2x Lại đặt u x , dv 4e dx du dx , v 2e Do 1 2x 2x 2x 2x 2 4e x 1 dx x 1 2e 2e dx 2 e 2 e 3 e 0 0 (2) x 1 Từ (1) (2) suy D II MỘT SỐ CÂU HỎI LUYỆN TẬP NGUYÊN HÀM Tìm nguyên hàm hàm số A f x dx f x B 2x 1 C F x D F' x Tìm hàm số , biết 1 F x C 2x x A C B D x 1 C x 2x f x Tìm hàm số , biết sin x f x C 2 cos x A 1 f x C sin x C f x V e2 Đáp án f x dx 2 2x 1 C f x dx 2x 1 C x 1 B D f ' x Suy 2x 1 2x 1 C f x dx C F x 4e x dx e e2 F x 1 C x 2x F x C x 2x cos x sin x sin x C sin x f x C cos x F x Tìm hàm số thỏa mãn điều kiện F x 1 C x A F ' x x C x F x x2 ln x C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word B F x x2 ln x D f x 2017 Tìm nguyên hàm 2017 x f x dx C ln 2017 A f x dx x 2017 C Tìm nguyên hàm A f x dx x 1 x2 ln x C x C B f x dx 2017 D f x dx 2017 e e e 1 Hàm số sau không nguyên hàm hàm số C x x x 1 B x 1 x 1 Tìm nguyên hàm A F x x C F x cot x x2 2x x 1 ? F x x x 1 x 1 F x x 3x x 1 F x ln 2017 C f x dx e.x C f x dx x C D f x A x C C f x dx e C B F x x f x x e xe C ln x x F x D F x hàm số f x F sin x biết B D F x sin x 1 F x cot x F x F ' x 3 x x y F x Tìm hàm số biết đồ thị cắt trục tung điểm có tung e độ F x x x e F x cos x e A B F x x x x F x x x x e C D 10 Biết f u du F u C Tìm khằng định f x 3 dx 2 F x C f x dx F x C B A http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word f x 3 dx F x 3 C C D f x 3 dx 2 F x 3 C f 2 f x f x 2 cos x 11 Cho hàm số thỏa mãn điều kiện Tìm khẳng định sai? f x 2 x sin x f x 2 x sin x B A f 0 f C D ' 12 Tìm nguyên hàm F x f x 2x e x biết F 1 x x F x A ln e x ln 1 x ln F x x e ln 1 2 F x e D C TÍCH PHÂN 13 Cho a b c , A C C b c f x dx 5 f x dx 2 f x dx , c Tính x a c c f x dx f x dx 3 B a a c c f x dx 8 f x dx 0 D a a 14 Biết A b a f x hàm liên tục f x dx 9 f 3x dx , tính 3 f x dx 1 f 3x dx 2 B 3 f 3x dx 3 f 3x dx 4 x 2 1 F x ln e e ln B D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word f x dx 3 ' 15 Biết hàm số f x có đạo hàm f ' x liên tục f , Tính f A f 0 B f C f 4 D f 2 xdx I x đặt t x Trong khẳng định sau, khẳng định 1 16 Xét tích phân sai ? A dx 2tdt I 2t 2t dt t C I 17 Đặt A dx dx x x 3sin t dt cos2 t x 2t 2t I dt t B I ln D cos t Trong khẳng định sau, khẳng định sai ? dx sin tdt cos t tan t B x x C sin tdt I cos t tan t D I 36 dx I x x 2 tan t Trong khẳng định sau, khẳng định sai ? 18 Đặt A x 4 tan t B I dt C D dx 2 tan t dt I 3 xdx I x 1 Nếu đặt t 1 x khẳng định khẳng 1 19 Xét tích phân định sau đúng? A I t t dt B I 2 t 3t dt C 20 Khẳng định ? I 2 t 3t dt D I t t dt http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word A sin xdx cos2 xdx B sin C 21 Khẳng định sai ? ' D B C xdx x tan x x sin xdx 2 cos2 xdx tan x x dx 0 xdx cos2 xdx 0 x tan tan x x tan sin xdx cos2 xdx tan x x A 2 d cos x xdx xdx 4 cos x 2 x tan xdx ln 32 D 22 Tìm khẳng định sai ? ' sin x cos x cos2 x A B x sin x x dx x cos x cos cos x dx C 1 sin x dx ln cos x sin x 0 x sin x 2 dx ln x cos D 23 Khẳng định sai ? A Với t cos x cos x 2tdt t2 sin xdx sin x 2 dx dt t t cos x 3cos x t cos x B Nếu đặt t t dt ln t ln t 1 C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word D cos x sin x dx ln cos x ln 3e2 x 1 I dx x e 24 Tính I 6e I 4e A B C I 6e D I 5e ln e3 x I x dx e 1 25 Tính I ln 2 A I ln 2 B I ln 2 D I ln 2 C e 26 Tính I A C I dx x 1 x I 2 e 1 e e 1 e e e I 2 1 e 1 e B I e 1 e e e D a 27 Giải phương trình ẩn a sau a A cos xdx 0 a k 2 B , k D a k , k a k 2 C , k 2 28 Biết a e A a 1 dx e x e e Khẳng định ? B a a ecos x cos x cos xdx e 29 Biết 3 sin a sin , A C a D a Tìm khẳng định sai ? 3 cos a cos , B http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 3 tan a tan , C 3 cot a cot , D a a sin x dx 30 Tính sin x , a số cho a 2a sin x a dx 1 sin x B a 2a sin x dx 2 a a sin x A a 2a sin x dx ln a D sin x a 2a sin x dx ln a C sin x 31 Tìm khẳng định sai ? 10 sin xdx cos2 x sin x A 10 B sin xdx 1 2 cos x sin x C D sin xdx cos2 x sin x 3sin xdx cos2 x sin x dx 10 e ln x ln x a a dx x b 32 Biết , a, b hai số nguyên dương b phân số tối giản Khẳng định sai ? cos x n A B cos x n sin xdx 2n sin xdx cos x C sin xdx n 1 n cos x n sin xdx D cos n x sin xdx n 1 2n 15 64 34 Trong giá trị n cho sau đây, tìm n để A n 1 B n 2 C n 3 D n 4 x 1 dx 3 ln a a b , a, b nguyên dương b phân số tối giản Hãy 35 Biết x x tính ab A ab B ab 12 C ab 6 D ab http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word tan x 36 Cho cos x ? A a b dx a a b ,trong a, b nguyên dương b phân số tối giản Khẳng định B ab 1 C a 10 b 1 2 D a b 1 37 Khẳng định sai ? sin x sin xdx 0 0 A 1 cos x sin xdx 0 20 B 3 tan x sin xdx 40 C cos x sin xdx D sin x cos xdx 0 38 Tính sin x cos xdx 1 0 A sin x cos xdx 0 0 B sin x cos xdx 0 C 39 Tìm khẳng định sai ? sin x cos xdx 0 D x sin e x dx cos , 0 A x cos e x dx sin , 0 B 1 sin xe x dx sin , 0 C 1 cos xe x dx cos , 0 D 1 a x x dx 6 ln b 40 Biết Khẳng định sai ? A a b 11 41 Biết F' x Tìm hàm số A C a b 22 D a b 7 a sin x cos2 x b F F F , , sin x cos2 x , 6 F x F x x a b 7 B a , a, b nguyên dương b phân số tối giản / tan x cot x 12 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word B C D F x x F x 9 x 2 42 Tính sin x cos x sin x cos x dx sin x cos x sin x cos x dx C tan x cot x F x x A tan x cot x dx 1 D 43 Tính ln x x B sin x cos x sin x cos x dx 2 dx sin x cos x sin x cos x 2 sin x cos x sin x cos x dx 2 ln x ln dx 16 A x B ln x x D dx ln x ln dx 16 C x ln x x 3 ln 16 dx ln 16 sin x cos xdx 44 Tính cos x sin x cos xdx ln cos x A sin x cos xdx 3ln cos x B 45 Tính A dx sin x cos xdx ln cos x C sin x cos xdx 2 ln cos x D dx cos x cos x 2 ln C dx cos x ln 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word B dx cos x ln 46 Tính C dx ln D 0 dx x 1 dx x 1 2 ln 4 ln sin x sin x 0 cos x dx cos x dx B x 1 0 dx x 1 2 ln 47 Tính dx cos x 3 ln x 1 A D dx C A B dx cos x sin x sin x cos x dx sin x cos x dx D 48 Tính x e 2x A 2x x e dx C 2x x e dx dx 3e 3e2 B 2x x e dx D 2x x e dx 3e2 3e2 sin x 4 dx sin x sin x cos x 49 Tính sin x 3 4 dx sin x sin x cos x A sin x 3 4 dx sin x sin x cos x B http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word sin x 4 4 dx sin x sin x cos x C sin x 4 4 dx sin x sin x cos x D e x 50 Tính ln xdx e e 5e x ln xdx 32 B 5e x ln xdx 32 A e C x ln xdx e 5e 32 D x ln xdx 5e 32 tan x dx cos x 51 Tính tan x dx ln cos x A tan x 10 dx ln cos x C 52 Tính A C tan x 10 dx ln cos x 27 B tan x 10 dx ln cos x D 4x x 1 dx 4x 10 dx ln x 1 4x x 1 53 Tính 22 ln sin x sin x dx 3cos x B 4x 22 4x 22 x 1 dx ln x 1 dx ln D dx sin x sin x dx A cos x C sin x sin x cos x dx 34 27 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word B sin x sin x cos x 54 Tính A dx ln x x 1 27 23 D sin x sin x dx cos x 35 29 dx ln 27 ln16 dx x 1 3 ln x B ln 27 ln16 dx x 1 dx 3 ln x ln x x 1 ln x x 1 ln 27 ln16 dx ln 27 ln16 C D ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC 55 Kí hiệu S diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số liên tục y f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng x a , x b hình vẽ bên Khẳng định sai ? (hình vẽ trang 67) b A S f x dx a b B b C S f x dx a S f x dx a b D S f x dx a f x 56 Kí hiệu S diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số liên tục, trục hoành hai đường thẳng x a , x b hình vẽ bên Khẳng định ? (hình vẽ trang 67) b A S f x dx a b B b C S f x dx a S f x dx a b D S f x dx a 57 Kí hiệu S diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y x , trục hoành hai đường thẳng x , x 2 hình vẽ bên Tìm khẳng định đúng? (hình vẽ trang 67) A S x dx 1 S B 3 x dx x dx 1 C S x dx D Khơng có khẳng định 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word S t 58 Kí hiệu diện tích hình thang vng giới hạn đường thẳng y 2 x , trục hoành t 5 Khẳng định sai ? hai đường thẳng x 1 , x t S t t t 1 A S t f t 2t t 1;5 B ngun hàm , C Hình thang vng giới hạn đường thẳng y 2 x , trục hoành hai đường thẳng x 1 , x 5 có diện tích S x 1 dx D Hình thang vng giới hạn đường thẳng y 2 x , trục hoành hai đường thẳng x 1 , x 3 có diện tích 30 59 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn hai đồ thị y cos x , y sin x hai đường thẳng x 0 , A S 2 x 21 B S 2 C S 2 D S 2 60 Gọi S số đo diện tích hình phẳng giới hạn parabol y 2 x x parabol cos y x x Tính S cos 0 S A 2 cos S B cos S C cos S D 61 Gọi S số đo diện tích hình phẳng giới hạn đường y x sin x , trục hoành hai đường thẳng x 0 , x Khẳng định sai ? A sin S 1 B cos S 1 C tan S 1 D sin S 1 62 Kí hiệu S1 , S2 diện tích hình vng cạnh diện tích hình phẳng giới hạn đường y x , y 0 , x , x 2 Chọn khẳng định A S1 S2 B S1 S2 S1 S2 C S2 6 D S1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 63 Biết diện tích S hình phẳng giới hạn đường y ln x , y 0 , x e , x e 1 S a e Tìm khằng định sai viết dạng 2 A a 3a 0 B a a 0 C a 3a 0 D a 3a 0 64 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đường parabol y x x hai đường thẳng y x , x 0 111 S 42 A B S C S 799 300 D S 2 65 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn hai đường y x 0 , x y 0 A S 3 B S 4 D S 5 C S 4,5 66 Hình phẳng H có diện tích S gấp 30 lần diện tích hình phẳng giới hạn đường y 2 x , x y 0 , y 0 Tính S A S 20 B S 30 C S 40 D S 50 67 Kí hiệu S1 , S2 , S3 diện tích hình vng đơn vị (có cạnh đơn vị), hình tròn đơn y 2 x vị (có bán kính đơn vị), hình phẳng giới hạn hai đường y 2 x , S1 S3 Tính tỉ số S2 S1 S3 S A S1 S3 S B S1 S3 D S2 S1 S3 C S2 68 Kí hiệu V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình thang cong giới hạn đồ thị y f x hàm số , trục Ox hai đường thẳng x a , x b (như hình vẽ bên) xung quanh trục Ox Khẳng định ? ( hình vẽ trang 69) b A b V f x dx B a b V f x dx a C V f x dx a b D V f x dx a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 69 Gọi V thể tích hình cầu bán kính R Khẳng định sai ? A Hình cầu bán kính R khối trịn xoay thu quay nửa hình giới hạn đường y R2 x2 R x R R V B R R2 x2 đường thẳng y 0 xung quang trục Ox dx R x3 V R x R C D Không có khẳng định 70 Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y x , y 0 , x 1 , x 8 xung quanh trục Ox A V B V 9 C V 18, D V 93 71 Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y tan x , y 0 , x 0 , A V B x xung quanh trục Ox V 2 C V D V ln 2 72 Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y 4 x , y 0 xung quanh trục Ox A V 2 B V 71 82 C V 512 15 V 2 D 73 Kí hiệu V1 , V2 thể tích hình cầu bán kính đơn vị thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường thẳng y x đường cong y 2 x xung quanh trục Ox Hãy so sánh V1 , V2 A V1 V2 B V1 V2 C V1 V2 D V1 2 V2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word