Chuong 04b

1 Nếu điều kiện tốn cho tổng bình phương số a2 + b2 + c2 = k ổ b2 + c2 b2 + c2 ữ ỗ ữ P ( a, b, c) - P ỗ a, , ữ ỗ ữ ỗ 2 ữ ỗ è ø Ta tìm cách đánh giá ỉ b2 + c2 b2 + c2 ỉ k - a2 k - a2 ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ Pỗ a, , a, , ữ= P ỗ ữ ç ç ÷ ç ç 2 ø 2 ữ ữ ố ữ ỗ ỗ ố ứ Khi ú ta cần thứ tự a = { a, b, c} a = max { a, b, c} Ví dụ Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Chứng minh a + b+ c ³ a2b2 + b2c2 + c2a2 Lời giải Không tính tổng qt giả sử a £ b£ c Þ a £ 1, b2 + c2 ³ Þ b+ c ³ b2 + c2 = Ta cần chứng minh: f (a, b, c) = a+ b+ c- a2b2 - b2c2 - c2a2 = a + b+ c- a2 ( b2 + c2 ) - b2c2 ³ Xét æ b2 + c2 b2 + c2 ỉ b2 + c2 b2 + c2 ÷ ç 2 ÷ ç ÷ ÷ f (a, b, c) - f ỗ a , , = b + c b c + ỗ ữ ỗ ữ ữ ç ÷ ç 2 ø ÷ è ứ ỗ ố = ( b2 - c2 ) ( b+ c) - 2( b2 + c2 ) + b+ c + 2( b2 + c2 ) é ù ê( b+ c) ú ê ú³ = ( b- c) ê 2 ú b + c + b + c ( ) úû ê ë ( b+ c) Vì - b+ c + 2( b2 + c2 ) = ³ ( b+ c) +( b+ c) 2( b2 + c2 ) - ( b+ c + 2( b2 + c2 ) ( 2 + 2.2 - 4 b+ c + 2( b2 + c2 ) ) ) >0 Vậy ta cần chứng minh æ b2 + c2 b2 + c2 ữ ỗ ữ fỗ a, , ữ ỗ ỗ 2 ữ ữ ỗ ố ứ ổ 3- a2 3- a2 ữ ỗ ữ fỗ a, , ữ ỗ ữ ç 2 ø ÷ ç è 3- a2 ) ( ổ ữ ỗ ữ ỗ3 ữ ( a- 1) ỗ ( a+1) ữ (luụn ỳng) ỗ ữ ỗ4 ÷ a + a ÷ ( ) ç è ø Û a + 2( 3- a2 ) ³ a2 ( 3- a2 ) + 3 3 2 ³ ( a +1) - = ( a2 + 2a) ³ 0, " a Ỵ [ 0;1] Vì ( a +1) 4 3- a + 2( 3- a ) Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = Dồn biến hàm số http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Dưới tơi trình bày kỹ thuật dồn biến hàm số dạng đơn giản điều kiện toán cho tổng số không đổi (a + b+ c = k) dấu đạt biến số Khi thứ tự lại biến số giả sử a ³ b ³ c lúc dấu đạt ỉ b+ cư ÷ c = Þ bc = b = c Þ bc = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ìïï t = b+ c t2 ,0 £ s £ nên ta đặt í ïïỵ s = bc Đưa bất đẳng thức cần chứng minh dạng hàm số f(s) f(s) nghịch biến é t2 ù 0; ú đồng biến ê ê ú ë û + Nếu dấu đạt số ta cần f(s) nghịch biến tức f (s) £ f (0) , lúc đưa chứng minh bất đẳng thức với biến a t với a + t = k toán đưa chứng minh bất đẳng thức biến số t2 tức f(s) hàm đồng biến Ví dụ Cho a,b,c số thực khơng âm có tổng chứng minh ( a2 + b2 )( b2 + c2 ) ( c2 + a2 ) £ 32 Lời giải Không tính tổng quát giả sử a ³ b ³ c Gọi P biểu thức vế trái ta có 2 P =é éa4 + a2 ( b+ c) - 2bc + b2c2 ù ( b+ c) - 2bcù ú ê ú ë ûê ë û é t2 ù 0; ú Đặt b+ c = t, bc = s, s Ỵ ê ê ú ta có ë û + Nếu dấu đạt số b = c Þ s = ( ) P = f (s) = ( t2 - 2s) ( a4 + a2 ( t2 - 2s) + s2 ) é t2 ù 2 0; ú Xét hàm số f (s) = ( t - 2s) ( a + a ( t - 2s) + s ) với s Ỵ ê ê úta ë û f '(s) = - 2( a4 + a2 ( t2 - 2s) + s2 ) + 2( t2 - 2s) ( s- a2 ) t2 ỉư 2 Chú ý s Ê Ê ỗ ữ ỗ ữ ữ = Ê a Þ s- a £ Þ f '(s) £ ố3ứ 4ỗ ộ t2 ự 0; ỳ Do f(s) hàm nghịch biến đoạn ê ê ú ë û P = f (s) £ f (0) = t2 ( a4 + a2t2 ) = a2t2 ( a2 + t2 ) Suy ( = t2 ( 1- t) t2 +( 1- t) ) £ 32 ( 2 Chú ý khảo sát hàm biến g(t) = t ( 1- t) t +( 1- t) ) đoạn é 2ù ê0; úta có kết ê ë 3ú û Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b = , c = hoán vị 2 ỉ ỉ cư c÷ ÷ ç b + ; a + c £ a + Cách 2: Giả sử c = { a, b, c} ị b2 + c2 Ê ỗ ữ ữ ỗ ç ÷ ç 2÷ ç 2ø è ø è http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 2 ổ cử cử ữ +ổ ữ ỗ a2 + b2 Ê ỗ a+ ữ b+ ữ ỗ ç ÷ ÷ ç 2ø è ç 2ø è c c Đặt x = a + , y = b+ Þ x + y = 1; P £ x2 y2 ( x2 + y2 ) 2 Khi sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho số dương ta P £ x2 y2 ( x2 + y2 ) = ỉ ư2 xy 1ỉx + yử 2xy + x2 + y2 ữ ỗ ữ ữ 2xy( x2 + y2 ) Ê ỗ = ữỗ ỗ ữ ữỗ ỗ ứ ữ ỗ 2è 32 è ø Bài tập tương tự Cho a,b,c số thực khơng âm có tổng chứng minh ( a3 + b3 ) ( b3 + c3 )( c3 + a3 ) £ 256 Ví dụ Cho a,b,c số thực dương có tổng chứng minh bc ca ab 21 + + + abc ³ a b c 4 Lời giải Gọi P biểu thức vế trái giả sử a = max { a, b, c} ta có P= ỉ bc b2 + c2 s a( t - 2s) ÷ ữ + aỗ + abc = + + as ç ÷ ç ÷ a a s è bc ø s a( t - 2s) Xét hàm số f (s) = + + as nửa khong a s ổ t2 ự ỗ ỗ0; ỳ ta cú ỗ ố 4ỳ ỷ t2 ( 9a2 + 4) - 4a2t at 16 f '(s) = - + a = £ a s 4as2 4as2 ( 9a2 + 4) t - 64a2 2( 9a2 + 4) - 64a2 8- 46a2 = t £ t = t 0, " t ³ nên f (t) đồng biến ) é 3;+¥ hay ê ë f (t) ³ f ( 3) = Do ( a+ b+ c) 3( a+ b+ c) - 1³ 4( a+ b+ c- 1) Bất đẳng thức chứng minh Bài Cho a,b,c số thực dương có tích chứng minh 3ỉ 1 1ư a2 + b2 + c2 + ỗ ữ ỗa+ b+ c + + + ữ ữ ỗ 2ố a b Li gii ổ 1 1ư 2 ÷ Đặt P ( a, b, c) = a + b + c + 6- ỗ ỗa + b+ c + + + ữ ữ ỗ 2ố a b Khụng mt tớnh tổng quát giả sử a = { a, b, c} Þ x = bc ³ ( ) Ta chứng minh P ( a, b, c) ³ P a, bc, bc Tht vy ( ) 3ổ 1 ỗ b+ c- bc + + ỗ ỗ 2ố b c P ( a, b, c) - P a, bc, bc = ( b- c) ( b- ³ ( b- ( b- = ³ ÷ ÷ ÷ ÷ bc ø 2é 3ù ú c ê2 b + c - 3ê ỳ bc ỷ 2ổ ữ c ỗ 8bc- 3ữ ỗ ữ ỗ ố bcứ ) ( ) ) ) c ( 8- 3- 3) ³ Mặt khác ỉ1 x6 - 6x5 +12x4 - 6x3 - 3x2 + ÷ P a, bc, bc = P ỗ , x , x = ữ ỗ ữ ỗ ốx2 ứ 2x4 ( ) = ( x - 1) ( ( x - 2x- 1) 2 )³ + x2 +1 2x4 Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = Bài Cho a,b,c số thực khơng âm có tổng chứng minh 1£ ( a2 - a +1)( b2 - b+1)( c2 - c +1) £ Lời giải Khơng tính tổng qt giả sử a = max { a, b, c} Þ a ³ 1, b+ c £ ìïï t = b+ c , sẻ t ùùợ s = bc ộ t2 ù ê0; úta có ê 4ú ë û P = ( a2 - a +1) ( b2c2 - bc( b+ c) + b2 + c2 + bc- ( b+ c) +1) ( ) = ( a2 - a +1) b2c2 +( b+ c) - ( b+ c) - bc( 1+ b+ c) +1 = ( a2 - a +1) ( s2 + t2 - t - s( t +1) +1) 2 Xét hàm số f (s) = ( a - a +1) ( s + t - t - s( t +1) +1) ta có f '(s) = ( a2 - a+1) ( 2s- t - 1) < 2s- t - 1£ t2 t2 - 2t - t( t - 2) - - t - 1£ = < 2 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word14 c = { a, b, c} Þ c £ a + b+ c = 2;a+ b = 6- c ³ éæ ù2 a + bử ỳ ữ ỗ + Ta chng minh ( a2 + 2) ( b2 + 2) £ ê ÷ ờỗ ỳ ữ ỗ ờố ứ ỳ ỷ Thật bất đẳng thức tương đương với : 16( a2b2 + 2a2 + 2b2 + 4) £ ( a + b) +16( a + b) + 64 4 Û ( a + b) - 16a2b2 ³ 16( a- b) 2 2 Û é ( a+ b) + 4abù ³ 16( a- b) ( a + b) - 4abùé ê úê ú ë ûë û 2 Û ( a- b) é ³ (ëa + b) + 4ab- 16ù ê ú û Bất đẳng thức cuối ( a + b) ³ 16 2 éæ ù2 éæ ù2 a+ b÷ 6- cư ê ú ê ỳ ữ ỗ ỗ + 2ỳ = ( c + 2) ờỗ Do ú P Ê ( c + 2) ờỗ ữ ữ ữ ữ + 2ỳ ç ç ø è ø è ê ú ê ú ë û ë û 2 éæ ù2 6- cư ú đoạn [ 0;2] ta có ÷ ç + Xét hàm số f (c) = ( c2 + 2) ữ ờỗ ỳ ữ ỗ ø è ê ú ë û f '(c) = ( c - 20c4 +156c3 - 552c2 + 800c- 352) = ( c- 2) ( c2 - 12c + 44) ( c2 - 6c + 4) ³ 0, " c Ỵ [ 0;2] Do f(c) hàm đồng biến đoạn [ 0;2] Suy P £ f (c) £ f (2) = 216 Đẳng thức xảy a = b = c = Vậy giá trị lớn P 216 đạt a = b = c = Nhận xét Chú ý đẳng thức 2 2ù é æ ( a- b) a + bử ỳ ữ ỗ ( 2+ a ) ( 2+ b ) - ờ2+ỗỗố ø÷ ( a + 6ab+ b2 - 16) ÷ú = 16 ê ú ë û 2 2 Với tốn có tích đối xứng ( k + a )( k + b ) ( k + c ) với k > ta đánh giá 2ù é ỉ a + bư ê ỳ ữ ỗ ( k + a )( k + b ) vi ờk +ỗỗ ữ ữỳ ố øû ú ë 2 2 2ù é ỉ ( a- b) 2 a+ bư ú ÷ ç k + = Ta có : ( k + a2 ) ( k + b2 ) - ê ÷ú ( a + b + 6ab- 8k) ỗ ữ ỗ ố ứ 16 ỳ ỷ Bài Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn điều kiện a + b+ c = 2 2 2 Tìm giá trị lớn biểu thức P = ab( a + b ) + bc( b + c ) + ca( c + a ) Lời giải é t2 ù 0; ú Khơng tính tổng qt giả sử a ³ b ³ c đặt b+ c = t, bc = s, s Ỵ ê ê ú ë û b+ c t = Û t £ Khi a = 1- t ³ 2 P = a3 ( b+ c) + a( b3 + c3 ) + bc( b2 + c2 ) = a3 ( b+ c) + a é + bc é ( b+ c) - 3bc( b+ c) ù ( b+ c) - 2bcù ê ú ê ú ë û ë û = a3t + a( t3 - 3st) + s( t2 - 2s) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word16 3 Xét hàm số f (s) = a t + a( t - 3st) + s( t - 2s) ta có f '(s) = t2 - 4s- 3at = t ( t - 3a) - 4s £ é t2 ù 0; ú Do f(s) hàm nghịch biến đoạn ê ê ú ë û Suy f (s) £ f (0) = a3t + at3 = ( 1- t) t +( 1- t) t3 é 2ù Xét hàm số g(t) = ( 1- t) t +( 1- t) t2 với t Ỵ ê0; úta có ê ë 3ú û f '(t) = ( 1- 2t) ; f '(t) = Û t = 1 Ta có f’(t) đổi dấu từ dương sang âm qua t = nên f(t) đạt cực đại t = hay 2 ỉư 1 P Ê f (t) Ê f ỗ ữ ỗ ữ ữ= ỗ ố2ứ ng thc xy a = b = , c = hoán vị Nhận xét Với a,b,c không âm a + b+ c = k với chứng minh tương tự ta có có k4 Bài 10 Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn điều kiện a + b+ c = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức a b c P= + + 3 b + c +1 c + a +1 a + b3 +1 Lời giải Tìm giá trị lớn P Với a,b,c không âm ta ln có a b c £ a, £ b, £ c 3 b + c +1 c + a +1 a + b3 +1 Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta có P £ a + b+ c = Đẳng thức xảy số hai số Tìm giá trị nhỏ P Sử dụng bất đẳng thức C-S ta có ab( a2 + b2 ) + bc( b2 + c2 ) + ca( c2 + a2 ) £ ( a+ b+ c) a b c P= + + ³ 3 3 b + c +1 c + a +1 a + b +1 a( b + c +1) + b( c3 + a3 +1) + c( a3 + b3 +1) = a( b3 + c3 ) + b( c3 + a3 ) + c( a3 + b3 ) +1 Vậy để tìm giá trị nhỏ P ta tìm giá trị lớn biểu thức M = a( b3 + c3 ) + b( c3 + a3 ) + c( a3 + b3 ) é t2 ù 0; ú Không tính tổng quát giả sử a ³ b ³ c đặt b+ c = t, bc = s, s Î ê ê ú ë û b+ c t = Û t £ Khi a = 1- t ³ 2 M = a3 ( b+ c) + a( b3 + c3 ) + bc( b2 + c2 ) ù+ bc é( b+ c) - 2bcù = a3 ( b+ c) + a é ê( b+ c) - 3bc( b+ c) û ú ê ú ë ë û 3 = a t + a( t - 3st) + s( t - 2s) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word17 3 Xét hàm số f (s) = a t + a( t - 3st) + s( t - 2s) ta có f '(s) = t2 - 4s- 3at = t ( t - 3a) - 4s £ é t2 ù 0; ú Do f(s) hàm nghịch biến đoạn ê ê ú ë û Suy f (s) £ f (0) = a3t + at3 = ( 1- t) t +( 1- t) t3 é 2ù Xét hàm số g(t) = ( 1- t) t +( 1- t) t2 với t Ỵ ê0; úta có ê ë 3ú û f '(t) = ( 1- 2t) ; f '(t) = Û t = 1 Ta có f’(t) đổi dấu từ dương sang âm qua t = nên f(t) đạt cực đại t = hay 2 ỉư 1 M £ f (t) Ê f ỗ ữ ỗ ữ ữ= ỗ ố2ứ ng thc xy v a = b = , c = hốn vị 1 Tìm GTLN M đạt a = b = , c = hoán vị 8 P³ = Suy 1+ 8 Vậy giá trị nhỏ P đạt a = b = , c = hốn vị Nhận xét Với a,b,c khơng âm a + b+ c = k với chứng minh tương tự ta có có ab( a2 + b2 ) + bc( b2 + c2 ) + ca( c2 + a2 ) £ k4 Bài tập tương tự Cho a,b,c số thực khơng âm có tổng chứng minh a b c + + ³ 2 2 2 1+ b + c 1+ c + a 1+ a + b Bài 11 Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab+ bc+ ca = 1 1 + + ³ Chứng minh a + b b+ c c + a Lời giải Khơng tính tổng qt giả sử a = max { a, b, c} é t2 ù ïìï t = b+ c 1- s , s Î ê0; ú ta có at + s = Û a = Đặt í ê 4ú ïïỵ s = bc t ë û Gọi P biếu thức vế trái ta có 1 1 2a + b+ c P= + + = + b+ c a + b a + c b+ c a2 + ab+ bc + ca 1- s 2 +t 2a + t 1 t ( - 2s+ t + 2) t = + = + = + 2 t a +1 t ỉ t 1- sư t2 +( s- 1) ữ ỗ + ữ ỗ ữ ỗ ố t ứ t( - 2s+ t + 2) Xét hàm số f (s) = + đoạn t t +( s- 1) é t2 ù ê0; úta có ê 4ú ë û http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word18 2t é ( s- 1) - t2sù 2t3 ( a2 - s) ê ú ë û f '(s) = = 2 t2 +( s- 1) t2 +( s- 1) ( ) ( ) ³ æ t2 2t3 ç ç ç è4 (t ÷ s÷ ÷ ÷ ø +( s- 1) ) 2 ³ é t2 ù 0; ú Do f(s) hàm đồng biến đoạn ê ê ú ë û t ( t + 2) Vì f (s) ³ f (0) = + t t +1 t ( t + 2) + ³ Û ( t - 1) ( 2t2 - t + 2) ³ (luôn đúng) t t +1 Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b = 1, c = hoán vị a+ b Cách 2: Khơng tính tổng qt giả sử c = max{ a, b, c} Þ c ³ 1- ab Thay c = vào bất đẳng thức cần chứng minh ta có a+ b 1 1 P (a,b, c) = + + - = + + Đặt a + b b+ c c+ a a + b a + 1- ab b+ 1- ab a+ b a+ b æ ö a + b, ,0÷ ÷ Xét hiệu P (a, b, c) - P ỗ ỗ ữ ỗ ố a+ b ø Ta cần chứng minh ỉ ỉ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ 1 1 ỗ ỗ ữ ữ ç ç ÷ ÷ =ç + + + a + b + ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ỗ ữ a + b a + 1- ab b+ 1- abữ a + b ỗ ữ a + b + ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ a+ b a+ b ø è a+b ỉ ÷ a+ b a+ b ỗ ữ = + - ( a + b) ỗ 1+ ữ ỗ 2 ữ ỗ ữ 1+ a 1+ b ỗ 1+( a + b) ø è ỉ ÷ a+ b a+ b ỗ ữ ỗ + a + b + ( ) ữ ỗ 2 2ữ ỗ 1+ a 1+ b ữ ỗ + a + b ( ) è ø Ta chứng minh Û 1 + ³ 1+ Û abé ab( a + b) + 2ab- 2ù £0 ê ú ë û 1+ a2 1+ b2 1+( a+ b) Û ab( a + b) £ 2( 1- ab) (ln đúng) 2 Vì 2( 1- ab) = 2c( a + b) ³ ( a + b) ³ ab( a + b) Vậy ta cần chứng minh 1 P (a + b, ,0) ³ Û + a + b+ ³ a+ b a + b a + b+ a+ b Û a+ b 1+( a + b) Đặt x = + 1+( a + b) 1+( a + b) a+ b ³ 2( a + b) = a+ b Ta cần chứng minh x + ³ Û 2x - 5x + ³ Û ( 2x - 1) ( x - 2) ³ (luôn đúng) x Đẳng thức xảy a+ b ³ http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word19 ìï ïï a + b = ïï Û í ab+ bc + ca = ïï ïï abéab( a + b) + 2ab- 2ù= ú ë û ïỵ ê éa = c = 1, b = ê ê ëb = c = 1, a = Bài toán chứng minh đẳng thức xảy a = b = 1, c = hoán vị Cách 3: Đặt p = a+ b+ c, q = ab+ bc + ca, r = abc Bất đẳng thức viết lại dạng: 1+ p2 ³ Û ( p- 2) ( 2p- 1) + 5r ³ p- r + Nếu p³ bất đẳng thức hiển nhiên + Nếu r³ £ p £ theo bất đẳng thức Schur bậc ta có p( 4q- p2 ) = 4p- p3 4p- p3 ³ æ 5p( p+ 2) - 9( 2p- 1) ö ÷ Ta cần chứng minh Û ( 2- p) ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ è ø ( p- 2) ( 2p- 1) + Û ( 2- p) ( 5p2 - 8p+ 9) ³ Bất đẳng thức ln ta có điều phải chứng minh Bài 12 Cho a,b,c số thực không âm thoả mãn điều kiện ab+ bc + ca = 1 1 + + ³ Chứng minh a + b b+ c c + a a + b+ c Lời giải Không tính tổng quát giả sử a = { a, b, c} 1 >- theo tốn ta có a + b+ c 1 1 1 + + ³ Þ + + > a + b b+ c c + a a + b b+ c c + a a + b+ c Bất đẳng thức chứng minh é t2 ù ìïï t = b+ c , s Ỵ ê0; ú,0 < t £ Ta xét với b+ c £ đặt í ê 4ú ïïỵ s = bc ë û 1- s Ta có at + s = Û a = t Gọi biểu thức vế trái P ta có 1 1 2a + b+ c P= + + = + b+ c a + b a + c a + b+ c b+ c a +1 a + b+ c 1- s +t 2a + t 1 t = + = + 1- s t a +1 a + t t ỉ 1- sư +t ÷ ç + ÷ ç ÷ t ç è t ø + Nếu b+ c > Þ - t2 + 2- 2s t = + t 2 t s + t2 +1 t +( s- 1) t2 + 2- 2s t Xét hàm số f (s) = + t đoạn t - s+ t2 +1 t +( s- 1) é t2 ù ê0; úta có ê 4ú ë û http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word20 2t é (ës- 1) - t2sù 2t3 ( a2 - s) ê ú t t û f '(s) = = £ 2 2 2 2 ( - s+ t +1) ( - s+ t2 +1) t +( s- 1) t +( s- 1) ( ) ( ) Bởi a2 - s £ é t2 ù ỉ t2 ÷ ÷ 0; ú Vì f (s) f ỗ ỗ Do ú f(s) l hm nghch bin trờn on ữ ỗ 4ỳ ÷ è ø ë û ỉ t2 ÷ ữ ỗ Ta ch cn chng minh f ç ÷ ç ÷ è4 ø 2ư ỉ çt ÷ ÷ - ³ Û + t ữ Ta cú: f ỗ ỗ ữ t ố4 ứ t2 +2 t - 2³ 2 t ổ t ữ +1 t +ỗ ç - 1÷ ÷ ÷ ç è4 ø Û ( 2- t) ( 6t4 - 11t3 +10t2 - 12t + 8) ³ Û t £ (luôn đúng) Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b = 1, c = hoán vị Cách 2: Đặt p = a+ b+ c, q = ab+ bc + ca, r = abc Bất đẳng thức viết lại dạng: 1+ p2 - ³ Û p2 ( p- 2) + r ( 1+ 2p) ³ p- r p + Nếu p³ bất đẳng thức hiển nhiên + Nếu £ p £ theo bất đẳng thức Schur bậc ta có r ³ p( 4q- p2 ) = 4p- p3 Ta cần chứng minh 4p- p3 ( 1+ 2p) ³ Û p( 2- p) ( p- 1) ³ Bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Bài 13 Cho a,b,c số thực không thoả mãn điều kiện ab+ bc+ ca ³ Chứng minh rằg với số thực k ³ ta có p2 ( 2- p) + ( a2 + k)( b2 + k) ( c2 + k) ³ ( k +1) Lời giải Chú ý đẳng thức ( a2 + k) ( b2 + k)( c2 + k) = ( k( a +b+ c) - abc) + k( ab+ bc + ca- k) Trước tiên ta chứng minh k = bất đẳng thức đúng, 2 ỉ2 1ư ỉ2 1ư ỉ2 1ư 1ổ 1ử 1ổ 1ử ổ ỗ ỗ ỗ ç ç ç a + ÷ b + ÷ c + ÷ ab+ bc+ ca- ÷ 3- ÷ +1÷ ÷ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ç ÷è ÷è ÷³ 3è ÷ ³ 3è ÷ =è ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ 3ứ ỗ3 ứ ố 3ø 3ø 3ø 3ø Với k ' ³ k ³ ta có ( a2 + k ') ( b2 + k')( c2 + k ') = ( a2 + k +( k '- k) ) ( b2 + k +( k '- k) ) ( c2 + k +( k '- k) ) ³ ( ( a2 + k)( b2 + k)( c2 + k) + k '- ) 3 k ³ ( 1+ k + k '- k) = ( k '+1) Bài 14 Cho x,y,z số thực không âm thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word21 Chứng minh x+ y + y+ z + z+ x ³ 2+ Lời giải ïìï t = y + z , sỴ Khơng tính tổng quát giả sử x = max { x, y, z} đặt í ïïỵ s = yz 1- s Ta có xt + s = 1Þ x = t Gọi P biểu thức vế trái ta có P= x+ y + x+ z + y+ z x2 + xy + xz + yz 1- s +t t = + + ỉ t 1- sư ÷ ç ÷ ç ÷ +1 ç t ø è Xét hàm số f (s) = t 2 ổ 1- sử ữ +1 ỗ ữ ỗ ữ ỗ è t ø t2 + 2- 2s t +( 1- s) 2 f '(s) = 2t ( 1- s) - t2s ( t2 +( 1- s) ) + 2 = y+ z = + t 2x + y + z + x2 +1 + x2 +1 + t t2 + 2- 2s t +( 1- s) 2 + 2t t2 +( 1- s) 2t é t2 ù ê0; úta có đoạn ê 4ú t2 +( 1- s) ë û 2t ( 1- s) ( é t2 ù ê0; ú ê 4ú ë û t +( 1- s) 2 2t3 ( x2 - s) = ) ( t2 +( 1- s) ) 2 + 2t ( 1- s) ( t +( 1- s) 2 ) ³ é t2 ù 0; ú Do f(s) hàm đồng biến đoạn ê ê ú ë û ỉ t2 + 2t t ữ ữ ỗ + =ỗ t+ Vỡ vy f (s) f (0) = t ữ ỗ t +1 t +1ữ ố ứ t2 +1 ỗ t ³ 2+ t +1 t Bài 15 Cho a,b,c số thực không âm thoả mãn điều kiện ab+ bc + ca > 1 + + ³ minh 2 4a + bc 4b + ca 4c + ab a + b+ c Do P ³ + t+ chứng Lời giải Giả sử a = max { a, b, c} chứng minh 4a + bc + 4b + ca ³ 2 4t + tc ,t = a+ b Thật theo bất đẳng thức AM – GM ta có 1 + ³ 2 4a + bc 4b + ca ( 4a + bc) ( 4b2 + ca) 2ỉ 2 c + a2 + b2 + 6ab- 3c( a + b) ÷ ³ ÷ Và ( 4t + tc) - ( 4a + bc)( 4b + ca) = ( a- b) ỗ ỗ ữ ỗ ố4 ứ Theo AM – GM ta có 4c + ab ³ 4c + t2 Vậy ta cần chứng minh http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word22 2 + 2 4 = a+ b+ c 2t + c ³ 4t + tc 4c + t ỉ ỉ 1÷ 1ử ữ ỗ ỗ ỗ - ữ +ỗ - ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ 2 ỗ ỗ ữ ữ t t t + c t è 4t + tc ø è 4c + t ø -t - 4c - Û + ³ 2t + c 4t2 + tc 2t + 4t2 + tc 4c2 + t2 t + 4c2 + t2 ( Û t( 2t + c) ) ( ( ) 4t + tc 2t + 4t + tc - ) 2 ( 4c t 4c + t t + 4c2 + t2 ) ³ Bất đẳng thức tổng hai bất đẳng thức sau 1 ³ (1) 3t ( 2t + c) 4t + tc 2t + 4t2 + tc ( ) 4c ³ (2) 3t ( 2t + c) t 4c2 + t2 t + 4c2 + t2 ( ) Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b, c = hoán vị Bài 16 (Việt Nam TST 2006) Cho x,y,z số thực thuộc đoạn [1;2] chứng ỉ1 1ư x y z ữ 6ổ ữ ỗ ữ + + ( x + y + z) ỗỗỗ + + ữ ç ÷ ÷ ÷ è ÷ çy + z z + x x + yø èx y zø minh Lời giải Ta cần chứng minh ỉ1 1÷ ỉx ö y z ÷ ÷ f (x, y, z) = (x + y + z)ỗ + + ữ - 6ỗ + + ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ç ç èx y zø èy + z z + x x + ỳ Khơng tính tổng qt giả sử x = max { x, y, z} Xét hiệu: ỉ y + z y + z÷ (x + y + z)( y - z)2 6(x + y + z)(y - z)2 f (x, y, z) - f ç x, , = ÷ ç ç è ø 2 ÷ yz( y + z) (x + y)(x + z)(2x + y + z) = (x + y + z)( y- z)2[(x + y)(z + x)(2x + y + z) - 6yz( y + z)] (x + y)( y + z)(z + x)(2x + y + z) x số lớn ba số nên (x + y)(z + x)(2x + y + z) > 6yz( y + z) y+ z ³ Vì ta cần chứng minh f (x, t, t) ³ nên f (x, y, z) ³ f (x, t, t) với t = Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với: ỉ1 2ư ỉx 2t (t - x)2 (2t - x) ữ ỗ (x + 2t)ỗ + ÷ + ³ Û ³ 0, ÷ ữ ỗ ỗ ữ ố ữ ỗ ỗ2t t + xø èx t ø tx(t + x) Bất đẳng thức cuối 2t ³ ³ x Đẳng thức xảy x = y = z; x = 2, y = z = Bài toán chứng minh B BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác thoả mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh a + b+ c ³ 2+ abc Bài Cho a,b,c số thực không âm thoả mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word23 Chứng minh ( 2- ab) ( 2- bc) ( 2- ca) ³ Bài Cho a,b,c số thực dương có tích chứng minh 1 13 25 + + + ³ a b c a + b+ c +1 Bài Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a, b, c³ a + b+ c = 2 Tìm giá trị lớn biểu thức P = ( 1+ a ) ( 1+ b ) ( 1+ c ) Bài Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn a + b+ c = 2 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( 1+ a ) ( 1+ b ) ( 1+ c ) Bài Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn a + b+ c = 3 3 3 Tìm giá trị lớn biểu thức P = ( a + b )( b + c )( c + a ) Bài Cho x,y,z số thực dương có tích chứng minh x2 + y2 + z2 + x + y + z ³ 2( xy + yz + zx) Bài Cho a,b,c số thực dương có tích chứng minh 1ỉ 1 1ư ÷ a2 + b2 + c2 ỗ a + b+ c + + + ữ ç ÷ è 2ç a b cø Bài Cho x,y,z số thực dương có tổng chứng minh ỉx y z 21 ÷³ - 54( x3 + y3 + z3 ) - ỗ + + ữ ỗ ữ ữ ỗ xyz ốyz zx xyø Bài 10 Cho a,b,c số thực khơng âm có tổng chứng minh ( a3 + b3 ) ( b3 + c3 )( c3 + a3 ) £ 256 Bài 11 Cho a,b,c số thực dương có tích chứng minh 1 + + £ a - a +1 b - b+1 c - c +1 Bài 12 Cho a,b,c số thực khơng âm có tổng chứng minh a b c + + ³ 2 2 2 1+ b + c 1+ c + a 1+ a + b x Bài 13 Cho x,y,z số thực không âm thoả mãn điều kiện + y + z = 2 Chứng minh ( 3x + 5)( 3y + 5)( 3y + 5) ³ 512 Bài 14 Cho x,y,z số thực không âm chứng minh ( x + y + z) ³ ( x3 + y3 + z3 ) ( xy + yz + zx) 6- 2 Bài 15 Cho x,y,z số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z = 1 27 Chứng minh £ 1+ xy + 1+ yz + 1+ zx £ 4( x + y + z) Bài 16 Cho a,b,c số thực không âm thoả mãn điều kiện ab+ bc + ca > 1 + + ³ Chứng minh 2 a + bc b + ca c + ab a+ b+ c C HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ Bài Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với P ( a, b, c) = a + b+ c- abc- ³ Khơng tính tổng qt gỉa sử a = max { a, b, c} ta có http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word24