Chuong 03e

CHỦ ĐỀ 7: KỸ THUẬT SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT VÀ TAM THỨC BẬC HAI A NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Ta mở đầu kỹ thuật định lý sau Định lý Nếu f(x) hàm bậc thoả mãn điều kiện f (a ) 0, f (b) 0 f ( x) 0, x   a; b  Định lý Nếu f(x) hàm bậc  f (a); f (b)  f ( x) max  f (a); f (b) , x   a; b  Định lý Nếu f ( x) ax  bx  c,  a 0  với x    ;   b Ta có f(x) đạt Max, Min x  x  x  2a B BÀI TẬP MẪU Bài Cho x,y,z số thực thuộc đoạn  0;2 Chứng minh  x  y  z    xy  yz  zx  4 Lời giải Phân tích tìm lời giải: Nếu coi y z tham số bất đẳng thức có dạng nhị thức bậc x nên ta đánh giá theo định lý Viết lại bất đẳng thức cho dạng: f ( x )   y  z  x   y  z   yz  0 Do x   0;2 nên f ( x) max  f (0); f (2) Ta có f (0) 2  y  z   yz   y     z  0, y , z   0;2  f (2) 2   y  z    y  z   yz   yz 0 Suy f ( x) 0 Bất đẳng thức chứng minh đẳng thức đạt chẳng hạn x 0, y z 2 Bài Cho a,b,c,d số thực thuộc đoạn  0;1 Chứng minh   a    b    c    d   a  b  c  d  0 Lời giải Ta cần chứng minh P   a    b    c    d   a  b  c  d  0 Rõ ràng biểu thức vế trái hàm bậc biến a,b,c,d + Nếu coi hàm bậc a biểu thức P đạt giá trị nhỏ a 0 a 1 + Tương tự P đạt giá trị nhỏ b, c, d   0;1 Nếu số P 0 Nếu số P 0 Vậy P 0, a, b, c, d   0;1 ta có điều phải chứng minh http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Bài Cho 2015 số thực x1 , x2 , , x2015 thuộc đoạn   2015; 2015 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x1 x2  x2 x3   x2014 x2015  x2015 x1 Lời giải Tương tự toán ta có P đạt giá trị nhỏ xi    2015; 2015 , i 1,2015 Trong 2015 số cho ln tồn số dấu khơng tính tổng qt giả sử x1 x2   x1 x2 20152 Khi P 20152  x2 x3   x2015 x1 20152  20152   20152  2013.20152 Với x1 x2 2015, x3  2015, x4 2015, , x2014 2015, x2015  2015 P  2013.20152 Vậy giá trị nhỏ P  2013.20152 Bài Cho a,b,c số thực thuộc đoạn  0;1 Chứng minh a b c      a    b    c  1 b  c 1 c  a 1 a  b 1 Lời giải Gọi P biểu thức vế trái bất đẳng thức Khơng tính tổng quát giả sử a max  a, b, c  Suy P  b b c c  ;  c  a 1 b  c 1 a  b 1 b  c 1 a b c  1  a 1  b 1  c  b  c 1 Vậy để chứng minh bất đẳng thức ta cần chứng minh f (a )  a b c    a    b    c   0 b  c 1 Ta có f (a ) max  f (0); f (1) f (1) 0; f (0)  Ta có  bc  1  b 1  c  b  c 1 bc  b  c   b  c  bc   b  c 1  b  c  b   b  c2  b  c  bc  b  c 1    c  b  c     bc  1   b  c  1 0 Suy điều phải chứng minh Cách 2: Ta chứng minh theo cách khác sau: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word a b c    a    b    c  1 b  c 1 a b c 1 a    a    b    c  1   b  c 1 b  c 1    b    c   b  c  1 1 theo AM-GM Bài Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn điều kiện a  b  c 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P ab  bc  ca  2abc Lời giải Do P biểu thức đối xứng với a,b,c nên khơng tính tổng qt ta giả sử c min  a, b, c  c  a b c    2c  3 Khi viết lại P dạng: P ab   2c    a  b  c ab   2c   c   c  Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 2   1 c 2   a  b   1 c  ab      ab   0;            Coi ab ẩn P hàm bậc ab Suy     c       1 c  MaxP Max  P (0);P    Max c  c ;  c  c  c                        1  1 c  Xét hàm số f (c)   2c     c   c   c  c  với c   0;  ta 4    có: f '(c)  1  1  3c  c  c   3c  0, c   0;  2  3   1  Do f(c) hàm đồng biến đoạn  0;   3 Suy  1 Max f (c ) f     1   27 c 0;   Đẳng thức xảy a b c  Xét Q c   2c   2c.  2c  2  2c   2c       2 27     1 c   1  c  c   Vậy Max c   c  ;   2c    f         27   http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Vì giá trị lớn P đẳng thức xảy 27 a b c  Nhận xét Vì  2c  nên ta đánh giá trực tiếp: 2  a b   1 c  P     2c   c   c      2c   c   c      Bài Cho x, y, z số thực khơng âm có tổng Chứng minh x  y  z  xyz 4 Lời giải Không tính tổng quát ta giả sử x min  x, y, z  3x x  y  z 3  x  Đặt biểu thức vế trái bất đẳng thức P ta có: 2 P  x   y  z   yz  xyz   x   yz  x    x    f (t )  x   t  x  x  Với t  yz  y  z    x      2        x 2  f ( t ) Vậy ta tìm giá trị nhỏ  0;    , ta có f (t ) hàm số     nghịch biến x      x 2      x  1  x   0  P 4 P   f ( t )  f Vậy       Từ ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x  y z 1 Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b  c 1 2 3 Chứng minh a  b  c 6 a  b  c      Lời giải Không tính tổng giả sử a min  a, b, c  a  Bất đẳng thức cho tương đương với:     2bc  6  a  a   b  c   2bc 6 a3   b  c   3bc  b  c     a2  1  a  3     a   3bc   a     9a   bc   2a  1 0  bc  1 a         Ta đặt t bc   t  http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word   1 a 2  f ( t )  a  t  a   0,  t   0;      Vậy ta cần chứng minh :        1 a 2     a  3a  1 0     Do f (t ) hàm nghịch biến nên f (t )  f   Ta có đpcm Đẳng thức xảy a b c  C BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Cho a,b,c số thực thuộc đoạn  0;1 Chứng minh a  b  c  ab  bc  ca 0 Bài Cho số thực không âm thỏa mãn điều kiện a  b  c 1 3 Chứng minh a  b  c  6abc  a)  ab  bc  ca  2  9abc  1 Bài Cho a,b,c số thực thuộc đoạn  0;  a  b  c 1  2 3 Chứng minh a  b  c  4abc  32 Bài Cho a,b,c số thực thuộc đoạn  1;2 chứng minh a3  b3  c3 5abc Bài Cho số thực khơng âm x,y,z có tổng Chứng minh xy  yz  zx  xyz  27 D HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ Bài a) Khơng tính tổng qt giả sử a max  a, b, c  a  Bất đẳng thức tương đương với: a3   b  c    b  c  bc  6abc   a    a     a  bc  6abc  0   3a  1 bc   2a  1 0 Bất đẳng thức cuối Đẳng thức xảy a b  , c 0 hoán vị c) Khơng tính tổng qt giả sử a min  a, b, c   9a  Bất đẳng thức cho tương đương với:   9a  bc  7a  b  c   0    9a  bc  a   a   0 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word  bc  Vế trái hàm đồng biến với bc bc   ta cần chứng   minh bc   9a     a  a  0    1 a     9a     a  a  0     a  1  3b  1 0 Bất đẳng thức cuối Đẳng thức xảy a b c  Khi ta có: P xy  yz  zx  xyz  yz (1  x )  xy  zx 0 Bài HD: Giả sử x min  x, y, z  x x  y  z 1  x  Đẳng thức xảy x 1, y z 0 Vậy giá trị nhỏ P đạt x 1, y z 0 hoán vị  1 x  Mặt khác ta lại có P  yz (1  x)  x( y  z ) x   x       x   f ( x)    1 Ta tìm giá trị lớn f ( x) đoạn  0;   3   Ta có f '( x)  x   x  0 , f ( x) đồng biến trênđoạn 3   1    1  0;  Vậy max P max f ( x)  f    27 Đẳng thức xảy x  y z  CHỦ ĐỀ 8: BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ ĐÁNG CHÚ Ý VÀ ÁP DỤNG GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC Nội dung chủ đề đề cập đến số toán kết hợp sử dụng bất đẳng thức AM – GM Cauchy – Schwarz chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị Hy vọng chủ đề giúp ích cho bạn đọc nhìn nhận tiếp cận toán bất đẳng thức cực trị linh hoạt bao quát Bài toán Với số thực a,b thỏa mãn điều kiện ab 1 ta ln có 1 a    ab 1 b http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word10 Đẳng thức xảy a b ab 1 Với ab 1 bất đẳng thức đổi chiều Chứng minh Nhận xét Bằng cách chưng minh tương tự ta có bất đẳng thức dạng sau Với số thực dương a,b thay đổi thỏa mãn ab 1 ta ln có 1  a2  1  b2  ab  Đẳng thức xảy a b ab 1 Với ab 1 bất đẳng thức đổi chiều Một số bất đẳng thức phụ khác dạng    1 x 2  ,    xy 1  xy 1 y    x2   x2 1  y2 1  y2  ,  xy 1  xy  ,    xy 1  xy  Cho hai số thực dương x,y ta ln có x  xy  y  xy  2 x  y2 Đẳng thức xảy x  y Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có x  xy  y  xy x     xy  y  xy x  xy  y  xy    x  y  x2  y 2 1 n     , xk 1, k 1, n  x1  x2  xn  n x1 x2 xn Từ bất đẳng thức ta đưa bất đẳng thức dạng chẳng hạn Chứng minh với số thực x,y thoả mãn điều kiện xy  ta có  5x    xy 5y    xy  5x2  y2 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word11 Với số dương a,b ta có a b   b  ab a  ab  ab Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức C –S ta có 2  a  b  a  b a b     2 ab 2ab b  ab a  ab ab  a b  ab  b a ab  a  b   2ab  a  b  a  b  ab  ab   ab Dấu xảy a b CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho x,y,z số thực dương thoả mãn điều kiện y xz; z xy x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  y  z  2014 z  x Lời giải Chú ý z / x 1 sử dụng bất đẳng thức 1 a   ,  ab 1  ab 1 b x y 1     y z z Ta có x  y y  z  1 1 x y x z 2 t2 P  2014 x   2014 z z t 1 1  t 1 x x Do   2  t  1 503t  1007t  503  t  1  t  1  1008 1008, t  z 1 x Vậy giá trị nhỏ P 1008 đạt x  y z Ví dụ Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn điều kiện x z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P   x2  x  y  2z  y  z   y  z  3z zx Lời giải Biến đổi biểu thức sử dụng bất đẳng thức C –S ta có http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word12 2 x2 ( x  y)2  z (2 y  z ) ( y  z)2  2x2 ( x  y)2  y2 ( y  z)2      1    2     2 y z  z    1 1  1  y       x y   x y     y z       z Mặt khác do: x y  x 1   1  Nên áp dụng tốn ta có   1 y 1 z  x y  Từ ta suy Đặt t  2 x2 ( x  y)  z (2 y  z ) ( y  z) 2          z     1    x  z 1 x z 3t 1 Khi ta suy P   x  t t 1 3t  [1;  ) ta có  t t 1 Xét hàm f (t )  Bài tập tương tự Cho x,y,z số thực dương thoả mãn điều kiện x min  x, y, z x y 3z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  y  z  z  x x 1; y, z 1 thỏa mãn điều kiện xyz 1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1  x   y   z Ví dụ Cho số thực Lời giải 1 2    P    yz  1  x  yz  Với ta có  y  z  yz  yz yz t  yz  t  Ta có : f '(t )  Suy t2 2 P  f (t )   x t 1  t 2t  t 1 f (t )  f (2)    1 t  2  2t  t  1  t    t 1   t  1  2 0, t   1;2  22 15 Vậy giá trị nhỏ P 22 đạt x  ; y z 2 15 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word13 Ví dụ Cho a,b,c số thực dương 2a 2b 2c   3 a b bc ca Chứng minh Lời giải Nhận xét Ta chứng minh bất đẳng thức bất đẳng thức C –S tiếp cận theo phương pháp hàm số Ta cần chứng minh: Đặt x  1 b a  1 c b  a c 1  b c a ,y  ,z   xyz 1 a b c Bất đẳng thức trở thành:  x2    y2 1  z2  z Khơng tính tổng qt giả sử z max  x, y, z  z 1  xy  1 Khi sử dụng bất đẳng thức C-S toán phụ ta được: 1  x2   1  z      2   xy z 1 1 y  1 x 1 y  Chứng minh hoàn tất ta chứng minh được: z z     (vì bất đẳng thức tương  z z 1 z 1 1 z Thật đương với z   z 1 1 z  2z  z 1  0 ) Bài toán chứng minh Ví dụ Cho số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện a  b 2ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q   3 a  b2  a  b  a 1 b 1  Lời giải Từ giả thiết ta có: 2ab a  b 2 ab  ab 1  ab 1 Với ab 1 ta có BĐT:  a  b  1  ab  Mặt khác ta có: 3 a  b  a  b   3 a  b  2ab  4  3  a  b  4  3 4ab  3 ab  http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word14