Chủ đề 10 định lý pitagi tam giác vuông bằng nhau

CHỦ ĐỀ 10: ĐỊNH LÍ PY-TA-GO TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1/ Định lí PY – TA – GO thuận: Trong tam giác vng, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng VD: ∆ABC vuông A => BC2 = AB2 + AC2 2/ Định lí PY – TA – GO đảo: Nếu tam giác có bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh tam giác tam giác vng VD: ∆ABC có BC2 = AB2 + AC2 => ∆ABC vuông A 3/ Các trường hợp hai tam giác vuông Trường hợp 1: Cạnh huyền – Góc nhọn Trường hợp 2: Cạnh huyền – Cạnh góc vng Trường hợp 3: Cạnh góc vng – Góc nhọn B/ PHÂN LOẠI BÀI TẬP Loại Dùng Định lí thuận Pitago để tính độ dài cạnh Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A Tính BC biết : a) AB 3cm, AC 3cm a) AB  5cm, AC 3cm b) AB 4cm, AC 6cm b) AB  8cm, AC  17cm c) AB 2,3cm, AC 3,9cm 5 c) AB  cm, AC  cm Bài 2: Cho tam giác ABC vng A a) Tính AB biết BC 10cm, AC 8cm b) Tính AC biết BC 12cm, AB 10cm Bài 3: Cho tam giác ABC vuông B Tính độ dài AB biết AC 12cm, BC 8cm Bài 4: Cho tam giác MNP vng N Tính độ dài MN biết MP  30cm, NP  14 cm Bài 5: Cho ABC vuông cân A Biết AB 2cm Tính BC Bài 6: Cho ABC vng cân A Biết BC 2cm Tính AB, AC Loại Dùng Định lí đảo Pitago để chứng minh tam giác tam giác vuông Bài 7: Cho tam giác với độ dài cho trước Hãy cho biết tam giác tam giác vuông (vng đâu) ? Vì ? a) ABC có AB 3cm, AC 4cm, BC 5cm b) ABC có AB 3cm, AC 5cm, BC 6cm c) ABC có AB 10cm, AC 6cm, BC 8cm d) ABC có AB  3cm, AC 4cm, BC  15cm e) IME có MI  17cm, EI  8cm, ME 5cm f) KNI có KI 2,5cm, NI 3,5cm, KN  18,5cm Loại Vận dụng tổng hợp Bài 1: Cho hình vng ABCD cạnh 4cm Tính độ dài đường chéo AC, BD Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB 3cm, AD  27cm Tính độ dài AC Bài 3: Cho ABC vng A, AH  BC H Tính độ dài cạnh tam giác ABC biết AH 6cm, HB 4cm, HC 9cm Bài 4: Cho ABC vuông A, AH  BC H Tính độ dài cạnh tam giác ABC biết AH 4cm, HB 2cm, HC 8cm Bài 5: Cho ABC vuông A, AH  BC H Biết AB 4cm, HB 2cm, HC 8cm Tính BC, AH, AC Bài 6: Cho ABC vuông A, AH  BC H Biết AB 6cm, AC 8cm HB  HC 16 Tính HB, HC Bài 7: Cho ABC vng A, có AB 3cm, AC 4cm Gọi M, N trung điểm AB, AC Tính độ dài đoạn BM , CN Bài 8: Cho ABC vng A, có AB 3cm, AC 8cm Gọi M trung điểm AC Lấy điểm E tia đối tia MB Tính độ dài BE Bài 9: Cho ABC vng A, có AB 3cm, AC 12cm Goi I điểm thuộc AC cho AC 3 AI Tính độ dài BI Bài 10: Cho ABC cân A Kẻ BH vng góc với AC H Biết AH 7cm, HC 2cm Tính độ dài cạnh BC Bài 11: Cho ABC cân A Kẻ BH vng góc với AC H Biết AH 4cm, HC 1cm Tính độ dài cạnh BC Loại 4: Chứng minh hình sử dụng tam giác vng Bài 1: Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC Trên đường thẳng vng góc với BC kẻ từ M lấy điểm A (A  M) Chứng minh AB = AC Hướng dẫn Xét tam giác vuông ABM tam giác vng ACM có MB = MC (gt) AM cạnh góc vng chung Vậy  ABM =  ACM (hai cạnh góc vng ) => AB = AC ( cạnh tương ứng ) Bài 2: Cho tam giác ABC cân A Kẻ AH vng góc với BC (H  BC) Chứng minh HB = HC Hướng dẫn Xét tam giác vuông ABH tam giác vuông ACH có: AB = AC (gt) AH cạnh góc vng chung Vậy  ABH =  ACH (ch + cgv) => BH = HC ( cạnh tương ứng ) Bài 3: Cho tam giác ABC cân A Tia phân giác góc A cắt BC D Từ D kẻ DE  AB (E  AB) DF  AC (F  AC) Chứng minh rằng: a) DE = DF b)  BDE =  CDF c) AD đường trung trực BC Hướng dẫn a) Xét tam giác vuông ADE tam giác vuông ADF ˆ A ˆ A (gt) ; AD cạnh huyền chung Vậy  ADE =  ADF (CH + GN)  DE = DF ( cạnh tương ứng )  AE = AF ( cạnh tương ứng ) b) Ta có AB = AE + EB AC = AF + FC mà AB = AC (gt) AE = AF (cmt) => EB = FC Xét  vuông BDE  vuông CDF BE = CF ( cmt ) DE = DF ( cmt ) Vậy vuông BDE =  vng CDF (2 cạnh góc vng) => DB = DC ( cạnh tương ứng ) (1) c) Xét  BDA &  CDA có AB = AC (gt) ; DB = DC (cmt) AD cạnh chung Vậy  BDA =  CDA (ccc) => => ˆ D ˆ = D ˆ D ˆ D mà ˆ D ˆ D = 180 90 => AD vng góc với BC (2) Từ (1) (2) suy AD trung trực BC Bài 4: Cho tam giác ABC cân A Kẻ BE  AC (E  AC) CF  AB (F  AB) Chứng minh BE = CF Hướng dẫn Xét tam giác vuông ABE tam giác vng ACF Có AB = AC (gt) ; ˆ A chung Vậy  ABE =  ACF (ch + gnh)  BE = CF ( cạnh tương ứng ) Bài 5: Cho tam giác ABC, Kẻ AM, BN, CP vng góc với cạnh BC, AC, AB (M  BC, N  AC, P  AB) Chứng minh rằng: AM = BN = CP Hướng dẫn Xét tam giác vng AMB tam giác vng CPB Có AB = BC (gt) ; ˆ B chung Vậy  AMB =  CPB (CH + GN)  AM = CP ( cạnh tương ứng ) (1) Xét tam giác vuông ANB tam giác vuông APC AB = AC (gt) ; ˆ A chung Vậy  ANB =  APC (CH + GN)  AN = CP ( cạnh tương ứng ) (2) Từ (1 ) (2) => AM = BN = CP Bài 6: Trên tia phân giác góc nhọn xOy lấy điểm M (M  O) Từ M kẻ MA  Ox; MB  Oy (A  Ox; B  Oy) Chứng minh OA = OB Hướng dẫn Xét tam giác vuông OAM tam giác vuông OBM Oˆ Oˆ (gt) ; OM chung Vậy  OAM =  OBM (CH + GN)  OA = OB ( cạnh tương ứng ) Bài 7: Cho góc nhọn xOy Kẻ đường trịn tâm O bán kính 5cm; đường trịn cắt Ox A cắt Oy B Kẻ OM  AB (M  AB) Chứng minh OM tia phân giác góc xOy Hướng dẫn Xét tam giác vng OAM tam giác vng OBM Có OA = OB (gt) ; OM chung Vậy  OAM =  OBM (CH + CGV)  Oˆ Oˆ ( góc tương ứng ) Vậy OM tia phân giác góc xOy Bài 8: Cho  ABC cân A kẻ AH  BC (H  BC)  a) Chứng minh:  ABH =  ABH suy AH tia phân giác BAC b) Kẻ HD  AB (D  AB) , HE  AC (E  AC) Chứng minh  HDE cân c) Nếu cho AB = 29 cm, AH = 20 cm Tính độ dài cạnh AB? d) Chứng minh BC // DE e) Nếu cho  BAC = 1200  HDE trở thành tam giác gì? Vì sao? Hướng dẫn A a) Chứng minh: HB = HC  AHB =  AHC (cạnh huyền – cạnh góc vng)  HB = HC b) Chứng minh  HDE cân:  BDH=  CEH (cạnh huyền - góc nhọn)  DH = HE Vậy  HDE cân H c) Chứng minh:  HED  ˆ CAH = 1200 : 600  HED tam giác DAH  ˆ  ACH = 900  600 300  ADH  ˆ  ADH ˆ  ACH = 300  300 600  DHE Tam giác cân có góc 600 tam giác D B E H C d) Gọi I  AH  DE    DIH =  EIH (c.g.c)  DIH EIH   Mà DIH  EIH 1800   Do đó: DIH EIH = 1800 : 900  AH  DE Mặt khác: AH  BC Do đó: DE // BC ^ Bài 9: Cho tam giác ABC vng A, có B 60 AB = 5cm Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ DE vng góc với BC E 1/ Chứng minh:  ABD =  EBD 2/ Chứng minh:  ABE tam giác 3/ Tính độ dài cạnh BC Hướng dẫn 1/ Chứng minh:  ABD =  EBD Xét  ABD  EBD, có: ^ ^ BAD BED 900 BD cạnh huyền chung ^ B ^ ABD EBD (gt) Vậy  ABD =  EBD (cạnh huyền – góc nhọn) E 2/ Chứng minh:  ABE tam giác  ABD =  EBD (cmt) A  AB = BE  600 (gt) mà B ^ Vậy  ABE có AB = BE B 60 nên 3/ Tính độ dài cạnh BC Ta có ^ ^ EACBEA 900 (gt) ^ ^ C B 900 (  ABC vuông A) Mà ^ ^ BEA B 60 ^ ^ (  ABE đều) Nên EAC C  ABE D C   AEC cân E  EA = EC mà EA = AB = EB = 5cm Do EC = 5cm Vậy BC = EB + EC = 5cm + 5cm = 10cm Bài 10: Cho tam giác ABC có AB = AC =10cm, BC = 12cm Vẽ AH vng góc BC H a) Chứng minh:  ABC cân b) Chứng minh AHB AHC , từ chứng minh AH tia phân giác góc A c) Từ H vẽ HM  AB ( M  AB) kẻ HN  AC ( N  AC ) Chứng minh :  BHM =  HCN (1,5đ) d) Tính độ dài AH (1đ) e) Từ B kẻ Bx  AB, từ C kẻ Cy  AC chúng cắt O Tam giác OBC tam giác gì? Vì sao? Hướng dẫn a) Xét  ABC có CA = CB =13cm (gt) Vậy  ABC cân A b) ACI BCI có: CA = CB (  ABC cân A) ACI BCI  (gt) CI: cạnh chung  CIB  Do ACI = BCI (cạnh –góc- cạnh) => CIA  CIB  c) Ta có CIA (theo b))   CIB  Mà CIA 1800 (kề bù) 180   CIB  900 Nên CIA Hay CI  AB d) Ta có IA = IB= AB 10  5 cm 2 ACI vuông I, theo Pytago ta có: AC  AI  IC Hay 132 52  IC IC 132  52 169  25 144 => IC = 144 12 cm e)  CHI  CKI có:   CHI CKI 900   (CI phân giác góc C) HCI KCI CI : cạnh chung Do  CHI =  CKI (cạnh huyền-góc nhọn) => IH = IK Bài 11: Cho góc nhọn xOy Gọi I điểm thuộc tia phân giác góc xOy Kẻ IA vng góc với Ox (điểm A thuộc tia Ox) IB vng góc với Oy (điểm B thuộc tia Oy) a) Chứng minh  OAI =  OBI, IA = IB b) Cho biết OI = 10cm, AI = 6cm Tính OA c) Gọi K giao điểm BI Ox M giao điểm AI với Oy So sánh AK BM? d) Gọi C giao điểm OI MK Chứng minh OC vng góc với MK Hướng dẫn a) Chứng minh  OAI =  OBI(cạnh huyền-góc nhọn) b) - Viết hệ thức Pytago - Tính OA = 8cm c) Chứng minh  BIM =  AIK Suy AK = BM 0,5đ d) Chứng minh  BIM =  AIK0,5đ Suy góc OCK góc OCM 900 Bài 12: Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho BM = CN Gọi K trung điểm MN Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng Hướng dẫn A Kẻ ME  BC ; NF  BC ( E ; F  BC) M Xét BME CNF vng E F có: = BM = CN (gt)    (cùng ACB ) MBE NCF Do đó: BME = CNF (cạnh huyền- góc nhọn) B E K' K F C = N Suy ra: ME = NF Gọi K’ giao điểm BC MN Xét  MEK’  NFK’ vuông E F có: ME = NF (cmt)    FNK  (so le ME // FN) EMK Vậy  MEK’ =  NFK’ (g-c-g) Do đó: MK’ = NK’ Vậy K’ trung điểm MN, mà K trung điểm MN nên K  K’ Do ba điểm B,K,C thẳng hàng Bài 13: Cho tam giác ABC vuông A Kẻ AH  BC  H  BC  ,M  BC cho CM = CA, N  AB cho AN=AH Chứng minh : a ˆA CM ˆN MA phụ b AM tia phân giác góc BAH c MN  AB Hướng dẫn a) Trong tam giác AMC có MC = AC (gt) Nên tam giác AMC tam giác cân C => ˆ Mˆ  A 12 Nên mà ˆ ˆ  A M ˆ A ˆ = A 12 = 900 => 900 ˆA CM ˆN MA phụ b) xét vng AMH vng AMN Có AN = AH ( gt) AM cạnh huyền chung Vậy vuông AMH = vuông AMN ( Ch + CGV) => ˆ A ˆ A => AM phgân giác ˆH NA c) Vì vng AMH = vng AMN => Nˆ  Hˆ mà Hˆ 90 => Nˆ 90 => MN  AB