CHỦ ĐỀ 10: ĐỊNH LÍ PY-TA-GO TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1/ Định lí PY – TA – GO thuận: Trong tam giác vng, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng VD: ∆ABC vuông A => BC2 = AB2 + AC2 2/ Định lí PY – TA – GO đảo: Nếu tam giác có bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh tam giác tam giác vng VD: ∆ABC có BC2 = AB2 + AC2 => ∆ABC vuông A 3/ Các trường hợp hai tam giác vuông Trường hợp 1: Cạnh huyền – Góc nhọn Trường hợp 2: Cạnh huyền – Cạnh góc vng Trường hợp 3: Cạnh góc vng – Góc nhọn B/ PHÂN LOẠI BÀI TẬP Loại Dùng Định lí thuận Pitago để tính độ dài cạnh Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A Tính BC biết : a) AB 3cm, AC 3cm a) AB 5cm, AC 3cm b) AB 4cm, AC 6cm b) AB 8cm, AC 17cm c) AB 2,3cm, AC 3,9cm 5 c) AB cm, AC cm Bài 2: Cho tam giác ABC vng A a) Tính AB biết BC 10cm, AC 8cm b) Tính AC biết BC 12cm, AB 10cm Bài 3: Cho tam giác ABC vuông B Tính độ dài AB biết AC 12cm, BC 8cm Bài 4: Cho tam giác MNP vng N Tính độ dài MN biết MP 30cm, NP 14 cm Bài 5: Cho ABC vuông cân A Biết AB 2cm Tính BC Bài 6: Cho ABC vng cân A Biết BC 2cm Tính AB, AC Loại Dùng Định lí đảo Pitago để chứng minh tam giác tam giác vuông Bài 7: Cho tam giác với độ dài cho trước Hãy cho biết tam giác tam giác vuông (vng đâu) ? Vì ? a) ABC có AB 3cm, AC 4cm, BC 5cm b) ABC có AB 3cm, AC 5cm, BC 6cm c) ABC có AB 10cm, AC 6cm, BC 8cm d) ABC có AB 3cm, AC 4cm, BC 15cm e) IME có MI 17cm, EI 8cm, ME 5cm f) KNI có KI 2,5cm, NI 3,5cm, KN 18,5cm Loại Vận dụng tổng hợp Bài 1: Cho hình vng ABCD cạnh 4cm Tính độ dài đường chéo AC, BD Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB 3cm, AD 27cm Tính độ dài AC Bài 3: Cho ABC vng A, AH BC H Tính độ dài cạnh tam giác ABC biết AH 6cm, HB 4cm, HC 9cm Bài 4: Cho ABC vuông A, AH BC H Tính độ dài cạnh tam giác ABC biết AH 4cm, HB 2cm, HC 8cm Bài 5: Cho ABC vuông A, AH BC H Biết AB 4cm, HB 2cm, HC 8cm Tính BC, AH, AC Bài 6: Cho ABC vuông A, AH BC H Biết AB 6cm, AC 8cm HB HC 16 Tính HB, HC Bài 7: Cho ABC vng A, có AB 3cm, AC 4cm Gọi M, N trung điểm AB, AC Tính độ dài đoạn BM , CN Bài 8: Cho ABC vng A, có AB 3cm, AC 8cm Gọi M trung điểm AC Lấy điểm E tia đối tia MB Tính độ dài BE Bài 9: Cho ABC vng A, có AB 3cm, AC 12cm Goi I điểm thuộc AC cho AC 3 AI Tính độ dài BI Bài 10: Cho ABC cân A Kẻ BH vng góc với AC H Biết AH 7cm, HC 2cm Tính độ dài cạnh BC Bài 11: Cho ABC cân A Kẻ BH vng góc với AC H Biết AH 4cm, HC 1cm Tính độ dài cạnh BC Loại 4: Chứng minh hình sử dụng tam giác vng Bài 1: Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC Trên đường thẳng vng góc với BC kẻ từ M lấy điểm A (A M) Chứng minh AB = AC Hướng dẫn Xét tam giác vuông ABM tam giác vng ACM có MB = MC (gt) AM cạnh góc vng chung Vậy ABM = ACM (hai cạnh góc vng ) => AB = AC ( cạnh tương ứng ) Bài 2: Cho tam giác ABC cân A Kẻ AH vng góc với BC (H BC) Chứng minh HB = HC Hướng dẫn Xét tam giác vuông ABH tam giác vuông ACH có: AB = AC (gt) AH cạnh góc vng chung Vậy ABH = ACH (ch + cgv) => BH = HC ( cạnh tương ứng ) Bài 3: Cho tam giác ABC cân A Tia phân giác góc A cắt BC D Từ D kẻ DE AB (E AB) DF AC (F AC) Chứng minh rằng: a) DE = DF b) BDE = CDF c) AD đường trung trực BC Hướng dẫn a) Xét tam giác vuông ADE tam giác vuông ADF ˆ A ˆ A (gt) ; AD cạnh huyền chung Vậy ADE = ADF (CH + GN) DE = DF ( cạnh tương ứng ) AE = AF ( cạnh tương ứng ) b) Ta có AB = AE + EB AC = AF + FC mà AB = AC (gt) AE = AF (cmt) => EB = FC Xét vuông BDE vuông CDF BE = CF ( cmt ) DE = DF ( cmt ) Vậy vuông BDE = vng CDF (2 cạnh góc vng) => DB = DC ( cạnh tương ứng ) (1) c) Xét BDA & CDA có AB = AC (gt) ; DB = DC (cmt) AD cạnh chung Vậy BDA = CDA (ccc) => => ˆ D ˆ = D ˆ D ˆ D mà ˆ D ˆ D = 180 90 => AD vng góc với BC (2) Từ (1) (2) suy AD trung trực BC Bài 4: Cho tam giác ABC cân A Kẻ BE AC (E AC) CF AB (F AB) Chứng minh BE = CF Hướng dẫn Xét tam giác vuông ABE tam giác vng ACF Có AB = AC (gt) ; ˆ A chung Vậy ABE = ACF (ch + gnh) BE = CF ( cạnh tương ứng ) Bài 5: Cho tam giác ABC, Kẻ AM, BN, CP vng góc với cạnh BC, AC, AB (M BC, N AC, P AB) Chứng minh rằng: AM = BN = CP Hướng dẫn Xét tam giác vng AMB tam giác vng CPB Có AB = BC (gt) ; ˆ B chung Vậy AMB = CPB (CH + GN) AM = CP ( cạnh tương ứng ) (1) Xét tam giác vuông ANB tam giác vuông APC AB = AC (gt) ; ˆ A chung Vậy ANB = APC (CH + GN) AN = CP ( cạnh tương ứng ) (2) Từ (1 ) (2) => AM = BN = CP Bài 6: Trên tia phân giác góc nhọn xOy lấy điểm M (M O) Từ M kẻ MA Ox; MB Oy (A Ox; B Oy) Chứng minh OA = OB Hướng dẫn Xét tam giác vuông OAM tam giác vuông OBM Oˆ Oˆ (gt) ; OM chung Vậy OAM = OBM (CH + GN) OA = OB ( cạnh tương ứng ) Bài 7: Cho góc nhọn xOy Kẻ đường trịn tâm O bán kính 5cm; đường trịn cắt Ox A cắt Oy B Kẻ OM AB (M AB) Chứng minh OM tia phân giác góc xOy Hướng dẫn Xét tam giác vng OAM tam giác vng OBM Có OA = OB (gt) ; OM chung Vậy OAM = OBM (CH + CGV) Oˆ Oˆ ( góc tương ứng ) Vậy OM tia phân giác góc xOy Bài 8: Cho ABC cân A kẻ AH BC (H BC) a) Chứng minh: ABH = ABH suy AH tia phân giác BAC b) Kẻ HD AB (D AB) , HE AC (E AC) Chứng minh HDE cân c) Nếu cho AB = 29 cm, AH = 20 cm Tính độ dài cạnh AB? d) Chứng minh BC // DE e) Nếu cho BAC = 1200 HDE trở thành tam giác gì? Vì sao? Hướng dẫn A a) Chứng minh: HB = HC AHB = AHC (cạnh huyền – cạnh góc vng) HB = HC b) Chứng minh HDE cân: BDH= CEH (cạnh huyền - góc nhọn) DH = HE Vậy HDE cân H c) Chứng minh: HED ˆ CAH = 1200 : 600 HED tam giác DAH ˆ ACH = 900 600 300 ADH ˆ ADH ˆ ACH = 300 300 600 DHE Tam giác cân có góc 600 tam giác D B E H C d) Gọi I AH DE DIH = EIH (c.g.c) DIH EIH Mà DIH EIH 1800 Do đó: DIH EIH = 1800 : 900 AH DE Mặt khác: AH BC Do đó: DE // BC ^ Bài 9: Cho tam giác ABC vng A, có B 60 AB = 5cm Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ DE vng góc với BC E 1/ Chứng minh: ABD = EBD 2/ Chứng minh: ABE tam giác 3/ Tính độ dài cạnh BC Hướng dẫn 1/ Chứng minh: ABD = EBD Xét ABD EBD, có: ^ ^ BAD BED 900 BD cạnh huyền chung ^ B ^ ABD EBD (gt) Vậy ABD = EBD (cạnh huyền – góc nhọn) E 2/ Chứng minh: ABE tam giác ABD = EBD (cmt) A AB = BE 600 (gt) mà B ^ Vậy ABE có AB = BE B 60 nên 3/ Tính độ dài cạnh BC Ta có ^ ^ EACBEA 900 (gt) ^ ^ C B 900 ( ABC vuông A) Mà ^ ^ BEA B 60 ^ ^ ( ABE đều) Nên EAC C ABE D C AEC cân E EA = EC mà EA = AB = EB = 5cm Do EC = 5cm Vậy BC = EB + EC = 5cm + 5cm = 10cm Bài 10: Cho tam giác ABC có AB = AC =10cm, BC = 12cm Vẽ AH vng góc BC H a) Chứng minh: ABC cân b) Chứng minh AHB AHC , từ chứng minh AH tia phân giác góc A c) Từ H vẽ HM AB ( M AB) kẻ HN AC ( N AC ) Chứng minh : BHM = HCN (1,5đ) d) Tính độ dài AH (1đ) e) Từ B kẻ Bx AB, từ C kẻ Cy AC chúng cắt O Tam giác OBC tam giác gì? Vì sao? Hướng dẫn a) Xét ABC có CA = CB =13cm (gt) Vậy ABC cân A b) ACI BCI có: CA = CB ( ABC cân A) ACI BCI (gt) CI: cạnh chung CIB Do ACI = BCI (cạnh –góc- cạnh) => CIA CIB c) Ta có CIA (theo b)) CIB Mà CIA 1800 (kề bù) 180 CIB 900 Nên CIA Hay CI AB d) Ta có IA = IB= AB 10 5 cm 2 ACI vuông I, theo Pytago ta có: AC AI IC Hay 132 52 IC IC 132 52 169 25 144 => IC = 144 12 cm e) CHI CKI có: CHI CKI 900 (CI phân giác góc C) HCI KCI CI : cạnh chung Do CHI = CKI (cạnh huyền-góc nhọn) => IH = IK Bài 11: Cho góc nhọn xOy Gọi I điểm thuộc tia phân giác góc xOy Kẻ IA vng góc với Ox (điểm A thuộc tia Ox) IB vng góc với Oy (điểm B thuộc tia Oy) a) Chứng minh OAI = OBI, IA = IB b) Cho biết OI = 10cm, AI = 6cm Tính OA c) Gọi K giao điểm BI Ox M giao điểm AI với Oy So sánh AK BM? d) Gọi C giao điểm OI MK Chứng minh OC vng góc với MK Hướng dẫn a) Chứng minh OAI = OBI(cạnh huyền-góc nhọn) b) - Viết hệ thức Pytago - Tính OA = 8cm c) Chứng minh BIM = AIK Suy AK = BM 0,5đ d) Chứng minh BIM = AIK0,5đ Suy góc OCK góc OCM 900 Bài 12: Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho BM = CN Gọi K trung điểm MN Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng Hướng dẫn A Kẻ ME BC ; NF BC ( E ; F BC) M Xét BME CNF vng E F có: = BM = CN (gt) (cùng ACB ) MBE NCF Do đó: BME = CNF (cạnh huyền- góc nhọn) B E K' K F C = N Suy ra: ME = NF Gọi K’ giao điểm BC MN Xét MEK’ NFK’ vuông E F có: ME = NF (cmt) FNK (so le ME // FN) EMK Vậy MEK’ = NFK’ (g-c-g) Do đó: MK’ = NK’ Vậy K’ trung điểm MN, mà K trung điểm MN nên K K’ Do ba điểm B,K,C thẳng hàng Bài 13: Cho tam giác ABC vuông A Kẻ AH BC H BC ,M BC cho CM = CA, N AB cho AN=AH Chứng minh : a ˆA CM ˆN MA phụ b AM tia phân giác góc BAH c MN AB Hướng dẫn a) Trong tam giác AMC có MC = AC (gt) Nên tam giác AMC tam giác cân C => ˆ Mˆ A 12 Nên mà ˆ ˆ A M ˆ A ˆ = A 12 = 900 => 900 ˆA CM ˆN MA phụ b) xét vng AMH vng AMN Có AN = AH ( gt) AM cạnh huyền chung Vậy vuông AMH = vuông AMN ( Ch + CGV) => ˆ A ˆ A => AM phgân giác ˆH NA c) Vì vng AMH = vng AMN => Nˆ Hˆ mà Hˆ 90 => Nˆ 90 => MN AB