(Luận văn) một số vấn đề về iđêan chiều không trong vành đa thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN ÁI TRINH lu an n va tn to MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ IĐÊAN CHIỀU KHÔNG p ie gh TRONG VÀNH ĐA THỨC d oa nl w fu an nv a lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m ll z at nh z gm @ m co l an Lu Bình Định - Năm 2020 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN ÁI TRINH lu an n va tn to MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ IĐÊAN CHIỀU KHÔNG p ie gh TRONG VÀNH ĐA THỨC oa nl w d Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 46 01 04 oi m ll fu an nv a lu z at nh Người hướng dẫn: TS NGÔ LÂM XUÂN CHÂU z gm @ m co l an Lu n va ac th si LỜI CẢM ƠN lu Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Ngơ Lâm Xuân Châu người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn Đại học Quy Nhơn dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè anh chị lớp Cao học Toán K21 giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn Trong trình học tập nghiên cứu viết luận văn, chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, mong nhận thơng cảm ý kiến đóng góp Thầy cô Xin trân trọng cảm ơn an n va p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Mục lục Mở đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ an n va 1.2 Thứ tự đơn thức phép chia đa thức 1.3 C s Grăobner 10 1.4 Đa tạp afin 16 Cơ sở đại số tuyến tính 18 gh tn to Đại số đa thức p ie lu 1.1 oa nl w 21 2.1 Các đại số hữu hạn chiều 22 2.2 Thuật toán chuyển i c s Grăobner FGLM 25 2.2.1 Bước lặp 25 2.2.2 Bước kiểm tra tính dừng 2.2.3 Bước chọn đơn thức 26 z 1.5 31 Chuyn i c s Gră obner d oi m ll fu an nv a lu z at nh gm @ Giải hệ phương trình dựa vào giá trị riêng Ánh xạ tuyến tính xác định đa thức 3.2 Giá trị hàm đa thức điểm đa tạp m co l 3.1 26 31 35 an Lu n va i ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Kết luận 41 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ii ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Mở đầu Giải hệ phương trình đa thức f1 = f2 = · · · = fs = 0, fi đa thức n biến với hệ số trường số phức C vấn đề đại số đa thức hình học đại số tính tốn lu an Một cách tiếp cận đại số để nghiên cứu tập nghiệm hệ va n phương trình đa thức xét iđêan I = hf1 , f2 , , fs i sinh đa gh tn to thức xác định hệ phương trình Khi tập nghiệm hệ phương trình tập nghiệm iđêan I Dựa vào tính chất ta tìm p ie oa nl w hệ sinh khác iđêan I mà hệ sinh giúp ta giải hệ phng trỡnh C s Grăobner ca I i vi th tự từ điển hệ d sinh đáp ứng yêu cầu (Chú ý xem tổng quát a lu hóa phương pháp khử Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính cho hệ fu an nv phương trình đa thức) oi m ll Tuy nhiờn, vic tớnh c s Grăobner ca I thứ tự từ điển z at nh trường hợp iđêan I tùy ý vành đa thức với số biến lớn nói chung nhiều thời gian Đối với iđêan chiều không, tương ứng với z trường hợp hệ phương trình có hữu hạn nghim thỡ vic tớnh mt c gm @ s Grăobner trở nên đơn giản nhờ vào thuật toán chuyển l m co đổi sở FGLM Mặt khác, iđêan I có chiều khơng đại an Lu số A = C[x1 , x2 , , xn ]/I không gian véctơ hữu hạn chiều n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an trường C Khi nghiên cứu nghiệm I dựa vào ma trận biểu diễn số toán tử tuyến tính khơng gian véctơ A sở định A Điều cho phép ta sử dụng công cụ đại số tuyến tính để nghiên cứu tập nghiệm I Vì chọn đề tài "Một số vấn đề iđêan chiều khơng vành đa thức” nhằm tìm hiểu thuật tốn chuyển đổi sở FGLM tìm nghiệm I trường hợp chiều I khơng Với mục đích nêu trên, ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành chương Chương lu an trình bày số kiến thức đại số đa thức n biến va n trường, thứ tự đơn thức phép chia đa thc nhiu bin, c s Grăobner, gh tn to thut toỏn Buchberger tỡm mt c s Grăobner, nh lý không điểm p ie Hilbert (Nullstellensatz), định lý Cayley-Hamilton Các kết oa nl w dùng cho phép chứng minh chương luận văn Chương trình bày đại số hữu hạn chiều tương ứng với iđêan d chiều không thuật toán FGLM dùng để chuyển đổi sở Grăobner ca a lu fu an nv mt iờan chiu khơng Chương trình bày phương pháp giải hệ phương trình đa thức dựa vào giá trị riêng toán tử nhân oi m ll z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức đại lu an số đa thức n biến trường, thứ tự đơn thức phép chia đa va n thc nhiu bin, c s Grăobner, thut toỏn Buchberger tỡm mt c gh tn to s Grăobner, định lý không điểm Hilbert (Nullstellensatz), định lý p ie Cayley-Hamilton Các kết dùng cho phép chứng minh oa nl w chương luận văn Các kết chương tham khảo từ tài liệu [CLO1], [NVTrung] d a lu 1.1 Đại số đa thức fu an nv Cho R vành x1 , x2 , , xn (n ≥ 1) biến Ta gọi đơn m ll oi thức biểu thức có dạng xa11 xa22 · · · xann ∈ N, i = 1, , n z at nh Nếu a1 = · · · = an = đơn thức kí hiệu Phép nhân tập đơn thức định nghĩa sau z @ gm (xa11 · · · xann )(xb11 · · · xbnn ) = xa11 +b1 · · · xann +bn l m co Từ biểu thức có dạng αxa11 · · · xann , α ∈ R gọi hệ số từ an Lu Hai từ khác không αxa11 xann βxa11 xann đồng dạng với n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Để cho tiện ta kí hiệu x = (x1 , , xn ), a = (a1 , , an ) ∈ Nn xa = xa11 · · · xann Đa thức n biến x1 , , xn vành R tổng hình thức từ: f (x) = X αa x a có hữu hạn hệ số αa 6= Từ αa xa với αa 6= gọi từ đa thức f (x) xa đơn thức f (x) P P βa xa xem αa xa g(x) = Hai đa thức f (x) = a∈N n a∈N n n αa = βa với a ∈ N Phép cộng đa thức định nghĩa sau: lu an ! X va αa x a ! + n a∈Nn X βa xa = a∈Nn X (αa + βa ) xa a∈Nn p ie gh tn to Phép nhân đa thức định nghĩa sau: ! ! X X X αa x a · βa xa = γa xa , oa nl w a∈Nn a∈Nn P γa = a∈Nn αb βc b,c∈Nn , b+c=a d a lu Định nghĩa 1.1.1 Tập hợp tất đa thức n biến với hệ số fu an nv vành R, ký hiệu R[x1 , , xn ], lập thành vành giao hốn, có đơn vị 1, gọi vành đa thức n biến vành R m ll oi Mệnh đề 1.1.1 Cho R vành giao hốn, có đơn vị Các điều kiện z at nh sau tương đương: z i) Mọi tập khác rỗng iđêan R có phần tử cực đại (đối với gm @ quan hệ bao hàm) m co l ii) Mọi dãy tăng iđêan R an n va Lu I1 ⊆ I2 ⊆ ⊆ In ⊆ In+1 ⊆ ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an dừng, tức tồn k để Ik = Ik+1 = iii) Mọi iđêan R hữu hạn sinh, tức với iđêan I ⊆ R tồn f1 , f2 , , fs ∈ I cho I = (f1 , f2 , , fs ) Định nghĩa 1.1.2 Một vành giao hốn, có đơn vị, thỏa mãn ba điều kiện tương đương gọi vành Noether Định lý 1.1.1 (Định lý sở Hilbert) Cho R vành Noether x biến Khi vành R[x] vành Noether Hệ 1.1.1 Vành đa thức n biến K[x1 , , xn ], K lu an trường, vành Noether n va tn to Định lý 1.1.2 (Định lý chia đa thức biến) Cho K trường gh g(x) đa thức khác K[x] Khi đa thức f ∈ K[x] p ie viết dạng f (x) = q(x).g(x) + r(x), oa nl w q(x), r(x) ∈ K[x] r(x) = deg r(x) < deg g(x) d fu an nv a lu Hơn nữa, q(x) r(x) xác định Hệ 1.1.2 Vành đa thức K[x] trường tùy ý vành oi m ll iđêan chính, nghĩa iđêan sinh đa thức z at nh 1.2 Thứ tự đơn thức phép chia đa thức z gm @ Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X tập hợp, S phận m co điều kiện sau thỏa mãn: l X × X, S gọi quan hệ thứ tự (bộ phận) X an Lu i) (Phản xạ) Với x ∈ X : xSx n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an có G =1 xG = − y + z G x2 = z G x3 = − yz + z G x4 = z G x5 = z + 2yz − 2z + Đến bước ta có Glex = ∅ Blex = {1, x, x2 , x3 , x4 , x5 } Với đơn thức G lu x6 ta có x6 = z Vì x6 G G G G = x5 + 2x3 − nên ta thêm đa an thức x6 − x5 − 2x3 + vào Glex Như kết thúc bước ta có n va Blex = {1, x, x2 , x3 , x4 , x5 } gh tn to Glex = {x6 − x5 − 2x3 + 1}, Thực bước kiểm tra tính dừng, điều kiện dừng không thỏa mãn p ie oa nl w nên thuật tốn tìm đơn thức kế tiếp, y Ta có G y G = y = x2 − xG d fu an nv a lu Ta thêm y − x2 + x vào Glex Kết thúc bước ta có Glex = {x6 − x5 − 2x3 + 1, y − x2 + x}, m ll Blex = {1, x, x2 , x3 , x4 , x5 } oi z at nh Điều kiện dừng không thỏa mãn, đơn thức xét z Ta có G z z G = z = x2 @ gm Ta thêm z − x2 vào Glex Kết thúc bước ta có l m co Glex = {x6 − x5 − 2x3 + 1, y − x2 + x, z − x2 } an n va 28 Lu Blex = {1, x, x2 , x3 , x4 , x5 } ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Vì LTlex (z − x2 ) = z nên thuật toán dừng Glex = {x6 − x5 − 2x3 + 1, y − x2 + x, z − x2 } c s Grăobner cn tỡm nh lý 2.2.1 Thut toỏn mô tả dừng s Grăobner G ca mt iờan chiu khụng I v Glex l mt c s Grăobner ca I theo th tự từ điển lex, nữa, Blex sở đơn thức tương ứng vành thương A = k[x1 , , xn ]/I Chứng minh Trước tiên ta nhận xét đơn thức đầu vào tăng lu an dần theo thứ tự lex nên Glex = {g1 , , gk } va n LT (g1 ) lex xn Ta Lu an chứng minh Glex l mt c s Grăobner ca I theo thứ tự lex Giả sử trái n va 29 ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an lại Glex khụng l mt c s Grăobner ca I Khi tồn g ∈ I cho LT (g) không bội LT (gi ) nào, i = 1, , k Bằng cách thay g g Glex , ta giả sử g rút gọn Glex Nếu LT (g) lớn LT (gk ) = xα1 LT (g) phải bội LT (gk ) (vì lex thứ tự từ điển x1 biến lớn nhất) Điều không xảy ra, nghĩa tồn i < k cho LT (gi ) < LT (g) ≤ LT (gi+1 ) Nhưng đơn thức Blex tăng nghiêm ngặt đơn thức lu an LT (gi ) Tất đơn thức không dẫn đầu g phải nhỏ n va LT (g) theo thứ tự lex Những đơn thức không chia hết cho bất tn to kỳ LT (gj ) với j ≤ i g rút gọn Vì đơn thức không p ie gh dẫn đầu xuất g thêm vào Blex thời điểm mà LT (g) xét bước chọn đơn thức g đa thức oa nl w gi thêm vào Glex , tức g = gi+1 Điều trái với giả thiết g Vậy Glex sở Grăobner ca I i vi th t lex d a lu Cuối ta chứng minh thuật toán dừng, Blex bao gồm tất fu an nv đơn thức sở xác định sở Grăobner Glex Tht vy, m ll cỏc n thc Blex có phần dư chia cho G độc lập tuyến oi tính A Mặt khác, đơn thức không chia hết cho LT (gi ) với z at nh gi ∈ Glex có phần dư phụ thuộc tuyến tính với phần dư z đơn thức Blex Vì Blex sở A gm @ Chú ý 2.2.1 C s Grăobner nhn c t thut toỏn chuyn sở l m co sở Grăobner rỳt gn an Lu n va 30 ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương Giải hệ phương trình dựa vào giá trị riêng lu an n va Trong chương này, chúng tơi trình bày phương pháp giải hệ tn to phương trình đa thức dựa vào giá trị riêng toán tử nhân p ie gh không gian véctơ hữu hạn chiều xác định iđêan có chiều khơng Các kết chương tham khảo từ tài liệu [CLO2] oa nl w 3.1 Ánh xạ tuyến tính xác định đa thức d a lu fu an nv Xét k-không gian véctơ A = C[x1 , , xn ]/I, I iđêan chiều không Với đa thức f ∈ C[x1 , , xn ] ta định nghĩa ánh xạ m ll nhân mf : A → A theo quy tắc oi z at nh mf ([g]) = [f ] · [g] = [f g] ∈ A z với [g] ∈ A Khi mf có tính chất sau gm @ Mệnh đề 3.1.1 a) Ánh xạ mf ánh xạ tuyến tính từ A đến A m co l b) Ta có mf = mg f − g ∈ I Do hai đa thức cho an Lu ánh xạ tuyến tính chúng sai khác phần n va 31 ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an tử I Nói riêng, mf ánh xạ khơng f ∈ I Chứng minh a) Nếu [g], [h] ∈ A c ∈ C mf (c[g] + [h]) = [f ] · (c[g] + [h]) = c[f ] · [g] + [f ] · [h] = cmf ([g]) + mf ([h]) b) Vì [1] ∈ A đơn vị phép nhân nên mf = mg [f ] = [f ] · [1] = mf ([1]) = mg ([1]) = [g] · [1] = [g], lu f − g ∈ I Ngược lại, f − g ∈ I, [f ] = [g] A, an n va mf = mg gh tn to Vì A khơng gian véctơ hữu hạn chiều C nên ta biểu p ie diễn mf ma trận theo sở A Trong phần này, ta oa nl w dùng sở đơn thức B A để biểu diễn ma trận mf Ta dùng mf để ký hiệu cho ma trận ánh xạ tuyến tính d Ví dụ 3.1.1 Cho G = {x2 +3/2xy+1/2y −3/2x−3/2y, xy −x, y −y} a lu fu an nv Sử dụng thứ tự từ điển ngược phân bậc grevlex với x > y, ta dễ dàng chứng minh rng G l mt c s Grăobner ca iờan I = hGi ⊂ C[x, y] m ll Từ suy ra, hLT (I)i = hx2 , xy , y i Do đơn thức khơng thuộc oi z at nh hLT (I)i B = {1, x, y, xy, y }, z @ gm B sở C-không gian véctơ A = C[x, y]/I m co l Bằng cách tính trực tiếp phần dư tích đơn thức chia cho G, ta lập bảng nhân cho phần tử sở B Lu Đó an n va 32 ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an · x y xy y 1 x y xy y x x α xy β x y y xy y x y xy xy β x α xy y2 x y xy y y2 α = −3/2xy − 1/2y + 3/2x + 3/2y, lu an β = 3/2xy + 3/2y − 3/2x − 1/2y n va p ie gh tn to Chẳng hạn, với f = x ta có  d oa nl w fu an nv a lu  0 0 0   1 3/2 −3/2 1      mx =  3/2 −1/2     0 −3/2 3/2 0     −1/2 3/2 Ta chứng minh tương ứng f 7→ mf xác định đồng m ll cấu vành từ C[x1 , , xn ] đến vành ma trận Md×d (C) cấp d, oi d chiều không gian véctơ A C hạt nhân đồng cấu z at nh iđêan I Cụ thể, ta có mệnh đề sau z Mệnh đề 3.1.2 Cho f, g phần tử C[x1 , , xn ] Khi gm @ m co b) mf g = mf · mg l a) mf +g = mf + mg (trong phép nhân bên phải hiểu hợp Lu tốn tử tuyến tính phép nhân ma trận) an n va 33 ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an P i Giả sử h(t) = m i=0 ci t ∈ C[t] đa thức biến Ta ký hiệu P Pm i i h(f ) = m i=0 ci f ∈ C[x1 , , xn ] h(mf ) = i=0 ci (mf ) ∈ Md×d (C) Từ mệnh đề ta suy hệ sau Hệ 3.1.1 Cho h ∈ C[t] f ∈ C[x1 , , xn ] Khi mh(f ) = h(mf ) Hệ 3.1.2 Cho h ∈ C[t] f ∈ C[x1 , , xn ] Khi h(mf ) = ⇔ h([f ]) = [0] A lu an Chứng minh Theo Hệ 3.1.1, h(mf ) = ⇔ mh(f ) = Theo Mệnh n va đề 3.1.1, mh(f ) = ⇔ h(f ) ∈ I Điều tương đương với h([f ]) = [0] gh tn to A p ie Vì A không gian véctơ hữu hạn chiều nên tập hợp {1, [f ], [f ]2 , } oa nl w phụ thuộc tuyến tính A Do có tổ hợp tuyến tính khơng tầm thường m X d ci [f ]i = [0], a lu i=0 oi m ll fu an nv P i ci ∈ C khơng đồng thời khơng Từ suy m i=0 ci f ∈ I P i m i=0 ci f triệt tiêu tập V (I) Nói cách khác, ta đặt P i h(t) = m i=0 ci t h(f ) ∈ I h(mf ) = mh(f ) = z at nh z gm @ m co l an Lu n va 34 ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 3.2 Giá trị hàm đa thức điểm đa tạp Ta muốn tìm nghiệm hệ phương trình đa thức     f1 (x1 , x2 , , xn ) =       f2 (x1 , x2 , , xn ) =          fs (x1 , x2 , , xn ) = C Gọi I iđêan vành đa thức C[x1 , x2 , , xn ] sinh lu an đa thức f1 , , fs Khi tập nghiệm hệ phương trình n va tập nghiệm I, to p ie gh tn V (I) = {(a1 , a2 , , an ) ∈ Cn | f (a1 , a2 , , an ) = 0, ∀f ∈ I} Khi hệ phương trình có hữu hạn nghiệm, tức V (I) tập hữu oa nl w hạn, theo Định lý hữu hạn 2.1.1 ta có I iđêan chiều không đại số A = C[x1 , , xn ]/I hữu hạn chiều d a lu Để xác định điểm V (I) ta xác định thành phần tọa fu an nv độ điểm m ll Trong phần ta xác định giá trị hàm đa thức điểm oi z at nh V (I) Nói riêng, ta áp dụng điều cho hàm tọa độ f = xi ta tọa độ điểm V (I) z gm @ Ký hiệu hf đa thức cực tiểu toán tử nhân mf A m co l Định lý 3.2.1 Cho I ⊂ C[x1 , , xn ] iđêan có chiều khơng, cho f ∈ C[x1 , , xn ] giả sử hf đa thức cực tiểu mf an Lu A = C[x1 , , xn ]/I Khi đó, với λ ∈ C, điều sau tương đương: n va 35 ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an a) λ nghiệm phương trình hf (t) = 0, b) λ giá trị riêng ma trận mf , c) λ giá trị hàm f V (I) Chứng minh (a) ⇒ (b) Vì hf chia hết đa thức đặc trưng mf nên nghiệm λ hf nghiệm đa thức đặc trưng mf , tức λ giá trị riêng ma trận mf (b) ⇒ (c) Giả sử λ giá trị riêng mf Khi có véctơ riêng tương ứng [z] 6= [0] ∈ A cho [f −λ][z] = [0] Giả sử λ không lu phải giá trị f V (I) Nghĩa là, giả sử V (I) = {p1 , , pm } an n va f (pi ) 6= λ với i = 1, , m tn to Đặt g = f − λ, ta có g(pi ) 6= với i Bằng cách xây dựng tương p ie gh tự công thức nội suy Lagrange ta tồn đa thức gi cho gi (pj ) = i 6= j gi (pi ) = Xét đa thức oa nl w g = m X i=1 gi g(pi ) d fu an nv a lu Ta có g (pi )g(pi ) = với i − g g ∈ I(V (I)) Theo định lý không điểm Hilbert dạng mạnh (Định lý 1.4.2), tồn số nguyên l ≥ cho (1 − g g)l ∈ I Bằng cách khai triển theo định lý nhị m ll oi thức tập hợp số hạng chứa nhân tử g, ta − g˜g ∈ I với z at nh g˜ ∈ C[x1 , , xn ] Điều suy [1] = [˜ g ][g] A z Mặt khác, ta có [g][z] = [f − λ][z] = [0] A Nhân hai vế với @ gm [˜ g ], ta [z] = [0], mâu thuẫn Do λ phải giá trị m co l f V (I) (c) ⇒ (a) Đặt λ = f (p) với p ∈ V (I) Theo Hệ 3.1.2, hf (mf ) = Lu an nên hf ([f ]) = [0] A Điều suy hf (f ) ∈ I Nghĩa hf (f ) n va 36 ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an triệt tiêu điểm V (I), hf (λ) = hf (f (p)) = (hf (f ))(p) = Áp dụng định lý với f = xi ta có hệ sau Hệ 3.2.1 Cho I ⊂ C[x1 , , xn ] iđêan chiều khơng Khi giá trị riêng toán tử nhân mxi A trùng với tọa độ thứ i điểm V (I) Hơn nữa, thay t = xi đa thức cực tiểu hxi lu ta nhận phần tử sinh đơn iđêan khử I ∩ C[xi ] an n va p ie gh tn to Ví dụ 3.2.1 Xét hệ phương trình  3   x2 + xy + y − x − y    2 2  xy − x      y − y =0 =0 oa nl w = Vì phương trình hệ đơn giản nên ta giải trực d fu an nv a lu tiếp thấy hệ có nghiệm sau (0, 0), (1, 1), (−1, 1), (1, −1), (2, −1) m ll oi Trong ví dụ ta muốn tìm lại nghiệm cách sử dụng Hệ z at nh 3.2.1 Xét iđêan sinh đa thức xác định hệ phương trình z 3 I = hx2 + xy + y − x − y, xy − x, y − yi 2 2 gm @ l Như ta xét Ví dụ 3.1.1, sở đơn thức C-không gian m co véctơ A = C[x, y]/I an Lu B = {1, x, y, xy, y } n va 37 ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Đối với sở này, ta tìm ma trận  0  1 3/2   mx =  0 3/2  0 −3/2   −1/2 toán tử nhân mx ,  0 0  −3/2 1   −1/2 0   3/2 0   3/2 Sử dụng lệnh MinimalPolynomial Maple (gói LinearAlgebra), ta đa thức cực tiểu ma trận mx lu an hx (t) = t4 − 2t3 − t2 + 2t va n Các nghiệm đa thức 0, −1, 1, Đây tọa độ thứ gh tn to điểm V (I) p ie Tương tự, ta tìm ma trận toán tử nhân my ta   0 0 0   0 0 0      my =  1 0 1   0 0 0     0 0 d oa nl w m ll fu an nv a lu oi Chú ý tính my lệnh MultiplicationMatrix gói z at nh Groebner Đa thức cực tiểu ma trận my z gm @ hy (t) = t3 − t m co l Các nghiệm đa thức 0, 1, −1 Đây tọa độ thứ hai điểm V (I) Bằng cách thử hữu hạn cặp giá trị (x, y) ta tìm Lu nghiệm hệ phương trình an n va 38 ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ví dụ 3.2.2 Xét hệ phương trình     x2 − 2xz + =    xy + yz + =      3y − 8xz = u tiờn, tớnh mt c s Grăobner xỏc nh sở đơn thức cho đại số thương Ta sử dụng thứ tự đơn thức grevlex: Polylist:=[x^2-2*x*z+5, x*y^2+y*z+1, 3*y^2-8*x*z]; lu G:=Basis(Polylist, tdeg(x,y,z)); an B:=NormalSet(G, tdeg(x,y,z))[1]; n va tn to Ta p ie gh B = {1, y, z, x, z , yz, xz, xy} d oa nl w Ma trận toán tử nhân mx sở   −3/8  0 0 −5 −3/16   0 0  5/2 0     0 0  0 −5     1 0  0 0   mx =   0 0 0 −1 −2      0 0 −3/16 −3/20 −3/8 −3/10       0 0  0   0 0 3/40 3/20 oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ 375 27 15 355 157 − t + t + t + t + t + t8 16 2 16 16 m co hx (t) = − l Đa thức cực tiểu mx an Lu n va 39 ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Tương tự, ta có đa thức cực tiểu my mz 80 400 20 157 − t + t − t − t + t7 + t8 , 9 12 27 45 3991 157093 77 1263 hz (t) = − + t− t2 + t − t − t − t +t 20480 128 32 320 3840 16 320 hy (t) = Đây đa thức bậc cao Việc tìm nghiệm xác đa thức khó Trong trường hợp ta áp dụng phương pháp số để tìm nghiệm xấp xỉ phương trình đa thức phương pháp số để tìm giá trị riêng xấp xỉ ma trận Chú ý ma trận mx , my , mz đa thức cực tiểu chúng độc lập Vì lu an ta tìm nghiệm xấp xỉ (x, y, z) hệ phương trình phương va n pháp sai số của thành phần tọa độ không ảnh hưởng p ie gh tn to đến sai số thành phần tọa độ khác d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va 40 ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Kết luận Luận văn thực công việc sau Trình bày khái niệm lý thuyt c s Grăobner v lu i s tuyến tính an n va Trình bày thuật tốn chuyn i c s Grăobner ca mt iờan chiu ú thứ tự từ điển Kết ứng dụng để giải hệ p ie gh tn to không thứ tự cho trước để tỡm c s Grăobner ca iờan phng trỡnh a thc phương pháp khử oa nl w Trình bày phương pháp giải hệ phương trình đa thức dựa vào d giá trị riêng toán tử nhân không gian véctơ hữu hạn a lu oi m ll fu an nv chiều tương ứng với iđêan chiều không z at nh z gm @ m co l an Lu n va 41 ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn