Đang tải... (xem toàn văn)
CHƯƠNG IPHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾNBÀI TẬP:1.Cho hàm f(x, y) = .Tìm ; (tính theo )Giải:Ta có: ; ⇒ = = = 2.Cho hàm f(x, y) = .Tìm ; 3.Cho hàm f(x, y) = .Tìm ; 4.Cho hàm f(x, y) = .Tìm ; 5.Cho hàm: f(x, y) = .Tìm ; ; Do: 6.Dùng vi phân cấp 1, tính gần đúng giá trị các biểu thức sau:a.B = cos29o.tg137ob.C = sin32o.cotg133oc.D = cos28o.cotg136oGiải:a.B = cos29o.tg137oTa đặt hàm f(x, y) = cosx.tgyLúc này: ⇒ & Ta có:f(x, y) = cosx.tgy• = –sinx.tgy⇒ • ⇒ ⇒ = ⇒A b.C = sin32o.cotg133oTa đặt hàm f(x, y) = sinx.cotgyLúc này: ⇒ & Ta có:f(x, y) = sinx.cotgy• = cosx.cotgy⇒ • ⇒ ⇒ = ⇒A c.D = cos28o.cotg136oTa đặt hàm f(x, y) = cosx.cotgyLúc này: ⇒ & Ta có:f(x, y) = cosx.cotgy• = sinx.cotgy⇒ • ⇒ ⇒ = ⇒A CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾNA. CỰC TRỊ TỰ DOBÀI TẬP:Khảo sát cực trị tự do của hàm số f(x, y) với:1.f(x, y) = 2 + 2.f(x, y) = xy2(2 – x – y) với 3.f(x, y) = GIẢI:1.f(x, y) = 2 + •Tìm điểm dừng:Ta có: & Nên: Hệ này không tồn tại vì khi (x, y) = (0, 0) thì không xác định được và . Nên ta xét hiệu:f(x, y) – f(0, 0) = 2 + – (2 + = > 0, (x, y) (0, 0)(là đk để luôn tồn tại)Vậy: f(x, y) – f(0, 0) > 0Hay: f(x, y) > f(0, 0), (x, y) (0, 0)Kết luận: điểm P(0, 0) là điểm cực tiểu của f với fmin = f(0, 0) = 2 + = 2Ghic chú: N thì kết luận ngay P(0, 0) là điểm cực đại.2.f(x, y) = xy2(2 – x – y) với •Tìm điểm dừng:Ta có & Nên: (*)Giải hệ (*), ta có 3 cặp nghiệm: (loại); (loại); Như vậy, f(x, y) có 1 điểm dừng là: P •Tính đạo hàm riêng cấp 2: •Tại điểm dừng P , ta đặt: = B2 – AC = < 0mà A = < 0 Kết luận:P là điểm cực đại của f với: fmax = f = 3.f(x, y) = •Tìm điểm dừng:Ta có Nên: (*)Giải hệ (*), ta có 1 cặp nghiệm: Như vậy, f(x, y) có 1 điểm dừng là: P •Tính đạo hàm riêng cấp 2: •Tại điểm dừng P , ta đặt: = B2 – AC = 0•Xét hiệu: of(x, y) – f(0, 0) = – = of(x, y) – f(–1, –1) = – = Không xét được dấu của f(x, y) không có cực trị.CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN:BÀI TẬP:Khảo sát cực trị hàm số:1.f(x, y) = 2x2 + 12xy + y2 với điều kiện:x2 + 4y2 = 25Giải:f(x, y) = 2x2 + 12xy + y2 với điều kiện:x2 + 4y2 = 25•Bước 1: Trước hết ta lập hàm Lagrange:L(x, y) = f(x, y) + = 2x2 + 12xy + y2+ (x2 + 4y2 – 25)•Bước 2: Tiếp theo ta tìm điểm dừng bằng cách giải hệ: (Không giải được hệ pt)------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2.f(x, y) = x2 + 12xy + 2y2 với điều kiện:4x2 + y2 = 25•Bước 1: Trước hết ta lập hàm Lagrange:L(x, y) = f(x, y) + = x2 + 12xy + 2y2+ (4x2 + y2 – 25)•Bước 2: Tiếp theo ta tìm điểm dừng bằng cách giải hệ: (Không giải được hệ pt)------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CHƯƠNG 2TÍCH PHÂN BỘIBÀI TẬP:Tính các tích phân kép: D: nên: Đặt: y = x D: nên: •Xác định góc ứng với Ta có: = = Vậy:D: Đặt:D: (do phương trình: Lúc này:D: ????????????? Đổi biến:D: Lúc này:D: Đổi biến:D: (*) (**)Kết hợp(*) với (**) : Lúc này:D: CHƯƠNG IIITÍCH PHÂN ĐƯỜNGBÀI TẬPTính các tích phân đường sau: Ta có: y = Lúc này: Đặt:t = 1 + 4x2 với Lúc này: Ta có phương trình tham số của : • • Mặt khác, ta có: Suy ra: = 8 Ta có phương trình tham số của : • r = 2 • Mặt khác, ta có: Suy ra: Ta có phương trình tham số của : • r = 1 • Mặt khác, ta có: Suy ra: ; Ta có: = = (cost – 2sint)2 +(sint + 2cost)2 + 1 cos2t + – 4costsint + 4sin2t + sin2t + 4costsint + 4cos2t + 1 1 + 4(cos2t + sin2t) + 1(cos2t + sin2t = 1) 6Do đó:
BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên. CHƯƠNG I PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN BÀI TẬP: 1. Cho hàm f(x, y) = . Tìm ; (tính theo ) Giải: Ta có: ; ⇒ = = = 2. Cho hàm f(x, y) = . Tìm ; 3. Cho hàm f(x, y) = .Tìm ; 4. Cho hàm f(x, y) = . Tìm ; 5. Cho hàm: Page 1 Email: caotua5lg3@gmail.com Chương hàm số nhiều biến có lời giải. BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên. f(x, y) = . Tìm ; ; Do: 6. Dùng vi phân cấp 1, tính gần đúng giá trị các biểu thức sau: a. B = cos29 o .tg137 o b. C = sin32 o .cotg133 o c. D = cos28 o .cotg136 o Giải: a. B = cos29 o .tg137 o Ta đặt hàm f(x, y) = cosx.tgy Lúc này: ⇒ & Ta có: f(x, y) = cosx.tgy • = –sinx.tgy ⇒ • Page 2 Email: caotua5lg3@gmail.com Chương hàm số nhiều biến có lời giải. BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên. ⇒ ⇒ = ⇒ A b. C = sin32 o .cotg133 o Ta đặt hàm f(x, y) = sinx.cotgy Lúc này: ⇒ & Ta có: f(x, y) = sinx.cotgy • = cosx.cotgy ⇒ • ⇒ ⇒ = ⇒A c. D = cos28 o .cotg136 o Ta đặt hàm f(x, y) = cosx.cotgy Lúc này: Page 3 Email: caotua5lg3@gmail.com Chương hàm số nhiều biến có lời giải. BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên. ⇒ & Ta có: f(x, y) = cosx.cotgy • = sinx.cotgy ⇒ • ⇒ ⇒ = ⇒A CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN A. CỰC TRỊ TỰ DO BÀI TẬP: Khảo sát cực trị tự do của hàm số f(x, y) với: 1. f(x, y) = 2 + Page 4 Email: caotua5lg3@gmail.com Chương hàm số nhiều biến có lời giải. BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên. 2. f(x, y) = xy 2 (2 – x – y) với 3. f(x, y) = GIẢI: 1. f(x, y) = 2 + • Tìm điểm dừng: Ta có: & Nên: Hệ này không tồn tại vì khi (x, y) = (0, 0) thì không xác định được và . Nên ta xét hiệu: f(x, y) – f(0, 0) = 2 + – (2 + = > 0, (x, y) (0, 0) (là đk để luôn tồn tại) Vậy: f(x, y) – f(0, 0) > 0 Hay: f(x, y) > f(0, 0), (x, y) (0, 0) Kết luận: điểm P(0, 0) là điểm cực tiểu của f với f min = f(0, 0) = 2 + = 2 Ghic chú: N thì kết luận ngay P(0, 0) là điểm cực đại. 2. f(x, y) = xy 2 (2 – x – y) với • Tìm điểm dừng: Ta có & Nên: (*) Giải hệ (*), ta có 3 cặp nghiệm: Page 5 Email: caotua5lg3@gmail.com Chương hàm số nhiều biến có lời giải. BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên. (loại) ; (loại); Như vậy, f(x, y) có 1 điểm dừng là: P • Tính đạo hàm riêng cấp 2: • Tại điểm dừng P , ta đặt: = B 2 – AC = < 0 mà A = < 0 Kết luận: P là điểm cực đại của f với: f max = f = 3. f(x, y) = • Tìm điểm dừng: Ta có Nên: (*) Giải hệ (*), ta có 1 cặp nghiệm: Như vậy, f(x, y) có 1 điểm dừng là: P • Tính đạo hàm riêng cấp 2: Page 6 Email: caotua5lg3@gmail.com Chương hàm số nhiều biến có lời giải. BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên. • Tại điểm dừng P , ta đặt: = B 2 – AC = 0 • Xét hiệu: o f(x, y) – f(0, 0) = – = o f(x, y) – f(–1, –1) = – = Không xét được dấu của f(x, y) không có cực trị. CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN: BÀI TẬP: Khảo sát cực trị hàm số: 1. f(x, y) = 2x 2 + 12xy + y 2 với điều kiện: x 2 + 4y 2 = 25 Giải: f(x, y) = 2x 2 + 12xy + y 2 với điều kiện: x 2 + 4y 2 = 25 • Bước 1: Trước hết ta lập hàm Lagrange: L(x, y) = f(x, y) + = 2x 2 + 12xy + y 2 + (x 2 + 4y 2 – 25) • Bước 2: Tiếp theo ta tìm điểm dừng bằng cách giải hệ: (Không giải được hệ pt) Page 7 Email: caotua5lg3@gmail.com Chương hàm số nhiều biến có lời giải. BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên. 2. f(x, y) = x 2 + 12xy + 2y 2 với điều kiện: 4x 2 + y 2 = 25 • Bước 1: Trước hết ta lập hàm Lagrange: L(x, y) = f(x, y) + = x 2 + 12xy + 2y 2 + (4x 2 + y 2 – 25) • Bước 2: Tiếp theo ta tìm điểm dừng bằng cách giải hệ: (Không giải được hệ pt) CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN BỘI Page 8 Email: caotua5lg3@gmail.com Chương hàm số nhiều biến có lời giải. BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên. BÀI TẬP: Tính các tích phân kép: D: nên: Đặt: y = x D: nên: Page 9 Email: caotua5lg3@gmail.com Chương hàm số nhiều biến có lời giải. y 1 y = 2 – x x 2 y = x 2 x = 1 y x y = y = BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên. • Xác định góc ứng với Ta có: = = Vậy: D: Page 10 Email: caotua5lg3@gmail.com Chương hàm số nhiều biến có lời giải. y = x y = x x y [...]... caotua5lg3@gmail.com Page 11 y Chương hàm số nhiều biến có lời giải BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Lúc này: D: x Đổi biến: y D: y=x (*) x (**) Kết hợp(*) với (**) : Lúc này: D: Email: caotua5lg3@gmail.com Page 12 Chương hàm số nhiều biến có lời giải BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên CHƯƠNG III TÍCH PHÂN ĐƯỜNG BÀI TẬP Tính các tích phân đường sau: y Ta có: 2 A y= Lúc này: Email:... Ta có: 2 A y= Lúc này: Email: caotua5lg3@gmail.com 1 Page 13 B Chương hàm số nhiều biến có lời giải BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên 1 Đặt: x t = 1 + 4x2 với Lúc này: Ta có phương trình tham số của : y 2 • x • Mặt khác, ta có: Email: caotua5lg3@gmail.com Page 14 Chương hàm số nhiều biến có lời giải BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Suy ra: =8 Ta có phương trình tham số của... r=2 x • Mặt khác, ta có: Suy ra: Email: caotua5lg3@gmail.com Page 15 Chương hàm số nhiều biến có lời giải BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Ta có phương trình tham số của : y • 1 r=1 • Mặt khác, ta có: x y 1 x Suy ra: Email: caotua5lg3@gmail.com Page 16 Chương hàm số nhiều biến có lời giải BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên ; Ta có: = = (cost – 2sint)2 +(sint + 2cost)2 + 1... 4costsint + 4cos2t + 1 1 + 4(cos2t + sin2t) + 1 (cos2t + sin2t = 1) 6 Do đó: Email: caotua5lg3@gmail.com Page 17 Chương hàm số nhiều biến có lời giải BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Page 18 Chương hàm số nhiều biến có lời giải