(Luận văn) khảo sát các thuật toán kiểm định số nguyên tố lớn và ứng dụng

lu an va n t to ng hi ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ep TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG w nl oa d lu an va NGUYỄN THỊ MỴ ul nf oi lm nh at z KHẢO SÁT CÁC THUẬT TOÁN KIỂM ĐỊNH SỐ NGUYÊN TỐ LỚN VÀ ỨNG DỤNG z om l.c gm @ HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TSKH NGUYỄN XUÂN HUY THÁI NGUYÊN – 2017 si LUẬN VĂN THẠC SĨ ac th : 60.48.01.01 n va Mã số an Lu Chuyên ngành: KHOA HỌC MÁY TÍNH lu an va n t to ng hi LỜI CAM ĐOAN ep m o n yl T i xin w u luận v n n y l trung th oa T i ng xin lu ảm ơn v ul nf hỉ rõ nguồn g cho việ th va ƣợ v kh ng tr ng l p với th ng tin trí h dẫn luận v n ã an luận v n n y ã ƣợ ri ng t i, s liệu v m o n r ng s gi p d t i kh u nl kết nghi n ng tr nh nghi n lm oi T giả nh at z z gm @ Nguyễn Thị Mỵ om l.c an Lu n va ac th si \ i lu an va n t to ng LỜI CẢM ƠN hi ep ến PGS.TSKH T i xin b y tỏ s kính trọng v lịng biết ơn s u sắ w t i su t nl Nguyễn Xuân Huy - ngƣời ã tận t nh hƣớng dẫn v gi p oa u v ho n th nh luận v n, xin ảm ơn d qu tr nh họ tập, nghi n lu v tạo i u kiện thuận lợi an gi o v ngo i trƣờng ã ung ấp kiến th va th n t i ng xin ƣợ b y tỏ lòng biết ơn h n th nh ến B n Gi m Hiệu, gi o phòng S u ại họ trƣờng Đại họ C ng Nghệ Th ng nh thầy gi o Viện C ng Nghệ Th ng Tin ã giảng dạy at Tin &Truy nTh ng, oi thầy gi o, lm T i ul nf ho qu tr nh họ tập v rèn luyện thầy, z nh, bạn bè ã hết lòng gi p l.c ể t i ho n th nh luận v n , khí h lệ, ộng vi n t i gm @ Xin ảm ơn gi u v ho n th nh luận v n n y z v tạo i u kiện ho t i họ tập, nghi n T om Thái Nguyên, tháng 03 năm 2017 giả an Lu n va ac th Nguyễn Thị Mỵ si ii lu an va n t to ng DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN hi ep Ý nghĩa w Kí hiệu nl Tập s th oa ℝ d Tập s th lu ℝ+ an va ℕ kh ng m Tập s t nhi n (kể ả 0) ul nf ℤ lm Tập s nguy n Tập s nguy n kh ng m, ℤ+ = ℕ (a, b), gcd (a,b) Ƣớ Ordn(b) Bậ ℤ/n V nh nguy n theo modulo n oi ℤ+ nh av b at lớn z z gm @ b theo modulo n om l.c Nếu n nguy n theo th ℤ/n l trƣờng ℤ[x] V nh ≡ To n ẳng, tƣơng ƣơng, ồng dƣ ϕ(n) H m phi Euler L, BitLen(n) S bit biểu diễn nhị ph n n logn log rit s lgamma(n) log((n1)!) th nguy n si iii n ac th ) n ( va Tổ hợp hập k an Lu ( ) n lu an va n t to ng hi DANH MỤC CÁC BẢNG TRONG LUẬN VĂN ep Tên bảng luận văn w Bảng Trang nl oa 1.1 Ph n b s nguy n t d 10 lu an 1.2 Một v i s nguy n t Mersenne va 16 i lm p nguy n t sinh ul nf 1.3 Một s 17 oi nh 17 at 1.4 Một s s nguy n t Sophie Germ in z z 18 ầu ti n v h m n#, pn# om 20 an Lu 1.7 Một s s nguy n t gi i th y ã biết 19 l.c 1.6 20 s nguy n t gm @ 1.5 V i s gi i thừ nguy n t 2.2 C phép + v ⋅ v nh ℤ/7 49 3.1 C phƣơng th 52 3.2 Bậ 31 s ℤ/7 61 ℤ/7 62 3.3 H i phần tử sinh iv si s nguy n t v hợp s khoảng 2100-1 l s ac th 2.1 C lớp BI biệt 24 n Thời gi n m y tính d ng ể ph n tí hs n r thừ s nguy n t va 1.8 lu an va n t to ng MỤC LỤC hi ep LỜI CẢM ƠN II DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN III w nl DANH MỤC CÁC BẢNG TRONG LUẬN VĂN IV oa d MỞ ĐẦU lu an CHƢƠNG1 TỔNG QUAN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ va ul nf 1.1 Các định nghĩa khái niệm mở đầu lm 1.2 Một số tính chất số nguyên tố oi 1.3 Sự phân bổ số nguyên tố nh at 1.4 Số giả nguyên tố 11 z 1.5 Số Mersenne 13 z @ gm 1.6 Số Fermat 16 l.c 1.7 Các số nguyên tố lớn 17 s nguy n t sinh i 17 172C s nguy n t Sophie Germ in 17 173C s gi i thừ nguy n t 18 174C s nguy n t gi i th y 19 om 171C an Lu n va ac th 1.8 Ứng dụng số nguyên tố 21 182C hệ mật mã ng kh i 21 CHƢƠNG CÁC THUẬT TOÁN KIỂM ĐỊNH SỐ NGUYÊN TỐ 26 2.1 Các lớp P NP 26 2.2 Thuật toán kiểm định theo√ 28 2.3 Sàng Eratosthenes 30 2.4 Thuật toán kiểm định theo xác suất MILLER-RABIN 31 Cơ sở to n họ 31 Thuật to n Miller Test 36 v si Mật mã v s nguy n t 21 lu an va n t to ng Thuật to n Miller-Rabin 36 hi trƣờng hợp ep 244C biệt 37 2.5 Kiểm định theo giả thuyết Riemann 38 w nl 2.6 Thuật tốn kiểm định tính ngun tố AKS 39 oa d 2.6 Giới thiệu 39 lu an 2.6 Định lí AKS 40 va to n họ 42 lm 2.6 Một s kiến th ul nf 2.6 Thuật to n 41 oi 2.7 Thuật toán Bernstein 46 nh at 2.7 Định lí Bernstein 46 z 2.7 Thuật to n Bernstein 47 z @ gm CHƢƠNG CÀI ĐẶT VÀ ỨNG DỤNG 48 l.c Lớp BI 49 om 1 Nhận xét 49 trƣờng liệu 49 313C phƣơng th an Lu 312C 49 va n 3.2 Lớp ARITHM 55 ac th Ƣớ lớn 55 323S hính n 56 Bậ theo modulo 58 C n nguy n th y 59 S nguy n t s t s u 61 Kiểm tr ƣớ nguy n t 62 Ƣớ nguy n t lớn 64 Nh n modulo 66 10 L y thừ modulo 67 vi si 2 H m phi Euler 55 lu an va n t to ng 3.3 Lớp BIPOL 67 hi trƣờng liệu 67 332C phƣơng th ep 331C 67 w nl 3.4 Lớp MR 72 oa d 3.5 Lớp AKS 72 lu an 3.6 Ứng dụng 72 va ul nf KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN 73 oi lm TÀI LIỆU THAM KHẢO 79 nh at z z om l.c gm @ an Lu n va ac th si vii lu an va n t to ng hi MỞ ĐẦU ep Số nguyên tố l s t nhi n lớn v d w Định nghĩ v s nguy n t m nl xo y qu nh lu n l m hính ơn giản v ngắn gọn nhƣng nh to n họ qu n t m oa vấn hỉ hi hết ho v d to n họ lu S nguy n t l kh i niệm xƣ an va s nguy n t l vật liệu x y d ng n n s t nhi n V u hỏi ầu ti n s t r l : Có số ul nf nguy n t t ng l n v hạn n n C ã ƣ r lập luận, xuất ph t từ giả nh hạn Để h ng minh i u n y Eu lid oi lm nguyên tố? Có thể liệt k tất ả h ng r h y h ng lập th nh dãy s v at thiết phản h ng r ng dãy s nguy n t l hữu hạn, s u ó hỉ r s z với s nguy n t ã ó M u thuẫn n y ho biết tập @ gm nguy n t l vô hạn ƣ r u hỏi Một s u hỏi ó, dƣới om ƣợ l.c s nguy n t s nguy n t , nhi u S u Eu lid h ng minh ó v s xung qu nh s z nguy n t kh ho ến n y hƣ ó ƣợ lời giải trọn vẹn va m an Lu ph t biểu ơn giản, ã trở th nh b i to n lị h sử to n họ n Ngƣời t kh ng t m thấy s tuần ho n n o dãy s nguy n t ph n b ph tạp v kh ng ó quy luật Việ si ph t s nguy n t tỏ r ac th S s nguy n t lớn thời gi n d i l s qu n t m nhi u nh to n họ Tuy nhi n ho ến n y s họ òn tồn nhi u giả thuyết mở v s nguy n t ng y n y việ nghi n Hơn nữ , thời ại u s nguy n t ng nghệ th ng tin ng ƣợ kí h thí h s kiện l s nguy n t tỏ r ó í h việ mã hó v giải mã th ng tin Tính bảo mật v khai ƣợ n to n ảm bảo b ng ộ ph nguy n th nh tí h t n ho việ qu tr nh tr o ổi khó v tạp thừ s nguy n t hạy m y tính ể th hệ mật mã khó ng b i to n s họ ph n tí h s Nói h kh , vấn thời gi n ti u b i to n ph n tí h s nguy n lu an va n t to thừ s nguy n t ng lớn th nh hi hầu hết hệ mật mã khó ep to n nói ri ng Đó ƣợ sử dụng l m hỉ ti u ng l lí ể w nl ng kh i RSA ƣợ nh gi ộ n ng kh i nói v hệ mật mã RSA hệ mật mã nói v hệ mật mã khó tế hấp nhận rộng rãi thƣơng mại oa ộng ồng qu d iện tử v tr o ổi th ng tin lu m nh, luận v n tr nh b y thuật to n li n an Trong khu n khổ va ng dụng thuật to n tr n ể từ ó ul nf qu n ến s nguy n t v oi mã hó v giải mã th ng tin t s nguy n t việ lm hƣơng tr nh thử nghiệm nh m nhấn mạnh v i trò i nh at Đối tượng phạm vi nghiên cứu i tƣợng ó qu n z Luận v n tập trung t m hiểu v s nguy n t v z ng kh i Ngo i r luận v n qu n t m ến s lớp s o tr nh sử dụng x y d ng om biệt thƣờng ƣợ khuyến l.c nguy n t thuật to n kiểm ịnh s nguy n gm t , hệ mật mã khó @ hệ mật thiết ến s nguy n t , b o gồm o an tạp kh ng Lu hệ mật mã v thuật to n kiểm ịnh s nguy n t n y thƣờng ó ộ ph va u vấn y: si hính s u luận v n h yếu tập trung v o nghi n ac th Nội dung n Những nội dung nghiên cứu Chương Tổng quan số nguyên tố khái niệm liên quan Trong hƣơng n y họ vi n tr nh b y v tổng qu n s nguy n t : Giới thiệu v s nguy n t , ịnh lý qu n trọng v v i lớp s nguy n t qu n trọng lị h sử to n họ Chương Giới thiệu số thuật toán kiểm định số nguyên tố Trong hƣơng n y, luận v n tập trung tr nh b y ịnh s nguy n t lớn d v phƣơng ph p x tr n tiếp ận kh suất thuật to n kiểm nh u: phƣơng ph p tất ịnh lu an va n t to ng 3.3.2.2 Lũy thừa mod (N, xR  1) hi v nh modulo (N, xR1) v k l s v nh th ep Cho f l w mod N Cần tính z = f k modulo (N, xR1) nl u phải kiểm tr oa Trong ả h i thuật to n AKS v AKSB t ẳng th d lu (x+a)N  xN + a mod (N, xR1), a < N an ẳng th tr n ơn giản, ụ thể l , N > R n n va Vế phải ul nf xN + a  xN mod R + a mod (N, xR1) lm hệ s oi v ó ó dạng biểu diễn BIPOL l dãy th nh bậ N mod R, ụ thể l hệ s c0 = a, hệ s cN mod R = gm @ f k ó bậ mk Trong hai th om va trƣờng hợp s u: n T xét an f k mod (n, xR1) = f k mod N bậ Lu bậ v k < R th th l.c u phải tính fN với f = x+a l th tính h m z f có bậc m th thuật to n AKS v AKSB t Ngoải r , f l z th t phƣơng th mod (n, xR1), a < n (x+a)n Để ý r ng i at Nhận xét tr n ho t biết hỉ ần ac th Trường hợp k < R th kết f k l k < R th kết f k l si Khi ó bậ Trường hợp k = R Khi ó bậ Trường hợp k > R Gọi d l thƣơng v v l dƣ phép hi k ho R1 T ó k = d(R1) + v, ≤ v < R1 v ó f k = (fR1)d  f v T tính ri ng th nh phần tổng hợp kết quả, ụ thể l Tính t1 = f R1 mod N 70 lu an va n t to ng Tính t2 = f v mod N hi ep Tính t3 = t1d mod (N, xR1) w Kết = (t1  t3) mod (N, xR1) nl oa d Operator ^ lu an Ch n ng: tính z = f^k mod n Input: f: BIPOL k: BI Output: z va ul nf lm oi Method if (f = or f = 0) then return f endif; // 1^k = 1, 0^k = nh at z ≔ BIPOL(1); if (k < R) then z z @ for i ≔ to BitLen(k) – an n va ac th si 71 Lu t := t*t; endfor return z; endoperator * om for i ≔ to BitLen(d)-1 if (Bit(d[i] = 1) then z := z* t endif; l.c endif // k >= R DivMod(k, R-1, d, v); // k = d(R-1)v // Tính th c t := f^(R-1); // Tính th c z := f^v; // Tính d thu z = z*t^d gm if Bit(k[i]) = then z ≔ z* f endif; f := f*f; end for return z; lu an va n t to ng 3.4 Lớp MR hi suất tính nguy n t theo thuật ep Lớp MR gồm thuật to n kiểm ịnh x w to n Miller-Rabin nl oa Họ vi n ã th kiểm ịnh s u y: ịnh theo thuật to n Miller-R bin lu an biệt (m tả i s nh thuật to n Miller-R bin v thuật to n AKSB oi lm Kiểm ịnh nh s lớn at 3.5 Lớp AKS z Bernstein z Lớp AKS gồm thuật to n AKSB ải tiến theo kết l họn s th m biến nhƣ s u gm ng hỉ r @ Bernstein ịnh s nguy n t r n n xuất ph t từ gi trị r = r0 s u ó gọi l.c Để x dƣới ul nf mụ 4 nguy n t trƣờng hợp va 5000000 theo h i phƣơng n ó v kh ng xét tr n s d Kiểm om h m NextPrime(r) ể t m s nguy n t Nếu s bit biểu diễn n, L lớn họn r0 = 01∙L2, ngƣợ lại, L ≤ 32 bit th an hỉ ần họn r0 ≥ n v L phép l y thừ , ó L n tạp tính to n: L phép kh i va 003∙L Tuy nhi n, ơn giản t Độ ph họn r0 = Lu 32 bit th ac th = BitLen(n) = log2n l s bit biểu diễn n ( )( )( i u kiện ho s (2 5) )( ( ) H i vế biến n n bất ẳng th (1) ) ul ( ) ( k theo n T biết: ) s kh ng m M t kh (2 5) xảy r v v P lần lƣợt l vế tr i v phải √ ( ) ) Kí hiệu C(n, k) l h m ho gi trị tổ hợp ( si Thuật to n tính biểu th h m log rit ồng hỉ log(T) ≤ log(P), ó T (2 5), log ƣợ tính theo s t nhu n e 72 lu an va n t to C++, h m lg mm (n) ho t log rit ng Trong thƣ viện m th hi ep (n1)!, ụ thể l w lgamma(n) = log(n!) = log(1)+log(2)+…+log(n-1) nl ó: oa T d = lu log(C(n,k))  log(n!)  log(k!) log((n-k)!) = an va lgamma(n+1)lgamma(k+1)lgamma(nk+1) ul nf Gọi LogC(k,n) l h m tính log rit tổ hợp C(n,k), t ó lm LogC(k, n) = log(C(n,k)) = log(n!) - log(k!) - log((n-k)!) oi nh = lgamma(n+1)lgamma(k+1)lgamma(nk+1) at vế tr i l : z Khi ó log rit z gm @ log(T) = LogC(2*s, i) + LogC(d, i) + LogC(2*si, j) + LogC(r1d, j) ) ⌉ ( ) om ⌈√( l.c ( ) v r l s nguy n t n n φ(r) = r1 ho ngƣời sử dụng b o va bƣớ s u: n gồm an Trong hệ mật mã RSA qui tr nh sinh khó Lu 3.6 Ứng dụng cấp khóa cho hệ mã RSA ac th K1 Chọn h i s nguy n t p v q lớn K3 Chọn h i s nguy n dƣơng d v e thỏ i u kiện de  mod (n) Giữ khó ri ng (d,n), khó th h i l (e,n) ể ng kh i Với ngƣời sử dụng ần ấp khó t giả thiết l hệ th ng ần họn s nguy n t p v q lớn h i ngƣ ng sp v sq ho trƣớ NextPrime dƣới y th h n ng tr n 73 Thuật to n si K2 Tính tí h n = pq v h m phi Euler (n) = (p1)(q1) lu an va n t to ng Algorithm NextPrime(BI x) hi ep w Ch n ng: Tim s nguy n t s t s u x Input : s nguy n x output: s nguy n t ầu ti n > x Method // Xuất ph t từ s lẻ x nl oa d lu if (x l s endif an hẵn) then x ≔ x + else x ≔ x +2 va ul nf while not Prime(x) x ≔ x + 2; endwhile return x; oi lm endNextPrime nh ng nh u X at T m s nghị h ảo theo modulo : Cho , n nguy n t z i u kiện x mod n = x ƣợ gọi l s nghị h ảo theo z @ ịnh x thỏ gm modulo n om l.c Trƣớ hết vận dụng thuật to n Eu lid mở rộng t m x v y thỏ : ax + ny = (a,n) = y suy r ( x mod n) + (ny mod n) = mod n an Lu Từ si 74 ac th Algorithm Inv(BI a, BI n) Ch n ng: T m s nghị h ảo theo modulo n input: BI a, BI n; (a,n) = output: x thỏ x mod n = Method x := 0; b := n; u := 1; q := a/b; r := a - q*b; while (r > 0) a := b; b := r; t := u; u := x; x := t - q*x; q := a / b; r := a - q*b; endwhile return (x > 0) ? x : x+n; endInv n va Vậy x mod n = lu an va n t to ịnh ƣợ h i s nguy n t p,q v tính ƣợ d, e nhờ h i thuật hi ng th ng Khi x ep to n NextPrime v Inv t mã hó m theo w ng th nl v giải mã theo oa d lu an Algorithm GenKey(BI sp, BI sq) va ul nf Ch n ng: sinh khó k input: BI sp, BI sq ; output: d,e thỏ de  mod (n), (n) = (p1)(q1) Method P: = NextPrime(sp); // Tim so nguyen to p > sp q: = NextPrime(sq);// Tim so nguyen to q > sq n:= p*q; phi := (p-1)*(q-1); // Tinh d thoa (d,phi) = d := (p+q)/2; while (Gcd(d,phi) != 1) d:=d+1; endwhile // Tinh e thoa de % phi = e: = Inv(d,phi); // Kiem tra d, e for (m = 1; true; ++m) { = PowMod(m, e,n);// mã hó m v = PowMod( , d, n);// giải mã m } Endfor EndGenKey oi lm nh at z z om l.c gm @ an Lu n va ac th si 75 lu an va n t to ng Bảng so s nh thời gi n kiểm ịnh s nguy n t theo h i thuật to n ã hi i t ep ƣợ w nl oa d lu an va ul nf oi lm nh at z z om l.c gm @ an Lu n va ac th si 76 lu an va n t to ng số hệ hi ep thập phân w 10000339 nl oa 193707721 Thời gian kiểm định theo Miller – Rabin theo AKS gi y với k=100 lần gi y gi y với k=100 lần 15 gi y gi y với k=100 lần 218 gi y gi y với k=100 lần 1555 gi y lu an 203891234567897 d 761838257287 Thời gian kiểm định va ul nf oi lm nh at z z om l.c gm @ an Lu n va ac th si 77 lu an va n t to ng Một s kết hạy hƣơng tr nh hi ep w nl oa d lu an va ul nf oi lm nh at z z om l.c gm @ an Lu n va ac th si 78 lu an va n t to ng hi ep w nl oa d lu an va ul nf oi lm nh at z z om l.c gm @ an Lu n va ac th si 79 lu an va n t to ng KẾT LUẬN CHƢƠNG hi ep v o nội dung t m hiểu ƣợ hƣơng 2, hƣơng ã ã D w h tổ ch c liệu v i nl cập ến ý nghĩ , oa s nguy n t v i s nh giữ i lớp thuật to n v i tƣợng ể quản ng dụng ể t m khó lu an cho hệ mã RSA d lý t va ul nf oi lm nh at z z om l.c gm @ an Lu n va ac th si 80 lu an va n t to ng KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN hi d ng dụng c a s nguy n t kh ng nhi u nhƣng v i trò ep M c biệt l s nguy n t lớn Trong w i với hệ mật mã quan trọng, nl oa phạm vi c a luận v n, họ vi n ã th c ƣợc: T m hiểu v i trò v d ịnh lý qu n trọng li n qu n ến s nguy n t lu an Nắm ầy thuật to n kiểm ịnh s nguy n t va kiến th c v T m hiểu v Thiết kế i T m khó ho hệ mã hó RSA lớp i tƣợng quản lý s nguy n t oi lm t ộ tính to n ul nf ải tiến thuật to n nh m t ng t nh huy n gi họ vi n thấy r ng: at Qu tr o ổi v xin ý kiến c z z Một hƣớng ph t triển ó ý nghĩ nghi n om l.c gm @ b i to n li n qu n ến hệ mật mã u giải an Lu n va ac th si 81 lu an va n t to ng TÀI LIỆU THAM KHẢO hi ep [1] Singh Simon (2008), Mật mã: từ cổ điển đến lượng tử, NXB Trẻ, w Phạm V n Thi u, Phạm Việt Hƣng dị h nl oa d [2]Singh Simon (2010), Định lí cuối Fermat, NXB Trẻ, Phạm lu V n Thi u, Phạm Việt Hƣng dị h an va ul nf [3]H Huy Kho i – Phạm Huy Điển – Số học thuật toán, NXB Kho họ (2004), PRIMES is in P, Annals of nh [4]Neeraj and Saxena Nitin oi lm H Nội n m 1996 – 781 at Mathematics, 160 (2): z z 793 doi:10.4007/annals.2004.160.781 JSTOR 3597229 @ om l.c Saxena, (manuscript, version of January 25) gm [5] Bernstein Daniel J (2003), Proving Primality After Agrawal-Kayal- [6] Granville Andrew (2004), It is easy to determine whether a given Lu an integer is prime, BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN n va MATHEMATICAL SOCIETY, Volume 42, Number 1, Pages 338, S 0273- ac th 0979(04)01037-7 Applications, Third edition, Addison-Wesley [8] Knuth Donald E (2003), Selected Papers on Discrete Mathematics (cloth), Lecture Notes (106) Stanford, CA: Center for the Study of Language and Information, SLI, ISBN 1-57586-249-2, ISBN 1-57586-2484 (paperback) [9] Knuth Donald E (2010), Selected Papers on Design of Algorithms, CSLI Lecture Notes, no 191, ISBN 1-57586-583-1 (cloth), ISBN 1-57586582-3 (paperback) 82 si [7] Kenneth Rosen H (1993), Elementary Number Theory And lu an va n t to ng [10] Knuth Donald E (2003), The Art of Computer Programming, 1: hi ep Fundamental Algorithms (3rd ed.), Addison-Wesley, Professional ISBN 0- 201-89683-4 w nl oa [11] Knuth Donald E (2003), The Art of Computer Programming, 2: d lu Seminumerical Algorithms (3rd ed.), Addison-Wesley Professional ISBN 0- an va 201-89684-2 ul nf [12] Knuth Donald E (2003), The Art of Computer Programming, 4A: Addison-Wesley Professional ISBN 0-201- oi Algorithms, lm Combinatorial nh 03804-8 at z [13] Ribenboim, Paulo (1991),The Little Book of Big Primes, Springer- z om l.c gm @ Verlag an Lu n va ac th si 83 lu an va n t to ng hi ep w nl oa d lu an va ul nf oi lm nh at z z om l.c gm @ an Lu n va ac th si 84