Buoi 01 - Dai So Tuyen Tinh - Citd.doc

Tài liệu tham khảo 1/ Giáo trình Toán Cao cấp A3 Tác giả Đỗ Văn Nhơn NXB ĐHQG HCM 2/ Đại số tuyến tính Tác giả Nguyễn Ngọc Thanh – Trịnh Thanh Đèo NXB ĐHQG HCM 3/ Giáo trình Đại số tuyến tính (Toán 2)[.]

Tài liệu tham khảo: 1/ Giáo trình Tốn Cao cấp A3 Tác giả: Đỗ Văn Nhơn NXB: ĐHQG-HCM 2/ Đại số tuyến tính Tác giả: Nguyễn Ngọc Thanh – Trịnh Thanh Đèo - … NXB: ĐHQG-HCM 3/ Giáo trình Đại số tuyến tính (Tốn 2) Tác giả: Đỗ Cơng Khanh – Nguyễn Minh Hằng – Ngô Thu Lương NXB: ĐHQG-HCM 4/ Giáo trình Đại số tuyến tính Tác giả: Cao Thanh Tình – Hà Mạnh Linh – Lê Hồng Tuấn – Lê Huỳnh Mỹ Vân NXB: ĐHQG-HCM * Phần mềm hỗ trợ: + MATLAB; + MAPLE; + Microsoft Excel; + R;… * Bài học: CHƯƠNG 1: MA TRẬN – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1/ MỘT SỐ KHÁI NIỆM: Ma trận (Matrix – Matrice): Gọi F trường số hữu tỷ  , trường số thực  , trường số phức  Fields  VIASM Một ma trận có kích thước m n F bảng số (chữ nhật) có m dịng n cột, sau:  a11  a A  21     am1 a12 a22  am  a1n    a2 n  ,     amn  Ta viết gọn A (aij )11ijmn , với aij  F phần tử dòng i cột j ma trận A Khi m n ta gọi A ma trận vng cấp n , kí hiệu là: A (aij )1i , j n Ta ký hiệu:  mn ( F )  tập hợp tất ma trận có m dòng n cột F  n ( F )  tập hợp tất ma trận vng cấp n F Ví dụ: ta có ma trận sau    9   A    10    35 ( )   6   5/9  7/3   B   1/    ()   / /   C    2i  5i 4i  2i   14 ( )  2   3 D     41 ()  8    9 * Ma trận zero: Là ma trận có tất hệ số 0, ta kí hiệu  mn  n Ví dụ:  23  0 0  0 0     3  0  0    0 0   * Ma trận đơn vị (unit matrix – identity matrix): Ma trận đơn vị cấp n ma trận vng cấp n có dạng 1  I n En    0      0  0 E = Elementary (sơ cấp)   1 1  0    Ví dụ: I   I  0  0 1    0 0 0  0 0  1 * Ma trận đường chéo (diagonal matrix): Là ma trận vng cấp n có dạng  a11   A      a22  an  1n        ann  với a11 , a22 , , ann tùy ý 3   A  Ví dụ:    0 0 5 0 0  0 0  8 * Ma trận tam giác (upper triangular matrix): Là ma trận vuông cấp n có dạng  a11   A      1  Ví dụ: A    tùy ý a22  an  1n        ann   3  2  0  0  7 * Ma trận tam giác (lower triangular matrix): Là ma trận vng cấp n có dạng  a11  a22  A     tùy ý      4 A  Ví dụ: 5   0 0  0 0   5 an  1n        ann  2/ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN DÒNG ĐỐI VỚI MA TRẬN (ROW ELEMENTARY OPERATIONS): a/ Loại 1: Nhân dịng (i ) cho số c  F Ta có: ( i ) c ( i ) h ( i )  c.h ( i ) d ( i )  c d ( i ) `ng ( i )  c.do `ng ( i ) r ( i )  c r ( i ) A        A' 3     10   15  20 49  65   A  Ví dụ 1: Cho  73  27 41 52  39 15     12     (3)  519(3)      A '           23    51 17 98   Ví dụ 2: Cho B   18  23  71 25   19 38 13  173           B '    (1)  5312(1)      b/ Loại 2: Hốn vị (interchange) dịng (i ) với dịng ( j ) Ta có: i )( j ) A  (   A' 7     5  Ví dụ 3: Cho C  10      12     2      (5)  (2)   C '              c/ Loại 3: Thay dòng (i ) [dòng (i)  c dịng ( j ) ] Ta có: i )  ( i ) c ( j ) A  (    A'  5   Ví dụ 4: Cho D  15 23   12  38 19  73           D '    (3)  (3)  813(2)       21 35  72 61    Ví dụ 5: Cho E   13  29 18  38   11 43 17  25        E '    (2)  43(3)  95(2)        45 21 15  43    Ví dụ 6: Cho F  18  81  26 17   24 52 15 49           F '    (1)  3(2)  2(1) (3)      Ví dụ (dùng F ví dụ 6)          F ''    (2)  15(2)  23(3) 61(1)      Lưu ý: Ta thực phép gán cho dịng (i) khơng sử dụng dịng (i) để tính tốn 4(1) 5(3) A35  (2)    A ' không làm Ví dụ: 4(1) 5(3)  9(2) A35  (2)      A '' làm 3/ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (LINEAR EQUATIONS): Một hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình n ẩn số, F, hệ có dạng:  a11 x1  a12 x2    a1n xn b1  a x  a x    a x b  21 22 2n n (*)      am1 x1  am x2    amn xn bm Trong đó: aij ; bi hệ số cho trước F x1 , x2 , , xn ẩn số cần tìm Đặt  b1   x1      A (aij )1i m ; B  b2  X  x2  1j n          bm   xn  Thì hệ pt(*) viết thành dạng:  Dạng tích ma trận: AX B  Dạng ma trận hóa: ( A | B) (the augmented matrix) Ví dụ: Cho hệ pt tuyến tính sau  :  x3  x4  x5  x1 2 3 x  x  x   7 x2  x5  x6 8  x1  x4 8 x  x  x 10  x  x  3 x5  x6  x4 3  x2 Viết hệ pt dạng tích ma trận dạng ma trận hóa Ta có dạng tích ma trận hệ là: AX B , với  x1    0  2   x         5   0 3  x3  A     , X   , B        x4     10   x5     3       x  6 Ta có dạng ma trận hóa hệ là:  1 2      0  5 ( A | B )             4/ CÁCH GIẢI HỆ PT TUYẾN TÍNH (PHƯƠNG PHÁP GAUSS-JORDAN): Xét hệ pt tuyến tính gồm m phương trình n ẩn số, F, viết dạng ma trận hóa ( A | B) Ta sử dụng phép biến đổi sơ cấp dòng tùy ý mà không làm thay đổi tập hợp nghiệm hệ Cụ thể sau: Ta sử dụng tùy ý phép biến đổi sơ cấp dòng để xây dựng A cột chuẩn  0  1  0        0 0 1   E1  ,E  , E  1 , theo thứ tự từ trái  phải            0  0  0  0   Quá trình xây dựng cột chuẩn phải đảm bảo nguyên tắc: + Khi xây dựng cột chuẩn Ek ta phải giữ cột chuẩn E1 , E2 , , Ek  đã có trước + Nếu cột xét ta không xây dựng thành Ek ta phải chuyển sang cột kế cận bên tay phải * Q trình chuẩn hóa cột kết thúc ta xét xong cột cuối A * Có đúng trường hợp sau xảy ra: TH1: Khi chuẩn hóa cột, ta nhận thấy có dòng hệ xuất dạng (0 0 … 0 | a ), với a 0 Ta kết luận hệ pt VÔ NGHIỆM TH2: Ta thu n cột chuẩn liên tiếp nhau, có dạng n cợtt ch̉n liên tiếp 0  0  0 0  0       0  0 c1 c2 c3   cn  1 cn 0  00       0  00 dịng zero, có khơng Ta kết luận hệ pt CÓ NGHIỆM DUY NHẤT là: x1 c1 ; x2 c2 ; ; xn cn TH3: Khi chuẩn hóa xong, ta chỉ thu r cột chuẩn (với r  n ), xen kẽ với ( n  r ) cột không chuẩn hóa được, ta kết luận hệ pt CÓ VƠ SỚ NGHIỆM sau: + Các ẩn ứng với cột khơng chuẩn hóa  ta gọi ẩn tự do, lấy giá trị tùy ý F + Các ẩn cịn lại (ứng với cột chuẩn hóa được)  ta gọi ẩn phụ tḥc, tính theo ẩn tự do, nhờ vào pt không tầm thường hệ sau 1  GAUSS  JORDAN  Ví dụ: Khi giải hệ ( A | B)       0  0 0  5    3  0 7  0  Ta thấy hệ sau có cột 4, cột khơng chuẩn hóa được, nên hệ có VƠ SỚ NGHIỆM sau:  x4 a; a, b    x6 b; Đặt   x1  x4  3x6 5  x1 5  2a  3b  x  x  x   x   a  b  Ta có   x3  x4 7  x3 7  a  x5  x6 4  x5 4  2b * Dấu hiệu nhận biết cột có chuẩn hóa hay không? Ta muốn chuẩn hóa cột  u1   0      u2   0          uk   tha nh  U    Ek    uk   1      uk 1   0          u   0  m  vị trí thứ k TH1: Nếu uk uk 1  um 0 ta khơng thể chuẩn hóa U thành Ek TH2: Nếu có (ít nhất) hệ số khác 0, số u k , uk 1 , , um ta chuẩn hóa U thành Ek Ví dụ:   3  0      2  0  5  0      4   0 a/ Ta muốn chuẩn hóa cột U   thành E6   không? 0      0  1  0  0        0 Ta thấy u6 u7 u8 0 nên ta chuẩn hóa U thành E6  8  0      0  0   3  0     0   1 b/ Ta muốn chuẩn hóa cột V   thành E4   không?      0  0  0  0        0 v5 7 0 nên ta chuẩn hóa V thành E4 v8 3 0 Ta thấy  Ví dụ mẫu 1: Giải hệ pt tuyến tính sau   x2  x1  3x3 0   x1  x2  x3   x  x  x   Ví dụ mẫu 2: Giải biện luận hệ pt tuyến tính sau  theo tham số thực m :  x1  x2  mx3 1   x1  mx2  x3 m  mx  x  x m  Giải: Ví dụ mẫu 1: Ta có dạng ma trận hóa hệ sau:  (3) (1)    (3)     (3) (3)  (2)  1    (2)  2(1)   (2)     (1)   1(1) (1) 2(2) ( A | B )               (1)      2     8  1  8  0   6        0  10           14  0    (1)  (1)  (3) (2)  (2) 2(3) (3)   1.(3) Do ma trận kết có cột chuẩn liên tiếp nhau, nên hệ pt có nghiệm là:  x1  10;   x2  14;  x 6  Ví dụ mẫu 2: Ta có dạng ma trận hóa hệ là:  1 m  (2) (2)  (1) 1 m    (3) (3)  m (1)   ( A | B )  m m        m  1  m m   (*)  m 1 m2    m  m2 m2  m       1 11 (2) (2)  (1)  1 1    (3) (3)  (1)     0 0 TH1: m  0  m 1 hệ pt (*)   1 11      1 11  0 0     Ta thấy cột 2, cột không chuẩn hóa nên hệ pt CÓ VƠ SỚ NGHIỆM sau:  x2 a; , a, b   Ta có x1  x2  x3 1  x1 1  a  b  x3 b Đặt  TH2: m  0  m 1 (2) m 1 (3) (3) 1 m (2)   1 m  (1) (1)  (2)  m 1      (3)  (2) Ta có (*)         1   (3)    0 1  (**)  1 m  m  0 m   m  1     TH2.1 m  0  m    0   Ta có (**)    1  từ dòng ta thấy  0 1   dạng (0 0 | 1) nên hệ pt VÔ NGHIỆM TH2.2 m  0  m      m  1 (3) (3)     0  1 Ta có (**)   m   0   (m  1)   ( m  2)    0 ( m  1) / ( m  2)      0 1/ ( m  2)   0  (m  1) / (m  2)    (2)  (2) (3) (1)  (1)  ( m 1)(3) Kết luận: Khi m  hệ pt VÔ NGHIỆM  x2 a; , a, b   x1 1  a  b  x3 b Khi m 1 hệ pt có vơ số nghiệm, với  Khi m 1 m  hệ pt có nghiệm nhất: x1  ( m  1) ( m  1) ; x2  ; x3  m2 m2 (m  2) Bài 1: Giải hệ pt tuyến tính sau   x2  x3  x4  x1 6 3 x  x  x  x     x1  x3  x2  x4 4  x3  x4  3x2  x1  Bài 2: Giải biện luận hệ pt tuyến tính sau  theo tham số thực m  x1  x2  x3 1  3 x2  mx3  x1 3  x  mx  x 2  -* Các cột bán chuẩn Các cột bán chuẩn cấp m cột có m thành phần, sau:  u1   a  b        u2   0  c E '1   , E '2   , , E 'm           um        0  0  u       m  Trong đó: a, c, , um số tùy ý khác 0; b, u1 , u2 , , um số tùy ý