Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH VĂN DŨNG lu an MỘT SỐ THUẬT TOÁN va n GIẢI QUI HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH DỰA p ie gh tn to TRÊN PHÉP BIẾN ĐỔI CHARNES - COOPER d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2016 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH VĂN DŨNG MỘT SỐ THUẬT TỐN GIẢI QUI HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH DỰA lu TRÊN PHÉP BIẾN ĐỔI CHARNES - COOPER an n va to gh tn Chuyên ngành: Toán ứng dụng 60 46 01 12 p ie Mã số: nl w d oa LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z at nh oi GS.TS TRẦN VŨ THIỆU z m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2016 ac th si Mục lục Phép biến đổi Charnes - Cooper 1.1 Tập lồi đa diện 1.2 Hàm phân thức afin 1.3 Bài toán qui hoạch phân tuyến tính 10 1.4 Cách tiếp cận Charnes - Cooper 13 1.4.1 an p lu Mở đầu n va ie gh tn to 1.4.2 Thuật toán giải (LFP) 21 1.4.3 Ví dụ minh họa 22 d oa nl w Phép biến đổi Charnes - Cooper 14 an lu Bài toán qui hoạch phân thức với hệ số mục tiêu thay đổi 26 nf va Nội dung toán 26 2.2 Bài toán qui hoạch tuyến tính tương đương 29 2.3 Thuật toán giải 33 2.4 Ví dụ minh họa 35 z at nh oi lm ul 2.1 z 41 l gm 43 m co Tài liệu tham khảo @ Kết luận an Lu n va ac th si Mở đầu Qui hoạch phân tuyến tính (Linear Fractional Programming, viết tắt (LFP) toán tìm cực tiểu (hay cực đại) hàm phân thức afin (tỉ lu số hai hàm tuyến tính afin) với ràng buộc đẳng thức hay bất đẳng thức an tuyến tính va n Qui hoạch phân tuyến tính trường hợp riêng qui hoạch phi gh tn to tuyến, thường dùng để mơ hình hố toán thực tế với hay nhiều p ie mục tiêu (chẳng hạn lợi nhuận / chi phí, sản phẩm / số lao động, v.v ) ứng dụng rộng rãi nhiều ngành khác kỹ thuật, kinh tế, oa nl w tài chính, v.v Một toán qui hoạch phân thức sớm d mơ hình cân kinh tế Von Neumann nêu năm 1973 (xem [5]) lu an Charnes Cooper [7] năm 1962 qui hoạch phân tuyến nf va tính biến đổi tương đương qui hoạch tuyến tính, nhờ phép đổi biến lm ul phi tuyến, gọi phép biến đổi Charnes - Cooper Về sau, phép biến đổi z at nh oi nhiều tác giả vận dụng mở rộng Nói riêng, tác giả [4], [5] [6] sử dụng để đưa thuật toán giải dạng qui hoạch phân tuyến z tính mở rộng như: qui hoạch phân tuyến tính với hệ số mục tiêu thay đổi, qui @ gm hoạch phân thức giá trị tuyệt đối, qui hoạch tích phân thức tuyến tính, l v.v Các thuật toán đáng ý tham khảo m co Sau học chuyên đề giải tích lồi, tối ưu hóa kiến an Lu thức có liên quan, với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức n va học, kiến thức mở rộng ứng dụng kiến thức này, ac th si chọn đề tài luận văn: "Một số thuật toán giải qui hoạch phân tuyến tính dựa phép biến đổi Charnes - Cooper" Mục đích luận văn tìm hiểu trình bày tốn qui hoạch phân tuyến tính số toán mở rộng, phép biến đổi Charnes - Cooper đưa br qui hoạch phân tuyến tính tốn qui hoạch tuyến tính tương đương giới thiệu thuật toán dựa phép biến đổi để giải số toán qui hoạch phân tuyến tính mở rộng Cụ thể tốn qui hoạch phân tuyến tính với hệ số mục tiêu thay đổi toán qui hoạch lu phân tuyến tính với giá trị tuyệt đối an n va Luận văn viết dựa chủ yếu tài liệu tham khảo [2] - [4] Nội dung luận văn gồm hai chương Chương 1: Chương “Phép biến đổi Charnes - Cooper” nhắc lại kiến p ie gh tn to [6] w thức tập lồi đa diện tính chất đặc trưng tập này; nhắc lại khái oa nl niệm hàm afin tính chất đáng ý hàm afin, giới thiệu tốn d qui hoạch phân tuyến tính cách tiếp cận Charnes - Cooper đưa toán lu nf va an phân tuyến tính tốn qui hoạch tuyến tính tương đương Cuối chương, nêu thuật tốn giải qui hoạch phân tuyến tính đưa hai ví dụ minh họa lm ul cho hai tình tiêu biểu thường gặp tốn: Có nghiệm tối ưu hữu toán z at nh oi hạn có nghiệm tối ưu tiệm cận với infimum hữu hạn hàm mục tiêu z Chương 2: Chương "Bài toán qui hoạch phân thức với hệ số mục @ gm tiêu thay đổi" trình bày mở rộng cách tiếp cận đưa [4] tìm co l nghiệm tối ưu cho toán qui hoạch phân tuyến với hệ số mục tiêu thay m đổi khoảng Thuật toán giải dùng phép biến đổi Charnes - Cooper an Lu đưa toán qui hoạch tuyến tính với nhiều biến hai n va ràng buộc so với tốn ban đầu Cuối chương dẫn ví dụ số minh ac th si hoạ cho thuật toán giải trình bày Do thời gian kiến thức cịn hạn chế nên chắn luận văn cịn có thiếu sót định, kính mong q thầy bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn sau Nhân dịp này, tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Trần Vũ Thiệu, tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ lu Việt Nam giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả an n va học tập nghiên cứu tn to Thái Nguyên, tháng 01 năm 2016 p ie gh Học viên d oa nl w Đinh Văn Dũng nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Phép biến đổi Charnes - Cooper Chương nhắc lại số kiến thức cần thiết tập lồi đa diện lu an tính chất đáng ý hàm phân thức afin (tỉ số hai hàm tuyến tính n va afin), giới thiệu toán qui hoạch phân tuyến tính phép biến đổi Charnes tn to - Cooper đưa tốn qui hoạch phân tuyến tính tốn qui hoạch tuyến ie gh tính Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1], [2], p [3] [6] w Tập lồi đa diện d oa nl 1.1 lu an Tập lồi đa diện dạng tập lồi có cấu trúc đơn giản hay gặp nf va lý thuyết tối ưu tuyến tính lm ul Định nghĩa 1.1 Một tập lồi mà giao số hữu hạn nửa khơng z at nh oi gian đóng gọi tập lồi đa diện Nói cách khác, tập nghiệm hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính: z @ ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn ≤ bi , i = 1, 2, , m, m co nghĩa tập x nghiệm Ax ≤ b với l gm (1.1) an Lu a = (aij ∈ Rm×n ), b = (b1 , , bm )T n va ac th si Nhận xét 1.1 Do phương trình tuyến tính biểu diễn tương đương hai bất phương trình tuyến tính, nên tập nghiệm hệ (hữu hạn) phương trình bất phương trình tuyến tính tập lồi đa diện: ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn = bi , i = 1, 2, , k, ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn ≤ bi , i = k + 1, , m, Một tập lồi đa diện bị chặn khơng bị chặn (không giới nội) Một tập lồi đa diện bị chặn gọi đa diện lồi Các đa giác lồi lu theo nghĩa thông thường mặt phẳng hai chiều (tam giác, hình vng, an hình trịn, v.v ) ví dụ cụ thể đa diện lồi R2 va n Cho D tập lồi đa diện xác định hệ bất phương trình tuyến tính tn to (1.1) Sau để đơn giản, ta giả thiết D không chứa đường thẳng (tức ie gh @a, b ∈ D cho λa + (1 − λ)b ∈ D với λ ∈ R) p Hai yếu tố cấu tạo nên tập lồi đa diện D đỉnh cạnh vô d sau oa nl w hạn D Theo giải tích lồi [1, Hệ 2.6], hiểu khái niệm lu nf va an Định nghĩa 1.2 Điểm x0 ∈ D gọi đỉnh D z at nh oi lm ul rank {ai : , x0 = bi } = n (với = (ai1 , , ain ), i = 1, , m) Định nghĩa tương đương: x0 ∈ D đỉnh D @x1 , x2 ∈ D, x1 6= x0 x2 6= x0 , @λ ∈ (0, 1) cho x0 = λx1 + (1 − λ)x2 , nói z cách khác: x0 điểm nằm đoạn thẳng l gm @ nối hai điểm thuộc D an Lu hạn D x1 , x2 đỉnh D m co Định nghĩa 1.3 Đoạn thẳng [x1 , x2 ], x1 6= x2 , gọi cạnh hữu n va rank {ai : , x1 = , x2 = bi } = n − ac th si Định nghĩa 1.4 Tia Γ = {x0 +λd : λ ≥ 0} ⊆ D, x0 ∈ D, d ∈ Rn , gọi cạnh vô hạn D rank {ai : , x = bi , ∀x ∈ Γ} = n − Để hiểu rõ tập lồi đa diện ta cần biết số khái niệm sau Định nghĩa 1.5 Véctơ d ∈ Rn , d 6= 0, gọi hướng lùi xa D ∃x ∈ D cho {x + λd : λ ≥ 0} ⊆ D Tập hợp hướng lùi xa lu D cộng với gốc tạo thành nón lồi đóng, gọi nón lùi xa D, ký an n va hiệu rec D tn to Định nghĩa 1.6 Hướng lùi xa d D gọi hướng cực biên ie gh không tồn hai hướng lùi xa khác d1 , d2 cho d = λd1 + λ2 d2 với p λ1 , λ2 > nl w Có thể chứng minh tập lồi đa diện D không bị chặn d oa rec D 6= {0}, nghĩa D có hướng lùi xa nf va an lu z at nh oi lm ul z gm @ m co l Hình 1.1: Đỉnh, cạnh vơ hạn tập lồi đa diện an Lu Trong toán tối ưu, ta thường gặp tập lồi đa diện có dạng n va S = {x ∈ Rn : Ax ≤ b, x ≥ 0} với A ∈ Rm×n , b ∈ Rm }, ac th si tức S tập nghiệm không âm hệ (hữu hạn) bất phương trình tuyến tính Tập khơng chứa đường thẳng (do x ≥ 0) nên S có đỉnh [1, tr 59] Từ định nghĩa nêu cho thấy: a) Điểm x0 ∈ S đỉnh S hệ véctơ {ak : ak , x0 = bk } ∪ {ek : x0k = 0} có hạng n lu an Ay ≤ 0, eT y = 1, y ≥ 0, eT = (1, , 1) n va b) Các hướng cực biên (chuẩn hóa) S nghiệm sở hệ tn to ie gh c) Giả sử tia Γ = {x0 + λd : λ ≥ 0}, x0 đỉnh d p hướng cực biên S Khi Γ cạnh vơ hạn S w d oa nl rank ({ak : ak , x = bk , ∀x ∈ Γ} ∪ {ek : xk = 0, ∀x ∈ Γ}) = n − Hàm phân thức afin nf va an lu 1.2 dạng p(x) pT x + α = T , q(x) q x+β z at nh oi lm ul Hàm phân thức afin thường gặp tốn tối ưu Hàm có f (x) = z p, q ∈ Rn , α, β ∈ R dom f = {x ∈ Rn : q T x + β > 0} gm @ Ký hiệu S tập lồi cho q(x) = q T x + β 6= với x ∈ S Nếu l q(x) có dấu khác S, tức có x, y ∈ S cho q T x + β > m co q T y + β < hàm q(x) liên tục nên tồn z ∈ [x, y], tức z ∈ S, an Lu cho q(z) = Vì thế, khơng giảm tổng qt, ta giả thiết q(x) > với x ∈ S Trường hợp q(x) < với x ∈ S nhân tử số p(x) n va ac th si 17 nghĩa (LFP) không bị chặn Ngược lại, hàm mục tiêu (LFP) không bị chặn pT x(θ) + α < − θ ∀θ > 0, ∃x(θ) cho Ax(θ) ≤ b, x(θ) ≥ T q x(θ) + β Xét dãy (y(θ), t(θ)), t(θ) = y(θ) = x(θ)t(θ) +β Mỗi phần tử thuộc dãy nghiệm chấp nhận (LP) (q T x(θ) pT x(θ) + α p y(θ) + αt(θ) = T < − θ q x(θ) + β T lu an Vì thế, hàm mục tiêu (LP) khơng bị chặn n va ưu nghiệm tối ưu có t = giá trị mục tiêu (LFP) có gh tn to Mệnh đề 1.3 Nếu (LFP) có nghiệm chấp nhận được, (LP) có nghiệm tối p ie infimum (cận đúng) hữu hạn, infimum khơng đạt tới w Đó trường hợp (LFP) có nghiệm tối ưu tiệm cận Trong trường hợp này, oa nl tạo nghiệm ε - tối ưu với ε > 0, nghĩa S tồn d cạnh vô hạn mà dọc theo cạnh giá trị mục tiêu (LFP) tiến dần lu nf va an cận nói lm ul Chứng minh Do (LFP) chấp nhận (LP) có nghiệm tối ưu nên theo z at nh oi kết luận phần b) Mệnh đề 1.2, (LFP) khơng thể tốn khơng bị z chặn (tức phải có inf f (x) > −∞) Nếu (LFP) có nghiệm tối ưu x∗ x∈S t∗ = T ∗ , y ∗ = x∗ t∗ nghiệm tối ưu (LP) với t∗ > 0, (q x + β) điều trái với giả thiết Do (LFP) có nghiệm tối ưu tiệm cận giá trị gm @ l mục tiêu (LFP) có infimum hữu hạn, ký hiệu w∗ , (LFP) khơng có m co nghiệm chấp nhận có giá trị mục tiêu w∗ n va Ay ∗ ≤ 0, q T y ∗ = 1, y ∗ ≥ an Lu Bây giả sử (y ∗ , 0) nghiệm tối ưu (LP) Khi ac th si 18 Ta chứng minh pT y ∗ = w∗ Thật vậy, trước hết ta (i) pT y ∗ ≤ w∗ : Giả sử xk nghiệm εk - tối ưu (LFP) với p T xk + α ≤ w k + εk f (x ) = T k q x +β k Theo kết luận a) Mệnh đề 1.1 (y k , tk ) với tk = (q T xk + β) y k = xk tk nghiệm chấp nhận (LP) pT x k + α g(y , t ) = p y + αt = T k ≤ wk + εk q x +β k k T k k lu Do bất đẳng thức với εk > nên cho k → ∞ ta thấy (i) an n va tn to (ii) Bây ta pT y ∗ ≥ w∗ : Giả sử trái lại pT y ∗ < w∗ Xét gh x(θ) = x0 + θy ∗ với θ ≥ x0 ∈ S Kiểm tra cho thấy x(θ) ∈ S với p ie θ ≥ pT (x0 + θy ∗ ) + α pT x0 + α + θpT y ∗ = → pT y ∗ θ → ∞ T ∗ T q (x + θy ) + β q x +β+θ oa nl w f (x(θ)) = d θ chọn cho giá trị nhỏ w∗ Nhưng điều dẫn tới lu lm ul (pT y ∗ = w∗ ) nf va an mâu thuẫn Vì (ii) điều khẳng định chứng minh Nghiệm ε - tối ưu nói trước (LFP sinh cách chọn z at nh oi giá trị θ đủ lớn thích hợp x(θ) = x0 + θy ∗ z Mệnh đề 1.4 Nếu S 6= ∅ q T x + β = với x ∈ S (LP) khơng có gm @ nghiệm chấp nhận (bài tốn (LP) bất khả thi) m co l Chứng minh Theo kết luận b) Mệnh đề 1.1, (LP) có nghiệm chấp y nhận (y, t) với t > x = ∈ S từ q T y + βt = suy t q T x + β = 6= 0, trái với giả thiết mệnh đề Cịn (LP) có nghiệm t chấp nhận (y, 0) Ay ≤ 0, y ≥ q T y = Khi đó, lấy bất an Lu n va ac th si 19 kỳ x0 ∈ S có A(x0 + y) ≤ b, x0 + y ≥ 0, tức x0 + y ∈ S q T (x0 +y)+β = q T y = > 0, mâu thuẫn với giả thiết q T x+β = ∀x ∈ S Vậy (LP) bất khả thi Một vài mối liên hệ tập ràng buộc (LFP) (LP) trình bày tóm tắt định lý sau Định lí 1.3 Các đỉnh tập lồi đa diện S ≡ {x : Ax ≤ b, x ≥ 0} tương ứng - với đỉnh tập lồi đa diện lu T ≡ {(y, t) : Ay − bt ≤ 0, q T y + βt = 1, y ≥ 0, t ≥ 0} với t > (Ta giả an thiết q T x + β > ∀x ∈ S) n va (q T x0 + β) y = x0 t0 Theo kết luận a) Mệnh đề 1.1, (y , t0 ) ∈ T Giả sử (y , t0 ) gh tn to Chứng minh Giả sử x0 đỉnh tập lồi đa diện S Đặt t0 = p ie không đỉnh T Khi đó, (y , t0 ) = γ(y , t1 ) + (1 − γ)(y , t2 ) với w hai điểm (y i , ti ) ∈ T , i = 1, số γ ∈ [0, 1] Do t0 > nên d oa nl t1 t2 phải dương Xét hai trường hợp: yi (i) t1 > 0, t2 > 0: Đặt xi = i , i = 1, Khi t an lu nf va γt1 (1 − γ)t2 x = x + x2 2 γt + (1 − γ)t γt + (1 − γ)t lm ul z at nh oi Điều trái với giả thiết x0 đỉnh tập lồi đa diện S y2 (ii) t1 = 0, t2 > 0: Đặt x2 = Khi t z (1 − γ)x2 t2 + γy γ x = = x + y1 2 (1 − γ)t (1 − γ)t γ 3γ = x2 + y1 + x2 + y1 2 2(1 − γ)t 2(1 − γ)t co l gm @ m Điều lại mâu thuẫn với giả thiết x0 đỉnh tập lồi đa diện S Do an Lu đó, đỉnh S tương ứng với đỉnh tập lồi đa diện T n va Để điều ngược lại, ta giả sử (y , t0 ) đỉnh tập lồi đa ac th si 20 y0 diện T với t > Khi đó, x = đỉnh tập lồi đa diện S Thật t vậy, khơng phải tìm x1 , x2 ∈ S số λ ∈ [0, 1[ cho x0 = λx1 + (1 − β)x2 Đặt ti = T i > y i = ti xi với i = 1, (q x + β) Khi (1−λ) 2 λ 1 0 t1 (y , t ) + t2 (y , t ) (y , t ) = , (1−λ) λ + t1 t2 0 trái với giả thiết (y , t0 ) đỉnh tập lồi đa diện T Vì x0 đỉnh tập lồi đa diện S lu Định lí 1.4 Các đỉnh tập lồi đa diện T với t = tương ứng - an n va với cạnh vô hạn Γ tập lồi đa diện S với q T d > 0, d véctơ tn to phương cạnh Γ p ie gh Chứng minh Giả sử (y, 0) đỉnh tập lồi đa diện T Rõ ràng, y q T y = 1, dó y 6= eT y > (eT = (1, , 1) ∈ Rn ) Đặt d = T e y d oa nl w [Ay ≤ 0, y ≥ 0, q T y = 1, (y, 0) đỉnh T an lu ⇒ [Ad ≤ 0, d ≥ 0, q T d > 0, eT d = 1], nf va d đỉnh tập lồi đa diện, xác định hệ bất đẳng thức lm ul d véctơ phương cạnh vô hạn tập lồi đa diện S z at nh oi Một cạnh vô hạn S tương ứng với đỉnh tập lồi đa diện S ≡ {x : Ax ≤ 0, x ≥ 0, eT x = 1} z co l gm q T y = > x đỉnh tập lồi đa diện T với t = qT x @ Nếu q T x > y = m Định lí 1.5 Mỗi cạnh vô hạn tập lồi đa diện T tương ứng với cạnh an Lu vô hạn Γ tập lồi đa diện S với q T d = 0, d véctơ phương n va cạnh Γ ac th si 21 Chứng minh Giả sử (y , t0 ) véctơ phương cạnh vô hạn tập lồi đa diện T Khi Ay − bt0 ≤ 0, q T y + βt0 = 0, y ≥ 0, t0 ≥ y0 0 0 (y , t ) 6= Nếu t > x = thỏa mãn Ax0 ≤ b, x0 ≥ 0, nghĩa t T x ∈ S q x + β = 0, trái với giả thiết q T x + β > 0, ∀x ∈ S Vì thế, t0 = y 6= y0 Nếu đặt d = T (eT = (1, , 1) ∈ Rn ) q T d = Ta e y T có d ≥ 0, Ad ≤ 0, e d = 1, Có thể ràng d đỉnh tập véctơ phương cạnh vơ hạn tập lồi đa diện S lu Các định lý cách chứng minh chúng áp dụng vào an n va cặp ràng buộc to ie gh tn {x : Ax = b, x ≥ 0} {(y, t) : Ay − bt = 0, y ≥ 0, t ≥ 0} p 1.4.2 w Thuật toán giải (LFP) oa nl Dựa vào phép biến đổi Charnes - Cooper trình bày trên, ta giải d tốn qui hoạch phân tuyến tính (LFP) cách lập giải toán qui lu nf va an hoạch tuyến tính (LP) tương ứng Kết giải (LP) cho trường hợp sau: lm ul z at nh oi a) (LP) bất khả thi ⇒ (LFP) không xác định S = ∅ (Mệnh đề 1.4) b) (LP) có nghiệm tối ưu (y ∗ , t∗ ) với t∗ > ⇒ (LFP) có nghiệm tối ưu z x∗ = y ∗ /t∗ (Phần a) Mệnh đề 1.2) gm @ m co tối ưu tiệm cận (Mệnh đề 1.3) l c) Mọi nghiệm tối ưu (y ∗ , t∗ ) (LP) có t∗ = ⇒ (LFP) có nghiệm n va b) Mệnh đề 1.2) an Lu d) (LP) không bị chặn ⇒ (LFP) không bị chặn S = ∅ (Phần ac th si 22 1.4.3 Ví dụ minh họa Để minh họa thuật tốn giải (LFP) dựa phép biến đổi Charnes Cooper ta xét ví dụ sau Ví dụ 1.1 Giải qui hoạch phân tuyến tính f (x) = p(x) 6x1 + 3x2 + = → q(x) 5x1 + 2x2 + với điều kiện lu −3x1 + x2 ≤ 2, an n va 2x1 − x2 ≤ 8, x1 ≥ 0, x2 ≥ Có thể thấy mẫu số q(x) = 5x1 + 2x2 + > toàn miền chấp p ie gh tn to x1 + 4x2 ≥ 4, nl w nhận tốn (do có x1 ≥ 0, x2 ≥ 0) Ta giải toán theo d lm ul với điều kiện 6y1 + 3y2 + 6t → nf va an lu có dạng oa phương pháp Charnes Cooper Bài tốn qui hoạch tuyến tính tương đương z at nh oi −3y1 + y2 − 2t ≤ 0, 2y1 − y2 − 8t ≤ z y1 + 4y2 − 4t ≥ @ gm 5y1 + 2y2 + 5t = 1, co l y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, t ≥ m Có thể kiểm tra lại y1 = 0, 16; y2 = 0; t = 0, 04 > an Lu nghiệm tối ưu toán qui hoạch tuyến tính Do theo Mệnh n va đề 1.2, phương án tối ưu toán qui hoạch phân tuyến tính ban đầu ac th si 23 y2 y1 = 4, x2 = = giá trị nhỏ hàm mục tiêu t t = 1, x1 = fmin lu an n va gh tn to p ie Hình 1.2: Tập ràng buộc S tốn ví dụ 1.1 oa nl w d Ví dụ 1.2 Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính có nghiệm tối ưu tiệm cận: an lu 2x1 − 3x2 + → 4x1 + x2 + lm ul với điều kiện nf va f (x) = z at nh oi x1 − 2x2 ≤ 4, x1 + x2 ≥ 2, z x1 ≥ 0, x2 ≥ m co l gm @ an Lu n va ac th si 24 lu Hình 1.3: Tập ràng buộc S tốn ví dụ 1.2 an n va tn to Mẫu số q(x) = x1 + x2 + > toàn miền chấp nhận ie gh toán (do có x1 ≥ 0, x2 ≥ 0) Bài tốn qui hoạch tuyến tính tương đương có p dạng nl w 2y1 − 3y2 + 5t → d oa với điều kiện y1 + y2 − 2t ≥ nf va an lu y1 − 2y2 − 4t ≤ 0, lm ul 4y1 + y2 + 3t = 1, z at nh oi y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, t ≥ Giải toán theo thuật tốn đơn hình, ta nhận nghiệm tối ưu z y1 = 0; y2 = 1; t = Do theo Mệnh đề 1.3, tốn qui hoạch @ l gm phân tuyến tính ban đầu có ngiệm tối ưu tiệm cận với m x2 →∞ co inf f (x) = lim f (0, x2 ) = −3 x∈S an Lu Nhận xét 1.3 Phép biến đổi Charnes - Cooper đưa toán (LFP) n va tốn (LP), thường làm cấu trúc ban đầu toán ac th si 25 cần giải (cấu trúc vận tải chẳng hạn), dùng rộng rãi thực tiễn Tóm lại, chương nhắc lại kiến thức cần thiết tập lồi đa diện tính chất đặc trưng tập này; nhắc lại khái niệm hàm afin tính chất đáng ý hàm afin Tiếp theo chương giới thiệu tốn qui hoạch phân tuyến tính cách tiếp cận Charnes - Cooper đưa tốn phân tuyến tính tốn qui hoạch tuyến tính Cuối chương, nêu thuật tốn giải qui hoạch phân tuyến tính đưa hai ví dụ minh họa cho lu an hai tình tiêu biểu thường gặp tốn: Có nghiệm tối ưu hữu hạn n va có nghiệm tối ưu tiệm cận với infimum (cận đúng) hữu hạn p ie gh tn to hàm mục tiêu toán d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 26 Chương Bài toán qui hoạch phân thức với hệ số mục tiêu thay đổi lu an Chương trình bày phương pháp giải lớp toán qui hoạch phân va n thức phi tuyến Dùng biến đổi Charnes-Cooper [2, tr 54] toán đưa gh tn to qui hoạch phi tuyến tương đương sau qui hoạch lại ie biến đổi thành toán qui hoạch tuyến tính, với biến số hai ràng p buộc nhiều so với toán ban đâu Cuối chương nêu ví dụ số d [2] [4] oa nl w minh hoạ cho phương pháp giải Nội dung chương dựa tài liệu an lu Nội dung toán nf va 2.1 lm ul Xét toán qui hoạch phân thức phi tuyến có dạng: z at nh oi (P) p0 (t0 ) + p1 (t1 )x1 + · · · + pn (tn )xn , xk , tk , qk q0 + q1 x1 + · · · + qn xn z gm @ với điều kiện co l A1 x1 + · · · + An xn ≤ b, x1 ≥ 0, , xn ≥ 0, m ak ≤ tk ≤ bk , ck ≤ qk ≤ dk , k = 0, 1, , n, an Lu ak , bk , ck , dk ∈ R, Ak ∈ Rm (k = 1, , n) b ∈ Rm cho trước, n va pk (t) hàm liên tục theo t ∈ [ak , bk ] ⊂ R Các biến cần tìm (P) ac th si 27 xk , tk , qk , t0 , q0 , k = 1, , n Ta giả thiết: a) Tập X = {x ∈ Rn : A1 x1 + · · · + An xn ≤ b, x ≥ 0} = ∅ bị chặn; b) q0 + q1 x1 + · · · + qn xn > ∀x = (x1 , , xn )T ∈ X, ∀qk ∈ [ck , dk ] Khi ak = bk , ck = dk với k = 0, 1, , n (tức pk , qk cho trước), (P) trở thành tốn qui hoạch phân tuyến tính [2, tr 41] thông thường, ký hiệu (LFP) Khi xem tk , qk biến số cần tìm (P) toán qui hoạch phân thức phi tuyến Để cho tiện sau, ta ký hiệu A = (A1 , A2 , , An ) Trường hợp pk (tk ) = tk xét [3] lu Có thể giải thích ý nghĩa tốn (P) sau: Giả sử xí nghiệp an n va dùng m loại vật tư có để sản xuất n loại sản phẩm Gọi bi vật tư i để sản xuất đơn vị sản phẩm k (k = 1, , n) Mỗi đơn vị sản gh tn to lượng vật tư i (i = 1, , m) mà xí nghiệp có aik định mức tiêu hao p ie phẩm k sản xuất cho lợi nhuận pk (tk ) phụ thuộc tham số tk ∈ [ak , bk ] w tốn chi phí sản xuất qk ∈ [ck , dk ], p0 (t0 ) lợi nhuận cố định thu oa nl q0 chi phí cố định cần bỏ (p0 , q0 khơng phụ thuộc số lượng sản phẩm d sản xuất) Hỏi với số vật tư có xí nghiệp nên sản xuất đơn vị lu nf va an sản phẩm loại cho hiệu sản xuất xí nghiệp (đo tỉ số tổng lợi nhuận thu tổng chi phi sản xuất) lớn nhất? Bài tốn lm ul dẫn đến mơ hình qui hoạch phân thức có dạng tốn (P) z at nh oi Sau dùng phép đổi biến số Charnes - Cooper [2, tr 54], ta đưa toán (P) toán tối ưu phi tuyến tương đương Cách làm sau: z Thêm vào biến @ > 0, q0 + q1 x1 + · · · + qn xn m co l gm y0 = an Lu n va ac th si 28 toán ban đầu (P) viết lại thành: p0 (t0 )y0 + p1 (t1 )y0 x1 + · · · + pn (tn )y0 xn → min, q0 y0 + q1 y0 x1 + · · · + qn y0 xn = 1, A1 y0 x1 + · · · + An y0 xn ≤ by0 , x1 ≥ 0, , xn ≥ 0, y0 ≥ ak ≤ tk ≤ bk , ck ≤ qk ≤ dk , k = 0, 1, , n Bằng cách thay biến xk yk = y0 xk với k = 1, , n, ta đưa lu an n va p ie gh tn to toán dạng tương đương: p0 (t0 )y0 + p1 (t1 )y1 + · · · + pn (tn )yn → min, q0 y0 + q1 y1 + · · · + qn yn = 1, (Q) −by0 + A1 x1 + · · · + An yn ≤ 0, y0 ≥ 0, y1 ≥ 0, , yn ≥ ak ≤ tk ≤ bk , ck ≤ qk ≤ dk , k = 0, 1, , n w d oa nl Định lý sau cho thấy giải (Q) thay cho tốn (P) an lu Định lí 2.1 Với giả thiết nêu, y ∗ = (y0∗ , y1∗ , , yn∗ )T nf va nghiệm tối ưu toán (Q) y0∗ > x∗ = (x∗1 , x∗2 , , x∗n )T với yk∗ ∗ xk = ∗ nghiệm tối ưu toán (P) ban đầu xk z at nh oi lm ul Chứng minh Trước tiên ta chứng minh y0∗ > Thật vậy, y0∗ = q T y ∗ = nên đặt z = (y1∗ , , yn∗ ) ta có z 6= z thỏa mãn Az ≤ 0, z z ≥ Khi z hướng lùi xa tập lồi X, với x ∈ X @ l gm (tức Ax ≤ b, x ≥ 0) ta có A(x + θz) = Ax + θAz ≤ b x + θz ≥ với θ ≥ Chứng tỏ x + θz ∈ X với θ ≥ 0, điều trái với giả thiết co m tập X bị chặn Vậy phải có y0∗ 6= Do y0∗ ≥ nên y0∗ > an Lu Bây ta chứng minh x∗ nghiệm tối ưu (P) Thật vậy, y ∗ n va nghiệm (Q), y0∗ > nên x∗ nghiệm Ax∗ ≤ b, x∗ ≥ 0, tức x∗ ∈ X ac th si 29 Lấy x ∈ X (Ax ≤ b, x ≥ 0) Do giả thiết q0 + q1 x1 + · · · + qn xn > nên y = (y0 , y1 , , yn ) với > 0, yk = y0 xk ≥ 0, k = 1, , n, (q0 + q1 x1 + · · · + qn xn ) y0 = thoả mãn ràng buộc toán (Q) Mặt khác, y ∗ nghiệm tối ưu (Q) nên phải có p0 (t0 )y0∗ + p1 (t1 )y1∗ + · · · + pn (tn )yn∗ ≤ p0 (t0 )y0 + p1 (t1 )y1 + · · · + pn (tn )yn lu Bằng cách thay yk∗ = y0∗ x∗k , an va xk , k = 1, , n (q0 + q1 x1 + · · · + qn xn ) y0 = (q0 + q1 x1 + · · · + qn xn ) n yk = ie gh tn to p ta thấy w d oa nl y0∗ (p0 (t0 )+p1 (t1 )x∗1 + · · · + pn (tn )x∗n ) ≤ (p0 (t0 ) + p1 (t1 )x1 + · · · + pn (tn )xn ) (q0 + q1 x1 + · · · + qn xn ) nf va an lu ≤ Chia vế trái bất đẳng thức cho q T y ∗ = y0∗ (q0 +q1 x∗1 +· · ·+qn x∗n ) = lm ul ta nhận z at nh oi p0 (t0 ) + p1 (t1 )x∗1 + · · · + pn (tn )x∗n p0 (t0 ) + p1 (t1 )x1 + · · · + pn (tn )xn ≤ q0 + q1 x∗1 + · · · + qn x∗n q0 + q1 x1 + · · · + qn xn z Đó điều cần chứng minh gm @ Bài tốn qui hoạch tuyến tính tương đương m co l 2.2 ak ≤t≤bk tồn giả thiết pk (t) liên tục) ak ≤t≤bk an Lu Ký hiệu αk = pk (t), β = max pk (t), k = 0, 1, , n (αk , βk n va ac th si 30 Khi đó, ràng buộc cuối (Q) viết lại dạng pk (tk ) = αk + (βk − αk )λk với ≤ λk ≤ 1, k = 0, 1, , n, (2.1) qk = ck + (dk − ck )µk với ≤ µk ≤ 1, k = 0, 1, , n lu an n va p ie gh tn to Thay pk (tk ), qk theo (2.1) vào (Q) ta nhận toán, ký hiệu (R): (α0 + (β0 − α0 )λ0 )y0 + (α1 + (β1 − α1 )λ1 )y1 + · · · +(αn + (βn − αn )λn )yn → min, (c0 + (d0 − c0 )µ0 )y0 + (c1 + (d1 − c1 )µ1 )y1 + · · · (2.2) +(cn + (dn − cn )µn )yn = 1, −by0 + A1 y1 + · · · + An yn ≤ 0, y0 ≥ 0, y1 ≥ 0, , yn ≥ 0 ≤ λk ≤ 1, ≤ µk ≤ 1, k = 0, 1, , n nl w Ràng buộc đẳng thức (2.2) viết lại thành oa (d0 − c0 )µ0 y0 + (d1 − c1 )µ1 y1 + · · · + (dn − cn )µn yn + d (2.3) nf va an lu + c0 y0 + c1 y1 + · · · + cn yn = 1, Do yk ≥ 0, ≤ µk ≤ 1, ck − dk ≤ với k = 0, 1, , n, nên ta có lm ul ≥ + (c0 − d0 )µ0 y0 + (c1 − d1 )µ1 y1 + · · · + (cn − dn )µn yn z at nh oi (2.4) ≥ + (c0 − d0 )y0 + (c1 − d1 )y1 + · · · + (cn − dn )yn z Thay số biểu thức (2.4) biểu thức (2.3) ta nhận gm @ ≥ c y0 + c y + · · · + c n yn l (2.5) m co ≥ + (c0 − d0 )y0 + (c1 − d1 )y1 + · · · + (cn − dn )yn an Lu Từ bất đẳng thức đầu bất đẳng thức cuối (2.5) cho thấy (2.6) n va c0 y0 + c1 y1 + · · · + cn yn ≤ 1, ac th si 31 d0 y0 + d1 y1 + · · · + dn yn ≥ (2.7) Ngược lại, có y = (y0 , y1 , , yn )T thoả mãn (2.6) - (2.7) đặt k = với k, cT y = dT y = 1, (2.8) µ= − (c0 + c1 x1 + · · · + cn yn ) (d0 − c0 ) + (d1 − c1 )y1 + · · · + (dn − cn )yn ta nhận q = c + (d − c)µ q T y = 1, tức y, q thoả mãn (2.2) lu Do cách sử dụng (2.6) - (2.7) thay cho (2.2), toán (R) biến an n va p ie gh tn to đổi thành toán qui hoạch phi tuyến, ký hiệu (S): (α0 + (β0 − α0 )λ0 )y0 + (α1 + (β1 − α1 )λ1 )y1 + · · · + (αn + (βn − αn )λn )yn → c0 y0 + c1 y1 + · · · + cn yn ≤ 1, d0 y0 + d1 y1 + · · · + dn yn ≥ −by0 + A1 y1 + · · · + An yn ≤ 0, y0 ≥ 0, y1 ≥ 0, , yn ≥ 0 ≤ λk ≤ 1, k = 0, 1, , n d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul Hàm mục tiêu tốn có dạng đặc biệt Ta tìm cách thay hàm tuyến tính z Thật vậy, giả sử y¯ = (y¯1 , y¯2 , , y¯n ) lời giải chấp nhận bất @ m co l gm kỳ toán (S) với ≤ λk ≤ 1, βk − αk ≥ với k = 0, 1, , n an Lu n va ac th si
Ngày đăng: 21/07/2023, 09:00
Xem thêm:
