(Luận văn) một số kết quả về hình lồi, đường kính của hình và vận dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ VĂN NINH lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ HÌNH LỒI, ĐƯỜNG KÍNH CỦA HÌNH VÀ VẬN DỤNG d oa nl w ll u nf va an lu oi m LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2017 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ VĂN NINH lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ HÌNH LỒI, ĐƯỜNG KÍNH CỦA HÌNH VÀ VẬN DỤNG d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC an lu Mã số: 60 46 01 13 ll u nf va Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z TS Trần Xuân Quý m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2017 ac th si Mục lục Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm hình lồi [3] 1.2 Giao hình lồi [7] 2 lu Lời mở đầu an n va gh tn to p ie Về hình lồi đường kính hình 2.1 Định nghĩa đường kính hình [3] 2.2 Đặt vấn đề [3] 2.3 Chia hình phẳng 2.4 Chia hình cầu d oa nl w va an lu 18 18 28 29 33 oi lm ul nf Một số dạng toán vận dụng 38 3.1 Về hình lồi [2], [3] 38 3.2 Một thi học sinh giỏi nước [2], [7] 49 66 z 67 m co l gm @ Tài liệu tham khảo z at nh Kết luận an Lu n va ac th si Lời mở đầu Toán học rời rạc hình học tổ hợp chủ đề thú vị, phát lu triển mạnh mẽ giới năm gần Các kết liên an quan khơng hấp dẫn nhà tốn học ứng dụng mà hấp dẫn va em học sinh phổ thông, kết lập luận tư hấp dẫn Đây n cho học sinh trung học Đó lý do, lựa chọn chủ đề đề thực gh tn to chủ đề khai thác cho toán thử tài phải triển tư p ie đề tài luận văn Thạc sĩ Toán học, chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, với đề tài: "Một số kết hình lồi, đường kính hình vận nl w dụng" Luận văn trình bày số kết hình lồi, đường kính d oa hình: giao khác rỗng hình lồi, tốn chia hình, số an lu dạng tốn vận dụng Ngồi phần mở đầu, danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm ba chương va ul nf Chương Một số kiến thức chuẩn bị oi lm Trong chương đề cập đến khái niệm hình lồi kết giao khác rỗng hình lồi z at nh Chương Về hình lồi đường kính hình Trong chương đề cập đến khái niệm đường kính hình, z @ tốn chia hình phẳng thành nhỏ hình có đường kính nhỏ m co Chương Một số dạng toán vận dụng l chia thành số phần nhỏ gm hơn, tốn chia hình cầu thành bốn phần có đường kính nhỏ mà an Lu Trong chương trình bày tốn vận dụng kết trình bày chương 1, số toán lấy từ kỳ thi n va học sinh giỏi Quốc gia Quốc tế ac th si Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình bảo thầy giáo TS Trần Xuân Quý Tôi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo Khoa Tốn Trường Đại học Khoa học, thầy trang bị kiến thức, tạo điều kiện cho thời gian học tập trường Thái Nguyên, ngày 25 tháng năm 2017 Tác giả luận văn lu an n va to p ie gh tn Vũ Văn Ninh d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số kiến thức chuẩn bị lu an Khái niệm hình lồi [3] n va 1.1 hạn hình tam giác, hình bình hành, hình thang đa gh tn to Khi học hình học phẳng làm quen với hình lồi, chẳng p ie giác hình lồi d oa nl w oi lm ul nf va an lu Hình z at nh Trong sách giáo khoa đa giác lồi đề cập tới định nghĩa sau: đa giác đa giác lồi nằm phía đường z gm @ thẳng qua cạnh Nhưng định nghĩa hạn chế khơng thể áp dụng cho hình có l cạnh khơng phải đoạn thẳng (chẳng hạn hình trịn, m co hình e-lip), hình khơng có giới hạn mặt phẳng (một góc an Lu chẳng hạn) Để mở rộng khái niệm hình lồi người ta đưa định nghĩa sau n va mở rộng cho hình khơng phải đa giác ac th si Định nghĩa 1.1 Một hình F gọi lồi điểm A, B thuộc F đoạn AB thuộc F lu Hình an va Dễ thấy đa giác lồi lồi theo khái niệm Và n đa giác lồi hình trịn, hình elip, hình viên phân hình khơng có p ie gh tn to giới hạn mặt phẳng hình lồi d oa nl w lu va an Hình ul nf Trong hình ta tìm thấy ví dụ hình khơng phải hình oi lm lồi Các hình lồi đóng (hiểu theo nghĩa giải tích chứa tất điểm giới hạn nó) bị chặn (có thể phủ hình trịn đủ z at nh lớn) gọi oval Ngồi cịn có hình lồi khơng bị chặn: nửa mặt phẳng, góc nhỏ 180 độ, dải, phần mặt phẳng giới z @ hạn đường thẳng parabol điểm biên m co l gm Các điểm hình lồi chia thành hai loại điểm Định nghĩa 1.2 Một điểm gọi điểm hình lồi F tồn an Lu hình trịn nhận làm tâm nằm hoàn toàn F n va ac th si Hình Định nghĩa 1.3 Một điểm gọi điểm biên hình lồi F hình trịn nhận làm tâm chứa điểm khơng thuộc hình lồi lu F an n va p ie gh tn to w Hình oa nl Định nghĩa 1.4 Nếu F hình lồi đóng tập hợp điểm biên d đường liên tục gọi biên F Các oval có biên va an lu đường khép kín nf Các hình luận văn hiểu hình đóng có tính oi lm ul biên, trừ trường hợp ngoại lệ mà ta nói rõ Định lý 1.1 Một đường thẳng qua điểm hình lồi F cắt biên z at nh điểm Khi đoạn nối hai điểm nằm F z Bây xét B điểm biên tùy ý hình lồi F Từ B ta kẻ @ m co l bên F gm nửa đường thẳng xuất phát từ B chạy qua điểm an Lu n va ac th si Hình Các tia tạo nên nửa mặt phẳng tạo nên góc lồi lu an Định nghĩa 1.5 Đường thẳng d qua điểm biên khơng n va qua điểm hình lồi F gọi đường thẳng tựa F đường thẳng tựa F p ie gh tn to Trong trường hợp thứ đường thẳng tạo nên nửa mặt phẳng d oa nl w oi lm ul nf va an lu Hình z at nh Cịn trường hợp thứ hai, hình F nằm miền góc [ nhỏ 180 độ qua B có vơ hạn đường thẳng tựa hình ABC [ lồi F: đường thẳng không qua điểm góc ABC z đường thẳng tựa F gm @ Các tia tạo nên BA+ BC + gọi nửa tiếp tuyến F m co thẳng tựa l B Tóm lại qua điểm biên tùy ý F có đường an Lu Định lý 1.2 Qua điểm biên B hình lồi F có đường thẳng tựa Trong trường hợp có đường thẳng tựa B gọi n va điểm quy F ac th si Định nghĩa 1.6 Nếu qua điểm biên B hình F có vơ hạn đường thẳng tựa điểm B gọi khơng quy đỉnh F 1.2 Giao hình lồi [7] Trong phần làm quen với định lý quan trọng hình học tổ hợp Nếu cho trước họ hình lồi, quan tâm đến câu hỏi họ hình lồi có giao khác rỗng Những câu hỏi đặt xem xét hệ điểm phủ lu an hình trịn có bán kính cho trước hay khơng (ta thấy điều va tương đương với câu hỏi: liệu họ hình trịn có tâm điểm n cho bán kính cho trước có giao với khác rỗng hay không?) gh tn to Những câu hỏi tương tự đặt khó nhận biết Chẳng hạn ta hỏi đa giác cho trước tồn ie p điểm, từ quan sát hết tất cạnh đa nl w giác oa Nhưng hình lồi khơng gian chiều (đường thẳng) d nhận biết chia lớp đơn giản Chúng đoạn, lu va an khoảng, tia đường thẳng mà Trong khơng gian 2chiều, tức mặt phẳng hình lồi đa dạng đặc biệt khó nf oi lm ul vấn đề nhận biết giao chúng khác rỗng Chẳng hạn cho trước hình (hoặc hệ điểm) khó trả lời z at nh phủ hình trịn bán kính R Ta dễ dàng nhận thấy câu hỏi tương đương với câu hỏi liệu hệ hình trịn bán kính z R có tâm điểm thuộc hình (hoặc hệ điểm cho trước) có giao khác gm @ rỗng hay không? m co chiều: l Trước hết ta dễ dàng chứng minh mệnh đề sau cho không gian an Lu Định lý 1.3 Một họ I đoạn thẳng [ai , bi ] đường thẳng cho trước có giao khác rỗng giao hai đoạn chúng n va khác rỗng ac th Chứng minh: si 53 tứ giác ABCD lu an va b+B b+C b+D b = 360o nên có góc khơng nhọn Tam Do A n giác có đỉnh khơng nhọn hàng Giả sử E nằm 4ABC ie gh tn to E khơng nằm đường chéo AC khơng có ba điểm nàm thẳng p Chứng minh trường hợp 1, ta có hai ba tam giác 4ABE, 4AEC, 4BEC không nhọn w oa nl Vậy trường hợp có ba tam giác không nhọn d Trường hơp Nếu bao lồi tứ giác ABCDE an lu Tổng góc 540o Như vậy, có hai góc ngũ nf va giác khơng nhọn Do có hai tam giác khơng nhọn oi lm ul • Nếu góc khơng nhọn kề nhau, ví dụ A, B z at nh z m co l gm @ an Lu Xét tứ giác ACDE có tam giác không nhọn (Chứng minh n ac th • Nếu góc khơng nhọn khơng kề nhau, ví dụ A, C va trường hợp 2) si 54 lu an Xét tứ giác ACDE có tam giác khơng nhọn va Vậy có ba tam giác không nhọn n Theo bổ đề, từ 100 điểm ta chọn 3.C100 tam giác không khác nhau, nghĩa tam giác nằm C97 cặp năm điểm 3.C100 Như vậy, chọn tam giác khơng nhọn Số tam C97 giác C100 p ie gh tn to nhọn Nhưng tam giác tạo cặp năm điểm nl w d oa Nghĩa số tam giác nhọn có nhiều là: va an lu C100 3.C100 − C97 oi lm ul nf Tỷ số số lượng toàn số tam giác là:   3.C 100 3 = 0, : C = − C100 − 100 C97 10 z at nh Bài toán 3.18 (Olympic Toán học Quốc tế 1972) Chứng minh tứ giác nội tiếp chia n tứ giác (n ≥ 4) z Lời giải: m co l Ta chứng minh cho n = gm @ mà tứ giác nội tiếp đường trịn b góc nhỏ góc Cho tứ giác ABCD nội tiếp Gọi A an Lu tứ giác ABCD va Lấy điểm A1 nằm tứ giác ABCD đủ gần điểm A cho n đường thẳng kẻ qua A1 song song với cạnh AB AD cắt cạnh ac th BC CD B1 D1 si 55 lu an n va b +B b = 180o Ta giả thiết D b ≥ 90o , B b ≤ 90o Do D \ Trên AD ta lấy điểm K cho A\ KD = ADC Điểm K thuộc đoạn gh tn to AD A1 đủ gần A p ie \ [ Trên đoạn AB lấy điểm L cho A LB = ABC Điểm L dựng b b [ =A \ L nằm ngồi đoạn AB ABC LB < A vơ lý góc A nhỏ nl w d oa • Hai hình thang cân A1 KDD1 , A1 LBB1 nội tiếp va an lu • Tứ giác A1 B1 CD1 đồng  dạng với ABCD nên tứ giác nội tiếp o o b b \1 + ALA \1 = 360o − A\ \ •AKA KD + A1 LB = 360 − (D + B) = 180 ul nf Nên tứ giác ALA1 K nội tiếp oi lm Vậy khẳng định với n = Với hình thang cân ta chia thành tùy ý hình thang z at nh cân đường song song với đáy Vậy tứ giác ABCD nội tiếp chia thành n tứ giác (n ≥ 4) mà z l Bài toán 3.19 (Ba Lan 1989) gm @ tứ giác nội tiếp đường tròn m co Giả sử tam giác đặt trước vào hình vng có diện tích cho tâm hình vng khơng nằm hình an Lu tam giác Hãy cạnh hình tam giác có độ dài nhỏ n ac th Lời giải: va si 56 lu Qua tâm O hình vng kẻ l1 song song với cạnh gần tam an giác, l2 đường thẳng vng góc với l1 O va l1 , l2 chia hình vuông thành tứ giác đồng dạng Do O không nằm n Theo nguyên lý Dirichlet, hai số ba đỉnh tam giác phải nằm gh tn to tam giác nên tam giác nằm nhiều hai tứ giác kề p ie tứ giác Giả sử tứ giác AM ON Bốn cạnh tứ giác d oa nl w nhỏ √hơn AO = < M N = AM + AN < (AM + AN )2 = ⇒ M N < an lu Vậy tứ giác AM ON có đường kính nhỏ Vậy cạnh tam giác nf va nằm tứ giác AM ON có cạnh nhỏ oi lm ul Bài toán 3.20 (Australia 1991) Có n điểm mặt phẳng cho diện tích tạo ba điểm z at nh chúng lớn Chứng minh n điểm nằm nằm tam giác có diện tích lớn z @ Lời giải: l gm Cho n điểm A1 , A2 , , An thỏa mãn điều kiện đề Gọi Ai , Aj , Ak ba điểm cho 4Ai Aj Ak có diện tích lớn m co tam giác có đỉnh điểm n điểm A1 , A2 , , An an Lu Kẻ đường thẳng l1 qua Ai song song với Aj Ak , với điểm Am ta có diện tích 4Am Aj Ak nhỏ diện tích 4Ai Aj Ak nên Am n va nằm nửa mặt phẳng chia l1 chứa đoạn Aj Ak ac th si 57 lu an Vậy n điểm A1 , A2 , , An nằm nửa mặt phẳng n va Chứng minh tương tự n điểm A1 , A2 , , An nằm nửa mặt phẳng đoạn Ai Ak gh tn to chia l2 chứa đoạn Ai Aj nửa mặt phẳng chia l3 chứa p ie Do đó, n điểm A1 , A2 , , An nằm 4ABC với A, B, C giao điểm l1 , l2 , l3 Diện tích 4ABC gấp lần diện tích 4Ai Aj Ak nl w Vậy diện tích 4ABC có diện tích lớn d oa Do tốn chứng minh lu an Bài toán 3.21 (Putman 1969) Lời giải: oi lm ul nf va Chứng minh đường cong liên tục với độ dài phủ hình chữ nhật đóng có diện tích z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th Ta đặt đường cong cho điểm cuối nằm đường si 58 thẳng d Ta phủ đường cong hình chữ nhật có diện tích nhỏ có cạnh song song vng góc với d Gọi a, b chiều rộng chiều cao hình chữ nhật Gọi P0 , P5 điểm cuối đường cong P1 , P2 , P3 , P4 bốn điểm đường cong nằm bốn cạnh hình chữ nhật Đường zíc zắc P0 P1 P2 P3 P4 P5 có độ dài lớn độ dài lu đường zíc zắc an Tổng hình chiếu đường zíc zắc bên cạnh nằm ngang hình chữ va n nhật khơng nhỏ a đường zíc zắc có P1 , P3 nằm cạnh bên Tổng hình chiếu cúa đường zíc zắc bên cạnh thẳng đứng hình chữ gh tn to trái bên phải hình chữ nhật p ie nhật khơng nhỏ 2b P0 , P5 nằm d P2 , P4 nằm cạnh d oa nl w bên bên hình chữ nhật √ Vậy đường zíc zắc có độ dài a2 + 4b2 √ Do đó, a2 + 4b2 ≤ oi lm ul nf va an lu Theo bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân ta có 4ab ≤ a2 + 4b2 ≤ ⇒ ab ≤ Do hình chữ nhật có diện tích lớn Bài toán 3.22 (Balan 1981-1982) z at nh Cho ngũ giác lồi mà tất cạnh có độ dài a Chứng minh đặt tam giác có độ dài cạnh a z gm @ Lời giải: Cho ABCDE ngũ giác lồi mà cạnh có độ dài a Giả sử AC đường chéo có độ dài lớn m co l [ ≥ 540o = 108o • Do AC đường chéo có độ dài lớn nên ABC [ AC cạnh đáy lớn 4ABC cân B ABC > 60o nên an Lu AC > AB = a n va \ > 60o Mà AC > AD, AC cạnh lớn 4ADC nên ADC [ > 60o Chứng minh tương tự ta có AEC ac th si 59 lu an [ < 60o ACD \ < 60o , P = AE ∩ CD • Giả sử EAC n va p ie gh tn to d oa nl w an lu nf va [ Xét 4AP C có AC > AP AC > P C Từ ta có AP C > 60o oi lm ul Vì AC < AB + BC = 2a, nên AP < 2a CP < 2a z at nh Gọi F G đường trung bình 4AP C Khi F G = AC < a AF = AP < a CG = CP < a Mà AE = CD = a, suy E F P D P G z m co l gm @ an Lu Khi đó, a = ED ≤ F G < a vô lý [ ≥ 60o ACD \ ≥ 60o Từ suy EAC va [ ≥ 60o Khi đó, 4ACE có góc đỉnh A E • Từ giả sử EAC n khơng nhỏ 60o , AE = a suy tam giác đặt ac th tam giác cạnh a bên si 60 Bài toán 3.23 (Hà Lan 1978) Trong mặt phẳng cho 1978 điểm Mỗi điểm tâm đường tròn qua điểm cố định O Chứng minh từ hình trịn tạo ra, chọn năm hình trịn mà chúng phủ tất 1978 điểm Lời giải: lu an n va gh tn to ie Gọi P điểm xa điểm O 1978 điểm cho p Đường thẳng OP hai đường thẳng qua O tạo với OP góc 60o nl w chia mặt phẳng làm sáu phần oa Đường tròn tâm P phủ tất điểm nằm hai phần chứa P d Trong phần lại, đường tròn tâm điểm cách xa O phủ lu va an tất điểm phần Bốn hình trịn với hình trịn phủ 1978 điểm cho ul nf oi lm Bài tốn 3.24 (Thụy Điển 1983) Một hình vng có cạnh phải phủ ba hình trịn z at nh z Chứng minh √ ta làm với hình trịn bán kính nhỏ 2 Hãy tìm khả bán kính nhỏ cho hình trịn m co Cho hình vng ABCD cạnh l gm @ Lời giải: an Lu 4DEF tam giác có đỉnh E, F tương ứng cạnh BC n va AB \ \ \ DF C = 180o − DF E − EF B = 75o ac th si 61 lu √ DC 1 DF = 6− = = = o o cos 45o + cos 30o sin 45o sin 75 sin 30 \ sin DF C √ an n va Do đó: p ie gh tn to Gọi I đỉnh thứ tư hình chữ nhật EBF I [ = 180o − F [ [ > 90o DIF IB = 135o > 90o Tương tự DIE Đường tròn đường kính DF phủ tứ giác DCF I nl w Đường trịn đường kính DE phủ tứ giác DIEA d oa Đường trịn đường kính EF phủ tứ giác BEIF √ √ √ Mà BF = − < nên ta có√thể phủ hình vng ABCD ba hình trịn bán kính nhỏ √ √ Nếu ta phủ hình vng đường trịn bán kính nhỏ − oi lm ul nf va an lu độ dài đường gấp khúc mà đường tròn chắn cạnh z at nh hình chữ nhật nhỏ AD + DE Do hình trịn có đường kính nhỏ √ 6− √ không z thể √ phủ √ kín cạnh hình vng Vậy bán kính nhỏ 6− m co l gm @ Bài tốn 3.25 (Liên Xơ 1970) Cho hai hình chữ nhật giống cho cạnh chúng cắt an Lu tám điểm Chứng minh diện tích phần chung hai hình chữ n ac th Lời giải: va nhật lớn nửa diện tích hình chữ nhật si 62 lu an va Gọi a, b độ dài cạnh hình chữ nhật Gọi điểm nằm bốn n cặp cạnh theo thứ tự A, B, C, D Ta có khoảng cách từ C đến cạnh gh tn to đối diện hai hình chữ nhật Nên AC phân giác góc tạo cạnh giao A ie p Tương tự BD phân giác cạnh giao B c1 = D c1 = D c2 = C c1 = C c2 = B c1 = B c2 đồng dạng Ta có: A nl w d oa tam giác vuông tương ứng c2 = B c3 ⇒A lu an c2 = 2A c2 + B c2 = 2A c2 + A c1 = 180o c2 + B c3 + B ⇒A nf va ⇒ Tứ giác có cạnh cạnh hình chữ nhật cịn cạnh cịn lại nằm ⇒ AC⊥BD oi lm ul hai đường chéo AC BD nội tiếp AC.BD Vì AC ≥ b BD ≥ a nên ab diện tích tứ giác ABCD khơng nhỏ Nửa diện tích hình chữ ab nhật Từ ta có điều phải chứng minh z at nh Diện tích tứ giác ABCD z m co l gm @ Bài toán 3.26 (Balan 1978-1979) an Lu Trong mặt phẳng cho n điểm (n > 4), khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh có Cn−3 tứ giác lồi mà n va đỉnh chúng điểm cho ac th Lời giải: si 63 lu an n va Gọi M bao lồi n điểm cho Gọi A, B, C ba đỉnh đa giác Gọi D, E hai điểm điểm khác A, B, C Khi đường gh tn to lồi thẳng DE không qua ba cạnh 4ABC giả sử BC p ie (1) Giả sử đường thẳng BC cắt đoạn DE I Khi I nằm M , nl w D, E nằm M d oa Do BC đỉnh M nên I nằm đoạn BC vơ lý Do đó, đường thẳng BC không cắt đoạn DE an lu (2) Từ (1) (2) suy hai tứ giác BDEC, BEDC lồi va ul nf Như vậy, cặp hai điểm cho khác A, B, C với hai ba tạo tứ giác khác oi lm điểm A, B, C tạo tứ giác lồi Những cặp hai điểm khác z at nh Khi đó, số tứ giác lồi mà đỉnh thuộc điểm cho không nhỏ số lượng cặp đôi khác A, B, C, số lượng Cn−3 z √ thỏa mãn gm @ Bài toán 3.27 Chứng minh tồn số c < tính chất sau: Từ bốn điểm nằm hình vng có cạnh l c an Lu Lời giải: Ta chứng minh c = m co 1, chọn hai điểm mà khoảng cách chúng không lớn n va Cho A1 , A2 , A3 , A4 bốn điểm nằm hình vng Q cho ac th Trường hợp Nếu có ba bốn điểm A1 , A2 , A3 , A4 thẳng hàng si 64 Giả sử A1 , A2 , A3 thẳng hàng, A2 nằm A1 , A3 lu √ Nếu A1 A2 > 1, A2 A3 > A1 A3 = A1 A2 + A2 A3 > > Điều √ đường kính Q Suy an n va đoạn A1 A2 , A2 A3 không lớn p ie gh tn to Trường hợp Bao lồi bốn điểm tứ giác A1 A2 A3 A4 d oa nl w lu va an Vì A1 A2 A3 A4 ⊂ Q, nên A1 A2 + A2 A3 + A3 A4 + A4 A1 ≤ oi lm không lớn ul nf Từ suy đoạn A1 A2 , A2 A3 , A3 A4 , A4 A1 Trường hợp Bao lồi bốn điểm tam giác Giả sử 4A1 A2 A3 z at nh z m co l gm @ an Lu Giả sử A1 A4 , A2 A4 , A3 A4 lớn o \ \ Ta có, A\ A4 A2 + A2 A4 A3 + A3 A4 A1 = 360 n va Suy có chúng tù Giả sử A\ A4 A2 Khi đó: ac th 2 A1 A22 = A1 A24 + A2 A24 − 2A1 A4 A2 A4 cos A\ A4 A2 > A1 A4 + A2 A4 > si 65 ⇒ A1 A2 > √ 2, điều đường kính Q √ Suy đoạn A1 A4 , A2 A4 , A3 A4 không lớn lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 66 Kết luận Sau thời gian nghiên cứu luận văn thạc sĩ với nội dung "Một số kết lu hình lồi, đường kính hình vận dụng" chúng tơi thu an kết sau: va n Trên đường thẳng giao hai đoạn khác rỗng giao to hình lồi khác rỗng giao họ hình lồi khác rỗng ie gh tn tất đoạn khác rỗng Trong mặt phẳng giao ba p Chứng minh mặt phẳng hình ln chia nl w thành ba hình có đường kính nhỏ khơng gian hình cầu d oa chia thành bốn hình có đường kính nhỏ an lu Áp dụng kiến thức giao khác rỗng hình lồi, đường va kính hình kết chia hình vào toán cụ thể, oi lm IMO ul nf thi học sinh giỏi nước số tốn hình học tổ hợp z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 67 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt lu [1] Vũ Hữu Bình (2005), Một số tốn hình học tổ hợp, NXB Giáo an n va dục Giáo dục gh tn to [2] Nguyễn Hữu Điển (2005), Một số chuyên đề hình học tổ hợp, NXB p ie [3] Vũ Đình Hịa (2001), Một số kiến thức sở hình học tổ hợp, nl w NXB Giáo dục d oa Tiếng Anh lu an [4] P R Scott (1978), "Two inequalities for convex sets in the plane", nf va Bull Austral Math Soc, 19, pp: 131–133 Cambridge oi lm ul [5] J H van Lint, R M Wilson (2001), A course in Combinatorics, z at nh [6] I E Leonard, J E Lewis (2016), Geometry of Convex sets, Wiley [7] J Pach, P K Agarwal (1995), Combinatorinal Geometry, Wiley z @ [8] P Erdăos (1986), "On some metric and combinatorial geometric gm problems", Discrete Mathematics, 60, pp: 147–153 l m co [9] Gil Kalai (2015), "Some old and new problems in combinatorial geometry I: Around Borsuk’s problem", Conell University Library: an Lu arXiv:1505.04952, submitted on 19 May 2015, pp: 1–29 va [10] P Erdăos, G Purdy, E G Straus (1982), "On a problem in combi- n ac th natorial geometry", Discrete Mathematics, 40(1), pp: 45–52 si