(Luận văn) một số tập con đặc biệt trong đồ thị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN NGỌC HUYỀN TRÂN lu an n va gh tn to MỘT SỐ TẬP CON ĐẶC BIỆT p ie TRONG ĐỒ THỊ d oa nl w nf va an lu lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP z at nh oi z m co l gm @ an Lu Bình Định - 2020 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN NGỌC HUYỀN TRÂN lu an va n MỘT SỐ TẬP CON ĐẶC BIỆT TRONG ĐỒ THỊ p ie gh tn to Phương pháp toán sơ cấp : 8460113 oa : d nl w Chuyên ngành nf va an lu Mã số lm ul z at nh oi Người hướng dẫn: TS TRẦN ĐÌNH LƯƠNG z m co l gm @ an Lu n va ac th si i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết đề tài “Một số tập đặc biệt đồ thị” cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn TS Trần Đình lu an Lương chưa cơng bố cơng trình khoa học khác va thời điểm n tn to Các nội dung kết sử dụng luận văn có trích dẫn thích ie gh nguồn gốc Nếu có điều gian lận, tơi xin chịu trách nhiệm luận văn p w d oa nl Quy Nhơn, ngày 06 tháng 08 năm 2020 nf va an lu Học viên thực đề tài z at nh oi lm ul Nguyễn Ngọc Huyền Trân z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii Mục lục lu an Mở đầu 1 Các tập đỉnh đặc biệt Một số kiến thức đồ thị 1.2 Tập phủ đỉnh 1.3 Tập độc lập đỉnh 11 n va 1.1 ie gh tn to p 1.4 Tập thống trị 25 Tập thống trị độc lập 32 oa nl w 1.5 39 d Các tập cạnh đặc biệt an lu Tập phủ cạnh 39 2.2 Tập độc lập cạnh 43 2.3 Cặp ghép hoàn chỉnh 49 2.4 Clique 53 2.5 Đồ thị đặc biệt 58 2.6 Một số toán áp dụng Định lý Hall 60 nf va 2.1 z at nh oi lm ul z co 64 m an Lu Quyết định 64 l Danh mục tài liệu tham khảo gm @ Kết luận 66 n va ac th si iii Danh mục ký hiệu lu an Tập đỉnh đồ thị G E(G) Tập cạnh đồ thị G ¯ G Đồ thị bù G δ(G) Bậc bé đồ thị G ∆(G) Bậc lớn đồ thị G deg G v Bậc đỉnh v đồ thị G n va V (G) ie gh tn to Số phủ đỉnh đồ thị G p α(G) Số độc lập đỉnh đồ thị G γ(G) oa nl w β(G) Số thống trị đồ thị G d Số thống trị độc lập đồ thị G α1 (G) Số phủ cạnh đồ thị G β1 (G) Số độc lập cạnh đồ thị G NG (S) Tập hợp tất đỉnh G kề với đỉnh S ω(G) Số clique đồ thị G nf va an lu i(G) z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Các vấn đề đồ thị nhà tốn học quan tâm nghiên cứu vịng 150 năm qua Cho đến trở thành vấn đề lu an trung tâm tốn học rời rạc có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác va n toán học việc giải toán thực tiễn gh tn to Một kết lý thuyết đồ thị xuất p ie báo Leonhard Euler Bảy cầu Kăonigsberg, xut bn nm 1736 Bi w bỏo ny xem kết tôpô hình oa nl học, diễn tả mối liên hệ sâu sắc lý thuyết đồ thị tôpô học Năm 1852 d Francis Guthrie đưa toán bốn màu vấn đề liệu với bốn màu lu nf va an tơ màu đồ cho khơng có hai nước biên giới tô màu Bài toán xem khai sinh lý thuyết đồ thị, lm ul giải sau kỉ vào năm 1976 Kenneth Appel Wolfgang Haken z at nh oi Trong cố gắng giải toán này, nhà toán học phát minh nhiều thuật ngữ khái niệm tảng cho lý thuyết đồ thị z Trong đồ thị tập đặc biệt đóng vai trị quan trọng việc @ gm nghiên cứu tính chất lý thuyết đồ thị áp dụng đồ thị vào việc co l giải tốn thực tiễn Do việc tìm hiểu, nghiên cứu tính chất tập đặc biệt đồ thị cần thiết Đặc biệt toán liên quan m an Lu đến chủ đề thường hay xuất kỳ thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế, vấn đề cần phải tiếp cận theo hướng gắn n va ac th si liền với toán sơ cấp Đề tài nhằm nghiên cứu số vấn đề liên quan đến tập đặc biệt đồ thị như: tập phủ đỉnh, tập độc lập đỉnh, tập thống trị, tập thống trị độc lập, tập phủ cạnh, tập độc lập cạnh, cặp ghép, clique, đồ thị đặc biệt đồ thị Luận văn "Một số tập đặc biệt đồ thị" bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn gồm hai chương Chương 1: Các tập đỉnh đặc biệt lu an Chương trình bày số vấn đề tập phủ đỉnh, tập độc lập đỉnh, tập va thống trị, tập thống trị độc lập đồ thị, đặc trưng số chúng, n tn to số toán thực tế liên quan đến tập Đồng thời chương ie gh trình bày số kiến thức đồ thị sử dụng luận p văn w oa nl Chương 2: Các tập cạnh đặc biệt d Chương trình bày số vấn đề tập phủ cạnh, tập độc lập cạnh, cặp lu nf va an ghép hoàn chỉnh, clique, đồ thị đặc biệt đồ thị, đặc trưng số chúng, số toán sơ cấp liên quan đến việc áp dụng Định lý Hall z at nh oi lm ul cặp ghép Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy hướng dẫn TS Trần Đình Lương, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp z gm @ xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn Chúng tơi xin gửi lời cảm ơn l m co đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán Thống kê quý thầy cô giáo giảng dạy lớp Cao học Phương an Lu pháp tốn sơ cấp Khóa 21 dày cơng giảng dạy suốt khóa học, tạo điều n va ac th si kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia đình, bạn bè ln tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý q Thầy Cơ để luận văn hồn thiện lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Các tập đỉnh đặc biệt lu an Trong chương chúng tơi trình bày số vấn đề tập phủ đỉnh, tập va n độc lập đỉnh, tập thống trị, tập thống trị độc lập đồ thị, đặc gh tn to trưng số chúng, số toán thực tế liên quan đến tập p ie Đồng thời trình bày số kiến thức đồ thị sử w dụng luận văn Các kết chương tham khảo từ tài d oa nl liệu [1], [3], [4], [5], [6], [2] Một số kiến thức đồ thị nf va an lu 1.1 Trong mục trình bày số kiến thức đồ thị lm ul sử dụng luận văn Các kết mục tham khảo từ tài z at nh oi liệu [1], [3], [4], [5] Một đồ thị cặp G = (V, E) z gm @ (i) V tập khác rỗng, phần tử V gọi đỉnh G l (ii) E tập tập hợp tất tập hai phần tử phân biệt m co V , phần tử E gọi cạnh G an Lu Cho G đồ thị Ta ký hiệu tập tất đỉnh G V (G), ký hiệu tập tất cạnh G E(G) Đồ thị G gọi hữu hạn tập n va ac th si đỉnh V (G) hữu hạn, tập cạnh E(G) hữu hạn Trong trường hợp này, ta gọi số phần tử V (G) cấp G, gọi số phần tử E(G) cỡ G Ta thường mô tả đồ thị hữu hạn hình vẽ đỉnh biểu diễn điểm cạnh biểu diễn đường nối hai điểm Nếu e = {u, v} cạnh G u, v hai đỉnh phân biệt, ta ký hiệu e = uv , e = vu, nói cạnh e nối hai đỉnh u v , hay nói hai đỉnh u v kề nhau; ta nói cạnh e đỉnh u (cũng đỉnh v ) lu an liên thuộc Nếu e1 e2 hai cạnh khác G liên thuộc với n va đỉnh ta nói e1 e2 hai cạnh kề nhau; trái lại, e1 e2 gọi độc lập gh tn to Một đồ thị H gọi đồ thị đồ thị G, ký hiệu H ⊆ G, V (H) ⊆ V (G) E (H) ⊆ E (G) p ie n(n−1) w Cho G đồ thị cấp n, n ≥ 1, có cỡ m Rõ ràng ≤ m ≤ oa nl Nếu n = ta gọi G đồ thị tầm thường Nếu m = ta gọi G đồ n(n−1) d thị rỗng Nếu m = gọi G đồ thị đầy đủ cấp n, ký hiệu Kn lu nf va an Một đồ thị G gọi k -nhánh, k ≥ 1, phân hoạch tập đỉnh G thành k tập khác rỗng V1 , V2 , , Vk cho cạnh G nối đỉnh lm ul Vi với đỉnh Vj với i 6= j Rõ ràng đồ thị 1-nhánh đồ thị z at nh oi rỗng Đặc biệt, với i 6= j , với u ∈ Vi v ∈ Vj ta có uv ∈ E(G) G gọi k -nhánh đầy đủ Nếu |Vi | = ni với i = 1, 2, , k ta ký z hiệu đồ thị k -nhánh đầy đủ G Kn1 ,n2 , ,nk Đồ thị 2-nhánh đầy đủ K1,n với m co l gm Định nghĩa 1.1.1 Cho G đồ thị @ n ≥ gọi an Lu (i) Nếu |V (G)| ≥ u đỉnh G, ta ký hiệu G − u đồ thị có tập đỉnh V (G) \ {u} cạnh cạnh G khơng liên n va ac th si N (A) ≥ |NG (A)| − ≥ |A| G lm ul Vì |V10 | < |V1 | nên theo giả thiết quy nạp, tồn cặp ghép M cho với đỉnh V10 liên thuộc với cạnh thuộc M , bổ sung thêm cạnh z at nh oi uv ta thu cặp ghép thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: Giả sử tồn tập S ⊂ V1 cho |NG (S)| = |S| Xét V10 = V1 \ S z đỉnh B Nếu |NG (B)| < |B| l gm @ V20 = V2 \ NG (S) Xét tập B ⊂ V10 NG (B) ⊂ V20 tập đỉnh kề với m co |NG (S ∪ B)| = |NG (S)| + |NG (B)| < |S| + |B| = |S ∪ B|; an Lu điều mâu thuẫn với giả thiết Từ ta có |NG (B)| ≥ |B| với B ⊂ V10 n va Theo giả thiết quy nạp, tồn cặp ghép M cho đỉnh V10 liên ac th si 51 thuộc với cạnh M Vậy ta xây dựng cặp ghép M cho đỉnh V1 liên thuộc với cạnh M Một họ tập hợp hữu hạn khác rỗng S1 , S2 , , Sk , k ≥ 1, gọi có hệ đại diện phân biệt tồn k phần tử phân biệt s1 , s2 , , sk cho si ∈ Si với i = 1, 2, , k Định lý sau dạng phát biểu tương đương Định lý 2.3.1 Định lý 2.3.2 Một họ tập hợp hữu hạn khác rỗng S1 , S2 , , Sk , k ≥ có lu hệ đại diện phân biệt với j = 1, 2, , k hợp j tập an hợp số tập chứa j phần tử n va tn to Chứng minh Ta xây dựng đồ thị 2-nhánh G với tập nhánh V1 , V2 p ie gh sau Đặt V1 = {v1 , v2 , , vk } tập hợp gồm k phần tử đó, đặt Sk V2 = i=1 Si , tập cạnh G gồm tất vi w cho w ∈ Si với oa nl w i = 1, 2, , k Khi áp dụng Định lý 2.3.1 ta có điều phải chứng minh Cho G đồ thị, M cặp ghép G Khi đỉnh d an lu G liên thuộc với tối đa cạnh thuộc M Cặp ghép M gọi hoàn chỉnh nf va M đồng thời phủ cạnh G, nghĩa đỉnh G liên thuộc z at nh oi có cấp chẵn lm ul với cạnh thuộc M Rõ ràng G có cặp ghép hồn chỉnh G Sau số kết liên quan đến tồn cặp ghép hoàn chỉnh z Mệnh đề 2.3.3 Nếu G đồ thị 2-nhánh k-chính quy với k > 0, G có l gm @ cặp ghép hoàn chỉnh co Chứng minh Giả sử hai nhánh G V1 V2 Vì đồ thị G k-chính quy m nên k |V1 | = k |V2 |, |V1 | = |V2 | Lấy S tập V1 Ký hiệu an Lu E1 E2 tương ứng tập tất cạnh G liên thuộc với đỉnh thuộc n va ac th si 52 S NG (S) Rõ ràng E1 ⊂ E2 Vì đồ thị G k-chính quy nên |E1 | = k |S| |E2 | = k |NG (S)| Từ suy k |NG (S)| ≥ k |S|, |NG (S)| ≥ |S| Cho nên, theo Định lý 2.3.1, đồ thị G có cặp ghép M cho đỉnh V1 liên thuộc với cạnh thuộc M Hơn nữa, |V1 | = |V2 | M cặp ghép hoàn chỉnh Mệnh đề 2.3.4 Cho G đồ thị hai nhánh gồm V1 , V2 Nếu với tập S V1 , NG (S) tập đỉnh thuộc V2 kề với đỉnh S cho |NG (S)| ≥ |S| − d tồn khơng |V1 | − d cạnh độc lập lu an Chứng minh Ta chứng minh hệ quy nạp theo |V1 | d Hiển nhiên va n khẳng định với |V1 | = d Ta xét hai trường hợp sau gh tn to Trường hợp 1: Tồn tập U ⊂ V1 mà |NG (U )| = |U | − d, ta sử dụng quy p ie nạp cho tập đỉnh U với |U | < |V1 | d, ta có tồn |U | − d cạnh đơi độc w lập có đỉnh thuộc U Với S ⊂ V1 − U áp dụng giả thiết quy nạp cho oa nl |V1 − U | < |V1 | d = tồn |V1 − U | = |V1 | − |U | cạnh độc lập không d có đỉnh thuộc U hay NG (U ) Kết hợp với |U | − d cạnh thu thuộc ta có lu nf va an |V1 | − |U | + |U | − d = |V1 | − d cạnh thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: Với S ⊂ V1 |NG (S)| ≥ |S| − d + Ta xét cạnh bất lm ul kỳ uv với u ∈ V1 , v ∈ V2 Bỏ hai đỉnh ta đồ thị thỏa yêu cầu z at nh oi |NG (S)| ≥ |S| − d với tập S ⊂ V1 \ {u} Theo giả thiết quy nạp, ta thu |V1 | − − d cạnh độc lập, thêm cạnh uv ta thu |V1 | − d cạnh độc lập z gm @ Kết sau Tutte (1954) cho đặc trưng đồ thị có cặp ghép hồn chỉnh, xem [6] l o(G − S) ≤ |S|, an Lu với tập thực S V (G) m co Định lý 2.3.5 Một đồ thị khơng tầm thường G có cặp ghép hồn chỉnh n va ac th si 53 o(G − S) số thành phần liên thông cấp lẻ G − S 2.4 Clique Trong mục chúng tơi trình bày số vấn đề clique số clique đồ thị Các kết mục tham khảo từ tài liệu [4], [5] Định nghĩa 2.4.1 Cho G đồ thị (i) Một tập U đỉnh G gọi clique hai đỉnh thuộc lu an U kề va n (ii) Số lớn số số clique G gọi số clique to gh tn G, kí hiệu ω(G) p ie ¯ , G khác rỗng ω(G) > Từ định nghĩa ta thấy ω(G) = β(G) Sau số ví dụ clique số clique cho số đồ thị oa nl w Ví dụ 2.4.2 d an lu (i) Rõ ràng ω(K1 ) = nf va Tập clique có số lớn K2 {v1 , v2 }; ω(K2 ) = lm ul Tập clique có số lớn K3 {u1 , u2 , u3 }; ω(K3 ) = z at nh oi Tập clique có số lớn K4 {w1 , w2 , w3 , w4 }; ω(K4 ) = z m co l gm @ an Lu Hình 2.9: Hình minh họa Kn với n = 1, 2, 3, n va ac th si 54 (ii) Các tập clique số lớn K3,3 {u1 , u4 }, {u1 , u5 }, {u1 , u6 }, {u2 , u4 }, {u2 , u6 }, {u2 , u5 }, {u3 , u4 }, {u3 , u5 }, {u3 , u6 }; ω(K3,3 ) = lu an va n Hình 2.10: Hình minh họa K3,3 ie gh tn to (iii) Tập clique có số lớn P2 {u1 , u2 }; ω(P2 ) = p Các clique có số lớn P3 {v1 , v2 }, {v2 , v3 }; ω(P3 ) = d oa ω(P4 ) = nl w Các clique số lớn P4 {w1 , w2 }, {w2 , w3 }, {w3 , w4 };do nf va an lu z at nh oi lm ul Hình 2.11: Hình minh họa Pn với n = 2, 3, z (iv) Các clique có số lớn C3 {v1 , v2 }, {v2 , v3 }, {v1 , v3 }; gm @ ω(C3 ) = m ω(C4 ) = co l Các clique có số lớn C4 {u1 , u2 }, {u2 , u3 }, {u3 , u4 }, {u1 , u4 }; n va {w1 , w5 }; ω(C5 ) = an Lu Các clique có số lớn C5 {w1 , w2 }, {w2 , w3 }, {w3 , w4 }, {w4 , w5 }, ac th si 55 Hình 2.12: Hình minh họa Cn với n = 4, 5, Kết sau cho ta cơng thức tính số clique số đồ thị đặc biệt lu Mệnh đề 2.4.3 an n va (i) ω(Kn ) = n với n > (iii) ω(Pn ) = với n > gh tn to (ii) ω(Kr,s ) = với r, s > p ie (iv) ω(Cn ) = với n > nl w Chứng minh d oa (i) Gọi tập đỉnh đồ thị Kn V (Kn ) = {u1 , u2 , , un } Rõ ràng tập V (Kn ) an lu tập clique đồ thị Kn tập clique có số lớn nf va (ii) Gọi Vr , Vs hai tập đỉnh độc lập Kr,s Với hai đỉnh ur ∈ Vr lm ul us ∈ Vs tập {ur , us } tập clique đồ thị Kr,s Từ suy ω(Kr,s ) ≥ Giả sử S tập clique Kr,s với |S| ≥ Khi tồn hai đỉnh u1 , z at nh oi u2 thuộc S cho u1 , u2 thuộc Vs thuộc Vs ; điều dẫn đến mâu thuẫn Từ suy ω(Kr,s ) ≤ Vậy ω(Kr,s ) = z gm @ (iii) Xét đường Pn : u = u0 , u1 , , un−1 = v , tập {ui , ui+1 } với i ∈ {0, 1, , n − 2} clique đồ thị Pn clique có số lớn l cho {ui , ui+1 , uj } clique Khi ta có đường m co Thật vậy, giả sử trái lại tồn đỉnh ej với j 6= {i, i + 1} an Lu Pn : u = u0 , u1 , , ui , uj , ui+1 , ui , , un−1 = v ; n va ac th si 56 điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy ω(Pn ) = (iv) Xét chu trình Cn : u = u0 , u1 , , un−1 = u, tập {ui , ui+1 } với i ∈ {0, 1, , n − 2} clique đồ thị Cn clique có số lớn Thật vậy, giả sử trái lại tồn đỉnh uj với j 6= {i, i + 1} cho {ui , ui+1 , uj } clique Khi ta có chu trình Cn : u = u0 , u1 , , ui , uj , ui+1 , ui , , un−1 = u; điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy ω(Cn ) = lu Kết sau Turan (1941), xem [5] an n va m≥ n +1 gh tn to Mệnh đề 2.4.4 Cho G đồ thị cấp n ≥ có cỡ m Nếu j 2k p ie ω(G) ≥ nl w Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo n Với n = 3, m ≥ 3, cho d oa nên G = K3 , kết luận hiển nhiên Với n = 4, m ≥ 5, G = K4 an lu G = K4 − e e cạnh K4 , kết luận hiển nhiên nf va Giả sử n ≥ mệnh đề với đồ thị có cấp bé n Lấy u v hai lm ul đỉnh kề G Kí hiệu H = G − u − v Nếu hai đỉnh u, v kề với đỉnh thuộc H , rõ ràng G có chứa đồ thị K3 , z at nh oi ta có điều phải chứng minh Giả sử trái lại đỉnh H kề với tối đa đỉnh số hai đỉnh u v Gọi m0 cỡ H Khi ta có z gm @ m ≤ m0 + (n − 2) + = m0 + (n − 1) n + − (n − 1) = j n2 −4n+4 k +1= m ≥ m − (n − 1) ≥ j 2k co m0 l Từ suy j (n−2)2 k + an Lu n va ac th si 57 Vì H có cấp n − theo giả thiết quy nạp, đồ thị H chứa đồ thị K3 Do G có chứa đồ thị K3 , ta có điều phải chứng minh Ta có nhận xét cận cho m mệnh đề chặt Thật vậy, kiểm tra trực tiếp ta thấy với n ≥ đồ thị 2-nhánh G = Kb n c,d n e có cấp 2  n 
2 ω(G) = Hơn nữa, ta chứng minh n, có cỡ Kb n c,d n e đồ thị thỏa mãn điều kiện 2 Tổng quát ta có kết sau, xem [5] lu an Mệnh đề 2.4.5 Giả sử r ≥ Cho G đồ thị cấp n ≥ r có cỡ m Nếu n va r−2 2r−2
n2 + gh tn to m≥ ω(G) ≥ r p ie w Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề với r = Nếu r ≥ oa nl n ≥ theo Mệnh đề 2.4.4 ta có điều phải chứng minh d Ta chứng minh quy nạp theo r Giả sử với r − ≥ n ≥ r − đồ
r−3 thị G có cỡ m ≥ 2r−4 n + chứa đồ thị Kr−1 tức ω(G) ≥ r −
r−2 Xét đồ thị G cấp n ≥ r có cỡ m ≥ 2r−2 n + Ta chứng minh quy nạp nf va an lu lm ul theo n đồ thị G chứa đồ thị Kr m≥ z at nh oi Nếu n = r đồ thị G có cỡ n−2 2n−2
n
n2 + ≥ z gm @ Vậy đồ thị G = Kn = Kr Nếu n > r gọi H đồ thị có cấp k với r ≤ k < n có cỡ lớn k + m co
l r−2 2r−2 an Lu Khi đồ thị H có chứa đồ thị Kr Mặt khác n va ac th si 58 r−2 2r−2 m≥
r−3 2r−4 n2 + ≥
n2 + nên theo giả thiết quy nạp G có chứa đồ thị Kr−1 Đặt U tập đỉnh đồ thị G đẳng cấu với Kr−1 H = G − U Nếu tồn đỉnh e thuộc H kề với U đồ thị G có chứa đồ thị Kr Nếu không tồn đỉnh H kề với r − đỉnh U cỡ G phải lớn r−1
n−r+1
+ (n − r + 1) (r − 2) + Nếu n − r + < r n ≤ 2(r − 1) Tuy nhiên r ≤ n ≤ 2(r − 1) suy ta có r−1 lu
an + (n − r + 1) (r − 2) + n−r+1
r−2 2r−2 ≤
n2 ; va điều mâu thuẫn với giả thiết toán Vậy n − r + ≥ r Khi tập H có n gh tn to cấp n − r + ≤ r có cỡ lớn
n2 + − r−1
− (n − r + 1)(r − 2) = r−2 2r−2
(n − r + 1)2 + p ie r−2 2r−2 Đồ thị đặc biệt d 2.5 oa nl w Theo giả thiết quy nạp, H chứa đồ thị Kr Vậy G chứa đồ thị Kr an lu nf va Các vấn đề Mục 2.4 mở rộng sau Cho trước F lm ul đồ thị cấp k n số nguyên với n ≥ k Xác định số nguyên m bé cho đồ thị cấp n cỡ m chứa đồ thị đẳng cấu với F z at nh oi Sau số kết theo hướng phát triển Các kết mục tham khảo từ tài liệu [5], [6] z n +1 m co G chứa đồ thị đẳng cấu với P3 l m≥ gm @ Mệnh đề 2.5.1 Cho G đồ thị cấp n ≥ có cỡ m Nếu an Lu n va ac th si 59 Chứng minh Giả sử trái lại G không chứa đồ thị đẳng cấu với P3 Khi đỉnh G có bậc khơng vượt Cho nên G hợp   số thị đẳng cấu với K2 đỉnh lập Do m ≤ n2 , điều trái với giả thiết Vậy ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 2.5.2 Cho G đồ thị cấp n ≥ có cỡ m Nếu m≥ √ n+n 4n−3 +1 G chứa đồ thị đẳng cấu với C4 lu an Chứng minh Giả sử trái lại G không chứa đồ thị đẳng cấu n va gh tn to với C4 Với v đỉnh G số cặp đỉnh phân biệt kề với v
deg2 v Xét tổng P deg v
p ie v∈V (G) w Vì G khơng chứa đồ thị đẳng cấu với C4 tổng d oa nl cặp đỉnh kề với đỉnh khác tính lần Do ta có P deg v
n
≤ an lu v∈V (G) Pn Ký hiệu bậc đỉnh G d1 , d2 , , dn Khi ta có nf va i=1 di = 2m Viết Pn i=1 di (di −1) = Pn i=1 di − Pn i=1 di ≥ z at nh oi n(n−1) ≥ lm ul lại bất đẳng thức ta Pn n i=1 di
2 Pn − i=1 di = 4m2 n −2m Giải bất phương trình ta √ n+n 4n−3 z gm @ m≤ Điều trái với giả thiết Vậy ta có điều phải chứng minh m co l an Lu n va ac th si 60 2.6 Một số toán áp dụng Định lý Hall Trong mục chúng tơi trình bày lời giải số toán sơ cấp kỳ thi TST (Team Selection Test), IMO (International Mathematical Olympiad) cách áp dụng Định lý Hall hệ Bài 1: Cho bảng nxk với k < n cho vng có số từ tới n Biết hàng cột số trùng Chứng minh ta mở rộng bảng thành bảng nxn với số từ đến n lu an ô, cho hàng cột khơng có số trùng n va Ý tưởng: Một ý tưởng tự nhiên gặp toán ta thêm tn to số vào cột Vì vậy, ta cần chứng minh mở rộng bảng thành ie gh bảng nx(k + 1) thỏa mãn yêu cầu đề Ta xây dựng đồ thị 2-nhánh gồm 2n p đỉnh có n đỉnh biểu diễn hàng n đỉnh biểu diễn số từ đến nl w n từ sử dụng Mệnh đề 2.3.3 để giải toán d oa Lời giải: Ta chứng minh ta mở rộng bảng thành bảng an lu nx(k + 1) thỏa mãn yêu cầu đề Xét đồ thị với 2n đỉnh có n nf va đỉnh biểu diễn hàng n đỉnh biểu diễn số từ đến n Nếu số chưa lm ul xuất hàng ta đặt cạnh nối hai đỉnh tương ứng Để ý bậc đỉnh biểu thị hàng n − k Tuy nhiên, số xuất lần z at nh oi cột, nên chúng k hàng khác Vì vậy, bậc đỉnh biểu thị số n − k Vậy ta thu đồ thị 2-nhánh (n − k)-chính quy z gm @ Theo Mệnh đề 2.3.3, tồn cặp ghép hoàn chỉnh, tức tồn cặp ghép số với hàng cho vừa tập độc lập cạnh vừa phủ cạnh để l thu đồ thị thỏa mãn yêu cầu toán m co cột (k + 1) thỏa yêu cầu toán Tương tự ta tiếp tục thực trình an Lu n va ac th si 61 Bài 2: (Vietnam TST 2010) Có n nước, nước có k đại diện (n > k > 1).Người ta chia n.k người thành n nhóm, nhóm có k người cho khơng có người nhóm đến từ nước Chứng minh chọn n người đến từ nhóm khác đến từ nước khác Ý tưởng: Xây dựng đồ thị 2-nhánh với V1 , V2 , V1 tập hợp nhóm V2 tập hợp nước từ sử dụng Định lý 2.3.1 Lời giải: Với h thuộc 1, 2, , n tập hợp tất đại biểu h nhóm đến từ h nước Ta xây dựng đồ thị hai nhánh G với hai nhánh lu an V1 , V2 , V1 tập hợp nhóm V2 tập hợp nước Nếu n va nhóm có đại diện nước ta đặt cạnh nối hai đỉnh nhóm tn to nước tương ứng Vì nhóm có k người tới từ k nước khác nên bậc ie gh đỉnh biểu thị nhóm k Tuy nhiên, nước có k người tham gia vào p k nhóm khác nên đỉnh biểu thị nước có bậc k Khi ta nl w thu đồ thị k -nhánh k -chính quy d oa Theo Định lí 2.3.1, tồn ghép cặp hoàn chỉnh từ V1 đến V2 , tức tồn an lu cặp ghép nước nhóm cho tập cạnh độc lập tập nf va phủ cạnh Vậy chọn n người đến từ nước khác từ n nhóm khác lm ul Bài 3: (Canada 2006) Trong bảng ô vuông m.n chứa số không âm, z at nh oi hàng (hoặc cột) chứa số dương Ngoài ra, hàng giao một chứa số dương, tổng hàng cột Chứng minh z m = n @ gm Ý tưởng: Ta chứng minh m ≤ n n ≤ m cách xây dựng đồ thị hai nhánh m Định lý 2.3.1 co l nhánh V1 tập hợp hàng, nhánh V2 tập hợp cột sử dụng an Lu Lời giải: Xây dựng đồ thị hai nhánh G nhánh V1 tập hợp hàng, n va ac th si 62 nhánh V2 tập hợp cột Nếu cột hàng giao chung chứa số dương nối chúng cạnh Khơng tính tổng qt ta giả sử m ≥ n Gọi S tập V1 NG (S) tập tất đỉnh V2 kề với đỉnh S cho |NG (S)| < |S| Giả sử tổng số hàng thuộc S s1 , s2 , , sk Mỗi cột thuộc NG (S) có tổng si Vì vậy, nhìn theo góc độ cột tổng hàng thuộc S tổng tập hàng S Mà si > với i = 1, , k , điều dẫn đến mẫu thuẫn Suy |NG (S)| ≥ |S|, với tập S V1 lu an Theo Định lý 2.3.1, tồn cặp ghép M hoàn chỉnh nối hàng n va cột Điều có nghĩa m ≤ n Vậy m = n gh tn to Bài 4: (VietNam TST 2001) Một lớp khiêu vũ có 42 thành viên, 31 người p ie có cặp nam nữ quen Chứng minh chọn w 42 người 12 cặp nam, nữ quen oa nl Ý tưởng: Bài toán sử dụng Mệnh đề 2.3.4 d Lời giải: Giả sử có a nam b nữ Ta chứng minh có lu nf va an 12 nam 12 nữ Ngược lại, có 31 nam 31 nữ dẫn đến mâu thuẫn Ta chứng minh tập S nam quen lm ul |S| − (a − 12) nữ khác Thật vậy, ta xét cho |S| > (a − 12) Nếu nhóm z at nh oi quen nhiều với k nữ khác k < |S| − (a − 12), số nữ lại b − k = 42 − a − k > 42 − a + |S| + a − 12 = 30 − a − |S| hay số nữ lại z lớn 31 − |S|, nhóm nữ |S| nam lớn @ gm 31 − |S| + |S| = 31 người, khơng có cặp nam nữ quen nhau; điều m nam quen với |S| − (a − 12) nữ khác co l dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết tốn Vậy ta ln có nhóm |S| an Lu Áp dụng Mệnh đề 2.3.4 ta có số cặp nam nữ phân biệt đơi không n va ac th si