(Luận văn) một số mở rộng của bất đẳng thức aczél và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN NGỌC UYÊN PHƯƠNG lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC ACZÉL VÀ ỨNG DỤNG d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN NGỌC UYÊN PHƯƠNG lu MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC ACZÉL VÀ ỨNG DỤNG an n va p ie gh tn to nl w Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp d oa Mã số: 8460113 nf va an lu lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi Người hướng dẫn: z @ TS LÊ QUANG THUẬN m co l gm an Lu BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 n va ac th si LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình Bình Định, ngày tháng năm 2020 Học viên lu an n va to p ie gh tn Nguyễn Ngọc Uyên Phương d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Quang Thuận người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Toán Đại học Quy Nhơn dạy bảo em tận tình lu suốt trình học tập khoa an n va Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, tn to bạn bè anh chị lớp Cao học Toán K21 giúp đỡ em p ie gh suốt trình học tập thực luận văn w Trong trình học tập nghiên cứu viết luận văn, chắn oa nl tránh khỏi thiếu sót, mong nhận thơng cảm ý kiến d đóng góp Thầy cô an lu nf va Xin trân trọng cảm ơn z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mục lục 1 Một số kiến thức chuẩn bị lu Mở đầu an n va Bất ng thc Hăolder 1.2 Các bất đẳng thức liên quan p ie gh tn to 1.1 Mở rộng bất đẳng thức Aczél: Hướng thứ 16 nl w Bất đẳng thức Aczél 16 2.2 Mở rộng bất đẳng thức Aczél theo hướng Popoviciu 18 d oa 2.1 nf va an lu Mở rộng bất đẳng thức Aczél theo hướng Wu Deb- z at nh oi 3.1 31 lm ul Mở rộng bất đẳng thức Aczél: Hướng thứ hai nath 31 Làm mịn số bất đẳng thức mở rộng 37 z 3.2 gm @ 48 m co l Kết luận 49 an Lu Tài liệu tham khảo n va i ac th si MỞ ĐẦU Bất đẳng thức vấn đề khó, hấp dẫn thu hút lu quan tâm đông đảo người giảng dạy tốn từ bậc phổ thơng đến an n va đại học nhà nghiên cứu toán Hiện nay, lý thuyết bất đẳng tn to thức lý thuyết toán học đồ sộ, phát triển rộng sâu Các p ie gh bất đẳng thức công cụ quan trọng để phát triển w nhiều lĩnh vực tốn học khác Ở Tốn phổ thơng, chủ đề bất đẳng oa nl thức gặp thường xuyên bất đẳng thức hay xuất d kỳ thi học sinh giỏi để đánh giá tư học sinh giỏi Trong số bất lu nf va an đẳng thức kinh điển tiếng, bất đẳng thức Aczél phát biểu với n n P P số thực , bi (i = 1, 2, , n) cho a21 − a2i > b21 − b2i > 0, ta có lm ul i=2 i=2 i=2 z at nh oi 2     n n n P P P a21 − a2i b21 − b2i a1 b1 − b i i=2 i=2 z Bất đẳng thức Aczél đóng vai trò quan trọng lý thuyết phương @ l gm trình hàm hình học phi Ơclit Trong năm gần đây, nhiều tác giả cải tiến mở rộng bất đẳng thức Aczél theo hướng khác co m ứng dụng chúng Nhiều bất đẳng thức mở rộng bất đẳng thức an Lu Aczél đời bất đẳng thức Popoviciu nhiều bất đẳng thức công n va ac th si bố tạp chí quốc tế uy tín Tốn học Tìm hiểu kết bổ ích cho cơng việc giảng dạy nghiên cứu Toán học sơ cấp bậc Trung học Phổ thơng Với mong muốn tìm hiểu bất đẳng thức Aczél số dạng mở rộng, chọn đề tài "Một số mở rộng bất đẳng thức Aczél ứng dụng" để nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Mục đích luận văn trình bày chứng minh kết có báo nêu phần Tài liệu tham khảo lu Luận văn gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo an n va Nội dung luận văn bao gồm chương: gh tn to Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Mở rộng bất đẳng thức Aczél: Hướng thứ p ie oa nl w Chương 3: Mở rộng bất đẳng thức Aczél: Hướng thứ hai d Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng an lu nf va thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh lm ul nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu văn hồn thiện z at nh oi sót Tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận Bình Định, ngày tháng năm 2020 z m co l gm @ Học viên an Lu Nguyễn Ngọc Uyên Phương n va ac th si Chương Một số kiến thức chuẩn bị lu an Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị va n bất đẳng thức để sử dụng chứng minh chương sau Các kiến tn to thức tham khảo từ tài liệu [12, 11, 6, 9] p ie gh Bt ng thc Hă older oa nl w 1.1 d Định lý 1.1 ([11]) Cho > 0, bi > 0, i = 1, 2, , n + q = với an lu p > Khi p nf va n X n X api lm ul i=1 ! p1 bqi i=1 αapi = > n X bi (1.1) i=1 βbqi z at nh oi Đẳng thức xảy ! 1q với (i = 1, 2, , n), α β số thực thỏa mãn α2 + β > i=1 i=1 bqi > m co l api > n P bqi = (1.1) xảy đẳng thức gm i=1 i=1 = n P @ Giả sử n P api z Chứng minh Nếu n P an Lu n va ac th si Với i ∈ {1, 2, , n}, xét số không âm a= n X ! p1 , bi b= n X api i=1 Vì p + q ! 1q · (1.2) bqi i=1 = 1, p > a > 0, b > nên theo bất đẳng thức AM-GM suy rộng ta có p q a + b > ab p q (1.3) lu Đẳng thức xảy ap = bq an Thay (1.2) vào (1.3) ta va n bpi api + n > n pX qX q p bi gh tn to i=1 api i=1 n X ! 1q (1.4) bqi i=1 p ie i=1 n X bi ! p1 w Vì (1.4) với i = 1, , n nên cộng theo vế bất đẳng thức lại oa nl với ta d n X an lu 1 + > p q i=1 nf va + q ! p1 n X api i=1 ! 1q (1.5) bqi i=1 z at nh oi p n X lm ul Vì bi = nên từ (1.5) suy điều phải chứng minh Đẳng thức (1.5) xảy n bất đẳng thức (1.4) z @ trở thành đẳng thức Theo (1.3), có điều an Lu n va ap1 ap2 apn = = · · · = , bq1 bq2 bqn m với i = 1, 2, , n Tức co l gm bpi api = q ap1 + ap2 + · · · + apn b1 + bq2 + · · · + bqn ac th si với quy ước bi = với i = Ngồi ra, với a1 = a2 = · · · = an = b1 = b2 = · · · = bn = (1.1) xảy đẳng thức Kết hợp điều ta suy (1.1) xảy đẳng thức tồn hai số thực α, β không đồng thời không cho αapi = βbqi , i = 1, 2, , n nh lý 1.2 ([11], Bt ng thc Hăolder tổng quát) Cho aij > 0, γj > lu (i = 1, 2, , n, j = 1, 2, , m) γ1 + γ2 + · · · + γm > Khi !γ j m n n Y m Y X X γ aij > aijj (1.6) an n va j=1 i=1 i=1 j=1 tn to Đẳng thức xảy γ1 + γ2 + · · · + γm = p ie gh a21 an1 a11 = = ··· = (j = 2, 3, , m) a1j a2j anj Các bất đẳng thức liên quan d oa nl w 1.2 (1 − x) α − nf va an lu Định lý 1.3 ([11]) Cho x < α > Khi đó, ta có bất đẳng thức x max {α, 1} (1.7) lm ul Dấu đẳng thức xảy α = x = z at nh oi Chứng minh Khi α = x = 0, đẳng thức (1.7) xảy Khi α > 1, tức < < Khi theo bất đẳng thức Bernoulli, ta có z α x α l gm @ (1 − x) α < − > Ta có (1 − x) α < − x an Lu α m Khi < α < 1, tức co với x ∈ (0, 1) n va ac th si 36 m P 6k j=1 p−1 j − m P j=1 min{p−1 j ,1} k m−1 k Y m X aij i=1 j=1 =K2 k Y m X aij (3.8) i=1 j=1 Kết hợp (3.7) (3.8) ta có bất đẳng thức (3.6) Định lý chứng minh xong Trong Định lý 3.4, với m P j=1 p−1 j > 1, ta hệ sau lu an Hệ 3.5 ([2]) Cho m, n số nguyên dương, pj > 0, aij (i = va n 1, 2, , n; j = 1, 2, , m) số không âm k (1 k < n) p ie gh tn to số nguyên dương cho dãy số (a1j , a2j , , akj ) đơn điệu k n m P P P p p chiều aijj − aijj > với j = 1, 2, , m Nếu p−1 j > ta i=1 j=1 i=k+1 có bất đẳng thức nl w − ! p1 j p aijj {K1 , K2 } lu i=1 p aijj d j=1 n X oa m k Y X m k Y X aij − i=1 j=1 i=k+1 n Y m X aij i=k+1 j=1 an nf va (3.9) lm ul Trong Định lý 3.4, cho m = 2, p1 = p, p2 = q, ai1 = , ai2 = bi với z at nh oi p−1 + q −1 = 1, ta hệ sau Hệ 3.6 Cho n số nguyên dương, p > 0, q > với p−1 + q −1 = z gm @ 1, , bi (i = 1, 2, , n) số không âm k (1 k < n) số m co l nguyên dương cho dãy số (a1j , a2j , , akj ) đơn điệu chiều an Lu n va ac th si 37 k P n P p i=1 aijj − p aijj > với j = 1, 2, , m Khi ta có i=k+1 k X api − i=1 ! p1 n X api k X bqi − i=1 i=k+1 n X ! 1q bqi 6k k X pq−1 pq n X bi − i=1 i=k+1 b i i=k+1 (3.10) 3.2 Làm mịn số bất đẳng thức mở rộng lu Định lý 3.7 ([2]) Cho m, n số nguyên dương, pj > 0, aij (i = an n va 1, 2, , n; j = 1, 2, , m) số không âm k (1 k < n) gh tn to số nguyên dương cho dãy số (a1j , a2j , , akj ) đơn điệu chiều k n m P P P pj pj aij − aij > với j = 1, 2, , m, p−1 j = Khi ta có bất i=1 j=1 ie i=k+1 p đẳng thức w nl k m X Y − i=1 j p aijj R (aij ; l) {K1 , K2 } m k Y X d oa j=1 p aijj ! p1 n X i=k+1 an lu nf va − z at nh oi R (aij ; l) = m k Y X j=1 i=1 i=1 j=1 m Y aij , (3.11) i=k+1 j=1 lm ul n X aij p aijj − l X ! p1 j p aijj − n Y m X aij , i=l+1 j=1 i=k+1 z m P j=1 min{p−1 j ,1}+m−1 m , K2 = k j=1 p−1 j − co K1 = k m P l gm @  )−1   P  m p−1 pj ,1 j −min  j=1  j=1 m P an Lu n va ac th si 38 Chứng minh Biến đổi vế trái (3.11) thành ! p1 ! p1 m k n m n j Y X p X p j Y X pj pj j j aij aij aij − = Aj − j=1  với Aj = i=1 k P i=1 j=1 i=k+1 p aijj l P − p aijj (3.12) i=l+1  p1 j i=k+1 Từ điều kiện ta có p Aj j n X − p aijj > i=l+1 lu an n va tn to Do đó, theo Định lý 3.4, ta ! p1 m n m n Y m j Y X Y X pj pj Aj − aij Aj − aij = R (aij ; l) j=1 j=1 i=l+1 (3.13) i=l+1 j=1 gh p ie Kết hợp (3.12) (3.13) ta k P lu i=1 p aijj − ! p1 j p aijj R (aij ; l) i=k+1 n P p aijj > Do đó, áp dụng Hệ 2.4, ta i=k+1 n X i=k+1 ! p1 j p aijj {K1 , K2 } gm k Y m X aij − n Y m X l i=k+1 j=1 aij i=k+1 j=1 m co i=1 j=1 Định lý chứng minh xong aij (3.14) @ R (aij ; l) {K1 , K2 } aij − n Y m X z Kết hợp (3.13) (3.14) ta k Y m X i=1 j=1 z at nh oi j=1 − lm ul j=1 Aj = m k X Y n X nf va i=1 m Y p aijj − an Mặt khác, ta có p aijj i=1 j=1 d oa nl w k m X Y an Lu n va ac th si 39 Định lý 3.8 ([7]) Cho p1 , p2 , , pm số thực dương, ρ = p11 + p12 + n P pj p · · · + pm > aij > 0, a1j − aijj > (i = 1, 2, , n, j = 1, 2, , m), i=2 m > 2, n > Khi đó, với r < n (r ∈ N), ta có bất đẳng thức !1/pj m n m n Y m Y X Y X pj pj a1j − aij R(a, p) a1j − aij j=1 i=2 j=1 i=2 j=1 p n X aijj a11 a12 · · · a1m pj − η a jj i=2 16j bq1 − bqi > Khi 0, bi > (i = 1, 2, , n) cho ap1 − i=2 i=2 d oa nl w đó, với r < n (r ∈ N), ta có bất đẳng thức !1/q !1/p n n n X X X q q p p b1 − bi R(a, p) a1 b1 − b i a1 − lu i=2 i=2 n  p X a nf va an i=2 lm ul a1 b − max{p, q, 1} R(a, p) = ap1 − r X !1/p api bq1 bqi − q b1 , !1/q bqi n X − i=2 b i i=r+1 @ ! n  p q X bi p − q a b 1 i=r+1 co l gm a1 b max{p, q, 1} − r X z i=2 − i=2 z at nh oi i p a1 !2 m Định lý 3.11 Cho p1 , p2 , , pm số thực dương cho ρ = p11 + n P pj pj 1 + · · · + > a > , a − a ij 1j ij > (i = 1, 2, , m) Khi p2 pm an Lu i=2 n va ac th si 42 với r < n, ta có m Y p a1jj − j=1 ! p1 n X j p aijj R (a, p) i=2  2  p aijj apill  Y n Y m  X X  i=2  m  i=2  p − p  a1j − aij , 1 −  aj η a1ll   j=1  1j i=2 j=1 16l 1, xij (i = n P 1, 2, , n; j = 1, 2, , m) số dương cho x1j − xij > với gm @ + l j = 1, 2, , m Giả sử fj : R → R hàm cho x1j − i=2 ! xij m Y j=1 " pj (fj (x1j )) − n X i=2 an Lu j=1 fj n X m m Y tăng co R+ Khi ta có i=2 fj (x) x # p1 j pj (fj (xij )) n va ac th si 43 6C m Y fj (x1j ) − j=1 m P C = n1−min r,1 , r = j=1 n Y m X fj (xij ) , (3.19) i=2 j=1 p−1 j Chứng minh Áp dụng Định lý 3.12 trường fj ! ! m n m n Y X Y X fj x1j − xij fj (x1j ) − fj (xij ) j=1 i=2 j=1 i=2 lu Áp dụng Định lý 3.12 xpj thay xij fj (xij ) Định lý 3.12, an ta va n m Y ! fj (xij ) i=2 j=1 m Y " pj (fj (x1j )) − n X # p1 j pj , (fj (xij )) i=2 j=1 ie gh tn to fj (x1j ) − n X p bất đẳng thức thứ (3.19) chứng minh Để chứng minh bất d oa nl w đẳng thức thứ hai (3.19), ta kí hiệu " # p1 n j X pj pj ˜ fj = (fj (x1j )) − (fj (xij )) lu nf va an i=2 Sử dụng Định lý 1.5 Định lý 1.2, ta có m Y fj (xij ) n1−min(τ,1} z at nh oi j=1 f˜j + m n Y X lm ul m Y i=2 j=1 γ f˜j + 1−min(r,1) 6n p f˜j j + z j=1 ! rp1 r j pj (fj (xij ))  i=2 fj (x1j ) (3.20) co l j=1 n X gm =n m Y (fj (xij )) @ 1−min(r,1) !r r i=2 j=1 j=1 Z Y m n Y m X m Sắp xếp lại số hạng (3.20) ta thu bất đẳng thức thứ hai an Lu (3.19) Định lý chứng minh xong n va ac th si 44 Từ Định lý 3.12, chọn fj (x) = x, ta thu Hệ 3.14 ([8]) Cho n, m số nguyên dương, pj > 1, xij (i = n P 1, 2, , n; j = 1, 2, , m) số dương cho x1j − xij > for + j = 1, 2, , m Giả sử fj : R → R hàm cho i=2 fj (x) x tăng R+ chọn fj (x) = x, ta có ! ! p1 m n m n m n X m j Y X Y X Y X pj pj x1j − xij x1j − xij 6C x1j − xij j=1 i=2 j=2 i=2 j=1 i=2 j=1 lu an Ứng dụng kết trên, ta thiết lập làm mịn bất đẳng thức va n tích phân sau gh tn to Định lý 3.15 ([2]) Cho p1 , p2 , , pm số thực dương, ··· + p1 + p2 + pm p ie = 1, Aj > (j = 1, 2, , m), fj (j = 1, 2, , m) hàm Rb p p khả tích Riemann dương [a, b] cho Aj j − a fj j (x)dx > 0(j = nl w d oa 1, 2, , m), m > Khi đó, với c ∈ [a, b), ta có bất đẳng thức an lu a lm ul j=1 nf va 1/pj Z b m  Y pj pj Aj − fj (x)dx R(a, p) Aj − j=1 X a b Z z × m Y b Z z at nh oi m Y a A1 A2 · · · Am η j=1 ! !2 p fj j (x) fkpk (x) − dx , p Apkk Aj j fj (x) dx − gm @ 16j N j = 1, 2, , m m co Áp dụng Hệ 2.4, với n > N ta thu bất đẳng thức sau:  ! p1     m n Y X X c−a c−a b−c b−c j pj pj Apj j − fj a + h + fj c + i l l n n h=1 i=1 an Lu j=1 n va ac th si 46 ! p1   c−a c−a j pj pj fj a + Aj − h l l j=1 h=1  !   + +···+ p1 n m X Y m b−c A1 A2 · · · Am b − c p1 p2 − fj c + i − n n η i=1 j=1 m Y X n X 16j Rb B q − a g q (x)dx > Khi đó, với c ∈ [a, b), ta có bất đẳng thức  1/p  1/q Z b Z b p p q q A − f (x)dx B − g (x)dx a a b Z R(a, p) AB − a AB f (x)g(x)dx − max{p, q} Z b  a  2 f p (x) g q (x) − dx , A B (3.22) lu an  Z p R(a, p) = A − 1/p  c p g (x)dx va a a n to Z b tn − c q B − f (x)dx 1/q c Z q AB f (x)g(x)dx − max{p, q} Z b  c  2 f p (x) g q (x) − dx A B p ie gh d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si KẾT LUẬN Luận văn trình bày số vấn đề sau: lu an - Trình bày chứng minh bất đẳng thức Aczél va n - Trình bày làm rõ chứng minh số mở rộng bất đẳng thức gh tn to Aczél Popoviciu theo hướng mở rộng thứ p ie - Trình bày làm rõ chứng minh số mở rộng bất đẳng thức nl w Aczél Popoviciu theo hướng mở rộng thứ hai d oa Bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi an lu hạn chế thiếu sót Rất mong nhận phản hồi quý thầy cô nf va bạn để luận văn hoàn thiện z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va 48 ac th si Tài liệu tham khảo [1] J Aczél, Some general methods in the theory of functional equations in one variable, New applications of functional equations, Uspehi Mat lu an Nauk 11 69 (3), 3-68, 1956 n va puters and Mathematics with Applications 59, 3078–3083, 2010 p ie gh tn to [2] Z Hu, A Xu, Refinements of Aczél and Bellman’s inequalities, Com- 1959 d oa nl w [3] T Popoviciu, On an inequality, Gaz Mat Fiz Ser A 11(64), 451-461, an lu [4] J-F Tian, Reversed version of a generalized Aczél’s inequality and its nf va application, Journal of Inequalities and Applications 2012 lm ul [5] J-F Tian, Shu-Yan Wang, Refinements of Generalized Aczél’s Inequal- z at nh oi ity and Bellman’s Inequality and Their Applications, Hindawi Publishing Corporation Journal of Applied Mathematics Volume 2013 z gm @ [6] S Vong, On a generalization of Aczél’s inequality, Applied Mathemat- co l ics Letters 24, 1301-1307, 2011 m [7] W Yang, Refinements of generalized Aczél–Popoviciu’s inequality and an Lu Bellman’s inequality, Computers and Mathematics with Applications n va 49 ac th si 50 59, 3570-3577, 2010 [8] X Zhou, Some generalizations of Aczél, Bellman’s inequalities and related power sums, Journal of Inequalities and Applications 2012 [9] C-J Zhao, Wing-Sum Cheung, Generelizations of Popoviciu’s and Bellman’s Inequalities, Bull Braz Math Soc, New Series, 2019 [10] S.Wu, A further generalization of Aczél’s inequality and Popoviciu’s lu inequality, Math Inequal Appli 10 (3), 565–573, 2007 an n va [11] S.Wu, Some improvements of Aczel’s inequality and Popoviciu’s 1196–1205, 2008 p ie gh tn to inequality, Computers and Mathematics with Applications 56, w [12] S Wu, L Debnath, A new genealization of Aczél’s inequality and its oa nl applications to an improvement of Bellman’s inequality, Applied Math- d ematics Letters 21, 588-593, 2008 an lu nf va [13] S Wu, L Debnath, Generalizations of Aczél’s inequality and Popovi- z at nh oi lm ul ciu’s inequality, Indian J Pure Appl Math 36 (2), 49-62, 2005 z m co l gm @ an Lu n va ac th si