Chuyên đề thống kê và xác suất chân trời sáng tạo

CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VI THỐNG KÊ BÀI SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ I LÝ THUYẾT Số gần đúng: Trong nhiều trường hợp ta biết khó biết số (kí hiệu a ) mà ta tìm giá trị xấp xỉ Giá trị gọi số gần kí hiệu a Ví dụ: giá trị gần π 3,14 hay 3,14159; 1,41 hay 1,414; Như có sai lệch giá trị xác đại lượng giá trị gần Để đánh giá mức độ sai lệch đó, người ta đưa khái niệm sai số tuyệt đối Sai số tuyệt đối sai số tương đối a) Sai số tuyệt đối số gần Giá trị a − a phản ánh mức độ sai lệch số a số gần a , gọi sai số tuyệt đối số gần a , kí hiệu ∆ a , tức là: ∆ a = a − a Độ xác số gần Trong thực tế, nhiều ta a nên ta không tính ∆ a Tuy nhiên ta đánh giá ∆ a không vượt số dương d Nếu ∆ a ≤ d a − d ≤ a ≤ a + d , ta viết = a a ± d d gọi độ xác số gần b) Sai số tương đối Sai số tương đối số gần a, kí hiệu δa tỉ số sai số tuyệt đối a , tức δa = ∆a a Nhận xét: Nếu= a a ± d ∆ a ≤ d suy δ a ≤ d d nhỏ chất lượng phép Do a a đo đặc hay tính tốn cao Quy tròn số gần Số thu sau thực làm tròn số gọi số quy tròn Số quy tròn số gần số ban đầu Quy tắc quy tròn số sau: Nếu chữ số sau hàng quy trịn nhỏ ta việc thay chữ số chữ số bên phải Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn hay ta thay chữ số chữ số bên phải cộng thêm đơn vị vào số hàng làm tròn Nhận xét: Khi thay số số qui trịn đến hàng số sai số tuyệt đối số qui trịn khơng vượt q nửa đơn vị hàng qui tròn Page CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ Như vậy, độ xác số qui trịn nửa đơn vị hàng qui tròn Chú ý: Các viết số quy tròn số gần vào độ xác cho trước Cho số gần a với độ xác d Khi yêu cầu quy trịn a mà khơng nói rõ quy trịn đến hàng ta quy trịn a đến hàng cao mà d nhỏ đơn vị hàng Xác định số quy trịn số gần với độ xác cho trước: Các bước xác định số quy tròn số gần 𝑎𝑎 với độ xác d cho trước: Bước 1: Tìm hàng chữ số khác bên trái d Bước 2: Quy tròn số a hàng gấp 10 lần hàng tìm Bước Xác định số gần số với độ xác cho trước Để tìm số gần 𝑎𝑎 số 𝑎𝑎� với độ xác d, ta thực bước sau: Bước 1: Tìm hàng chữ số khác bên trái d Bước 2: Quy trịn 𝑎𝑎� đến hàng tìm Chữ số (đáng tin) Cho số gần a số a với độ xác d Trong số a chữ số gọi chữ số (hay đáng tin) d không vượt nửa đơn vị hàng có chữ số Nhận xét: Tất cá chữ số đứng bên trái chữ số chữ số Tất chữ số đứng bên phải chữ số không chữ số không Dạng chuẩn số gần Nếu số gần số thập phân khơng ngun dạng chuẩn dạng mà chữ số chữ chắn Nếu số gần số ngun dạng chuẩn là: A10k A số nguyên, k hàng thấp có chữ số ( k ∈  ) (suy chữ số A chữ số chắn) Khi độ xác d = 0,5.10k Kí hiệu khoa học số Mọi số thập phân khác viết dạng α 10n , ≤ α < 10 1≤|α| 0,1316% Bạn A đo chiều dài sân bóng ghi 250 ± 0, 2m Bạn B đo chiều cao cột cờ 15 ± 0,1m Trong bạn A B, bạn có phép đo xác sai số tương đối phép đo bạn bao nhiêu? A Bạn A đo xác bạn B với sai số tương đối 0,08% B Bạn B đo xác bạn A với sai số tương đối 0,08% C Hai bạn đo xác với sai số tương đối nhai 0,08% D Bạn A đo xác bạn B với sai số tương đối 0,06% Câu 6: Hãy xác định sai số tuyệt đối số a = 123456 biết sai số tương đối δ a = 0, 2% A 146,912 B 617280 C 24691,2 DẠNG : QUY TRÒN SỐ GẦN ĐÚNG D 61728000 PHƯƠNG PHAP GIẢI Tùy theo mức độ cho phép, ta quy trịn số đếm đến hàng đơn vị, hang chục, hang trăm,… hay đến hàng phần chục, hàng phần trăm,… (gọi hàng quy tròn) theo nguyên tắc sau: Nếu chữ số sau hàng quy trịn nhỏ ta việc thay chữ số chữ số bên phải số Nếu chữ số sau hàng quy trịn lớn ta việc thay chữ số chữ số bên phải số cộng thêm đơn vị chữ số hàng quy tròn Ví dụ: Các số quy trịn số x theo hàng cho bảng sau: Quy tròn đến x = 549,2705 x = 397,4619 Hàng chục 550 400 Hàng đơn vị 549 397 Hàng phần Hàng phần chục trăm 549,3 549,27 397,5 397,46 Hàng phần nghìn 549,271 397,462 Nhận xét: Khi thay số số quy trịn sai số tuyệt đối không vượt nửa đơn vị hàng quy trịn Nếu a= a ± d ta quy tròn số a đến hàng lớn hàng d đơn vị BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 7: Câu 8: Tìm số gần a = 2851275 với độ xác d = 300 A 2851000 B 2851575 C 2850025 Tìm số gần a = 5,2463 với độ xác d = 0,001 A 5,25 B 5,24 C 5,246 D 2851200 D 5,2 Page CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ Câu 9: Sử dụng mãy tính bỏ túi, viết giá trị gần xác đến hàng phần trăm A 1,73 B 1,732 C 1,7 D 1,7320 Câu 10: Sử dụng mãy tính bỏ túi, viết giá trị gần π xác đến hàng phần nghìn A 9,870 B 9,869 C 9,871 D 9,8696 Câu 11: Hãy viết số quy trịn số a với độ xác d cho sau đây: a = 17658 ± 16 A 17700 B 17660 C 18000 D 17674 DẠNG 4: XÁC ĐỊNH CÁC CHỮ SỐ CHẮC CỦA MỘT SỐ GẦN ĐÚNG, DẠNG CHUẨN CỦA CHỮ SỐ GẦN ĐÚNG VÀ KÍ HIỆU KHOA HỌC CỦA MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 12: Tìm số số gần a biết số người dân tỉnh Nghệ An a = 3214056 người với độ xác d = 100 người A 1,2,3,4 B 1,2,3,4,0 C 1,2,3 D 1,2,3,4,0,5 Câu 13: Viết dạng chuẩn số gần a biết số người dân tỉnh Nghệ An a = 3214056 người với độ xác d = 100 người A 3214.103 B 321.104 C 321405.101 D 32140.102 Câu 14: Viết dạng chuẩn số gần a biết a = 1,3462 sai số tương đối a 1% A 1,3 B 1,34 C 1,35 D 1,346 2 Câu 15: Một hình chữ nhật cố diện tích S = 180,57cm ± 0,6cm Kết gần S viết dạng chuẩn là: A 180,58cm B 180,59cm C 0,181cm D 181cm Page CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VI THỐNG KÊ BÀI SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ I LÝ THUYẾT Số gần đúng: Trong nhiều trường hợp ta khơng thể biết khó biết số (kí hiệu a ) mà ta tìm giá trị xấp xỉ Giá trị gọi số gần kí hiệu a Ví dụ: giá trị gần π 3,14 hay 3,14159; 1,41 hay 1,414; Như có sai lệch giá trị xác đại lượng giá trị gần Để đánh giá mức độ sai lệch đó, người ta đưa khái niệm sai số tuyệt đối Sai số tuyệt đối sai số tương đối a) Sai số tuyệt đối số gần Giá trị a − a phản ánh mức độ sai lệch số a số gần a , gọi sai số tuyệt đối số gần a , kí hiệu ∆ a , tức là: ∆ a = a − a Độ xác số gần Trong thực tế, nhiều ta a nên ta khơng tính ∆ a Tuy nhiên ta đánh giá ∆ a khơng vượt số dương d Nếu ∆ a ≤ d a − d ≤ a ≤ a + d , ta viết = a a ± d d gọi độ xác số gần b) Sai số tương đối Sai số tương đối số gần a, kí hiệu δa tỉ số sai số tuyệt đối a , tức δa = ∆a a Nhận xét: Nếu= a a ± d ∆ a ≤ d suy δ a ≤ d d nhỏ chất lượng phép Do a a đo đặc hay tính tốn cao Quy trịn số gần Số thu sau thực làm tròn số gọi số quy tròn Số quy tròn số gần số ban đầu Quy tắc quy tròn số sau: Nếu chữ số sau hàng quy trịn nhỏ ta việc thay chữ số chữ số bên phải Nếu chữ số sau hàng quy trịn lớn hay ta thay chữ số chữ số bên phải cộng thêm đơn vị vào số hàng làm tròn Nhận xét: Khi thay số số qui tròn đến hàng số sai số tuyệt đối số qui trịn khơng vượt q nửa đơn vị hàng qui trịn Page CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ Như vậy, độ xác số qui tròn nửa đơn vị hàng qui tròn Chú ý: Các viết số quy tròn số gần vào độ xác cho trước Cho số gần a với độ xác d Khi u cầu quy trịn a mà khơng nói rõ quy trịn đến hàng ta quy trịn a đến hàng cao mà d nhỏ đơn vị hàng Xác định số quy trịn số gần với độ xác cho trước: Các bước xác định số quy tròn số gần 𝑎𝑎 với độ xác d cho trước: Bước 1: Tìm hàng chữ số khác bên trái d Bước 2: Quy tròn số a hàng gấp 10 lần hàng tìm Bước Xác định số gần số với độ xác cho trước Để tìm số gần 𝑎𝑎 số 𝑎𝑎� với độ xác d, ta thực bước sau: Bước 1: Tìm hàng chữ số khác bên trái d Bước 2: Quy trịn 𝑎𝑎� đến hàng tìm Chữ số (đáng tin) Cho số gần a số a với độ xác d Trong số a chữ số gọi chữ số (hay đáng tin) d không vượt nửa đơn vị hàng có chữ số Nhận xét: Tất cá chữ số đứng bên trái chữ số chữ số Tất chữ số đứng bên phải chữ số không chữ số không Dạng chuẩn số gần Nếu số gần số thập phân khơng ngun dạng chuẩn dạng mà chữ số chữ chắn Nếu số gần số nguyên dạng chuẩn là: A10k A số nguyên, k hàng thấp có chữ số ( k ∈  ) (suy chữ số A chữ số chắn) Khi độ xác d = 0,5.10k Kí hiệu khoa học số Mọi số thập phân khác viết dạng α 10n , ≤ α < 10 1≤|α| 0,1316% Giải Câu 5: 0, Sai số tương đối δ= 0, 001315789 ≈ 0,1316% a ≤ 152 Bạn A đo chiều dài sân bóng ghi 250 ± 0, 2m Bạn B đo chiều cao cột cờ 15 ± 0,1m Trong bạn A B, bạn có phép đo xác sai số tương đối phép đo bạn bao nhiêu? A Bạn A đo xác bạn B với sai số tương đối 0,08% B Bạn B đo xác bạn A với sai số tương đối 0,08% C Hai bạn đo xác với sai số tương đối nhai 0,08% D Bạn A đo xác bạn B với sai số tương đối 0,06% Giải 0, = 0, 0008= 0, 08% 250 0,1 Phép đo bạn B có sai số tương đối δ ≤ = 0, 0066 = 0, 66% 15 Như phép đo bạn A có độ xác cao Hãy xác định sai số tuyệt đối số a = 123456 biết sai số tương đối δ a = 0, 2% Phép đo bạn A có sai số tương đối δ1 ≤ Câu 6: A 146,912 Ta có δ= a B 617280 C 24691,2 Giải D 61728000 ∆a δ a a= 146,912 ⇒ ∆= a a PHƯƠNG PHAP GIẢI DẠNG : QUY TRÒN SỐ GẦN ĐÚNG Page CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ Tùy theo mức độ cho phép, ta quy trịn số đếm đến hàng đơn vị, hang chục, hang trăm,… hay đến hàng phần chục, hàng phần trăm,… (gọi hàng quy tròn) theo nguyên tắc sau: Nếu chữ số sau hàng quy tròn nhỏ ta việc thay chữ số chữ số bên phải số Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn ta việc thay chữ số chữ số bên phải số cộng thêm đơn vị chữ số hàng quy trịn Ví dụ: Các số quy tròn số x theo hàng cho bảng sau: Quy tròn đến x = 549,2705 x = 397,4619 Hàng chục 550 400 Hàng đơn vị 549 397 Hàng phần Hàng phần chục trăm 549,3 549,27 397,5 397,46 Hàng phần nghìn 549,271 397,462 Nhận xét: Khi thay số số quy trịn sai số tuyệt đối khơng vượt nửa đơn vị hàng quy tròn Nếu a= a ± d ta quy trịn số a đến hàng lớn hàng d đơn vị BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 7: Câu 8: Câu 9: Tìm số gần a = 2851275 với độ xác d = 300 A 2851000 B 2851575 C 2850025 D 2851200 Giải Vì độ xác đến hàng trăm nên ta quy trịn a đến hàng nghìn, số quy trịn a 2851000 Tìm số gần a = 5,2463 với độ xác d = 0,001 A 5,25 B 5,24 C 5,246 D 5,2 Giải Vì độ xác đến hàng phần nghìn nên ta quy tròn a đến hàng phần trăm, số quy trịn a 5,25 Sử dụng mãy tính bỏ túi, viết giá trị gần xác đến hàng phần trăm B 1,732 C 1,7 D 1,7320 A 1,73 Giải Sử dụng máy tính bỏ túi ta có = 1,732050808 Do đó: Giá trị gần xác đến hàng phần trăm 1,73 Câu 10: Sử dụng mãy tính bỏ túi, viết giá trị gần π xác đến hàng phần nghìn A 9,870 B 9,869 C 9,871 D 9,8696 Giải Sử dụng máy tính bỏ túi ta có giá trị π 9,8696044 Do giá trị gần π xác đến hàng phần nghìn 9,870 Câu 11: Hãy viết số quy trịn số a với độ xác d cho sau đây: a = 17658 ± 16 A 17700 B 17660 C 18000 D 17674 Giải Vì độ xác đến hàng chục nên ta phải quy tròn số 17638 đến hàng trăm Vậy số quy tròn 17700 (hay viết a ≈ 17700) Page CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ DẠNG 4: XÁC ĐỊNH CÁC CHỮ SỐ CHẮC CỦA MỘT SỐ GẦN ĐÚNG, DẠNG CHUẨN CỦA CHỮ SỐ GẦN ĐÚNG VÀ KÍ HIỆU KHOA HỌC CỦA MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 12: Tìm số số gần a biết số người dân tỉnh Nghệ An a = 3214056 người với độ xác d = 100 người A 1,2,3,4 B 1,2,3,4,0 C 1,2,3 D 1,2,3,4,0,5 Giải 100 1000 Vì = 50 < 100 < = 500 nên chữ số hàng trăm (số 0) không số chắc, cịn chữ số hàng 2 nghìn (số 4) chữ số Vậy chữ số 1,2,3,4 Câu 13: Viết dạng chuẩn số gần a biết số người dân tỉnh Nghệ An a = 3214056 người với độ xác d = 100 người A 3214.103 B 321.104 C 321405.101 D 32140.102 Giải 100 1000 Vì = 50 < 100 < = 500 nên chữ số hàng trăm (số 0) khơng số chắc, cịn chữ số hàng 2 nghìn (số 4) chữ số Vậy chữ số 1,2,3,4 Cách viết dạng chuẩn 3214.103 Câu 14: Viết dạng chuẩn số gần a biết a = 1,3462 sai số tương đối a 1% A 1,3 = Ta có δ a B 1,34 C 1,35 Giải D 1,346 ∆a = ⇒ ∆ a δ a a =1%.1,3462 = 0, 013462 a Suy độ xác số gần a khơng vượt q 0,013462 nên ta xem độ xác d = 0,013462 Ta có 0, 01 0,1 = 0,005 < 0,013462 < = 0,05 nên chữ số hàng phần trăm (số 4) không số chắc, 2 chữ số hàng phần chục (số 3) chữ số Vậy chữ số Cách viết dạng chuẩn 1,3 Câu 15: Một hình chữ nhật cố diện tích S = 180,57cm2 ± 0,6cm2 Kết gần S viết dạng chuẩn là: A 180,58cm B 180,59cm C 0,181cm D 181cm Giải 10 = 0,5 < 0, < = nên chữ số hàng đơn vị không số chắc, chữ số hàng chục 2 số Vậy cách viết dạng chuẩn 181cm Ta có Page CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ Page CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ Câu Hãy chọn số đặc trưng đo xu trung tâm mẫu số liệu sau Giải thích tính giá trị số đặc trưng a) Số mặt trăng biết hành tinh: Hành tinh Số mặt trăn g Trái Thu ỷ tinh Kim tinh 0 Đ ấ t Hoả tinh Thổ Mộc tinh 63 t i n h Thiên Vương tinh Hải Vươn g tinh 27 13 34 (Theo NASA) b) Số đường chuyền thành công trận đấu số cầu thủ bóng đá: 32 24 20 23 14 c) Chỉ số IQ nhóm học sinh: 60 72 63 83 68 74 90 86 74 80 d) Các sai số phép đo: 10 15 18 15 14 13 42 15 12 14 42 Câu Số lượng học sinh giỏi Quốc gia năm học 2018 - 2019 10 trường Trung học phổ thông cho sau: 0 0 10 a) Tìm số trung bình, mốt, tứ phân vị mẫu số liệu b) Giải thích tạo tứ phân vị thứ trung vị trùng Giải a) Số trung bình 0.7 + + + 10 =2 10 Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm 0 0 0 10 Số xuất nhiều nên mốt Tứ phân vị= Q1 0;= Q2 0;= Q3 b) Tứ phân vị thứ trung vị trùng mẫu có 10 số liệu mà số xuất lần Câu Bảng sau cho biết số chỗ ngồi số sân vận động sử dụng Giải Bóng đá Vơ địch Quốc gia Việt Nam năm 2018 (số liệu gần đúng) Sân vận động Chỗ ngồi Cẩm phả 20 120 Thiên Trường 21 315 Hàng Đẫy 23 405 Thanh Hoá 20 120 Mỹ Đình 37 546 (Theo vov.vn) Các giá trị số trung bình, trung vị, mốt bị ảnh hưởng bỏ số liệu chỗ ngồi Sân vân động Quốc gia Mỹ Đình? Page 191 CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VI THỐNG KÊ BÀI CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM BÀI CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM I LÝ THUYẾT SỐ TRUNG BÌNH a Số trung bình Số trung bình (số trung bình cộng) mẫu số liệu x1 , x2 , , xn , kí hiệu x , tính cơng thức: x + x + + xn x= n Chú ý Trong trường hợp mẫu số liệu cho dạng bảng tần số số trung bình tính theo cơng thức: x= m1 x1 + m2 x2 + + mk xk n Trong mk tần số giá trị xk n = m1 + m2 + + mk Ý nghĩa Số trung bình giá trị trung bình cộng số mẫu số liệu, cho biết vị trí trung tâm mẫu số liệu dùng để dại diện cho mẫu số liệu TRUNG VỊ VÀ TỨ PHÂN VỊ a Trung vị Để tìm trung vị mẫu số liệu, ta thực sau: • • Sắp xếp giá trị mẫu số liệu theo thứ tự không giảm Nếu số giá trị mẫu số liệu số lẻ giá trị mẫu trung vị Nếu số chẵn trung vị trung bình cộng hai giá trị mẫu Ý nghĩa Trung vị giá trị chia đôi mẫu số liệu, nghĩa mẫu số liệu xếp theo thứ tự khơng giảm giá trị trung vị vị trí Trung vị khơng bị ảnh hưởng giá trị bất thường số trung bình bị ảnh hưởng giá trị bất thường Page CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ b Tứ phân vị Để tìm tứ phân vị mẫu số liệu có n giá trị, ta làm sau: • • Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự khơng giảm Tìm trung vị Giá trị Q2 • Tìm trung vị nửa số liệu bên trái Q2 (không bao gồm Q2 n lẻ) Giá trị Q1 • Hình 5.3b Tìm trung vị nửa số liệu bên phải Q2 (không bao gồm Q2 n lẻ) Giá trị Q3 Q1 , Q2 , Q3 gọi tứ phân vị mẫu số liệu Chú ý Q1 gọi tứ phân vị thứ hay tứ phân vị dưới, Q3 gọi tứ phân vị thứ ba hay tứ phân vị Ý nghĩa Các điểm Q1 , Q2 , Q3 chia mẫu số liệu xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thành Hình 5.3a Các tứ phân vị bốn phần, phần chứa 25% giá trị (hình 5.3a) VÍ DỤ: Hàm lượng Natri (đơn vị miligam, mg = 0, 001 g ) 100 g số loại ngũ cốc cho sau: 140 340 180 70 190 140 160 200 290 180 50 210 220 150 180 100 200 130 210 Hãy tìm tứ phân vị Các phân vị cho ta thơng tin gì? Giải • Sắp xếp giá trị theo thứ tự không giảm: • Vì n = 20 số chẵn nên Q2 trung bình cộng hai giá trị giữa: Q2 = 180 (180 + 180 ) : = • Ta tìm Q1 trung vị nửa số liệu bên trái Q2 : 50 70 100 130 140 140 150 160 180    135 ta tìm Q1 = (130 + 140 ) : = Page CHUYÊN ĐỀ VI – TỐN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ • Ta tìm Q3 trung vị nửa số liệu bên phải Q2 : 180 180 190 200 200 210 210 220 290 340    tìm Q3 = 205 ( 200 + 210 ) : = Hình 5.4 Hình ảnh phân bố mẫu số liệu Các tứ phân vị cho ta hình ảnh phân bố mẫu số liệu Khoảng cách từ Q1 đến Q2 45 khoảng cách từ Q2 đến Q3 25 Điều cho thấy mẫu số liệu tập trung mật độ cao bên phải Q2 mật độ thấp bên trái Q2 (H.5.4) MỐT Mốt mẫu số liệu giá trị xuất với tần số lớn Ý nghĩa Có thể dùng mốt để đo xu trung tâm mẫu số liệu mẫu số liệu có nhiều giá trị trùng BÀI TẬP Câu Tìm số trung bình, trung vị, mốt tứ phân vị mẫu số liệu sau đây: a) Số điểm mà năm vận động viên bóng rổ ghi trận đấu: 15 20 b) Giá số loại giày (đơn vị nghìn đồng): 350 300 650 300 450 500 300 250 30 34 35 c) Số kênh chiếu số hãng truyền hình cáp: 36 38 33 34 32 Giải a) Số trung bình 8.2 + + 15 + 20 = 12 Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm 8 15 20 Trung vị Số xuất nhiều nên mốt Tứ phân vị= Q1 8;= Q2 9;= Q3 17.5 b) Số trung bình 250 + 300.3 + 350 + 450 + 500 + 650 = 387.5 Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm: 250 300 300 300 350 450 500 650 Trung vị 325 Mốt 300 Page CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ Tứ phân= vị Q1 300; = Q2 325; = Q3 475 c) Số trung bình 30 + 32 + 33 + 34.2 + 35 + 36 + 38 = 34 Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm: 30 32 33 34 34 35 36 38 Trung vị 34 Mốt 34 Tứ phân = vị Q1 32.5; = Q2 34; = Q3 35.5 Câu Hãy chọn số đặc trưng đo xu trung tâm mẫu số liệu sau Giải thích tính giá trị số đặc trưng a) Số mặt trăng biết hành tinh: Hành tinh Số mặt trăn g Thu ỷ tinh Trái Kim tinh Đ ấ t Hoả tinh Thổ Mộc tinh 63 t i n h Thiên Vương tinh Hải Vươn g tinh 27 13 34 (Theo NASA) b) Số đường chuyền thành công trận đấu số cầu thủ bóng đá: 32 24 20 14 23 c) Chỉ số IQ nhóm học sinh: 60 72 63 83 68 74 90 86 74 80 d) Các sai số phép đo: 10 15 18 15 14 13 42 15 12 14 42 Giải a) Chọn số đặc trưng tứ phân vị, số liệu khơng đồng nhau, nhiều số liệu mẫu chênh lệch lớn so với trung vị Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm 0 13 27 34 63 Tứ phân= vị Q1 0.5; = Q2 7.5; = Q3 30.5 b) Chọn số đặc trưng số trung bình, giá trị khơng lặp lại Số trung bình 32 + 24 + 20 + 14 + 23 = 22.6 c) Chọn số đặc trưng trung bình, số liệu gần nhau.Số trung bình là: 60 + 63 + 68 + 72 + 74.2 + 80 + 83 + 86 + 90 = 75 10 d) Chọn số đặc trưng trung vị, có số 42 lớn bất thường Trung vị 15 Câu Số lượng học sinh giỏi Quốc gia năm học 2018 - 2019 10 trường Trung học phổ thông cho sau: 0 0 10 Page CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ a) Tìm số trung bình, mốt, tứ phân vị mẫu số liệu b) Giải thích tạo tứ phân vị thứ trung vị trùng Giải a) Số trung bình 0.7 + + + 10 =2 10 Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm 0 0 0 10 Số xuất nhiều nên mốt Tứ phân vị= Q1 0;= Q2 0;= Q3 b) Tứ phân vị thứ trung vị trùng mẫu có 10 số liệu mà số xuất lần Câu Bảng sau cho biết số chỗ ngồi số sân vận động sử dụng Giải Bóng đá Vơ địch Quốc gia Việt Nam năm 2018 (số liệu gần đúng) Sân vận động Chỗ ngồi Cẩm phả 20 120 Thiên Trường 21 315 Hàng Đẫy 23 405 Thanh Hoá 20 120 Mỹ Đình 37 546 (Theo vov.vn) Các giá trị số trung bình, trung vị, mốt bị ảnh hưởng bỏ số liệu chỗ ngồi Sân vân động Quốc gia Mỹ Đình? Giải: Số trung bình 20120 + 21315 + 23405 + 20120 + 37546 = 24501.2 Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm 20120 20120 21315 23405 37546 mốt 20120 Trung vị 21315 Nếu bỏ số liệu chỗ ngồi Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình Số trung bình 20120 + 21315 + 23405 + 20120 = 21240 Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm 20120 20120 21315 23405 mốt 20120 Trung vị 20717.5 Vậy bỏ số liệu chỗ ngồi Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình mốt giữ nguyên, số trung bình trung vị thay đổi Page CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VI THỐNG KÊ BÀI CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO ĐỘ PHÂN TÁN I LÝ THUYẾT KHOẢNG BIẾN THIÊN VÀ KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ Khoảng biến thiên, kí hiệu R, hiệu số giá trị lớn giá trị nhỏ mẫu số liệu Ý nghĩa Khoảng biến thiên dung để đo độ phân tán mẫu số liệu Khoảng biến thiên lớn mẫu số liệu phân tán Điểm kiểm tra học kì mơn Tốn bạn Tổ 1, Tổ lớp 10A cho sau: Ví dụ Tổ 1: 8 8 Tổ 2: 10 9 8 a) Điểm kiểm tra trung bình hai tổ có khơng? b) Tính khoảng biến thiên hai mẫu số liệu Căn số này, bạn tổ học đồng hơn? Giải a) Điểm kiểm tra trung bình hai tổ b) Đối với Tổ 1: Điểm kiểm tra thấp nhất, cao tương ứng 7;9 Do đó, khoảng biến thiên là: R1 = − = Đối với Tổ 2: Điểm kiểm tra thấp nhất, cao tương ứng 6;10 Do đó, khoảng biến thiên là: R2 = 10 − = Do R2 > R1 nên ta nói bạn Tổ học bạn Tổ Luyện tập Mẫu số liệu sau cho biết chiều cao (đơn vị cm) bạn tổ: 163 159 172 167 165 168 170 161 Tính khoảng biến thiên mẫu số liệu Giải Chiều cao thấp nhất, cao tương ứng 159; 172 Do đó, khoảng biến thiên là: R = 172 − 159 = 13 Page CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ Nhận xét Sử dụng khoảng biến thiên có ưu điểm đơn giản, dễ tính tốn song khoảng biến thiên sử dụng thơng tin giá trị lớn giá trị nhỏ mà bỏ qua thông tin từ tất giá trị khác Do đó, khoảng biến thiên dễ bị ảnh hưởng giá trị bất thường Khoảng tứ phân vị, kí hiệu ∆ Q , hiệu số tứ phân vị thứ ba tứ phân vị thứ nhất, túc là: ∆ Q = Q3 − Q1 Ý nghĩa Khoảng tứ phân vị số đo độ phân tán mẫu số liệu Khoảng tứ phân vị lớn mẫu số liệu phân tán Chú ý Một số tài liệu gọi khoảng biến thiên biên độ khoảng tứ phân vị độ trải Ví dụ Mẫu số liệu sau cho biết số ghế trống rạp chiếu phim ngày: 22 20 15 18 19 13 11 Tìm khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu Giải Trước hết, ta xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 11 13 15 18 19 20 22 Mẫu số liệu gồm giá trị nên trung vị số vị trí Q2 = 15 Nửa số liệu bên trái 7, 8, 11, 13 gồm giá trị, hai phần tử 8, 11 Do đó, Q1 = (8 + 11) : = 9,5 Nửa số liệu bên phải 18, 19, 20, 22 gồm giá trị, hai phần tử 19, 20 Do đó, Q3 = (19 + 20) : = 19,5 = 10 Vậy khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu là: ∆ Q= 19,5 − 9,5 PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN Khoảng biến thiên sử dụng thông tin giá trị lớn nhỏ mẫu số liệu (bỏ qua thông tin tất giá trị khác), cịn khoảng tứ phân vị sử dụng thơng tin 50% số liệu Có vài số đặc trưng khác đo độ phân tán sử dụng thông tin tất giá trị mẫu số liệu Hai số phương sai độ lệch chuẩn Cụ thể với mẫu số liệu x1 , x , , x n , gọi số trung bình x với giá trị x i , độ lệch so với giá trị trung bình x i − x (x − x) + (x = • Phương sai giá trị s 2 −x ) ( + + xn − x n ) • Căn bậc hai phương sai, s = s , gọi độ lệch chuẩn Chú ý Người ta sử dụng đại lượng để đo độ phân tán mẫu số liệu: s (x = −x ) + (x 2 −x ) n −1 ( + + x n − x ) Ý nghĩa Nếu số liệu phân tán phương sai độ lệch chuẩn lớn Ví dụ Mẫu số liệu sau cho biết sĩ số lớp khối 10 trường Trung Page CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ 43 45 46 41 40 Tìm phương sai độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu Giải Số trung bình mẫu số liệu 43 + 45 + 46 + 41 + 40 x = 43 Ta có bảng sau: Giá trị 43 45 46 41 10 Độ lệch 43 – 43 = 45 – 43 = 46 – 43 = 41 – 43 = - 40 – 43 = - Tổng Bình phương độ lệch 9 26 s2 Mẫu số liệu gồm giá trị nên n = Do phương sai = Độ lệch chuẩn là: = s 26 = 5, 5, ≈ 2, 28 BÀI TẬP Câu Mỗi khẳng định sau hay sai? (1) Nếu giá trị mẫu số liệu tập trung quanh giá trị trung bình độ lệch chuẩn lớn (2) Khoảng biến thiên sử dụng thông tin giá trị lớn bé nhất, bỏ qua thơng tin giá trị cịn lại (3) Khoảng tứ phân vị có sử dụng thơng tin giá trị lớn nhất, giá trị bé (4) Khoảng tứ phân vị khoảng biến thiên nửa mẫu số liệu xếp (5) Các số đo độ phân tán không âm Câu Cho hai biểu đồ chấm biểu diễn hai mẫu số liệu A, B sau: Khơng tính tốn, cho biết: a) Hai mẫu số liệu có khoảng biến thiên số trung bình khơng? b) Mẫu số liệu có phương sai lớn hơn? Câu Cho mẫu số liệu gồm 10 số dương khơng hồn toàn giống Các số đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) thay đổi nếu: a) Nhân giá trị mẫu số liệu với b) Cộng giá trị mẫu số liệu với Page CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ Câu Từ mẫu số liệu thuế thuốc 51 thành phố quốc gia, người ta tính được: Giá trị nhỏ 2,5; = Q1 36; = Q2 60; = Q3 100 ; giá trị lớn 205 a) Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lớn 36 bao nhiêu? b) Chỉ hai giá trị cho có 50% giá trị mẫu số liệu nằm hai giá trị c) Tìm khoảng tứ phân vị mẫu số liệu Câu Mẫu số liệu sau cho biết cân nặng 10 trẻ sơ sinh (đơn vị kg): 2,977 2,593 3,155 3, 270 3,920 3,813 3, 412 4,042 4, 236 3,387 Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu Câu Tỉ lệ thất nghiệp số quốc gia vào năm 2007 (đơn vị %) cho sau: 7,8 5,0 3, 4, 7,7 6,7 8,7 7,0 8,6 4,5 8, 6,0 7, 5, 3,6 Hãy tìm giá trị bất thường (nếu có) mẫu số liệu Page CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ VI THỐNG KÊ BÀI CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO ĐỘ PHÂN TÁN I LÝ THUYẾT KHOẢNG BIẾN THIÊN VÀ KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ Khoảng biến thiên, kí hiệu R, hiệu số giá trị lớn giá trị nhỏ mẫu số liệu Ý nghĩa Khoảng biến thiên dung để đo độ phân tán mẫu số liệu Khoảng biến thiên lớn mẫu số liệu phân tán Điểm kiểm tra học kì mơn Tốn bạn Tổ 1, Tổ lớp 10A cho sau: Ví dụ Tổ 1: 8 8 Tổ 2: 10 9 8 a) Điểm kiểm tra trung bình hai tổ có khơng? b) Tính khoảng biến thiên hai mẫu số liệu Căn số này, bạn tổ học đồng hơn? Giải a) Điểm kiểm tra trung bình hai tổ b) Đối với Tổ 1: Điểm kiểm tra thấp nhất, cao tương ứng 7;9 Do đó, khoảng biến thiên là: R1 = − = Đối với Tổ 2: Điểm kiểm tra thấp nhất, cao tương ứng 6;10 Do đó, khoảng biến thiên là: R2 = 10 − = Do R2 > R1 nên ta nói bạn Tổ học bạn Tổ Luyện tập Mẫu số liệu sau cho biết chiều cao (đơn vị cm) bạn tổ: 163 159 172 167 165 168 170 161 Tính khoảng biến thiên mẫu số liệu Giải Chiều cao thấp nhất, cao tương ứng 159; 172 Do đó, khoảng biến thiên là: R = 172 − 159 = 13 Page CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ Nhận xét Sử dụng khoảng biến thiên có ưu điểm đơn giản, dễ tính tốn song khoảng biến thiên sử dụng thơng tin giá trị lớn giá trị nhỏ mà bỏ qua thông tin từ tất giá trị khác Do đó, khoảng biến thiên dễ bị ảnh hưởng giá trị bất thường Khoảng tứ phân vị, kí hiệu ∆ Q , hiệu số tứ phân vị thứ ba tứ phân vị thứ nhất, túc là: ∆ Q = Q3 − Q1 Ý nghĩa Khoảng tứ phân vị số đo độ phân tán mẫu số liệu Khoảng tứ phân vị lớn mẫu số liệu phân tán Chú ý Một số tài liệu gọi khoảng biến thiên biên độ khoảng tứ phân vị độ trải Ví dụ Mẫu số liệu sau cho biết số ghế trống rạp chiếu phim ngày: 22 20 15 18 19 13 11 Tìm khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu Giải Trước hết, ta xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 11 13 15 18 19 20 22 Mẫu số liệu gồm giá trị nên trung vị số vị trí Q2 = 15 Nửa số liệu bên trái 7, 8, 11, 13 gồm giá trị, hai phần tử 8, 11 Do đó, Q1 = (8 + 11) : = 9,5 Nửa số liệu bên phải 18, 19, 20, 22 gồm giá trị, hai phần tử 19, 20 Do đó, Q3 = (19 + 20) : = 19,5 = 10 Vậy khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu là: ∆ Q= 19,5 − 9,5 PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN Khoảng biến thiên sử dụng thông tin giá trị lớn nhỏ mẫu số liệu (bỏ qua thông tin tất giá trị khác), cịn khoảng tứ phân vị sử dụng thơng tin 50% số liệu Có vài số đặc trưng khác đo độ phân tán sử dụng thông tin tất giá trị mẫu số liệu Hai số phương sai độ lệch chuẩn Cụ thể với mẫu số liệu x1 , x , , x n , gọi số trung bình x với giá trị x i , độ lệch so với giá trị trung bình x i − x (x − x) + (x = • Phương sai giá trị s 2 −x ) ( + + xn − x n ) • Căn bậc hai phương sai, s = s , gọi độ lệch chuẩn Chú ý Người ta sử dụng đại lượng để đo độ phân tán mẫu số liệu: s (x = −x ) + (x 2 −x ) n −1 ( + + x n − x ) Ý nghĩa Nếu số liệu phân tán phương sai độ lệch chuẩn lớn Ví dụ Mẫu số liệu sau cho biết sĩ số lớp khối 10 trường Trung Page CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ 43 45 46 41 40 Tìm phương sai độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu Giải Số trung bình mẫu số liệu 43 + 45 + 46 + 41 + 40 x = 43 Ta có bảng sau: Giá trị 43 45 46 41 10 Độ lệch 43 – 43 = 45 – 43 = 46 – 43 = 41 – 43 = - 40 – 43 = - Tổng Bình phương độ lệch 9 26 s2 Mẫu số liệu gồm giá trị nên n = Do phương sai = Độ lệch chuẩn là: = s 26 = 5, 5, ≈ 2, 28 BÀI TẬP Câu Mỗi khẳng định sau hay sai? (1) Nếu giá trị mẫu số liệu tập trung quanh giá trị trung bình độ lệch chuẩn lớn (2) Khoảng biến thiên sử dụng thông tin giá trị lớn bé nhất, bỏ qua thông tin giá trị cịn lại (3) Khoảng tứ phân vị có sử dụng thông tin giá trị lớn nhất, giá trị bé (4) Khoảng tứ phân vị khoảng biến thiên nửa mẫu số liệu xếp (5) Các số đo độ phân tán không âm Lời giải Các khẳng định đúng: (2), (5) Các khẳng định sai: (1), (3), (4) Câu Cho hai biểu đồ chấm biểu diễn hai mẫu số liệu A, B sau: Khơng tính tốn, cho biết: a) Hai mẫu số liệu có khoảng biến thiên số trung bình khơng? b) Mẫu số liệu có phương sai lớn hơn? Page CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ Lời giải a) Khoảng biến thiên hai mẫu số liệu Số trung bình hai mẫu số liệu b) Mẫu số liệu A có phương sai lớn mẫu số liệu B Câu Cho mẫu số liệu gồm 10 số dương khơng hồn tồn giống Các số đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) thay đổi nếu: a) Nhân giá trị mẫu số liệu với b) Cộng giá trị mẫu số liệu với Lời giải a) Nhân giá trị mẫu số liệu với thì: Khoảng biến thiên tăng gấp lần Khoảng tứ phân vị tăng gấp lần Độ lệch chuẩn tăng gấp lần b) Cộng giá trị mẫu số liệu với thì: Khoảng biến thiên giữ nguyên Khoảng tứ phân vị giữ nguyên Độ lệch chuẩn giữ nguyên Câu Từ mẫu số liệu thuế thuốc 51 thành phố quốc gia, người ta tính được: Giá trị nhỏ 2,5; = Q1 36; = Q2 60; = Q3 100 ; giá trị lớn 205 a) Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lớn 36 bao nhiêu? b) Chỉ hai giá trị cho có 50% giá trị mẫu số liệu nằm hai giá trị c) Tìm khoảng tứ phân vị mẫu số liệu Lời giải a) Từ mẫu số liệu thuế thuốc 51 thành phố quốc gia, người ta tính Q1 = 36 nên có 12 thành phố có thuế thuốc lớn 36 Vì vậy, tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lớn 36 là: 12 = 51 b) Hai giá trị có 50% giá trị mẫu số liệu nằm 36 100 c) Khoảng tứ phân vị mẫu số liệu ∆ Q = Q3 − Q1 = 100 − 36 = 64 Câu Mẫu số liệu sau cho biết cân nặng 10 trẻ sơ sinh (đơn vị kg): 2,977 3,155 3,920 3, 412 4, 236 2,593 3, 270 3,813 4,042 3,387 Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu Lời giải Trước hết, ta xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: Page CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN 10 – CHƯƠNG VI – THỐNG KÊ 2,593 2,977 3,155 3, 270 3,387 3, 412 3,813 3,920 4,042 4, 236 Khoảng biến thiên R = 4, 236 − 2,593 = 1,643 Ta có: Q2 = 3,3995 ; Q1 = 3,155 ; Q3 = 3,920 Khoảng tứ phân vị ∆ Q = Q3 − Q1 = 0,765 Độ lệch chuẩn s ≈ 0,52 Câu Tỉ lệ thất nghiệp số quốc gia vào năm 2007 (đơn vị %) cho sau: 7,8 3, 7,7 8,7 8,6 8, 7, 5,0 4, 6,7 7,0 4,5 6,0 5, 3,6 Hãy tìm giá trị bất thường (nếu có) mẫu số liệu Lời giải Từ mẫu số liệu ta tính Q1 = 4,5 Q3 = 7,8 Do đó, khoảng tứ phân vị là: ∆ Q= 7,8 − 4,5= 3,3 12,75 nên mẫu số liệu khơng có giá trị Ta có Q1 − 1,5∆ Q =−0, 45 Q3 + 1,5∆ Q = bất thường Page