Chuyên đề bất đẳng thức giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất

Trang 1

Phần 1

BẤT ĐẲNG THỨC

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT



Phần 1 BẤT ĐẲNG THỨC GTLT - GTNN 1

Chủ đề 1 BẤT ĐẲNG THỨC 2

Dạng 1 Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất 5

Dạng 2 Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy (AM-GM) 10

Dạng 3 Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy Schwarz 17

Dạng 4 Chứng minh BĐT dựa vào BĐT C.B.S 19

Dạng 5 Chứng minh BĐT dựa vào tọa độ vectơ 21

Dạng 6 Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối 23

Dạng 7 Sử dụng phương pháp làm trội 25 Dạng 8 Ứng dụng BĐT để giải PT, HPT, BPT 28 Bài tập trắc nghiệm chủ đề 1: Bất đẳng thức 30 Chủ đề 2 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 35 Dạng 1 Dùng tam thức bậc hai 35 Dạng 2 Dùng BĐT Cauchy 37 Dạng 3 Dùng BĐT C.B.S 41

Dạng 4 Dùng BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối 43

Dạng 5 Dùng tọa độ vectơ 44

Bài tập trắc nghiệm chủ đề 2: GTLN-GTNN 45

BÀI TẬP TỔNG HỢP PHẦN 1 49

Trang 2

BẤT ĐẲNG THỨC

1 Tính chất:

Điều kiện Nội dung

Cộng hai vế với số bất kì a < b  a + c < b + c (1) Bắc cầu a < b và b < c  a < c (2) Nhân hai vế c > 0 a < b  ac < bc (3a)

c < 0 a < b  ac > bc (3b) Cộng vế theo vế các BĐT cùng chiều aba cb dcd     (4)

Nhân 2 vế BĐT khi biết nĩ dương: a > 0, c > 0 00abacbdcd    (5)

Nâng lên lũy thừa với n 

Mũ lẻ 2n 12n 1

a ba  b  (6a)

Mũ chẵn 22

0  aba n b n (6b)

Lấy căn hai vế

0a a bab(7a) a bất kỳ 33a bab(7b) Nghịch đảo a, b cùng dấu ab11ab  (8a) a, b khác dấu ab11ab  (8b)  Lưu ý:

 Khơng cĩ qui tắc chia hai về bất đẳng thức cùng chiều

 Ta chỉ nhân hai vế bất đẳng thức khi biết chúng dương  Cần nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ và cách biến đổi

2 Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác: Tĩm tắt lí thuyết

1

Trang 3

Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, ta cĩ:

a b c, ,0a b   ca b

b c   ab cc a   bca

3 Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối:

  xxx, với mọi số thực x x0;xx x; x, với mọi số thực x x    aaxavới a  0 x   axahoặc xa với a  0 Định lí:  a, b ta cĩ: ab   a bab

4 Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Cơ-si hay AM-GM)

Định lí: Với hai số khơng âm a, b ta cĩ:

2a bab hay a b2ab hay 22abab 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

Hệ quả 1: Nếu hai số dương thay đổi nhưng cĩ tổng khơng đổi thì

tích của chúng lớn nhất khi hai số đĩ bằng nhau

Tức là với hai số dương a, b cĩ a + b = S khơng đổi thì:

22ax2()4 M 4SSab Sabab, đạt được khi a = b

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật cĩ cùng chu vi

thì hình vuơng cĩ diện tích lớn nhất

Hệ quả 2: Nếu hai số dương thay đổi nhưng cĩ tích khơng đổi thì

tổng của chúng lớn nhất khi hai số đĩ bằng nhau Tức là với hai số dương a, b cĩ a b = P khơng đổi thì:

in

2()M 2

a b Pa bP, đạt được khi a = b

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật cĩ cùng diện

Trang 4

Mở rộng:

① Với các số a, b, c khơng âm, ta cĩ:

33a b cabc  hay 33a  bcabc hay 33abcabc  

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c ② Với n số a1, a2, a3, …, an khơng âm, ta cĩ:

1231 23 nnnaaaaa a aan   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = … = an

5 Bất đẳng thức Bunhiacơpxki (chứng minh trước khi dùng)  Dạng tổng quát:

Cho 2n số thực tùy ý a1, a2, …, an, b1, b2, …, bn,khi đĩ:

Trang 5

 Nếu 222211 nxx xc là hằng số thì: 2221 12 212max(a xa x  a xnn)caa  an1212 n 0nxxxaaa 2221 12 212max(a xa x  a xnn) caa  an1212 n 0nxxxaaa  Trường hợp đặc biệt: Cho a, b, x, y là những số thực, ta cĩ:  Dạng 1: 22222(axby)(ab)(xy) Dấu “=”abxy  Dạng 2: 2222()()axbyabxy Dấu “=”abxy  Dạng 3: 2222()()axbyabxy Dấu “=”ab0x y

Dạng 1 Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất 

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Để chứng minh AB bằng định nghĩa, ta lựa chọn theo các hướng sau:

Hướng 1 Chứng minh A B–0

Hướng 2 Thực hiện các phép biến đổi đại số để biến đổi bất đẳng thức

ban đầu về một bất đẳng thức đúng

Trang 6

Hướng 3 Xuất phát từ một bất đẳng thức đúng

Hướng 4 Biến đổi vế trái hoặc vế phải thành vế cịn lại

Chú ý: Với các hướng 1 và hướng 2 cơng việc thường là biến đổi –A B thành tổng các đại lượng khơng âm Và với các bất đẳng thức A B–0

chúng ta cần chỉ ra dấu “=” xảy ra khi nào ?

B BÀI TẬP MẪU

VD 1.1 Cho , , , a b c d là các số thực Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Trang 7

C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 1.1 Cho a b c d là các số thực Chứng minh các bất đẳng thức sau: , , , ① 22232()ab  ca b c  ② 2222()abcab bc ca③ 2 2224abcab acbc ④ 44221 2 (1)ab  ca a b a c  ⑤ 222222(1)(1)(1)6abbccaabc⑥ 22222()ab cdea b c d  e⑦ 111111a  bcabbcca, với , , a b c0 ⑧ a b c  abbcca, với a, b, c  0

Trang 8

① 33322aba b , với , a b0 ② 4433aba b ab③ 4234a a④ 333

a  bcabc, với a,b,c  0 ⑤ 44 6 622ababba, với a, b  0 ⑥ 22322aa⑦ 1 2 1 2 21a1b1ab, với , a b1 ⑧ 554422(ab)(a b )(ab)(ab), với ab0 1.3 Cho , , , , a b c d e Chứng minh 222abab (1) Áp dụng bất đẳng thức (1) để chứng minh các bất đẳng thức sau: ① 222(a1)(b1)(c 1)8abc② 2222(a4)(b4)(c4)(d 4)256abcd③ 44444a  bcdabcd1.4 Cho a b c, ,  Chứng minh 222a bcab bc ca (2) Áp dụng bất đẳng thức (2) để chứng minh các bất đẳng thức sau: ① 222(a b c  )3(abc)② 444()abcabc a b c ③ 2(a b c )3(ab bc ca)④ 222233abca b c  ⑤ 33a b c ab bc ca, với , , a b c0 ⑥ 444a bcabc, với a b c  1

1.5 Cho , , , a b c d0 Chứng minh rằng: nếu a1

Trang 9

① abc2a bb cca② 1abcd2a b cb cdcdada b    ③ 2a bb ccdda2a b cb cdcdada b     1.6 Cho , , a b c Chứng minh 3322()aba b b aab a b (4) Áp dụng bất đẳng thức (4) để chứng minh các bất đẳng thức sau: ① a3 b3 b3 c3 c3 a3 2(a b c)abbcca ② 3 13 3 31 3 13 1

ababcbcabccaabcabc

  , , , a b c0③ 3 13 3 13 3 13 1111abbcca  , với abc1 ④ 1111111a bb cca   , với , , a b c0 và abc1⑤ 3  33 3  33 3  334ab4bc4ca2(a b c ), , , 0a b c

1.7 Cho a b x y, , , Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min-cơp-xki): a2x2 b2y2 (a b)2 (xy)2 (5) Áp dụng (5): ① Cho , a b0 thỏaa b 1 Chứng minh: 22

Trang 10

Dạng 2 Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy (AM-GM) 

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Các dạng của bất đẳng thức Cauchy (AM-GM):

Với ,x y0 thì 2222xyxyxyxy  ①

② Dấu “=” xảy ra khi xy

Với ,x y thì 222()4xyxyxyxy   ③④

.Dấu “=” xảy ra khi xy

Với , ,x y z0 thì3333xyzxyzxyzxyz     ⑤⑥ Dấu “=” khi x yz B BÀI TẬP MẪU

Loại 1: Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân và ngược lại:

VD 1.2 Cho a b c, , 0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Trang 11

Loại 2: Tách cặp nghịch đảo VD 1.3 Chứng minh các bất đẳng thức sau: ① ab2a b,0b a② 18602xxx ③ 23222xxx ④ 11033aaa  

Trang 12

Dạng 1: 111144(1)xyhayxyxyxy 

Dấu “=” xảy ra khi x = y

Dạng 2: 11111199(2)xyzhayxyzxyzxyz     

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z

Trang 13

Loại 4: Đặt ẩn phụ để áo dụng BĐT Cauchy:

VD 1.5 Cho , , a b c0 Chứng minh bất đẳng thức (BĐT Nesbit) sau:

32abcb ccaa bHD: Đặt b cxcaya bz     

C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

Loại 1: Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân và ngược lại:

Trang 14

⑤ 1a1b1c8bca⑥ 1 1 1 116a   bcda b cd  ⑦ (1 a b a b ab)( )9ab ⑧ 8264()abab a b⑨ 3323a7b9ab⑩ (a b b c c a)()()8abc⑪ 22 2()aba bab ⑫ 42,33aaa   

1.9 Cho , , a b c0 Chứng minh các bất đẳng thức sau: ① a b c  abbcca ② ab bc caabcabc③ abbcaca b ccab   ④ abc111bccaab  abc⑤ ababa b1ba    ⑥ a3 b3 c3 ab bc cabca

Trang 15

Loại 3: Sử dụng bổ đề suy luận từ BĐT Cauchy (AM-GM):

1.12 Cho , a b0 Chứng minh 114

a ba b

 (1) Áp dụng bất đẳng thức (1) để chứng minh các bất đẳng thức sau, với , , a b c0: ① 1 1 12111abca bb cca  ② 1112111222a bb cc aa b cb c ac a b   ③ 11112a b ca2b ca b2c   với 1114a  bc④ 2abbccaa b ca bb cca 

Trang 16

Loại 4: Đặt ẩn phụ để áo dụng BĐT Cauchy:

1.15 Cho x2014 Chứng minh bất đẳng thức sau:

201320141122 20152 2014xxxxHD: Đặt 2013020140axbx 

Trang 17

Dạng 3 Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy Schwarz 

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Thực chất bất đẳng thức Cauchy Schwarz là hệ quả trực tiếp của bất đẳng thức Bunhiacơpski mà ở đây dễ dàng hình dung, tạm gọi là bất đẳng thức cộng mẫu số

1 Cho , a b và ,x y0 Áp dụng BĐT Bunhiacơpski cho bộ hai số: a,bxy ; x,y ta được: 22 ơps 222() Bunhiackiabababa bxyxyxyxyxyxy(1)

Trang 18

Trang 19

Dạng 4 Chứng minh BĐT dựa vào BĐT C.B.S 

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Cho , , , a b x y Cho , , , , , a b c x y z

① (ax by)2(a2b2)(x2y2)

Dấu “=”xảy ra khi abxy

❶

2222222

(ax bycz)(abc)(xyz)

Dấu “=”xảy ra khi

abcx yz

② ax by(a2b2)(x2y2)

Dấu “=”xảy ra khi abxy❷222222()()ax byczabcxyz Dấu “=”xảy ra khi

abcx yz

③ axby(a2b2)(x2y2)

Dấu “=” xảy ra khi

0abx y❸222222()()ax by czabcxyz Dấu “=” xảy ra khi

Trang 20

C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

Trang 21

Dạng 5 Chứng minh BĐT dựa vào tọa độ vectơ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1 a( ; )x yax2y22  2 2BABAABxxyy

3 ABBCAC, dấu “=” xảy ra khi B nằm giữa A và C 4 u   vuvuv, dấu “=” xảy ra khi ,u v cùng hướng

5 u vwu vw, dấu “=” xảy ra khi , , wu v cùng hướng

Trang 23

Dạng 6 Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối A PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1   xxx, với mọi số thực x 2 x0;xx x; x, với mọi số thực x 3 x    aaxavới a0 4 x   axa hoặc xa với a05 Định lí: a b, ta cĩ: ab   a babB BÀI TẬP MẪU

VD 1.9 Với các số , , a b c tùy ý Chứng minh rằng:

Trang 24

C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

1.24 Với các số , , a b c tùy ý Chứng minh rằng:

① a b c    abc② a b    b ca c③ 111a baba bab ④ 11a baba bab  1.25 Chứng minh rằng: ① a2a b với a2b② Nếu x y0 thì 11xyxy

1.26 Chứng minh rằng: x x0 với mọi x  R

Trang 25

Dạng 7 Sử dụng phương pháp làm trội 

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 Phương pháp:

Để chứng minh AB, ta làm trội A thành C (AC), trong đĩ C là dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn, sau đĩ chứng minh C  B (biểu thức C đĩng vai trị trung gian để so sánh A và B)

Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn

123

nn

S   aaaa là cố gắng biểu diễn mỗi nhân tử a của kn

S dưới dạng hiệu 2 số hạng liên tiếp nhau ak mk –mk1 Khi đĩ:

 1– 2  2 – 3 – 1 1– 1

nnnn

Smmmmmm mm

Phương pháp chung để tính tích hữu hạn Pn a a a1 .2 3.an là cố gắng biểu diễn mỗi nhân tử a của k P dưới dạng thương 2 số nhạng liên tiếp nhau

Trang 26

Do đĩ VT (1)= 1111111.22.3 n n(1) n1 với n*Vậy 111111.22.33.4 n n(1) với n*② CMR: 11111 2 1438n2n3      (1) với n*Giải Ta cĩ : 222121(1)1112(2)(2)2kkkkkkkk kk kkk 1142 2331 3   193 31882 4   2111122nnnnnnDo đĩ, VT (1): 2111212224111238212223nnnnnnn       Vậy 11111 2 1438n2n3      với n*

B BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

1.28 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta cĩ:

Trang 28

Dạng 8 Ứng dụng BĐT để giải PT, HPT, BPT



Loại 1: Tổng hai số khơng âm:

 2 2 ( )0( )( )0( )0f xf xg xg x  

Loại 2: Phương pháp đối lập:

 Giải phương trình f(x) = g(x) (*)  Nếu chứng minh được ( )

( )f xMg xM thì ( )(*)( )f xMg xM Loại 3: Sử dụng tính chất:  Giải phương trình f x g x MN (*)  Nếu chứng minh được ( )ì (*)( )

( )( )f xMf xMthg xNg xNB BÀI TẬP MẪU

VD 1.10 Giải phương trình sau: 2

Trang 29

VD 1.11 Giải phương trình sau: 222112x  xx  xx x

C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

1.31 Giải các phương trình sau:

Trang 30

Bài tập trắc nghiệm chủ đề 1: Bất đẳng thức



TN1.1 Nếu ab và cd thì bất đẳng thức nào sau đây luơn đúng?

A.acbd B.a c  b d

C.a d  b c D.  acbd

TN1.2 Nếu m0, n0 thì bất đẳng thức nào sau đây luơn đúng?

A.m n B.n m–0 C.–m–n D.m n–0

TN1.3 Nếu ,a b và c là các số bất kì và ab thì bất đẳng nào sau đây đúng?

A.acbc B.a2 b 2

C.a c  b c D.c a  c b

TN1.4 Nếu ab và cd thì bất đẳng thức nào sau đây luơn đúng?

A. B.a c  b d

C.acbd D.a c  b d

TN1.5 Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực a?

A.6a3a B.3a6a

C.6 3a 3 6a D.6  a3a

TN1.6 Nếu , ,a b c là các số bất kì và ab thì bất đẳng thức nào sau đây luơn đúng?

A.3a2c3b2c B.a2 b 2

C.acbc D.acbc

TN1.7 Nếu a b0, c d0 thì bất đẳng thức nào sau đây khơng

đúng?

A.acbc B.a c  b d

C.a2 b 2 D.acbd

TN1.8 Nếu a b0, c d0. thì bất đẳng thức nào sau đây khơng

Trang 31

TN1.9 Sắp xếp ba số 613, 19 và 316 theo thứ tự từ bé đến lớn thì thứ tự đúng là

A. 19 ,316, 613 B.316, 19 , 613

C. 19 , 613,316 D. 613,316, 19

TN1.10 Nếu a2c b2c thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A.  3a3b B.a2 b 2

C.2a2b D.11

ab.

TN1.11 Nếu 2a2b và   3b3c thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A.ac B.ac

C.  3a3c D.a2 c 2

TN1.12 Một tam giác cĩ độ dài các cạnh là 1, 2, x trong đĩ x là số nguyên Khi đĩ, x bằng

A.1 B.2 C.3 D.4

TN1.13 Với số thực a bất kì, biểu thức nào sau đây cĩ thể nhận giá trị

âm? A. 221aa B. 21 aa C.a22a1 D.a2 2a1

TN1.14 Với số thực a bất kì, biểu thức nào sau đây luơn luơn dương

Trang 32

TN1.16 Cho hai số thực ,a b sao cho ab Bất đẳng thức nào sau đây

khơng đúng?

A.a4 b 4 B.    2a12b1

C.b a 0 D.a  2b2

TN1.17 Nếu 0 a1 thì bất đẳng thức nào sau đây đúng ?

A.1aa.B.1aa.C.aa D.a3 a 2

TN1.18 Cho a b c d là các số thực trong đĩ ,, , ,a c0 Nghiệm của phương trình ax b 0 nhỏ hơn nghiệm của phương trình

0 cx d khi và chỉ khi A.bcad B.bcad C.badc D.bdac

TN1.19 Nếu a b a và b a b thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A.ab0 B.ba

C.a b0 D.a0 và b0

TN1.20 Cho a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác Mệnh đề nào sau , ,

đây khơng đúng ? A.a2 ab ac B.ab bcb 2C.b2c2 a22bc D.b2c2 a22bc TN1.21 Cho a là số thực bất kì, 221aP

a Bất đẳng thức nào sau đây

đúng với mọi a ?

A.P 1 B.P1 C.P 1 D.P1

TN1.22 Cho Qa2b2 c2 ab bc cavới , ,a b c là ba số thực Khẳng

định nào sau đây là đúng?

A.Q0 chỉ đúng khi , ,a b clà những số dương

B.Q0 chỉ đúng khi , ,a b clà những số khơng âm

C.Q0 với , ,a b clà những số bất kì

Trang 33

TN1.23 Số nguyên a lớn nhất sao cho 200300

3



a là:

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

TN1.24 Cho hai số thực ,a b tùy ý Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.a b abB.a b ab

C.a b abD.a b ab

TN1.25 Cho hai số thực , a b tùy ý Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.aba b B.aa

bb

 với b0

C. Nếu ab thì a2 b2 D.a b ab

TN1.26 Cho hai số thực , a b tùy ý Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.a b ab B.a b ab

C.a b ab D.a b ab

TN1.27 Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực x ?

A. xx B. x x C.x2 x2 D. xx

TN1.28 Nếu , a b là những số thực và ab thì bất đẳng thức nào sau đây luơn đúng?

A. 22

ab B.11

ab với ab0

C.  bab D.ab

TN1.29 Cho a 0 Nếu x a thì bất đẳng thức nào sau đây luơn đúng?

A.xa B. xx C.xa D.11

xa

TN1.30 Nếu xa thì bất đẳng thức nào sau đây luơn đúng?

A.x a B.11

Trang 34

TN1.31 Cho a1,b1 Bất đẳng thức nào sau đây khơng đúng ?

A.a2a1 B.ab2a b1

C.ab2b a1 D. 2b 1b

TN1.32 Điền dấu thích hợp vào ơ trống để được một bất đẳng thức đúng A. Nếu ,a b dương thì 4ababab.B. Với ,a b bất kỳ  22 222 aab bab C. Nếu , ,a b c dương thì abc1b ccaa b

TN1.33 Cho ,a b là các số thực Xét tính đúng–sai của các mệnh đề sau:

A.2 2 222 a bab B. 221    aba b ab C. 22 93  aba bab

TN1.34 Cho a b c d là các số dương Hãy điền dấu , , ,    , , , thích hợp vào ơ trống A. Nếu acbd thì a bcdac B. Nếu acbd thì a bcdbd C. a b c abbcca D. 2ab(ab)2ab a b 

Trang 35

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Khái niệm GTLN, GTNN của hàm số (biểu thức):

Xét hàm số yf x( )với tập xác định D: M là GTLN của ( )f x trên D 00( ),, ( )f xMxDxD f xM  

Kí hiệu: max[ ( )]f xM khi xx0

m là GTNN của ( )f x trên D 00( ),, ( )f xmxDxD f xm  

Kí hiệu: min[ ( )]f xm khi xx0

Chú ý: - Biểu thức cĩ thể khơng cĩ giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất

- Biểu thức cĩ thể cĩ cả hai giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Dạng 1 Dùng tam thức bậc hai A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  2[ ( )]min( )0P mf x mP mf x 2[ ( )]max( )0PMf xMPMf xB BÀI TẬP MẪU

VD 1.12 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

22

222412

Pababab

Tĩm tắt lí thuyết

Phương pháp giải tốn

2

Trang 36

C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

1.32 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

①Ax2y2z24 – 2 – 4xyz9 ② 2  2 2–1– 5–4Bxyxy ③Cx y22x2 – 6xy4 – 3x ④ 221582017Dxyxyx y ⑤Ex22xy2 – 4y5 ⑥ 22222416191Fx yxxyx ⑦Gx22y29 – 2z2 x12y6z24 ⑧Hxy x– 2y 612x2 – 24x3y218y36 ⑨ Ia2 b2 ab3a3b2014

1.33 Cho a b c, , đơi một khác nhau Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

① f x( )(x a)2 (x b)2

Trang 37

Dạng 2 Dùng BĐT Cauchy 

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Hệ quả:

Nếu , x y0 cĩ S xy khơng đổi thì Pxy lớn nhất khi xy

Nếu , x y0 cĩ Pxy khơng đổi thì S xy nhỏ nhất khi xy

B BÀI TẬP MẪU

VD 1.13 Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

Trang 40

C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

1.34 Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

① A3x28 –x2 với 2 2 x2 2 ② Bx2 –x với 0 x2 ③ C2 –1 3 –xx với 0,5 x3 ④ Dx3 – 3x với 0 x3 ⑤ E4 8 – 5xx với 0 x8 / 5 ⑥ F4x–1 8 – 5x với 1 x8 / 5

1.35 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

① Ax4x , với x0 ② 23642xBx, với x 2③ 3221xCx, với x1 ④ 231Dxx , với 13x ⑤ E2x3x, với x0⑥ 11Fxx , với x1⑦ G(x2)(8x)x, với x0 ⑧ 2492xHx, với x0⑨ 9 2 21253xxIx, với x0 ⑩ 224xxJx, với x01.36 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: ① yx 13x② yx 14x③ y2x 48x④ y3 xx5⑤ y4x 3 5 4x⑥ y5x 1 3 6x

1.37 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

abc

A

b ccaa b

