Mục lục Chủ đề Phương trình quy bậc hai 1.1 Một số phương trình quy phương trình bậc hai 1.2 Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối 24 Chủ đề Phương trình chứa 35 2.1 Phương trình 35 2.2 Sử dụng lượng liên hợp 47 2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 65 2.4 Phương trình đẳng cấp 85 2.5 Phương pháp đánh giá 92 2.6 Sử dụng tính đơn điệu hàm số 98 2.7 Sử dụng hàm hợp hàm ngược 112 2.8 Phương pháp hình học 119 2.9 Phương pháp lượng giác 126 Chủ đề Bất phương trình 130 3.1 Giải bất phương trình nhờ tính liên tục hàm số 130 Chủ đề Hệ phương trình 137 4.1 Biến đổi hệ phương trình 137 4.2 Sử dụng phương pháp 141 4.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 149 4.4 Hệ phương trình đối xứng loại 159 4.5 Hệ phương trình phản xứng 163 4.6 Hệ phương trình đối xứng loại hai 164 Tài liệu tham khảo 168 Chủ đề Phương trình quy bậc hai 1.1 Một số phương trình quy phương trình bậc hai Bài tập 1.1 Giải phương trình sau: 1) 1 ; + = ( x + 2)2 ( x − 4)2 Hướng dẫn Đặt t = â p p ê ỏp s 1; 3; + 3 ( x + 2) + ( x − 4) = x − 2) + = 5; (2 x 3) (4 x 7)2 ẵ ắ ỏp số 2; Hướng dẫn Viết phương trình cho dạng 1 + ³ = ´ ³ ´2 x− x− Đặt ³ x− t= 3´ ³ 7´ + x− = x − 13 Với phương trình dạng ( x + a)4 + ( x + b)4 = c, ta đặt t= ( x + a) + ( x + b ) a+b = x+ 2 Chú ý 1) (a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 ; 2) (a − b)4 = a4 − 4a3 b + 6a2 b2 − 4ab3 + b4 Bài tập 1.2 Giải phương trình sau: 1) ( x − 6)4 + ( x − 8)4 = 16; Đáp số {6; 8} 1.1 Một số phương trình quy phương trình bậc hai 2) ( x − 2)4 + ( x − 4)4 = 16; Đáp số x = ∨ x = 3) ( x − 1)4 + ( x − 3)4 = 16 Đáp số x = ∨ x = Phương trình có dạng ( x + a) · ( x + b) · ( x + c) · ( x + d ) = A, với a < b < c < d a + d = b + c Ta đặt t= ( x + a) + ( x + b ) + ( x + c ) + ( x + d ) a+b+c+d = x+ 4 Bài tập 1.3 Giải phương trình sau: 1) x · ( x + 1) · ( x − 1) · ( x + 2) = 24 Đáp số {−3; 2} 2) ( x − 4) · ( x − 5) · ( x − 6) · ( x 7) = 1680; ỏp s {1; 12} ắ ẵ 1 Đáp số − ; 12 3) (12 x − 1) · (6 x − 1) · (4 x − 1) · (3 x − 1) = 5; Hướng dẫn Viết phương trình cho dạng ³ x− 1´ ³ 1´ ³ 1´ 1´ ³ · x− · x− · x− = 12 3 · · · 12 Phương trình có dạng (ax2 + b x + c)(ax2 + b x + c) = dx2 , c 6= • Nhận xét x = khơng nghiệm phương trình • Chia phương trình cho x2 , ta ³ ax + b + c´ ³ c´ · ax + b + = d x x c x Đặt t = ax + Chú ý Ta đặt t = ax2 + Bài tập 1.4 Giải phương trình sau: 1) ( x − 2)( x − 3)( x − 6)( x − 9) = Trần b1 + b2 x + c Văn Toàn 45 x2 Đáp số x = ∨ x = 12 Chủ đề Phương trình quy bậc hai 2) ( x − 1)( x − 2)( x − 4)( x − 8) = 10 x Đáp số x = 3) x2 − x + x2 − x + = ¡ ¢¡ ¢ p ¢ p ¢ 1¡ 1¡ ∨ x = ∨ x = 14 − 31 ∨ x = 14 + 31 3 3 x2 ; Đáp số x = ∨ x = 4) ( x − 1) · ( x − 2) · ( x − 6) · ( x − 12) = x2 ; p p Đáp số x = ∨ x = ∨ x = − 37 ∨ x = + 37 5) ( x2 − x + 1) · ( x2 − 4) = −4( x − 1)2 Đáp số x = ∨ x = ∨ x = p ´ p ´ 1³ 1³ − 13 ∨ x = + 13 2 Hướng dẫn Đặt u = x − Phương trình dạng ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0, (a 6= 0) ax + bx + cx + dx + e = 0, Bài tập 1.5 a, b 6= 0, µ ¶2 e d = a b Giải phương trình sau: 1) x4 − 35 x3 + 62 x2 − 35 x + = 0; Đáp số x = 1 ∨ x = ∨ x = ∨ x = 3 2) x4 − 25 x3 + 12 x2 + 25 x + = 0; Đáp số x = − ∨ x = − ∨ x = ∨ x = 3) x4 + x3 − 10 x2 + x + = 0; p p Đáp số x = −2 − ∨ x = − ∨ x = p ´ p ´ 1³ 1³ 3− ∨ x = 3+ 2 4) x4 − x3 + x2 + x + = 0; p p p p Đáp số x = − ∨ x = + ∨ x = − ∨ x = + 5) x4 − x3 − 14 x2 + x + = 0; p p Đáp số x = −1 − ∨ x = − ∨ x = p ´ p ´ 1³ 1³ − 41 ∨ x = + 41 4 6) 16 x4 − 48 x3 + 24 x2 + 12 x + = Đáp số x = Trần Văn Toàn p ´ p ´ p ´ p ´ 1³ 1³ 1³ 1³ 1− ∨ x = 1+ ∨ x = 2− ∨ x = 2+ 2 2 1.1 Một số phương trình quy phương trình bậc hai 7) x + x − x − 18 x + = 8) x4 − x3 − 34 x2 + 21 x + 18 = ¶ Đáp số x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = µ ¶ Đáp số x = −3 ∨ x = − ∨ x = ∨ x = µ 9) x4 − x3 − x2 + 12 x + 16 = Đáp số ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 4) 10) x4 + x3 − x2 − 12 x + 16 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 2) 11) x4 − 12 x3 + 47 x2 − 72 x + 36 = Đáp số ( x = ∨ x = ∨ x = ∨ x = 6) 12) x4 − x3 − x2 + 36 x + 36 = Đáp số ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 6) 13) x4 − x3 − 17 x2 + 24 x + 36 = Đáp số ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 6) 14) x4 + x3 − 23 x2 + 12 x + 36 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 3) 15) x4 − x3 − 23 x2 − 12 x + 36 = Đáp số ( x = −3 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 6) 16) x4 + x3 − 17 x2 − 24 x + 36 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 3) 17) x4 + x3 − x2 − 36 x + 36 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = ∨ x = 2) 18) x4 + 12 x3 + 47 x2 + 72 x + 36 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = −2 ∨ x = −1) 19) x4 − x3 − x2 + 72 x + 64 = Đáp số ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 8) 20) x4 − x3 − 30 x2 + 40 x + 64 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 8) 21) x4 + x3 − 38 x2 + 24 x + 64 = Đáp số ( x = −8 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 4) 22) x4 − x3 − 38 x2 − 24 x + 64 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 8) 23) x4 + x3 − 30 x2 − 40 x + 64 = Đáp số ( x = −8 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 4) 24) x4 + x3 − x2 − 72 x + 64 = Đáp số ( x = −8 ∨ x = −4 ∨ x = ∨ x = 2) 25) x4 + 15 x3 + 70 x2 + 120 x + 64 = Đáp số ( x = −8 ∨ x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = −1) 26) x4 − x3 − 18 x2 + 72 x + 81 = Đáp số ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 9) 27) x4 + x3 − 18 x2 − 72 x + 81 = Đáp số ( x = −9 ∨ x = −3 ∨ x = ∨ x = 3) 28) x4 − 12 x3 + x2 + 120 x + 100 = Đáp số ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 10) 29) x4 − x3 − 47 x2 + 60 x + 100 = Đáp số ( x = −5 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 10) 30) x4 + x3 − 57 x2 + 40 x + 100 = Đáp số ( x = −10 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 5) 31) x4 − x3 − 57 x2 − 40 x + 100 = Đáp số ( x = −5 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 10) 32) x4 + x3 − 47 x2 − 60 x + 100 = 33) x4 + 18 x3 + 97 x2 + 180 x + 100 = Chủ đề Phương trình quy bậc hai Đáp số ( x = −10 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 5) Đáp số ( x = −10 ∨ x = −5 ∨ x = −2 ∨ x = −1) 34) x4 − x3 − 20 x2 + 60 x + 144 = Đáp số ( x = −3 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 6) 35) x4 − x3 − 28 x2 + 36 x + 144 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 6) 36) x4 + x3 − 32 x2 + 12 x + 144 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 4) 37) x4 − x3 − 32 x2 − 12 x + 144 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −3 ∨ x = ∨ x = 6) 38) x4 + x3 − 28 x2 − 36 x + 144 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = ∨ x = 4) 39) x4 + x3 − 20 x2 − 60 x + 144 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −4 ∨ x = ∨ x = 3) 40) x4 + 15 x3 + 80 x2 + 180 x + 144 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −4 ∨ x = −3 ∨ x = −2) 41) x4 − 15 x3 + 20 x2 + 180 x + 144 = Đáp số ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 12) 42) x4 − x3 − 68 x2 + 84 x + 144 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 12) 43) x4 + x3 − 80 x2 + 60 x + 144 = Đáp số ( x = −12 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 6) 44) x4 − x3 − 80 x2 − 60 x + 144 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 12) 45) x4 + x3 − 68 x2 − 84 x + 144 = Đáp số ( x = −12 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 6) 46) x4 + 21 x3 + 128 x2 + 252 x + 144 = Đáp số ( x = −12 ∨ x = −6 ∨ x = −2 ∨ x = −1) 47) x4 − 12 x3 − 13 x2 + 144 x + 144 = Đáp số ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 12) 48) x4 − 10 x3 − 35 x2 + 120 x + 144 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 12) 49) x4 + x3 − 67 x2 + 72 x + 144 = Đáp số ( x = −12 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 4) 50) x4 − x3 − 67 x2 − 72 x + 144 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −3 ∨ x = ∨ x = 12) 51) x4 + 20 x3 + 115 x2 + 240 x + 144 = Đáp số ( x = −12 ∨ x = −4 ∨ x = −3 ∨ x = −1) 52) x4 − 18 x3 + 37 x2 + 252 x + 196 = Đáp số ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 14) 53) x4 − x3 − 93 x2 + 112 x + 196 = Đáp số ( x = −7 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 14) 54) x4 − 16 x3 − x2 + 240 x + 225 = Đáp số ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 15) 55) x4 − 12 x3 − 58 x2 + 180 x + 225 = Đáp số ( x = −5 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 15) 56) x4 + x3 − 98 x2 + 120 x + 225 = Đáp số ( x = −15 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 5) 1.1 Một số phương trình quy phương trình bậc hai 57) x4 − x3 − 32 x2 + 96 x + 256 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 8) 58) x4 + x3 − 32 x2 − 96 x + 256 = Đáp số ( x = −8 ∨ x = −4 ∨ x = ∨ x = 4) 59) x4 − 21 x3 + 58 x2 + 336 x + 256 = Đáp số ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 16) 60) x4 − 15 x3 − 32 x2 + 240 x + 256 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 16) 61) x4 − 10 x3 − 15 x2 + 180 x + 324 = Đáp số ( x = −3 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 9) 62) x4 − x3 − 57 x2 + 72 x + 324 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 9) 63) x4 + x3 − 63 x2 + 36 x + 324 = Đáp số ( x = −9 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 6) 64) x4 − x3 − 63 x2 − 36 x + 324 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = ∨ x = 9) 65) x4 + x3 − 57 x2 − 72 x + 324 = Đáp số ( x = −9 ∨ x = −3 ∨ x = ∨ x = 6) 66) x4 + 20 x3 + 135 x2 + 360 x + 324 = Đáp số ( x = −9 ∨ x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = −2) 67) x4 − 24 x3 + 83 x2 + 432 x + 324 = Đáp số ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 18) 68) x4 − 20 x3 + 15 x2 + 360 x + 324 = Đáp số ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 18) 69) x4 − 14 x3 − 87 x2 + 252 x + 324 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 18) 70) x4 − x3 − 32 x2 + 180 x + 400 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 10) 71) x4 − x3 − 48 x2 + 140 x + 400 = Đáp số ( x = −5 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 10) 72) x4 + x3 − 68 x2 + 60 x + 400 = Đáp số ( x = −10 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 5) 73) x4 − x3 − 68 x2 − 60 x + 400 = Đáp số ( x = −5 ∨ x = −4 ∨ x = ∨ x = 10) 74) x4 + 21 x3 + 148 x2 + 420 x + 400 = Đáp số ( x = −10 ∨ x = −5 ∨ x = −4 ∨ x = −2) 75) x4 − 27 x3 + 112 x2 + 540 x + 400 = Đáp số ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 10 ∨ x = 20) 76) x4 − 20 x3 − 21 x2 + 400 x + 400 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 20) 77) x4 − 18 x3 − 59 x2 + 360 x + 400 = Đáp số ( x = −5 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 20) 78) x4 − 24 x3 + 38 x2 + 504 x + 441 = Đáp số ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 21) 79) x4 − 30 x3 + 145 x2 + 660 x + 484 = Đáp số ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 11 ∨ x = 22) 80) x4 − 15 x3 + x2 + 360 x + 576 = Đáp số ( x = −3 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 12) 81) x4 − x3 − 98 x2 + 120 x + 576 = Đáp số ( x = −8 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 12) Chủ đề Phương trình quy bậc hai 82) x4 − 12 x3 − 28 x2 + 288 x + 576 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 12) 83) x4 − x3 − 68 x2 + 192 x + 576 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 12) 84) x4 + x3 − 92 x2 + 96 x + 576 = Đáp số ( x = −12 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 6) 85) x4 − x3 − 92 x2 − 96 x + 576 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −4 ∨ x = ∨ x = 12) 86) x4 − x3 − 38 x2 + 168 x + 576 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −3 ∨ x = ∨ x = 8) 87) x4 − x3 − 58 x2 + 72 x + 576 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = ∨ x = 8) 88) x4 + x3 − 62 x2 + 24 x + 576 = Đáp số ( x = −8 ∨ x = −3 ∨ x = ∨ x = 6) 89) x4 − x3 − 62 x2 − 24 x + 576 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −4 ∨ x = ∨ x = 8) 90) x4 + x3 − 58 x2 − 72 x + 576 = Đáp số ( x = −8 ∨ x = −4 ∨ x = ∨ x = 6) 91) x4 − 28 x3 + 67 x2 + 672 x + 576 = Đáp số ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 24) 92) x4 − 25 x3 − x2 + 600 x + 576 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 24) 93) x4 − 21 x3 − 94 x2 + 504 x + 576 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 24) 94) x4 − 24 x3 − 50 x2 + 600 x + 625 = Đáp số ( x = −5 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 25) 95) x4 − 32 x3 + 102 x2 + 864 x + 729 = Đáp số ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 27) 96) x4 − 15 x3 − 20 x2 + 420 x + 784 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 14) 97) x4 − x3 − 92 x2 + 252 x + 784 = Đáp số ( x = −7 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 14) 98) x4 − 30 x3 + 25 x2 + 840 x + 784 = Đáp số ( x = −4 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 28) 99) x4 − 20 x3 + 31 x2 + 600 x + 900 = Đáp số ( x = −3 ∨ x = −2 ∨ x = 10 ∨ x = 15) 100) x4 − 14 x3 − 47 x2 + 420 x + 900 = Đáp số ( x = −5 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 15) 101) x4 − 12 x3 − 73 x2 + 360 x + 900 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 15) 102) x4 − x3 − 53 x2 + 240 x + 900 = Đáp số ( x = −5 ∨ x = −3 ∨ x = ∨ x = 10) 103) x4 − x3 − 67 x2 + 180 x + 900 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = ∨ x = 10) 104) x4 + x3 − 83 x2 + 60 x + 900 = Đáp số ( x = −10 ∨ x = −3 ∨ x = ∨ x = 6) 105) x4 − x3 − 83 x2 − 60 x + 900 = Đáp số ( x = −6 ∨ x = −5 ∨ x = ∨ x = 10) 106) x4 − 30 x3 − 31 x2 + 900 x + 900 = Đáp số ( x = −5 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 30) 1.1 Một số phương trình quy phương trình bậc hai 107) x4 − 28 x3 − 89 x2 + 840 x + 900 = Bài tập 1.6 Đáp số ( x = −6 ∨ x = −1 ∨ x = ∨ x = 30) Giải phương trình sau: x4 + 100 29 ¢= 1) ¡ x x 10 ả p  ¢ ¡p 1¡ 190 + 10 Đáp số x = −2 ∨ x = ∨ x = 10 − 190 ∨ x = 3 x4 + 100 89 ¢= 2) ¡ x x 10 ả p   1Ă p 1Ă Đáp số x = − ∨ x = ∨ x = 20 − 10 ∨ x = 10 + 20 3 µ µ x4 + 81 17 3) ¡ ¢ = x x −9 ¶ p p Đáp số x = − ∨ x = ∨ x = − 13 ∨ x = 13 + x4 + 81 41 4) ¡ ¢ = x x ả p   1Ă p 1¡ Đáp số x = −1 ∨ x = ∨ x = − 73 ∨ x = 73 + 8 x4 + 81 97 5) ¡ ¢ = 10 x x ả p   1Ă 1Ă p ỏp số x = −2 ∨ x = ∨ x = 18 − 61 ∨ x = 61 + 18 5 x4 + 64 ¡ ¢ = 10 x x2 − Đáp số x = −2 ∨ x = ∨ x = − ∨ x = + 65 x4 + 64 7) ¡ ¢ = x x ả p   1Ă 1Ă p Đáp số x = −1 ∨ x = ∨ x = − 114 ∨ x = 114 + 7 65 x4 + 49 8) ¡ ¢ = x x ả p   Ăp 1Ă 469 + 21 Đáp số x = − ∨ x = ∨ x = 21 − 469 ∨ x = 2 65 x4 + 49 9) ¡  = x x ả p ¢ ¢ 1¡ ¡p Đáp số x = −2 ∨ x = ∨ x = 14 − 259 ∨ x = 259 + 14 3 x4 + 36 ¡ ¢ = 13 x x2 − Đáp số x = −2 ∨ x = ∨ x = − 42 ∨ x = 42 + x4 + 36 37 11) ¡ ¢ = x x −6 ¶ p ¢ ¢ 1¡ ¡p Đáp số x = −1 ∨ x = ∨ x = − 186 ∨ x = 186 + 5 73 x4 + 36 12) ¡ ¢ = 10 x x ả p   1Ă 1Ă p Đáp số x = − ∨ x = ∨ x = 12 − ∨ x = + 12 5 x4 + 25 13 13) ¡ ¢ = x x ả p   1Ă Ăp ỏp s x = −1 ∨ x = ∨ x = − 105 ∨ x = 105 + 4 x4 + 25 41 14) ¡ ¢ = x x −5 ¶ p p Đáp số x = −2 ∨ x = ∨ x = 10 − 105 ∨ x = 105 + 10 x4 + 25 53 15) ¡ ¢ = x x ả p   1¡ ¡p Đáp số x = − ∨ x = ∨ x = 15 − 305 ∨ x = 305 + 15 4 6) 10) Trần Văn Tồn µ µ µ ¡ p p  à Ă p p  µ µ µ µ Chủ đề Phương trình quy bậc hai 10 x4 + 16 17 16) ¡  = x x ả p ¢ ¢ 1¡ 1¡ p Đáp số x = −1 ∨ x = ∨ x = − 13 ∨ x = 13 + 3 x4 + 16 41 17) ¡ ¢ = x x ả p   1¡ ¡p Đáp số x = − ∨ x = ∨ x = − 73 ∨ x = 73 + 4 x4 + 16 97 18) ¡ ¢ = 15 x x ả p   1Ă 1Ă p Đáp số x = − ∨ x = ∨ x = 12 − 61 ∨ x = 61 + 12 5 x4 + 19) ¡ ¢ = x x −3 x4 + 25 20) ¡ ¢ = x x 21) à ả p  ¢ 1¡ ¡p Đáp số x = −1 ∨ x = ∨ x = − 21 ∨ x = 21 + 2 ả p p Đáp số x = − ∨ x = ∨ x = − 39 ∨ x = 39 + µ x4 + ¡ ¢ = x x2 − ¡ p p ¢ Đáp số x = −1 ∨ x = ∨ x = − ∨ x = + 65 x4 + 22) ¡  = 14 x x ả p ¢ ¢ ¡p 1¡ 114 + Đáp số x = − ∨ x = ∨ x = − 114 ∨ x = 7 85 x4 + 23) ¡ ¢ = 21 x x ả p   ¡p 1¡ Đáp số x = − ∨ x = ∨ x = − 134 ∨ x = 134 + 7 x4 + 17 24) ¡ ¢ = x x ả p   Ăp 1Ă 13 + Đáp số x = − ∨ x = ∨ x = − 13 ∨ x = 3 x4 + 41 25) Ă Â = 12 x x ả p ¢ ¢ 1¡ ¡p Đáp số x = − ∨ x = ∨ x = − 73 ∨ x = 73 + 8 26) x4 + ¡ ¢ = x x2 + 17 x4 + 27) ¡ ¢ = 10 x x +1 28) x4 + 41 ¡ ¢= 15 x x2 + 29) x4 + ¡ ¢= x x2 + µ µ µ µ Đáp số x = ¶ Đáp số x = ∨ x = µ µ Đáp số x = ¶ ∨x=3 Đáp số ( x = ∨ x = 2) x4 + 65 30) ¡ ¢ = 18 x x +2 ¶ Đáp số x = ∨ x = x4 + 85 ¡ ¢= 31) 33 x x +2 ¶ Đáp số x = ∨ x = 32) x4 + ¡ ¢= x x2 + µ µ Đáp số ( x = ∨ x = 3) Chủ đề Hệ phương trình 150 Bình phương hai vế phương trình cuối này, ta phương trình hệ a4 − 8a3 − 18a2 + 200a − 175 = Giải phương trình này, ta có a = −5, a = 1, a = 5, a = Các giá trị a = 1, a = 5, a = thoả −a2 + 4a + 25 > nên ta nhận loại a = −5 • Với a = 1, ta có b = Khi đó, hệ có nghiệm ( x; y) = (−29; 18); • Với a = 5, ta có b = Khi đó, hệ có nghiệm ( x; y) = (−5; 2); • Với a = 7, ta có b = Khi đó, hệ có nghiệm ( x; y) = (19; −18) Vậy hệ có tập nghiệm S = {(−29; 18); (−5; 2); (19; −18)} Ví dụ 4.9 Giải hệ phương trình (4 x2 − x y + y2 − 51)( x − y)2 − = 0, (4.5) (2 x − 7)( x − y) − = Lời giải Hệ (4.5) tương đương với £ ¤ 4( x − y)2 + x y − 51 ( x − y)2 − = 0, Ê Ô ( x + y) + ( x − y) − ( x − y) − = Đặt a = x + y, b = x − y Ta có, x · y = a2 − b2 Hệ (4.5) trở thành (a2 + b2 − 51) b2 − = 0, (4.6) (a + b − 7) b − = Từ phương trình thứ hai hệ, suy a = − b + Thay vào phương trình thứ nhất, ta b b3 − b2 − b + = ⇔ b = −1 ∨ b = ∨ b = Do đó, hệ (4.6) cú nghim ả 53 (a = ∧ b = −1) ∨ (a = ∧ b = 1) a= ∧b= 14 Vậy hệ (4.5) có nghiệm ¶ 51 ( x = ∧ y = 4) ∨ x = ∧y= ∨ ( x = ∧ y = 3) 14 µ 4.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 151 Bài tập 4.13 Giải hệ phương trình sau: 1) 2) p p x − − y − = 27 − x3 , Đáp số (3; 2) ( x − 2)4 + = y; p p x − − y + = − x3 , Đáp số (2; 3) ( x − 2)4 − = y Bài tập 4.14 Giải hệ phương trình sau: 1) (Cao đẳng 2010) p 2 x + y = − x − y, x2 − x y − y2 = ( x, y ∈ R) Đáp số {(1; −1); (−3; 7)} 2) 3) 4) p x + y + − p x + y = 1, Đáp số {(2; 1)} 2 x2 + x y + y2 + x + y − = 0; p x + y + − p x − y = 2, Đáp số {(2; 1)} x2 + x y − y2 + x − y − 13 = 0; p p x − y + x + y + = 4, x2 + x y + x − y2 y = 0; ảắ 51 , 5) 21 + x2 + y2 = ; 2x y 17 10 ;− Đáp số (3; 2), 3 ½ x2 + y2 + 2x y = ³ p5 p5 ´ ³ p5 p5 ´ ³ p5 p5 ´ ³ p5 p5 ´ Đáp số (2; 1), (1; 2), (−1; −2), (−2; −1), ; , ; , − ;− , − ;− 10 10 5 10 10 xy ½ ảắ + = 5, 2 x + y − x y 6) Đáp số (1; 5), ; 10 = + x y; 2 x + y + xy 12 17 + = 3, 2 x + y x − y 7) Đáp số {(2; 3); (−2; 3)} 34 + = 3; 3x − y 2x + y ẵ ảắ y + x y2 = x2 , 8) Đáp số (1; 2), ; 1 + x y = x ; Chủ đề Hệ phương trình 152 9) (B, 2009) 10) x y + x + = y, ẵ ảắ ỏp s (3; 1), 1; x2 y2 + x y + = 13 y2 ; 1 + x3 y3 = 19 x3 , 15) ả ¶¾ ; , − ; −2 3 9 x2 y + y2 = x; ỏp s 14) ẵà 27 x3 à y3 + y3 = 8, 11) (Dự bị 1, D, 2010) 13) ả ảắ 1 ; , ; −2 Đáp số y + x y2 = −6 x2 ; 12) (D, 2009) ẵà x( x + y + 1) = 0, ẵ ảắ Đáp số (1; 1), 2; − ( x + y)2 − + = 0; x2 x2 + y2 + x y + = y, Đáp số (−2; 5); (1; 2) y( x + y)2 = x2 + y + 2; x + x y − x + y = 0, Đáp số {(0; 0), (1; 1)} x4 + x2 y − x2 + y2 = 0; x( x + 2)(2 x + y) = 9, Đáp số {(1; 1), (−3; 9)} x2 + x + y = 6; x x + y + = 5, y 16) x ( x + y) · = 6; y 1 x + y + + = 5, x y 17) 1 2 x + y + + = 9; x y ẵ ảắ Đáp số (2; 1), ; 2 ! à !) p ! à p ! à p p 3+ 3− 3+ 3− 1; ; 1; , ;1 ; ;1 2 2 (à Đáp số 18) x + y + x2 + y2 = 8, x y( x + 1)( y + 1) = 12; Đáp số {(1; 2), (1; −3), (2; 1), (2; −2), (−2; 2); (−2; −3), (−3; 1), (−3; −2)} 19) x4 + x2 + y2 − y = 2, x2 y + x2 + y = 23; Đáp số (1; 3), (−1; 3) 4.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 20) 21) 22) x y + x + y = 1, x2 y + x y2 + x + y = 4; 2 x y + x + y = 2, 4 x2 y + x y2 + 12 x + y = 8; x y + x − y + = 0, 2 x− x y2 − 12 x + 18 y = 16; x2 y2 2x − y + , 1 + x y = 2p x− y xy 23) (2 x − y) · x − y = − x y; xy p 2x − y xy +p , 1 + x − y = xy x − y r 24) p xy x y = − x y; 2x y 153 ảắ ỏp s (1; 1), 3; ẵ ẵà ỏp s ẵà ả ắ 3; , (1; 2) ẵà ả ắ ; , (1; 1) ẵà ả ắ ; −2 , (1; 1) Đáp số Đáp số Đáp số p 1 + x y + x y = x, 25) 1 p p p + y y = p + y; x x x Đáp số (1; 0) p x + y + x2 − y2 = 12, 26) p y x2 − y2 = 12; Đáp số (5; 3); (5; 4) p x − y + = , 27) p y + 2( x − 2) x + = − p x + y + = , 28) p y + 2( x − 2) x + = − Bài tập 4.15 1) ả ảắ ;2 , ; 2 ả ỏp s 2; − ¶ 17 Đáp số −1; µ Giải hệ phương trình sau: 8 x2 y2 + 25 x y − y2 + 18 = 0, 2 x2 y + x 27 y2 = 0; ẵà ỏp s Trn Vn Ton ả ảắ 1 ; , 3; − 2 Chủ đề Hệ phương trình 154 2) 32 x2 y2 + 49 x y − y2 + 18 = 0, 3 x + x2 y − 27 y2 = 0; ẵà ỏp s 3) ả ảắ −3; , ; − 4 2 x2 y2 + 60 x y − y2 + 288 = 0, 2 x2 y + 24 x − y2 = 0; Đáp số {(−3; 12), (1; −4)} 4) 2 x2 y2 − x2 + 18 = 0, x2 − x y2 + y = 0; ẵà ả ảắ ỏp s 2; , 6; − 2 5) −2 x2 y2 + x2 + x y − 10 y2 − = 0, x2 y x + y2 = 0; ẵ ảắ Đáp số (−2; −1), 1; 6) 29 x2 y2 + 16 x y3 − 60 x y − y4 − y2 + 20 = 0, 6 x2 y2 − x y3 − x y + y2 = ả ả ắ ẵ 4 ỏp s (1; −1), − ; − , ; , (1; 1) 6 7) x2 y2 + 12 x y3 − 18 x y − 18 y4 − y2 + 27 = 0, x2 y2 − x y3 − x y + y2 = Đáp số {(−5; −1), (−1; −1), (1; 1), (5; 1)} Bài tập 4.16 Giải hệ phương trình sau: p p x + y − x − y = 2, 1) p p x + y − y − x = 1; Đáp số (2; 3) p p x + y − x − y = 1, 2) p x + y − p x − y = 2; Đáp số [[ x = 1, y = 1], [ x = 3, y = 2]] p p 2 x + y + − x − y = , 3) p p 3 − x − y − x + y − = 1; Đáp số (3; 1) 4.4 Hệ phương trình đối xứng loại 4) 5) 155 p p x + y + x + y = 10, Đáp số (−4; 20) p x + y + x + y = 16; p 11 x − y − p y − x = 1, Đáp số 7p y − x + y − 26 x = 3; ³1 3´ ; 2 Bài tập 4.17 Giải hệ phương trình sau: 1) 3 x2 + y2 + x y + 2 x + = −1; x− y = 20, ( x y)2 ẵ ả ảắ ỏp s (1; 2), − ; , 1; 3 2) 9( x2 + y2 ) + x y + 2 x + 3) = 3; x− y = 13, ( x − y)2 12( x2 + y2 ) + 12 x y + = 85, ( x + y)2 Đáp s x = y = ẵà ỏp số 6 x( x + y) + = 13( x + y); 4) 8( x2 + y2 ) + x y + 2 x + 5) = 1; x+ y = 13, ( x + y)2 ả ắ ; − , (2; 1) 3 Đáp số {(0; 1)} (4 x2 − x y + y2 − 51)( x − y)2 − = 0, (2 x − 7)( x − y) = ả ắ 51 ; , (4; 3) Đáp số (3; 4), 14 ½ µ Bài tập 4.18 (Thi thử Chuyên Lí Tự Trọng, Cần Thơ, khối B, 2014) 1+ y x(1 + x) = − , y2 ( x y + 1) · ( x2 y2 + 1) = y3 Đáp số x = ∧ y = 4.4 Hệ phương trình đối xứng loại Definition Hệ phương trình với hai ẩn x, y gọi hệ phương trình đối xứng loại ta thay x y thay y x phương trình hệ khơng thay đổi Chủ đề Hệ phương trình 156 Để giải hệ phương trình đối xứng loại thường ta đặt S = x + y P = x · y Ta có 1) x2 + y2 = ( x + y)2 − x y = S − 2P ; 2) x3 + y3 = ( x + y)3 − x y( x + y) = S − 3SP Chú ý • Nếu ( x; y) nghiệm hệ (đối xứng), ( y; x) nghiệm hệ Do đó, điều kiện cần để hệ có nghiệm nhât x = y • Do cách đặt S = x + y P = x y, nên x, y nghiệm (nếu có) phương trình X − S X + P = Từ đó, điều kiện để hệ có nghiệm S > 4P Bài tập 4.19 Giải hệ phương trình sau: x2 + y2 − x − y = , 1) 11 x y + x + y = ; 5 x2 − x y + y2 = 29, 2) ẵà ỏp s ả ảắ 3 ; ; ; , 2 2 7 x2 − x y + y2 = 43; Đáp số [ x = 3, y = 2], [ x = 2, y = 3], [ x = −2, y = −3], [ x = −3, y = −2] 3) x3 + x3 y3 + y3 = 17, Đáp số [ x = 2, y = 1], [ x = 1, y = 2] x + x y + y = 5; 4) x4 + x2 y2 + y4 = 91, x2 − x y + y2 = 7; Đáp số [[ x = 3, y = 1], [ x = −1, y = −3], [ x = 1, y = 3], [ x = −3, y = −1]] 5) x4 + x2 y2 + y4 = 84, x2 − x y + y2 = 6; âp p p p p p p p ê Đáp số ( 2; 2), (− 2; −2 2); (2 2; 2); (−2 2; − 2) 6) 7) x4 + x2 y2 + y4 = 136, x3 y + x y3 = 30; ( x2 + y2 )( x + y) = 15 x y, ( x4 + y4 )( x2 + y2 ) = 85 x2 y2 ; Đáp số {(1; 3), (−1; −3); (3; 1); (−3; −1)} Đáp số (0; 0), (4; 2); (2; 4) 4.4 Hệ phương trình đối xứng loại 8) 157 x3 + y3 = 19, Đáp số (−2; 3), (3; −2) ( x y + 8)( x + y) = 2; x y2 + = 12, 9) 1y x + = ; x y x3 y + x y3 = 10 ( x + y)2 , 10) 4 x y + x y = ( x + y)3 ; à p ! à p !) p p 5−3 5−3 −3 − 3 − (6; 6); ;− ; ; 2 2 ( Đáp số Đáp số {(0; 0), (1; 2), (2; 1), (−1; −2), (−2; −1)} 11) 12) 13) x + y + p x y = 14, Đáp số {[ x = 2, y = 8], [ x = 8, y = 2]} x2 + y2 + x y = 84; xp x + yp y = 341, Đáp số {[ x = 25, y = 36], [ x = 36, y = 25]} p xp y + y x = 330; x2 y + y2 x = 20, Đáp số {[ x = 1, y = 4], [ x = 4, y = 1]} p xp y + y x = 6; r r x y + = p + 1, x xy 14) p y p x3 y + y3 x = 78; Đáp số {(−9; −4), (−4; −9), (4; 9), (9; 4)} Hướng dẫn • Điều kiện để hệ phương trình cho có nghĩa x y dấu • Nhận xét ( x; y) nghiệm hệ phương trình, (− x; − y) nghiệm hệ, nên trước hết, ta xét x > y > • Với x > y > 0, đặt u = p p x, v = y, hệ cho trở thành u v + = + 1, v u uv u3 v + v3 u = 78 r r x y 61 + = p + 1, x xy 15) p y p 4 x3 y + y3 x = 78; Đáp số {(−81; −16), (−16; −81), (16; 81), (91; 16)} Hướng dẫn Nếu x > y > 0, đặt u = p x, v = p y Hệ cho trở thành 2 u + v = 61 + 1, v2 u u v2 u3 v + v3 u = 78 Chủ đề Hệ phương trình 158 16) x + y + x y = 12, p p x y + y = 0; x+ p © p p p p ª Đáp số (10 + 3; 10 − 3), (10 − 3; 10 + 3) Hướng dẫn Đặt p x = u, p y = v p p x + y = 3, 17) p p x y + y2 = 3; x2 − p 18) 19) Đáp số {(1; 8), (8; 1)} p x + p y = , Đáp số (1; 64); (64; 1) p y = x+ p s x+ + y r y+ p = 2, x Đáp số (1; 1) ( x2 + 1) y + ( y2 + 1) x = x y; 20) p p p x2 + y2 + x y = 2, Đáp số (4; 4) p x + p y = 4; 1 x + y + + = , x y 21) = ; x y + xy Đáp số [[ x = 2, y = 1], [ x = 1, y = 2], [ x = 1, y = 1/2], [ x = 1/2, y = 1]] 22) 23) 24) ( x + y)(1 + x y) = x y, Đáp số (1; 1) ( x2 + y2 )(1 + x2 y2 ) = x2 y2 ; x + y + x y = 5, Đáp số {(1; 2), (2; 1)} ( x + 1)3 + ( y + 1)3 = 35 p p − x2 − − y2 = 2( x + y), x2 + y2 + x y = − ; p p x + y = 6, 25) p p x + 16 + y + 16 = 10; p p x + + y + = 4, 26) p p x + + y + = 6; ©p p p p ª Đáp số ( 2/4; − 2/4); (− 2/4; 2/4) Đáp số (3; 3) Đáp số (2; 2) 4.5 Hệ phương trình phản xứng 159 x + y − p x y = 3, 27) (A, 2006) p p x + + y + = 4; Đáp số (3; 3) x2 + y + x3 y + x y2 + x y = − , 28) (A, 2008) x4 + y2 + x y(1 + x) = − 29) x2 + y + x3 y + x y2 + x y = 1, x4 + y2 + x y(1 + x) = ( x, y R) (à !) p ả p 3 10 100 Đáp số 1; − , ;− 2 ( x, y ∈ R) Đáp số {(−1; −1), (−1; 0), (0; 1), (1; −3), (1; 0)} 4.5 Hệ phương trình phản xứng Trường hợp hệ phương trình có chứa lượng x − y x · y, thường ta đặt S = x − y P = x y Cũng đặt t = − y để đưa hệ cho hệ đối xứng theo x t Bài tập 4.20 Giải hệ phương trình sau: 1) x y + x − y = 3, x2 y − x y2 = 2; p p p p Đáp số (−1; −2), (2; 1), ( + 1; − 1), (1 − 2; − − 1) 2) 3) 4 x2 + y2 − x + y − x y − = 0, Đáp số {(0; −2), (2; 0)} 3 x2 + y2 − x y − 12 = 0; 2 x2 + y2 − x + y = 86, x2 + y2 + x y = 37; Ãp ! à p ! p p 157 − 11 157 + 11 − 157 − 11 − 157 + 11 ; , ; , (3; −7), (7; −3) Đáp số 4 4 4) (A, 2012) x3 − x2 − x + 22 = y3 + y2 − y, x2 + y2 − x + y = ( x, y R) ả ả 3 Đáp số ( x; y) = ; − ( x; y) = ; − ; 2 2 µ Bài tập 4.21 Giải phương trình p p p 3 ( x + − x) · (2 − x2 + x) + = Chủ đề Hệ phương trình 160 Hướng dẫn Đặt a = p p x Hệ cho trở thành (a − b)(2 − 3ab) + = 0, (a − b)(2 − 3ab) + = 0, ⇔ (a − b)3 + 3ab(a − b) = a3 − b = 4.6 x + 4, b = (à p !3 à p !3 ) 5−1 5−1 Đáp số ;− 2 Hệ phương trình đối xứng loại hai Definition Hệ gồm hai phương trình với hai ẩn x, y gọi hệ phương trình đối xứng loại hai thay x y thay y x, phương trình trở thành phương trình kia.2 Xét hệ hệ phương trình đối xứng loại hai dạng f ( x, y) = (4.7) g( x, y) = Để giải hệ (4.7), ta viết f ( x, y) = 0, g( x, y) = ⇔ f ( x, y) − g( x, y) = 0, g( x, y) = Sau đó, phân tích f ( x, y) − g( x, y) = thành tích, có nhân tử x − y Bài tập 4.22 Giải hệ phương trình sau: 1) 2) 2 x2 − x = y2 − 2, Đáp số {(1; 1), (2; 2)} 2 y2 − y = x2 − 2; x3 + = y, y3 + = x; p ! à p p !) p −1 − −1 − −1 + −1 + ; ; ; (1; 1), 2 2 ( Đáp số 2 x + y = , x 3) 2 y + x = ; y2 2 x + = , y x 4) 2 y + = ; x y à Đáp số {(1; 1)} âp p Ă p p  ê ỏp s ( 2; − 2), − 2; ; (1; 1), (−1; −1) 4.6 Hệ phương trình đối xứng loại hai 161 2 x = y + , y 5) 2 y2 = x + ; x y2 + 3 y = , x2 6) (B, 2003) x2 + 3 x = ; y2 p p x + + y = 5, 7) p p y + + x = 5; Đáp số {(1; 1)} Đáp số {(1; 1)} Đáp số {(3; 3)} p p x + − y + x = −1, 8) p p y + − x + y = −1; 9) (Dự bị A, 2007) Đáp số {(4; 4)} p x + x2 − x + = y−1 + 1, p y + y2 − y + = x−1 + Đáp số {(1; 1)} 10) (Dự bị B, 2007) x + p 2x y x2 − x + = x2 + y, 2x y = y2 + x y + p y − 2y + Đáp số {(0; 0), (1; 1)} 11) (Dự bị B, 2007) Chứng minh hệ phương trình y x , e = 2007 − p y −1 x e y = 2007 − p x2 − có hai nghiệm ( x; y) thoả mãn x > 1, y > Bài tập 4.23 Giải phương trình sau: 1) x2 + x + = 2; p 2) x3 + = · x − 1; 3) p ) −1 + Đáp số −1; ( p ) −1 ± Đáp số 1, (p ) 13 − Đáp số ( p pp x2 + x − + x2 − = x; p Hướng dẫn Đặt y = x2 + x − Chủ đề Hệ phương trình 162 p − − x = x; r 5) x + = 16 x3 − 4) p ỏp s 6) â p ê â p ê ỏp số 13 + r Hướng dẫn Đặt ©p ª 7−1 x+ = y p 17 − 45 − x = x − 14; p Hướng dẫn Đặt y = 45 − x, phương trình cho trở thành p Đáp số 13 + p 17 − y = 17 − y2 Lại đặt z = p 17 − y, ta hệ phương trình z2 = 17 − y, y2 = 17 − z ? Với phương trình có dạng p ax + b = cx2 + dx + e, ta đưa hệ phương trình đối xứng loại II Ví dụ 4.10 Giải phương trình x2 − x − = p x + Lời giải Phương trình cho tương đương với 2 x − x − > , (2 x2 − x − 1)2 = x + Đặt p x + = α y + β Ta có hệ phương trình 2 x2 − x − = α y + β, α2 y2 + 2αβ y + β2 = x + ⇔ 4 x2 − 12 x − 2α y = 2β + α2 y2 + 2αβ y − x = − β2 Đưa hệ phương trình hệ đối xứng loại II cách chọn α2 = 4, 2αβ = −12, −4 = −2α, 5 − β2 = 2β + Đặt p x + = y − Ta có hệ phương trình 4 x + = y2 − 12 y + 9, 2 x − x − = y − ⇔ ⇔ α = , β = −3 y2 − y − x + = 0, x2 − x − y + = 4.6 Hệ phương trình đối xứng loại hai 163 Hệ phương trình sau cho ta nghiệm p p (1 + 2; − 2), p p (1 − 2; + 2), p p (2 + 3; + 3), p p (2 − 3; − 3) p p Các giá trị x thoả x2 − x − > + − © p p ª Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = + 3; − Chú ý Đối với phương trình có dạng p ax + b = cx2 + dx + e, a, c 6= 0, 6= c Xét f ( x) = cx2 + dx + e Ta có f ( x) = cx + d, Đặt p f ( x) = ⇔ x = − d 2c ax + b = c y + d Bài tập 4.24 Giải phương trình sau: p 1) x2 − x = 2 x + 3; © p 2) x2 − x = 2 x − 1; p 3) −4 x2 + 13 x − = x + p p ª Đáp số + 10; − © p ª Đáp số + ( Đáp số p p ) 15 − 97 11 + 73 ; 8 Đồng Nai, năm học 2018 – 2019, Sắp chữ LATEX Trần Văn Toàn, Giáo viên trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hoà, Đồng Nai Tài liệu tham khảo [1] Suprun V.P, Toán học cho học sinh trung học (tiếng Nga), M.: LKI, 2008 [2] Suprun V.P, Toán học cho học sinh trung học, Phương pháp khơng mẫu mực để giải tốn (tiếng Nga), M.: LKI, 2009 [3] Balayan E.N, 800 tập olympiad toán học để chuẩn bị cho kỳ thi Lớp 9-11 (tiếng Nga), 2008 [4] A.I Kozko, V.S.Panfyorov, I.N.Sergeev, V.G.Chirsky, Các tốn có chứa tham số tốn không mẫu mực (tiếng Nga), Moscow Publisher Mir, 2016 [5] Khoroshilova E.V, Elementary Mathematics Textbook for high school students (tiếng Nga), M : MGU Publishing House, 2010