Trong xây dựng hiện đại ngày nay, các kết cấu dạng tấm và vỏ mỏng hiện đang là một xu hướng phát triển tất yếu trong công trình kiến trúc. Việc sử dụng kết cấu dạng tấm và vỏ mỏng đã tao ra nhiều lựa chọn cho không gian kiến trúc hiện đại cho con người. Bên cạnh đó, loại kết cấu này đòi hỏi quá trình tính toán thiết kế phức tạp, độ an toàn và tuổi thọ công trình sử dụng cao hơn so với các kết cấu thông thường khác. Bài toán xác định tải trọng giới hạn của kết cấu tấm vỏ mỏng là bài toán phức tạp. Bài toán này không có thuật toán chung mà phải tùy từng kết cấu cụ thể.
XÁC ĐỊNH CẬN DƯỚI TẢI TRỌNG GIỚI HẠN TRONG BÀI TOÁN TẤM VÀ VỎ MỎNG THEO ĐIỀU KIỆN DẺO ThS Tăng Văn Lâm, KS Ngô Xuân Hùng Khoa Xây dựng, Đại học Mỏ - Địa chất MỞ ĐẦU Trong xây dựng đại ngày nay, kết cấu dạng vỏ mỏng xu hướng phát triển tất yếu cơng trình kiến trúc Việc sử dụng kết cấu dạng vỏ mỏng tao nhiều lựa chọn cho không gian kiến trúc đại cho người Bên cạnh đó, loại kết cấu địi hỏi q trình tính tốn thiết kế phức tạp, độ an tồn tuổi thọ cơng trình sử dụng cao so với kết cấu thông thường khác Bài toán xác định tải trọng giới hạn kết cấu vỏ mỏng toán phức tạp Bài tốn khơng có thuật tốn chung mà phải tùy kết cấu cụ thể Điều kiện chuyển từ trạng thái đàn hồi sang trạng thái dẻo (đàn dẻo) gọi điều kiện dẻo Với trạng thái ứng suất đơn: Biến dạng dẻo xuất Đây điều kiện dẻo trạng thái ứng suất đơn Với trạng thái ứng suất phức tạp: - Việc xuất biến dạng dẻo phân tố trạng thái ứng suất phức tạp phụ thuộc vào nhiều thông số Để thông số đạt đến giá trị cần thiết tương ứng xuất biến dạng dẻo phải thỏa mãn số điều kiện Các điều kiện gọi điều kiện dẻo - Về tổng quát, điều kiện dẻo viết dạng hàm phụ thuộc vào ứng suất (1) - Tuy nhiên để có biểu thức cụ thể điều kiện dẻo phù hợp với thực tế q trình phát triển Theo [1], có hai điều kiện dẻo mang tính truyền thống thường sử dụng là: Điều kiện dẻo Tres-Saint Venant (hay điều kiện ứng suất tiếp cực đại không đổi) Điều kiện dẻo Vol-Mises (hay gọi điều kiện cường độ ứng suất tiếp không đổi) CẬN DƯỚI CỦA TẢI TRỌNG GIỚI HẠN VÀ CÁCH XÁC ĐỊNH CHO BÀI TOÁN TẤM VÀ VỎ MỎNG Trạng thái cân giới hạn (CBGH) trạng thái chuyển tiếp từ giai đoạn kết cấu khả chịu lực sang giai đoạn kết cấu hoàn toàn hết khả chịu lực (hệ biến thành cấu) Lực tương ứng với trạng thái gọi lực giới hạn (Pgh) Lúc hệ khảo sát xuất biến dạng chuyển vị lớn dẫn đến kết cấu nhanh chóng chuyển từ bất biến hình biến hình mà ta thường gọi hệ biến thành cấu Về nguyên lý điều kiện để xác định tải trọng giới hạn là: dP( f ) 0 df (2) Trong P(f) hàm tải trọng phụ thuộc vào biến số chuyển vị f Như trạng thái CBGH kết cấu bao gồm trạng thái cân khơng ổn định mà ta thường gọi tượng ổn định loại hai Hiện tượng xảy vật liệu làm việc giới hạn đàn hồi Khi vật liệu làm việc miền đàn hồi lý thuyết trạng thái CBGH coi nghiên cứu toán ổn định hệ đàn hồi Khi vật liệu làm việc miền đàn hồi (bắt đầu xuất biến dạng dẻo) lý thuyết trạng thái CBGH nghiên cứu toán lý thuyết dẻo Do lý thuyết trạng thái CBGH hiểu phận lý thuyết dẻo mà đó: ta khơng cần thiết phải xác định toàn trạng thái ứng suất, biến dạng, chuyển vị, miền dẻo,… trình chịu lực kết cấu mà cần khảo sát, phân tích để xác định trạng thái chuyển tiếp từ giai đoạn hệ bảo toàn cân lực sang giai đoạn hết khả bảo toàn cân lực – Trạng thái CBGH kết cấu Một công cụ thường dùng để khảo sát trạng thái CBGH kết cấu định lý tĩnh động nhà học Liên Xô A.A Gvozdev [3] phát biểu từ năm 1930 Tuy nhiên, tính phổ cập hai định lý dừng lại cho tính toán kết cấu dạng Giá trị chủ yếu định lý dựa vào định lý tĩnh để xác định cận tải trọng giới hạn (TTGH) Pgh(t), dựa vào định lý động để xác định cận TTGH Pgh(đ) tức ta có: Pgh(t) ≤ (Pgh) ≤ Pgh(đ) (3) Trong toán kết cấu khơng phức tạp việc xác định quan hệ (3) hoàn toàn thực (thậm trí dùng thuật tốn đơn giản) Với kết cấu hệ phức tạp việc dùng định lý động khơng thực khơng tính tốn khảo sát khơng biết hình thái biến dạng hết khả chịu lực kết cấu (dù giả thiết) Trong đó, dùng định lý tĩnh hồn tồn xác định cận TTGH Cách dùng phức tạp nhờ có cơng cụ phương pháp số nên kết nhận đủ độ tin cậy Mặt khác, cận TTGH ln lớn đáng kể tải trọng tính theo ứng suất cho phép, đồng thời lúc xuất miền chảy dẻo vật liệu làm cho hệ có chuyển vị biến dạng lớn Với ý nghĩa này, viết nêu lên cách xác định cận TTGH theo điều kiện dẻo dựa cào định lý tĩnh, vừa khả thi vừa yên tâm với kết nhận được, dùng để tính tốn khống chế khả sụp đổ cơng trình a) Khái niệm mặt cong, đường cong giới hạn Về tổng quát định lý tĩnh xây dựng cho toán chiều lý thuyết đàn hồi – dẻo Trong tính tốn kết cấu cơng trình với kết cấu dạng thanh, tấm, vỏ khái niệm tổng quát sau Thay việc khảo sát toàn trạng thái ứng suất cấu kiện ứng lực Giả sử hệ xét có ứng lực Q1, Q2,… tương ứng với ứng lực biến dạng q1, q2,… Với chịu kéo uốn đồng thời Q1 lực dọc N, Q2 mômen uốn M Các biến dạng tương ứng biến dạng dọc trục độ cong Hệ xét trạng thái CBGH hệ đồng thời thỏa mãn điều kiện cân điều kiện dẻo: i Q1 , Q2 , fi Q1 , Q2 , C (C số thực nghiệm) Điều kiện cân bằng: (4) Điều kiện dẻo: (5) Phương trình (4) thỏa mãn điều kiện (5) cho ta mặt lồi bao quanh gốc hệ tọa độ Q1, Q2,… (6) i Q1 , Q2 , , C Với chịu uốn cộng kéo nén đồng thời trạng thái CBGH biểu thị đường cong khép kín mảnh parabol mà phương trình là: M , N Q1, Q2 M2 N2 1 M gh N gh Trong đó: N gh ch dF ch dF M ydF ydF gh ch ch Fk Fn Fk Fn (7) Đường cong mơ tả phương trình (7) đường cong kín lồi gọi đường cong giới hạn b) Cách xác định cận TTGH cho toán tấm, vỏ Theo [1], [2], nguyên lý chung định lý tĩnh ta có: Trạng thái ứng suất tĩnh thỏa mãn điều kiện cân nằm mặt (đường) giới hạn (chảy dẻo) Do đó, để xác định TTGH, ta dùng điều kiện cân bằng, điều kiện dẻo dạng (4) (5) Để minh hoạ cho ý tưởng nêu trên, xét tốn vỏ trịn xoay có chiều dày h khơng đổi chịu tải trọng đối xứng trục Hình Mơ hình vỏ trịn xoay có chiều dày khơng đổi chịu tải trọng đối xứng trục Xét cân phân tố tách khỏi vỏ hai mặt phẳng kinh tuyến hai mặt phẳng vĩ tuyến gần sát (Hình 2), ta nhận phương trình cân là: d ( N R ) N R1Cos RQ R1 RY d d N R N R1 Sin (Q R ) R1 RZ d d ( M R ) M R1Cos Q R1 R d (8) Trong đó: Y, Z cường độ tải trọng tác dụng mặt phẳng kinh tuyến song song với trục tọa độ R1, R2 bán kính cong đường cong Từ điều kiện dẻo Mises ta có: 12 (9) ( N 2 N N N 2 ) ( M 2 M M M 2 ) ch2 h h Khi thành phần ứng lực vỏ nêu thỏa mãn điều kiện (9) xuất miền dọc theo đường vĩ tuyến mà vật liệu bị chảy dẻo hoàn toàn Điều kiện (9) cho phép ta dùng để xác định cận TTGH Thực tế lúc này, kết cấu hết khả chịu lực Do đó, với kết cấu phức tạp dạng vỏ việc xác định cận TTGH coi việc xác định tải trọng ứng với trường hợp kết cấu hoàn toàn hết khả chịu lực Điều hoàn toàn phù hợp với thực tế BÀI TOÁN TẤM, VỎ THEO ĐIỀU KIỆN DẺO Tấm chữ nhật chịu uốn tải trọng phân bố q Liên kết kích thước hình vẽ Xác định tải trọng thỏa mãn điều kiện Vol-Mises hai trường hợp: - Điều kiện dẻo viết theo ứng suất - Điều kiện dẻo viết theo ứng lực + Chọn có thơng số hình học sau: - Tấm kích thước: a = 1.50m, b = 3.0m - Chiều dày tấm: h = 0.02 (m); + Vật liệu(thép) tải trọng sau: - Môđun đàn hồi: E = 2.0*108 (kN/m2); - Hệ số Poission: 3 - Ứng suất chảy vật liệu: σch = 3.5*105 (kN/m2) - Tải trọng phân bố ban đầu 10 kN/m2 Hình Mơ hình tình tốn + Phần mềm tính tốn: Ở sử dụng chương trình SAP2000 để tính tốn Xét điều kiện dẻo viết theo ứng suất Điều kiện dẻo Vol-Mises viết theo ứng suất: 2 2 2 2 x y y z z x xy yz zx 2 ch (10) Áp dụng cho toán tấm: bỏ qua σz , τyz , τzx x y x y 3 xy ch Đặt: VT = (11) x y x y 3 xy VP = ch Xét tỷ số VT/VP, ứng suất tương ứng với tải trọng phân bố q thỏa mãn: tỷ số VT/VP xấp xỉ q cận TTGH cần tìm Hình 3: Vị trí nút SAP2000 Ứng suất S11, S22, S12 mơ hình SAP2000 tương ứng ứng suất σx , σy , τxy công thức (11) Ta có biểu đồ ứng suất S11, S22, S12 (mặt – Top Face, mặt – Bottom Face: ứng suất giống mặt độ lớn ngược dấu) trường hợp tải trọng phân bố ban đầu q = 10KN/m2 sau: Nút 86 σx= 107047.89 Hình 4: Biểu đồ ứng suất σx (S11) – Top Face Nút τxy= 28598.55 Nút τxy= -28598.55 Hình 5: Biểu đồ ứng suất τxy (S12) – Top Face Bảng tổng hợp ứng suất lớn vị trí mặt với q=10KN/m2 sau: Bảng 1: Vị trí nút có ứng suất σx, σy, τxy lớn Giá trị (kN/m2) Ứng Vị trí lớn VT suất σx σy τxy σx Nút 86 32114.37 107047.89 9052807967 σy Nút 17 -3.96 1622234324 -40278.95 τxy Nút (Nút1) 363.09 177.07 2453730082 ±28598.55 Từ bảng cho thấy nút 86 khả bị chịu chảy dẻo tải trọng vượt TTGH cao Vì vậy, ta kiểm tra ứng suất vị trí nút 86 trường hợp thử tải khác Bảng tổng hợp ứng suất trường hợp thử tải vị trí nút 86 sau: Bảng 2: Ứng suất vị trí nút 86 trường hợp thử tải STT q KN/m2 σx KN/m2 10.000 107048 20.000 σy KN/m2 τxy KN/m2 σch KN/m2 VT VP VT/VP 32114.4 3.50E+05 9.05E+09 1.23E+11 0.07390 214096 64228.7 3.50E+05 3.62E+10 1.23E+11 0.29560 30.000 321144 96343.1 3.50E+05 8.15E+10 1.23E+11 0.66510 40.000 428192 128457.5 3.50E+05 1.45E+11 1.23E+11 1.18241 38.000 406782 122034.6 3.50E+05 1.31E+11 1.23E+11 1.06712 36.000 385372 115611.7 3.50E+05 1.17E+11 1.23E+11 0.95775 36.500 390725 117217.4 3.50E+05 1.21E+11 1.23E+11 0.98454 36.700 392866 117859.7 3.50E+05 1.22E+11 1.23E+11 0.99536 36.785 393776 118132.7 3.50E+05 1.22E+11 1.23E+11 0.99997 Ta thấy với q = 36.785 KN/m2 VT/VP xấp xỉ 1, cận TTGH tốn tấm, vỏ với điều kiện dẻo viết theo ứng suất Xét điều kiện dẻo viết theo ứng lực Điều kiện dẻo Vol-Mies viết theo ứng lực cho toán tấm: M x M y M x M y 3 xy M ch (12) h2 M ch ch Trong đó: 2 Đặt: VT = M x M y M x M y 3 xy VP = M ch h2 ch 4 Xét tỷ số VT/VP, ứng lực tương ứng với tải trọng phân bố q thỏa mãn: tỷ số VT/VP xấp xỉ q cận TTGH cần tìm Mơmen M11, M22, M12 mơ hình SAP2000 tương ứng mômen Mx, My, Mxy cơng thức (12) Ta có biểu đồ mơmen M11, M12 (mặt – Top Face, mặt – Bottom Face: mômen giống mặt độ lớn ngược dấu) trường hợp tải trọng phân bố ban đầu q = 10kN/m2 sau: Hình 6: Biểu đồ mơmen Mx (M11) Nút Mxy= -1.907 Nút Mxy= 1.907 Hình 7: Biểu đồ mômen Mxy (M12) Bảng tổng hợp mômen lớn vị trí mặt với q=10kN/m2 sau: Bảng 3: Vị trí nút có mômen Mx, My, Mxy lớn Ứng suất Giá trị (kNm/m) Vị trí lớn VT Mx My Mxy Mx Nút 86 -2.141 -7.137 40.240 My Nút 17 0.0003 7.208 2.685 Mxy Nút (Nút1) -0.024 -0.012 10.910 ±1.907 Từ bảng cho thấy nút 86 khả bị chịu chảy dẻo tải trọng vượt TTGH cao Vì vậy, ta kiểm tra mơmen vị trí nút 86 trường hợp thử tải khác Bảng tổng hợp mômen trường hợp thử tải vị trí nút 86 sau: Bảng 4: Mơmen vị trí nút 86 trường hợp thử tải STT q Mx My Mxy σch KN/m2 KNm/m KNm/m KNm/m kN/m2 VT VP VT/VP 10 -7.137 -2.141 3.50E+05 40.235 1225 0.03284 20 -14.273 -4.282 3.50E+05 160.939 1225 0.13138 50 -35.683 -10.705 3.50E+05 1005.868 1225 0.82112 60 -42.819 -12.846 3.50E+05 1448.449 1225 1.18241 55 -39.251 -11.775 3.50E+05 1217.100 1225 0.99355 55.5 -39.607 -11.879 3.50E+05 1239.349 1225 1.01171 55.2 -39.394 -11.818 3.50E+05 1225 1.00079 1225.968 Ta thấy với q = 55.2 kN/m2 VT/VP xấp xỉ 1, cận TTGH toán tấm, vỏ với điều kiện dẻo viết theo ứng lực KẾT LUẬN - Cận TTGH điều kiện dẻo viết theo ứng lực lớn điều kiện dẻo viết theo ứng suất; hai kết hoàn toàn phù hợp với làm việc vật liệu Tải trọng vật liệu biến dạng dẻo hoàn toàn (điều kiện dẻo viết theo ứng lực) lớn nhiều so với tải trọng bắt đầu xuất biến dạng dẻo mép (điều kiện dẻo viết theo ứng suất) - Khi tăng tải tác dụng đến thời điểm xuất biến dạng dẻo mép mép điểm tấm, tiếp tục tăng tải biến dạng dẻo tiếp tục phát triển vào phía tiết diện vật liệu bị chảy dẻo hồn tồn điểm Khi tải trọng tương ứng cận TTGH TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] PGS.TS Lê Ngọc Thạch; Bài giảng cho học viên cao học Phân tích kết cấu ngồi giới hạn đàn hồi [2] PGS.TS Lê Ngọc Thạch, ThS Mai Châu Anh; Định lý tĩnh, động lý thuyết cân giới hạn khả ứng dụng để phân tích trạng thái giới hạn kết cấu dạng tấm, vỏ [3] PGS.TS Lê Ngọc Hồng; Giáo trình Sức bền vật liệu, NXB Khoa học Kỹ thuật