Một số quá trình ngẫu nhiên và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LAN MỘT SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2022 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LAN MỘT SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn PGS.TS LÊ VĂN DŨNG Đà Nẵng - 2022 MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cam đoan Mở đầu Chương Kiến thức sở 1.1 1.2 1.3 Không gian xác suất 10 1.1.1 Định nghĩa 10 1.1.2 Tính chất 11 Biến ngẫu nhiên 13 1.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc 13 1.2.2 Biến ngẫu nhiên liên tục 14 Kì vọng, phương sai, hiệp phương sai hệ số tương quan 15 1.3.1 Phương sai 17 1.3.2 Hiệp phương sai 18 1.3.3 Hệ số tương quan 19 1.3.4 Phân phối Poission 20 1.3.5 Phân phối chuẩn nhiều chiều 20 Chương Một số trình ngẫu nhiên ứng dụng 2.1 10 21 Quá trình ngẫu nhiên 21 2.1.1 Định nghĩa kí hiệu 21 2.1.2 Phân phối hữu hạn chiều 22 2.2 Quá trình Gauss 23 2.3 Quá trình có số gia độc lập 23 2.4 Quá trình Wiener 24 2.5 Quá trình dừng 30 2.5.1 Quá trình dừng thời gian rời rạc 30 2.5.2 Quá trình dừng thời gian liên tục 41 2.5.3 Ví dụ áp dụng 44 2.6 Quá trình Poission 47 2.7 Quá trình Ito 48 2.8 2.7.1 Định nghĩa tính chất 48 2.7.2 Tính vi phân ngẫu nhiên 60 2.7.3 Công thức Itô 63 Ứng dụng trình ngẫu nhiên 64 2.8.1 Xác suất phá sản 65 2.8.2 Mơ hình Cramér–Lundberg 66 2.8.3 Mơ hình Brown cổ điển 70 Kết luận 71 Tài liệu tham khảo 72 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong lý thuyết xác suất trường liên quan, trình ngẫu nhiên đối tượng toán học thường định nghĩa họ biến ngẫu nhiên Các trình ngẫu nhiên sử dụng rộng rãi mơ hình tốn học hệ thống tượng khác cách ngẫu nhiên Các ví dụ bao gồm phát triển quần thể vi khuẩn, dòng điện dao động nhiễu nhiệt, chuyển động phân tử khí Q trình ngẫu nhiên có ứng dụng nhiều ngành sinh học, hóa học, sinh thái học, khoa học thần kinh, vật lý, xử lý hình ảnh, xử lý tín hiệu, lý thuyết điều khiển, lý thuyết thơng tin, khoa học máy tính, mật mã viễn thông Hơn nữa, thay đổi dường ngẫu nhiên thị trường tài thúc đẩy việc sử dụng rộng rãi trình ngẫu nhiên tài Ngày nay, lĩnh vực kinh tế, thị trường chứng khốn, thống kê, khí tượng thủy văn ta thường gặp hệ ngẫu nhiên mà trình phát triển tương lai khơng phụ thuộc vào mà phụ thuộc vào khứ Khi dự báo cho tương lai trình không quan tâm đến mà phải quan tâm đến khứ hệ Mơ hình xác suất để mơ tả q trình gọi trình dừng Nếu dãy khơng dừng, nghiên cứu xu hướng cho riêng giai đoạn xem xét Vì chuỗi thời gian giai đoạn riêng biệt Cho nên khái qt hóa kết phân tích cho giai đoạn khác Đối với mục đích dự báo, chuỗi khơng dừng khơng có giá trị ứng dụng thực tiễn Hơn nữa, có hai nhiều chuỗi khơng dừng, phân tích hồi quy với chuỗi dẫn đến tượng hồi quy giả mạo hồi quy vơ nghĩa Vì vậy, phân tích hồi quy với liệu chuỗi thời gian, giả định quan trọng chuỗi thời gian xem xét dãy dừng Quá trình dừng trở thành lĩnh vực quan trọng có nhiều ứng dụng Lý thuyết xác suất Chính ứng dụng quan trọng phong phú trình dừng với hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Lê Văn Dũng chọn đề tài: “MỘT SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG” cho luận văn thạc sỹ Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Mục đích nghiên cứu: Luận văn nhắm vào hệ thống lại kiến thức sở liên quan, nghiên cứu định nghĩa, tính chất, ứng dụng số trình ngẫu nhiên - Nhiệm vụ nghiên cứu: +) Hệ thống lại lý thuyết không gian xác suất, kỳ vọng, phương sai, hiệp phương sai biến ngẫu nhiên +) Nghiên cứu ứng dụng trình ngẫu nhiên vào lĩnh vực, môn học khác Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Quá trình Gaussian, q trình có số gia độc lập, q trình Wiener, trình Ito, trình dừng - Phạm vi nghiên cứu: luận văn nghiên cứu trình Gaussian, q trình có số gia độc lập, q trình Wiener, trình Ito, trình N P f (t)dWt > c ≤ P |f (t)| > N + c a a Bổ đề 2.7.19 Nếu f ∈ C1 , tồn (fn )n∈N ∈ S N cho Z b lim |f (t) − fn (t)|2 dt = hầu chắn n→∞ a ĐịnhZ nghĩa 2.7.20 Nếu f ∈ C1 (fn )n∈N ∈ S N cho b lim |f (t) − fn (t)|2 dt = hầu chắn, giới hạn xác suất n→∞ a Z b  dãy biến ngẫu nhiên fn (t)dWt hội tụ tích phân Itơ a n∈N f Định lí 2.7.21 Cho f ∈ C1 (fn )n∈N ∈ C1N Nếu P − lim |fn (t) − f (t)|2 dt = 0, n→∞ P − lim fn (t)dWt = n→∞ b Z fn (t)dWt a Chứng minh Lấy cố định c > 0, ρ > 0, ta có  Z b  Z b  P (fn (t) − f (t)) dWt > c ≤ P |fn (t) − f (t)| > c2 ρ + ρ a a 57 Vì f ∈ C S trù mật C , tồn (fn )n∈N ∈ S N cho Z b  lim E |fn (t) − f (t)|2 dt = n→∞ Z Đặt Xn = b (2.7) a |fn (t) − f (t)|2 với n ∈ N, áp dụng bất đẳng thức a Markov ta có λ ∀λ > : P (Xn ≥ λE [Xn ]) ≤ E [Xn ] với  = λE [Xn ] Nhưng theo (2.7),  lim E [Xn ] = 0, lim P (Xn ≥ ) = và P (Xn ≥ ) ≤ n→∞ n→∞ P − lim |fn (t) − f (t)|2 dt = (2.8) n→∞ Từ (2.8) Định lí 2.6.13, ta có P − lim fn (t)dWt = Z f (t)dWt n→∞ Z giới hạn n b (2.9) a b f (t)dWt tích phân ngẫu nhiên f C1 Mặt a khác, Φ(fn ) → Φ(f ) xác suất, Z b f (t)dWt P − lim fn (t)dWt = n→∞ (2.10) a Từ (2.9) (2.10), với giới hạn ta có điều phải chứng minh Chú ý 2.7.22 Nếu f ∈ C1 P Z b  |f (t)| dt = = 1, a ∀N > : Z P b  |f (t)| dt > N =0 a