Xử lý bài toán phần tử hữu hạn hệ giàn phẳng bằng phần mềm abaqus

lOMoARcPSD|15963670 lOMoARcPSD|15963670 Mục Lục Phần 1:Giải toán Euler Mathlab I) Cơ sở lý thuyết II)Giải toán matlab Phần 2:Phần tử hữu hạn hệ giàn phẳng I)Cơ sở lí thuyết II)Bài tập ví dụ 10 III)Ứng dụng hệ giàn phẳng 12 Tài Liệu Tham Khảo 31 Danh sách thành viên STT Họ tên MSSV Võ Minh Huy 2113559 Phạm Quốc Sách 2114644 Dương Quang Linh 2111641 Nguyễn Duy Khánh 2113703 Võ Trung Hiếu 2110170 lOMoARcPSD|15963670 Phần 1:Giải toán Euler Mathlab I) Cơ sở lý thuyết Xét toán { 𝑦 ′ (𝑡) = 𝑓(𝑡, 𝑦(𝑡)), 𝑡 ≥ 𝑡0 𝑦(𝑡0 ) = 𝑦0 𝑎≤𝑡≤𝑏 (1) Với 𝑦 = 𝑦(𝑡) hàm cần tìm, khả vi đoạn [𝑎, 𝑏] với 𝑡 ≥ 𝑡0 , 𝑦0 giá trị ban đầu cho trước hàm điểm 𝑡 = 𝑡0 𝑓(𝑡, 𝑦) hàm hai biến liên tục với các đạo hàm riêng Euler dựa vào ý nghĩa hình học để đưa cơng thức tìm 𝑦1 đơn giản Tại điểm (𝑡0 , 𝑦0 ) đường cong 𝑦 = 𝑦(𝑡) ta kẻ tiếp tuyến các phương trình: 𝑦 − 𝑦0 = 𝑦 ′ (𝑡0 )(𝑡 − 𝑡0 ) Do 𝑦 ′ (𝑡0 ) = 𝑓(𝑡0 , 𝑦(𝑡0 )) = 𝑓(𝑡0 , 𝑦0 ) biết nên từ phương trình ta có : 𝑦 = 𝑦0 + 𝑓(𝑡0 , 𝑦0 )(𝑡 − 𝑡0 ) Thay 𝑡 = 𝑡1 biểu thức ta thu 𝑦 = 𝑦1 = 𝑦0 + 𝑓(𝑡0 , 𝑦0 )(𝑡 − 𝑡0 ) Và xem giá trị gần 𝑦(𝑡1 ) Từ ta có cơng thức euler: Cách 2: 𝑦(𝑡1 ) ≈ 𝑦1 = 𝑦0 + 𝑓(𝑡0 , 𝑦0 )(𝑡 − 𝑡0 ) Để tìm nghiệm gần (1) ta chia đoạn [𝑎, 𝑏] thành h đoạn : 𝑎−𝑏 ℎ= 𝑛 các điểm nút 𝑡0 = 𝑎, 𝑡𝑘 = 𝑡0 + 𝑘ℎ, 𝑘 = 0,1,2, , 𝑛, 𝑡𝑛 = 𝑏 giả sử y(t) nghiệm (1) có đạo hàm đến cấp liên tục đoạn [𝑎, 𝑏] với k=0,1,2,…,n-1 theo cơng thức khai triển taylor nghiệm y(t) 𝑡𝑘 Thay 𝑡 = 𝑡𝑘+1 (𝑡 − 𝑡𝑘 )2 ′′ 𝑡 − 𝑡𝑘 ′ 𝑦(𝑡) = 𝑦(𝑡𝑘 ) + 𝑦 (𝑡𝑘 ) + 𝑦 (𝜀𝑘 ) 1! 2! = 𝑡𝑘 + ℎ, 𝑦 ′ (𝑡𝑘 ) = 𝑓(𝑡𝑘 , 𝑦(𝑡𝑘 )) vào đẳng thức ta có: ℎ2 ′′ 𝑦 (𝜀𝑘 ) Bỏ qua số hạng cuối bên phải , ta xấp xỉ 𝑦𝑘 ≈ 𝑦(𝑡𝑘 ) ta có cơng thức euler 𝑦(𝑡𝑘+1 ) = 𝑦(𝑡𝑘 ) + ℎ × 𝑓(𝑡𝑘 , 𝑦(𝑡𝑘 )) + 𝑦𝑘+1 ≈ 𝑦𝑘 + ℎ𝑓(𝑡𝑘 ; 𝑦𝑘 ) Ý nghĩa hình học phương pháp Euler lOMoARcPSD|15963670 Ý nghĩa hình học cơng thức Euler từ điểm (𝑡𝑘 , 𝑦𝑘 ) thuộc đường cong 𝑦 = 𝑦(𝑡) kẻ tiếp tuyến đường cong 𝑦 = 𝑦𝑘 + 𝑦 ′ (𝑡𝑘 )(𝑡 − 𝑡𝑘 ) = 𝑦𝑘 + 𝑓(𝑡𝑘 , 𝑦𝑘 )(𝑡 − 𝑡𝑘 ) Đường tiếp tuyến cắt đường thẳng 𝑡 = 𝑡𝑘+1 𝑦𝑘+1 giá trị gần hàm 𝑡 = 𝑡𝑘+1 II)Giải toán matlab CODE MATLAB clear all; clc; syms f y t a b n h ycx tcx e = exp(1); f = inline(input('nhap dao ham cua y: '), 't', 'y'); y(1) = input('nhap y(0): '); a = input('nhap can duoi: '); b = input('nhap can tren: '); Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 n = input('so doan chia: '); h = (b-a)/n; ycx = inline(input('nghiem chinh xac cua bai toan: '),'t'); t = a : h : b; for k = : n y(k + 1) = y(k) + h*(f(t(k),y(k))); end hold on; plot(t, y, 'b'); plot(t, ycx(t) , 'r'); %%tao bang sok = : n; kq = rand(n+1,4); for i = 1:n+1 kq(i,1) = sok(i); kq(i,2) = t(i); kq(i,3) = y(i); kq(i,4) = ycx(t(i)); kq(i,5) = abs(ycx(t(i)) - y(i)); end cnames = {'k','tk','yk','y(tk)','|y(tk) - yk|'}; dat = rand(n+1,4); bang = uitable('data', dat, 'ColumnName', cnames); set(bang, 'data', kq); KẾT QUẢ Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 ĐỒ THỊ Ví dụ 2: Dùng phương pháp Euler để tính xấp xỉ tốn: 𝑦 ′ (𝑡) = −𝑦 + 2𝑒 𝑥 ; ≤ 𝑡 ≤ { 𝑦(0) = −0.5 Với giá trị h=0.2 điểm nút so sánh giá trị gần giá trị xác tốn Lập bảng so sánh Biết giá trị xác 𝑦(𝑡) = −0.5𝑒 𝑡 + 𝑒 𝑡 Kết quả: Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 Bảng so sánh Đồ thị: Ví dụ 3: Dùng phương pháp Euler để tính xấp xỉ tốn: { 𝑦 ′ (𝑡) = 𝑡 + 2𝑡𝑦 + 𝑦 − 1; ≤ 𝑡 < 𝑦(0) = Với giá trị h=0.2 điểm nút so sánh giá trị gần giá trị xác toán Lập bảng so sánh Biết giá trị xác −𝑥 𝑦(𝑡) = 1−𝑥 Bảng so sánh: Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 Đồ thị Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 Phần 2:Phần tử hữu hạn hệ giàn phẳng I)Cơ sở lí thuyết L: chiều dài (m) A: tiết diện mặt cắt ngang (m2) E: module đàn hồi (Pa) 1) Ma trận độ cứng tổng thể chuyển vị Một phần tử mô tả hệ toạ độ địa phương hệ toạ độ chung hình bên Trong sơ đồ đánh số nút địa phương, hai nút phần tử đánh số số Hệ toạ độ địa phương hướng theo trục x’, chạy từ nút đến nút Tất các đại lượng hệ toạ độ địa phương ký hiệu dấu (’) Hệ toạ độ chung (x,y) cố định không phụ thuộc vào phương phần tử Gọi q1 q2 chuyển vị nút tương ứng hệ toạ độ địa phương Ta ký hiệu véctơ chuyển vị hệ toạ độ địa phương x’Oy’ bởi: q’ = [q1 , q2]T (1) Trong hệ toạ độ chung xOy, véctơ chuyển vị có thành phần: q = [u1, v1 , u2 , v2 ]T Từ ta có mối quan hệ q’ q q1 = u1 cos + v1 sin q2 = u2 cos + v2 sin q’ = T q 𝑞1 𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑛 }  {𝑞 } ={ 0 𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑛  = cos Đặt m = sin (2) (3a) (3b) (4) (5a) (5b) Ta có T ma trận chuyển đổi hệ sở, viết dạng: l m 0  T =  0 l m Các lực nút chuyển đổi theo cách tương tự: f’ = Tf Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) (5) (6) lOMoARcPSD|15963670 Các phần tử hệ phần tử chiều Để thiết lập ma trận độ cứng phần tử hệ toạ độ chung, ta ý tới phương trình phần tử hữu hạn: k’q’ = f’ (7) Thay (4) (6) vào biểu thức trên, ta được: k’Tq = Tf T Nhân vế cho T lưu ý TTT = I ta có: TTk’Tq=f Do đó, ma trận độ cứng phần tử k hệ tọa độ toàn cục là: k = TT k' T (8) ma trận độ cứng 4x4 Trong hệ toạ độ địa phương, ta xác định ma trận độ cứng phần tử E A  − 1 k' = e e  (9) le − 1  Thay biểu thức T từ (5) k' từ (9) vào (8), ta  l2 lm − l − lm    m − lm − m  Ee Ae  lm k= (10) le  − l − lm l lm    lm m  − lm − m Ma trận độ cứng toàn cấu trúc lắp ghép từ ma trận cứng phần tử theo cách thông thường trường hợp 1D Từ ma trận độ cứng phần tử nhờ bảng ghép nối phần tử, ta thu ma trận độ cứng chung hệ 2) Lực nút * Hệ thống vector lực: 𝐹 𝑒 =𝑓𝑙𝑒 +𝑓𝑡𝑒 +𝑓𝑟𝑒 (11) Trong đó: 𝑓𝑙 𝑓𝑡 vecto lực theo tải trọng bên thay đổi nhiệt độ 𝑓𝑟 vecto phản lực *Lực nút theo nhiệt độ: −𝑙 −𝑚 𝑒 𝑇 ] (12) 𝑓𝑡 =∫𝑉 𝐵 𝐷𝜺0 𝑑𝑉=EAαΔT[ 𝑙 𝑚 Trong đó: Ma trận biến dạng: B= B’T= 𝑙 [−𝑙 𝑒 −𝑚 𝑙 𝑚] với B’= 𝑙 [−1 1] 𝑒 Ma trận đàn hồi: D=E Biến dạng ban đầu thay đổi nhiệt độ: 𝜺0 = αΔT, α hệ số giãn nở nhiệt ΔT thay đổi nhiệt độ 3) Ứng suất Công thức chung :  = Ee ( - 𝜺0 ) Trong : Ứng suất bên ngoài: Ee = EB’q’ = EB’Tq= EBq Ứng suất thay đổi theo nhiệt độ: Ee 𝜺0 = EαΔT Do đó, ứng suất xác định bởi: Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 Vẽ hệ với hình dạng độ dài yêu cầu đề, bấm Done để để hồn thành tạo hình dạng cho hệ, ta kết hình ➢ Chọn Materials( vật liệu) – đặt tên thư mục – chọn Machenical(cơ học) – Elasticity(đàn hồi) – Elastic –Isotropic(đẳng hướng)- điền giá trị modun đàn hồi vào ô Young’s Modulus điền 0.33 vào ô Poisson’ Ratio(hệ số poisson) – OK Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 ➢ Chọn Section – Beam – Truss – Continue – điền giá trị tiết diện vào Crosssectional area(diện tích mặt cắt) – OK ➢ Chọn biểu tượng Assign Section kéo chuộ để chọn toàn hệ dàn – Done Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) t lOMoARcPSD|15963670 ➢ Chọn Assembbly – Instance – OK ➢ Chọn Step – Linear purturbation – Static, Linear purturbation – Continue – OK ➢ Chọn BCs(ràng buộc điểm) – Displacement/Rotation – Continue Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 ➢ Chọn nút số 14 – Done – chọn U1, U2 điền số vào hai ô – OK ➢ Chọn BCs – Displacement/Rotation – Continue ➢ Chọn nút số – Done – chọn U1 điền số vào ô – OK ➢ Chọn Loads – Continue – chọn nút số – Done – điền giá trị tải nút nút số vào ô CF1 Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 ➢ Chọn Loads – Continue – chọn nút số – Done – điền giá trị tải nút nút số vào ô CF1 ➢ Chọn Mesh – Element Type – kéo chuột chọn toàn hệ giàn – Done – Family chọn Truss – OK – Done Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 ➢ Chọn Seed – Part – Điền số vào ô Approximate global size – OK ➢ Chọn Mesh – Part – Yes ➢ Chọn Job – Continue – OK Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 ➢ Chọn Job vừa tạo – Submit – OK – đợi Job chạy xong chọn lại chọn Result ➢ Chọn biểu tượng chọn U, S RF Sau giải ta có bảng kết chuyển vị nút các nút tương ứng sau: Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 Hình ảnh kết từ phần mềm với chuyển vị tổng phần tử Chuyển vị nút U1-Ux Chuyển vị nút U2-Uy Ứng suất tổng thanhĐể thị toàn kết toán ta chọn Create Display Group- Nodes – Pick From Viewport- Chọn các điểm hình-Save As Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 Tiếp theo chọn Query-Probe Value- Probe_Nodes – Select a DisplayGroup- Chọn Group vừa lưu Từ ta có bảng tổng hợp chuyển vị nút hệ phẳng sau Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 Tọa độ ban đầu Nút 10 11 12 13 14 Trục X Trục Y -0.3 0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.5 0.3 1.2 0.3 0.9 0.3 0.6 0.3 0.3 0.3 0.3 -0.3 0.3 Tọa độ sau chịu tải Trục X -0.3 -0.00012732 0.300073 0.600239 0.900405 1.20061 1.50048 1.66248 1.33561 1.0084 0.681239 0.354073 0.0268727 -0.3 U V (chuyển vị (chuyển vị theo trục x) theo trục Y) Trục Y 0.0031273 0.000000000 -0.0089727 -0.000127316 -0.0496194 0.000073000 -0.117102 0.000239000 -0.211619 0.000405000 -0.332973 0.000610000 -0.482873 0.000480000 -0.186 0.162480000 -0.0389 0.135610000 0.0827468 0.108400000 0.17723 0.081239000 0.244747 0.054073000 0.2851 0.026872700 0.3 0.000000000 0.003127320 -0.008972700 -0.049619400 -0.117102000 -0.211619000 -0.332973000 -0.482873000 -0.486000000 -0.338900000 -0.217253200 -0.122770000 -0.055253000 -0.014900000 0.000000000 Dễ thấy nút có chuyển vị theo phương y-V7≈ 0.48 𝑚 xét lại với điều kiện ban đầu đề ta thấy nút số giàn phẳng cách mặt đất đoạn α = 0.3 m dễ thấy V7 > α nên ta nói nút chạm tường.Khi chạm tường chuyển vị theo phương y V7=-0.3 m sinh phản lực điểm tiếp xúc R7x R7y Tiếp tục giải toán theo phương pháp phần tử hữu hạn phần mềm hỗ trợ ABAQUS với nút số gối trượt với V7=-0.3mTa thêm vào phần kết cấu tạo sẵn chuyển vị V7=0.3m hình, từ đưa vào quá trình xử lý đưa kết qua.Sau giải tổng hợp ta kết thực sau: Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 Chuyển vị nút tổng Chuyển vị nút theo trục x-U1 Chuyển vị nút theo trục y-U2 Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 Ứng suất tổng Phản lực tổng Phản lực theo trục X-RF1 Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 Phản lực theo trục y-RF2 Làm các bước tương tự phần trước ta bảng tổng hợp chuyển vị các nút sau Tọa độ ban đầu Nút 10 11 12 13 14 Trục X -0.3 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.5 1.2 0.9 0.6 0.3 -0.3 Trục Y 0 0 0 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 Tọa độ sau chịu tải U (chuyển vị theo trục x) V (chuyển vị theo trục Y) -0.3 0.00366613 0.000000000 0.0065557 -0.00040927 0.006555710 0.312166 -0.0206662 0.012166000 0.616545 -0.0581651 0.016545000 0.919721 -0.115469 0.019721000 1.22172 -0.194829 0.021720000 1.52226 -0.3 0.022260000 1.64093 -0.00366613 0.140930000 0.114590000 1.31459 0.0993 0.089204000 0.989204 0.178891 0.065047000 0.665047 0.236168 0.054073000 0.354073 0.244747 0.020315700 0.0203157 0.29372 0.000000000 -0.3 0.3 0.003666130 -0.000409272 -0.020666200 -0.058165100 -0.115469000 -0.194829000 -0.300000000 -0.303666130 -0.200700000 -0.121109000 -0.063832000 -0.055253000 -0.006280000 0.000000000 Trục X Trục Y Bảng ứng suất tương ứng với Phần tử Nút tương ứng với phần tử 1,2 2,3 3,4 4,5 5,6 6,7 7,9 Ứng suất(N/m2) 2185240000 1869940000 1459830000 1058620000 666303000 179169000 1160830000 Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 9,5 5,1 11,3 3,13 13,1 1,14 14,2 2,12 12,4 4,10 10,6 6,8 8,9 9,10 10,11 11,12 12,13 13,14 7,8 2,13 3,12 4,11 5,10 6,9 1606720000 1051900000 1619300000 1039320000 1728230000 1222040000 1160830000 1606720000 1051900000 1619300000 1039320000 1728230000 8777960000 8462660000 8052550000 7651340000 7259020000 6771890000 1222040000 1956950000 1879930000 1888830000 1879930000 1956950000 Tiếp theo ta có bảng kết phản lực liên kết các nút tương ứng Nút Phản lực theo trục xRF1(N) Phản lực theo trục y-RF2(N) 10 11 12 13 14 -3407.28 0 0 0 0 0 0 -7592.72 0 0 0 401.214 0 0 0 -401.214 Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 Tài Liệu Tham Khảo Getting Started with Abaqus -Keywords Edition-Simula Numberical Method for Enginer-Steven C.Chapra Phương pháp phần tử hữu hạn-Ngô Như Khoa 4.Slide giảng Phương pháp số-Phạm Minh Tuấn,Vũ Cơng Hịa Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com)