Đại học Huế tr-ờng đại học s- phạm Trần Quang Đạt Nghiên cứu tính chất Và ứng dụng số trạng thái phi cổ điển ba mode Luận án tiến sĩ vật lý Huế, 2021 Đại học Huế tr-ờng đại học s- phạm Trần Quang Đạt Nghiên cứu tính chất Và ứng dụng số trạng thái phi cổ điển ba mode Ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mà số: 44 01 03 Ln ¸n tiÕn sÜ vËt lý Ng-êi h-íng dÉn khoa học: PGS.TS Tr-ơng Minh Đức PGS.TS Nguyễn Bá Ân Huế, 2021 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nghiên cứu đồ thị nêu luận án trung thực, đ-ợc đồng tác giả cho phép sử dụng ch-a đ-ợc công bố công trình khác Tác giả luận án Trần Quang Đạt ii Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc kính trọng lớn lao thầy giáo PGS.TS Tr-ơng Minh Đức, ng-ời thầy đà gắn bó với từ ngày đầu gặp giảng đ-ờng tr-ờng Đại học S- phạm Huế Thầy đà góp phần định h-ớng nghiệp cho tôi, giúp đỡ từ vừa tốt nghiệp đại học Thầy không giúp đỡ chuyên môn, công việc nghiên cứu, điều kiện để đ-ợc bảo vệ luận án mà nhiều lĩnh vực sống Tôi xin đ-ợc tri ân Thầy giáo nh- cảm tạ gia đình Thầy đà dành trọn cho niềm yêu quý chân thành Để có thành công hôm nay, xin bày tỏ lòng biết ơn to lớn thầy giáo PGS.TS Nguyễn Bá Ân Thầy đà có dạy, góp ý vô sắc sảo để uốn nắn cách làm việc cho từ đ-ợc gặp Thầy Thầy đà truyền lửa đam mê, trực tiếp chỉnh sửa câu văn, lỗi tả công trình nghiên cứu Thầy bị đau Tôi xin đ-ợc ghi lòng tạc công ơn lớn lao mà Thầy đà dành cho suốt thời gian học tập Tôi xin chân thành cảm ơn đến quý thầy giáo, cô giáo khoa Vật lý, tr-ờng Đại học S- phạm, Đại học Huế đà giảng dạy, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi suốt thời gian học tập nghiên cứu nơi Tôi xin trân trọng cảm ơn đến quý thầy cô Phòng Đào tạo Sau Đại học Phòng, Ban khác tr-ờng Đại học S- phạm, Đại học Huế đà đ-a h-ớng dẫn tận tình nh- tạo điều kiện thuận lợi cho việc hoàn thành thủ tục hành suốt thời gian học tập Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu tr-ờng Đại học Giao thông iii vận tải, Ban Giám đốc Phân hiệu tr-ờng Đại học Giao thông vận tải Thành phố Hồ Chí Minh đà cho phép, tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ thời gian học tập, nghiên cứu công tác Xin trân trọng cảm tạ tới quý thầy, cô bạn bè đồng nghiệp tr-ờng Đại học Giao thông vận tải Phân hiệu tr-ờng Đại học Giao thông vận tải Thành phố Hồ Chí Minh đà có động viên, chia sẻ lúc khó khăn công việc, học tập công tác Tôi xin cảm ơn tới hai đồng môn chị Lê Thị Hồng Thanh bạn Hồ Sỹ Ch-ơng đà chia sẻ khó khăn với thời gian làm việc Đặc biệt, xin dành tất niềm yêu th-ơng cảm tạ chân thành đến thành viên gia đình Xin đ-ợc cảm ơn bố, mẹ hai bên nội ngoại, anh chị em đà giúp đỡ, lo lắng động viên con, em hoàn cảnh Xin cảm tạ đến gia đình nhỏ tôi, vợ hai Quỳnh Nh- Diệp Chi, thân họ đà chịu nhiều vất vả, mát để đ-ợc hoàn thành luận án Huế, tháng 03 năm 2021 Tác giả Trần Quang Đạt iv Bảng chữ viết tắt Viết tắt Tiếng Anh Tiếng Việt BS Beam-splitter Bộ tách chùm PD Photo-detector Đầu dò quang SPD Single-photon detector Đầu dò ®¬n photon DC Downconverter Bé chun ®ỉi v Danh mơc hình vẽ 2.1 Sự phụ thuộc hàm Wigner W vào thành phần thực ảo a víi p = q = 0, r = 1, h = k = l = 1, αb = αc = 0.5 vµ φ = 37 2.2 Sù phơ thc cđa hµm Wigner W vµo r víi p = 2, q = 1, |αa | = 0.26, |αb | = 0.4, |αc | = 0.5 vµ ϕa + ϕb + ϕc − φ = π (h, k, l) = (0, 0, 0) (đ-ờng liền nét), (3, 1, 0) (đ-ờng gạch - gạch) (2, 1, 1) (đ-ờng gạch - chấm) 37 2.3 Sù phơ thc cđa hƯ sè nÐn S vµo r víi p = q = vµ φ−ϕ = (a) (h, k, l) = (2, 2, 2) (đ-ờng liền nét), (3, 3, 3) (đ-ờng gạch - gạch), (5, 5, 5) (đ-ờng gạch - chấm) (b) (h, k, l) = (4, 4, 4) (®-êng liỊn nÐt), (8, 2, 2) (đ-ờng gạch gạch), (9, 2, 1) (đ-ờng g¹ch - chÊm) 39 2.4 Sù phô thc cđa hƯ sè nÐn SX;j vµo r víi p = q = 0, h = k = l = j = (®-êng liỊn nÐt), j = (đ-ờng gạch - gạch) j = (đ-ờng g¹ch - chÊm) 41 2.5 Sù phô thuéc hệ số đan rối Em vào r với p = q = vµ h = k = l = m = (®-êng liỊn nÐt), m = (đ-ờng gạch - gạch) m = (đ-ờng gạch - chấm) 42 2.6 Sù phơ thc cđa ®é ®an rèi E vµo r víi p = q = (a) (h, k, l) = (0, 0, 0) (đ-ờng liền nét), (2, 2, 2) (đ-ờng gạch gạch), (5, 5, 5) (đ-ờng gạch - chấm) (b) (h, k, l) = (2, 2, 2) (®-êng liỊn nÐt), (5, 1, 0) (đ-ờng gạch - gạch), (6, 0, 0) (đ-ờng gạch - chÊm) vi 44 2.7 Sự phụ thuộc hàm Wigner W vào thành phần thực ảo a với = 1, p = q = 0, ǫ = λ = σ = 1, αb = αc = 0.01 h = k = l = 47 2.8 Sù phô thc cđa hµm Wigner W vµo r víi φ = 0, p = q = 0, ǫ = λ = σ = 1, αa = 0.05 vµ αb = αc = 0.01 (h, k, l) = (0, 0, 0) (đ-ờng liền nét), (2, 2, 2) (đ-ờng gạch gạch) (4, 4, 4) (đ-ờng gạch - chấm) 48 2.9 Sù phơ thc cđa hƯ sè nÐn S vµo r víi p = q = vµ φ−ϕ = (a) (h, k, l) = (1, 1, 1) (đ-ờng liền nét), (2, 2, 2) (đ-ờng gạch - gạch), (4, 4, 4) (đ-ờng gạch - chấm) (b) (h, k, l) = (5, 3, 1) (®-êng liỊn nÐt), (4, 4, 1) (đ-ờng gạch gạch), (3, 3, 3) (đ-ờng gạch - chÊm) 49 2.10 Sù phô thuéc cđa hƯ sè nÐn S vµo λ vµ σ víi p = q = 1, r = 4, ǫ = vµ φ − ϕ = h = k = l = 50 2.11 Sù phụ thuộc độ đan rối Ea vào r với p = q = vµ ǫ = λ = σ = (a) (h, k, l) = (0, 0, 0) (đ-ờng liền nét), (1, 1, 1) (đ-ờng gạch - gạch), (2, 2, 2) (đ-ờng gạch - chấm) (b) (h, k, l) = (5, 3, 1) (®-êng liỊn nét), (4, 3, 2) (đ-ờng gạch - gạch), (3, 3, 3) (đ-ờng gạch - chấm) 52 2.12 Sù phô thuéc độ đan rối Ea vào với r = 0.5, p = q = vµ ǫ = h = k = l = 53 3.1 Sơ đồ thực nghiệm tạo trạng thái kết hợp ba lan trun tù kh«ng gian më vii 57 3.2 Sù phơ thc cđa độ trung thực F xác suất thành công P tạo trạng thái kết hợp ba vào || víi p = q = 0, τ = 10−3 || = 103 (đ-ờng liền nét), ì 103 (đ-ờng gạch - gạch), ì 103 (đ-ờng gạch - chấm) ì 103 (đ-ờng chấm - chấm) 61 3.3 Sự phụ thuộc độ trung thực F () xác suất thành công P () tạo trạng thái kết hợp ba vào || với p = q = 0, = 103 || = ì 103 η = 0.2 (®-êng liỊn nÐt), η = 0.3 (đ-ờng gạch - gạch), = 0.5 (đ-ờng gạch - chấm) = 0.7 (đ-ờng chấm - chấm) 64 3.4 Sù phô thuéc độ trung thực F () xác suất thành công P () tạo trạng thái kết hợp ba vµo τ víi p = q = vµ |ζ| = |α| = 103 (®-êng liỊn nÐt), ì 103 (đ-ờng gạch gạch), ì 103 (đ-ờng gạch - chấm) ì 103 (đ-ờng chấm - chÊm) 65 3.5 Sù phơ thc cđa ®é trung thùc F () xác suất thành công P () tạo trạng thái kết hợp ba vào Z = η|α|τ víi p = q = |ζ| = 0.5 (đ-ờng liền nét), || = 0.7 (đ-ờng gạch - gạch), || = 1.0 (đ-ờng gạch - chấm) || = 3.0 (®-êng chÊm - chÊm) 65 3.6 S¬ đồ thực nghiệm tạo trạng thái kết hợp ba thêm photon lan truyền tự không gian më 67 3.7 Sù phơ thc cđa ®é trung thực F xác suất thành công P tạo trạng thái kết hợp ba thêm photon vào T víi p = q = vµ r = (h, k, l) = (1, 1, 1) (®-êng liền nét), (2, 2, 2) (đ-ờng gạch - gạch) (3, 3, 3) (đ-ờng gạch - chấm) viii 70 3.8 Sự phụ thuộc độ trung thực F xác suất thành công P tạo trạng thái kết hợp ba thêm photon vào T với p = q = vµ (h, k, l) = (1, 1, 1) r = (®-êng liỊn nÐt), r = (đ-ờng gạch - gạch) r = (đ-ờng gạch - chấm) 70 3.9 Sơ đồ thực nghiệm tạo chồng chất thêm photon ba mode lên trạng thái kết hợp ba 72 4.1 Sù phơ thc cđa ®é trung thực trung bình Ftb vào r với = (a) (h, k) = (1, 1) (®-êng liỊn nét), (2, 2) (đ-ờng gạch - gạch), (3, 3) (đ-ờng gạch - chấm) (b) (h, k) = (4, 0) (đ-ờng liền nét), (3, 1) (đ-ờng gạch - gạch), (2, 2) (đ-ờng gạch - chấm) 79 4.2 Sù phơ thc cđa ®é trung thùc trung bình Ftb vào = || với Q = (đ-ờng liền nét), Q = (đ-ờng gạch - gạch), Q = (đ-ờng gạch - chấm) Q = (®-êng chÊm - chÊm) 82 4.3 Sù phơ thc cđa ®é trung thùc trung bình Ftb vào = || với || = 0.5 (đ-ờng liền nét), || = (đ-ờng gạch - gạch) || = (đ-ờng gạch - chấm) 85 4.4 Sù phơ thc cđa độ trung thực trung bình Ftb vào = r víi p = q = Q = |χ| = (đ-ờng liền nét), || = (đ-ờng gạch - gạch), || = (đ-ờng gạch - chấm) |χ| = 10 (®-êng chÊm - chÊm) 89 4.5 Sù phơ thc cđa ®é trung thực trung bình Ftb vào = r với p = q = Q = vµ |χ| = (h, k, l) = (0, 0, 0) (®-êng liền nét), (1, 1, 1) (đ-ờng gạch - gạch), (2, 2, 2) (đ-ờng gạch - chấm) (3, 3, 3) (®-êng chÊm - chÊm) ix 90 thái hệ đ-ợc biến đổi thành ( |3iabcdef =e s1 a s2 ˆ b† ˆ† √ − √ )d 2 −( e s1 a ˆ† s2 ˆ b† s3 cˆ† † √ )ˆ e + − e −( s1 ˆ a† s2 ˆ b† s3 cˆ† ˆ† √ )f + + |Φiabcdef (3.51) Tr¹ng thái ph-ơng trình (3.51) đ-ợc khai triển theo chuỗi X (1)m+n+k s1 a s2b m s1a ˆ† s2ˆb† s3cˆ† n √ − √ |Ψ3iabcdef = + − √ m!n!k! 2 2 m,n,k=0 s ˆa† s ˆb† s cˆ† k ˆ ˆ + + √ × (1 − s21)(Na +1)/2 (1 − s22 )(Nb+1)/2 2 ˆ ×(1 − s23)(Nc +1)/2 |Ψp,qiabc dˆ†m eˆ†nfˆ†k |0, 0, 0idef (3.52) Trong tr-ờng hợp hai đầu dò đơn photon SPD1 SPD2 (SPD3) dò đồng thời không photon mode d e (f ), đồng thời đầu dò đơn photon SPD3 (SPD2) dò đ-ợc photon mode f (e) Điều có nghĩa m = n = k = m = k = n = 1, trạng thái ph-ơng trình (3.52) đ-ợc xếp thành s a † s2ˆb† s3cˆ† ˆ 1ˆ + + √ (1 − s21)(Na +1)/2 |Ψraiabc = − 2 ˆ ˆ ×(1 − s22)(Nb +1)/2 (1 − s23)(Nc +1)/2|Ψp,q iabc , (3.53) hc |Ψraiabc s a † s2ˆb† s3cˆ† ˆ 1ˆ = − + − √ (1 − s21)(Na +1)/2 2 ˆb +1)/2 ˆ (N ×(1 − s2) (1 − s23)(Nc +1)/2|Ψp,q iabc (3.54) Trong tr-ờng hợp , 2, 1, s1, s2 , s3 1, trạng thái hai ph-ơng trình (3.53) (3.54) gần s ˆa† s ˆb† s cˆ† + + √ |Ψp,qiabc , |Ψraiabc ≃ − 2 (3.55) s a † s2ˆb† s3 cˆ† 1ˆ ≃− + − √ |Ψp,q iabc 2 (3.56) |raiabc 73 Đặt = −s1 /2, λ = −s2 /2 vµ σ = −s3 / (s3/ 2), hai trạng thái ph-ơng trình (3.55) (3.56) chuyển thành trạng thái kết hợp ba chồng chất thêm photon nh- ph-ơng trình (2.19) với tr-ờng hợp chồng chất thêm đơn photon |p,q;1,1,1iabc = Np,q;1,1,1(r)(ǫˆ a† + λˆb† + σˆ c† )|Ψp,q iabc , (3.57) Np,q;1,1,1(r) đ-ợc xác định ph-ơng trình (2.20) nh-ng với giá trị h = k = l = Để tạo trạng thái kết hợp ba chồng chất bậc cao, tức h, k, l > 1, chóng ta cã thĨ ¸p dụng ph-ơng pháp t-ơng tự đà đ-ợc đ-a Lee cộng [82] Trong đó, tác giả đà thực mở rộng việc chồng chất từ bËc mét lªn bËc hai cho hƯ hai mode Tuy nhiên không trình bày thêm ph-ơng pháp mở rộng 3.5 Kết luận Trong ch-ơng này, để tạo trạng thái kết hợp ba thêm photon trạng thái kết hợp ba chồng chất thêm photon, đà đề xuất sơ đồ thực nghiệm nhằm tạo trạng thái kết hợp ba Điểm v-ợt trội sơ đồ so với sơ đồ tr-ớc trạng thái kết hợp ba đ-ợc tạo lan truyền tự không gian mở Thêm vào đó, sơ đồ sử dụng nguồn vật lý có sẵn với công nghệ nh- tách chùm, dịch pha, tinh thể phi tuyến Kerr, đầu dò quang trạng thái kết hợp Kết khảo sát ®é trung thùc ®· thĨ hiƯn r»ng u tè nµy đ-ợc tăng lên hiệu suất đầu dò nh- biên độ trạng thái kết hợp | 2| tăng Trong sơ đồ này, độ trung thực đạt đơn vị || Thiết lập sơ đồ thực nghiệm trình tạo trạng thái phi cổ điển 74 với || đạt đ-ợc phòng thí nghiệm Trong đề xuất sơ đồ tạo trạng thái kết hợp ba thêm photon, đà sử dụng tách chùm nh- thiết bị Ngoài đầu vào trạng thái kết hợp ba, sơ đồ sử dụng thêm ba trạng thái Fock khác Khi hệ số truyền qua T tách chùm tiến tới một, kết khảo sát độ trung thực đà thể tiến tới đơn vị, tức t-ơng ứng với giá trị cao Những kết phù hợp với thực nghiệm Do thiết lập sơ đồ thực nghiệm để tạo trạng thái kết hợp ba thêm photon nh- đề xuất mang tính khả thi cao Để tạo trạng thái kết hợp ba chồng chất thêm photon, đà đ-a sơ đồ tạo chồng chất thêm photon ba mode bậc Sơ đồ sử dụng thiết bị quang nh- tách chùm, chuyển đổi tham số đầu dò quang Khi đầu vào trạng thái kết hợp ba, kết đà thể c-ờng độ kết cặp chuyển đổi tham số trở nên yếu trạng thái đ-ợc tạo trở thành trạng thái kết hợp ba chồng chất thêm đơn photon Điều có nghĩa độ trung thực tiến đơn vị, tức có giá trị cao Đây kết ý nghĩa phù hợp với thực nghiệm tạo trạng thái phi cổ điển 75 Ch-ơng ứng dụng trạng thái phi cổ điển thông tin l-ợng tử 4.1 Mở đầu Trong lĩnh vực thông tin l-ợng tử, trạng thái đan rối đ-ợc ứng dụng vào nhiều nhiệm vụ khác nh- viễn tải l-ợng tử [21], viễn tạo [22] đồng viễn tạo trạng thái [17], sửa lỗi l-ợng tử [24] chia sẻ bí mật l-ợng tử [61] Trong giao thức này, viễn tải l-ợng tử đ-ợc quan tâm nhiều Trong ch-ơng này, tr-ớc tiên khảo sát trình viễn tải l-ợng tử trạng thái kết hợp thông qua hai nguồn đan rối hai mode Nguồn đan rối trạng thái chân không nén hai mode chồng chất thêm photon Đây trạng thái hai mode đ-ợc đ-a nghiên cứu [43] Nguồn đan rối thứ hai trạng thái kết hợp cặp [34] Dựa vào kết thu đ-ợc, kết luận hoàn thiện trình viễn tải l-ợng tử với hai trạng thái đan rối Từ kết bật trình viễn tải l-ợng tử với trạng thái chân không nén hai mode chồng chất thêm photon trạng thái kết hợp cặp, đ-a giao thức viễn tải l-ợng tử hệ ba mode Sử dụng trạng thái kết hợp ba thêm photon làm nguồn rối, trình viễn tải l-ợng tử trạng thái đan rối hai mode điều khiển viễn tải l-ợng tử trạng thái đơn mode đ-ợc nghiên cứu theo h-ớng cải thiện độ trung thực trung bình Trong đó, việc thêm photon nâng cao hiệu trình viễn tải l-ợng tử 76 4.2 Viễn tải l-ợng tử với trạng thái chân không nén hai mode chồng chất thêm photon 4.2.1 Trạng thái chân không nén hai mode chồng chất thêm photon Khác với thêm photon định xứ ph-ơng trình (1.42) (1.43), đ-a trạng thái phi cổ điển gọi trạng thái chân không nén hai mode chồng chất thêm photon Trạng thái đ-ợc tạo phép thêm photon không định xứ lên trạng thái chân không nén hai mode |riab đ-ợc cho ph-ơng trình (1.29) |r, h, kiab = Nh,k ( ah + bk )|riab, (4.1) số thực, 1, h, k số nguyên d-ơng mang ý nghĩa số photon thêm vào, hệ số chuẩn hóa Nh,k đ-ợc xác định Nh,k = h! k! + (1 − λ2 )h (1 − λ2 )k (4.2) Khi khai triển theo trạng thái Fock, trạng thái chân không nén hai mode chồng chất thêm photon đ-ợc cho bëi |r, h, kiab ∞ p X λn p √ = Nh,k − λ (n + h)!|n + h, niab n! n=0 p + ǫ (n + k)!|n, n + kiab (4.3) Trạng thái chân không nén hai mode chồng chất thêm photon trạng thái đan rối [43] Trạng thái có độ đan rối đ-ợc tăng c-ờng tham số nén r nh- số photon thêm vào h k tăng lên [43] Vì vậy, sử dụng trạng thái làm nguồn đan rối để viễn tải l-ợng tử trạng thái đơn mode mang tính khả thi cao 77 4.2.2 Quá trình viễn tải l-ợng tử Sau đây, hÃy nghiên cứu trình viễn tải l-ợng tử thông qua trạng thái chân không nén hai mode chồng chất thêm photon |r, h, kiab đ-ợc cho ph-ơng trình (4.1) Giả sử Alice giữ mode a mode b dành cho Bob, sử dụng giao thức Vaidmann, Braunstein Kimble [23], [110] để viễn tải trạng thái kết hợp |ic mode c Tr-ớc Alice thực phép đo thành phần biên độ trực giao hai mode a c, toàn trạng thái hệ đ-ợc viết |vàoiabc = |r, h, kiab |ic (4.4) Phép đo thành phần biên độ trực giao hai mode a c t-ơng ứng phép chiếu trạng thái ph-ơng trình (4.4) lên trạng thái đ-ợc cho d-ới [67] ∞ X ˆ Dc (β)|kic |kia , |βiac = (4.5) k=0 c () toán tử dịch chuyển có vai trò tác dụng lên trạng thái cđa ®ã D mode c thùc hiƯn phÐp chiếu, số phức với thành phần thực ảo đ-ợc xác định q |iac = R()|iac, (4.6) pˆ+ |βiac = I(β)|βiac , (4.7) √ ®ã qˆ− = qˆa − qˆc vµ pˆ+ = pˆa + pˆc , víi qˆi = (ˆ a† + a ˆ)/ vµ pˆi = i(ˆ a† − √ ˆa)/ lần l-ợt toán tử tọa độ xung l-ỵng cđa mode i, i = {a, c}, R(β) (I(β)) ký hiệu cho lấy phần thực (ảo) số phức Sau phép đo Alice, trạng thái Bob đ-ợc xếp thành Nh,k X |ib = √ hm|α − βi a hm|ˆ a†h |riab + ǫˆb†k a hm|riab π m,n=0 78 (4.8) ˆ b (β), trạng thái đ-ợc cho Sau dịch chuyển Bob bëi to¸n tư D ∞ Nh,k X ˆ b (β) a hm|ˆ |ψrai = √ hm|α − βiD a†h |riab + ǫˆb†k a hm|riab π m,n=0 Do đó, độ trung thực trung bình Ftb đ-ợc viết Z Ftb = d2 β|hα|ψra i|2 (4.9) (4.10) KÕt tính toán độ trung thực trung bình trình đ-ợc xác định Nh,k (1 − λ2 ) X λm+n (m + n + h)! ǫ2(m + n + k)! , (4.11) + Ftb = m+n+h m+n+k m!n! 2 m,n=0 1.0 1.0 0.8 0.8 0.6 0.6 (1,1) (2,2) (3,3) 0.4 0.2 0.0 0.0 0.5 1.0 r 1.5 Ftb Ftb víi Nh,k đ-ợc cho nh- ph-ơng trình (4.2) 0.4 (4,0) (3,1) (2,2) 0.2 (a) 0.0 0.0 2.0 0.5 1.0 r 1.5 (b) 2.0 Hình 4.1: Sự phụ thuộc độ trung thực trung bình Ftb vào r với = (a) (h, k) = (1, 1) (®-êng liỊn nét), (2, 2) (đ-ờng gạch - gạch), (3, 3) (đ-ờng gạch - chấm) (b) (h, k) = (4, 0) (đ-ờng liền nét), (3, 1) (đ-ờng gạch - gạch), (2, 2) (đ-ờng gạch - chấm) Chúng sử dụng biểu thức giải tích ph-ơng trình (4.11) để khảo sát độ trung thực trung bình trình viễn tải l-ợng tử trạng thái kết hợp thông qua trạng thái chân không nén hai mode chồng chất thêm photon Hình 4.1 biểu diễn phụ thuộc độ trung thực trung bình Ftb vào r t-ơng ứng với vài giá trị h k Kết thể Ftb 79 đ-ợc cải thiện tăng tham số nén r (xem hình 4.1 (a)) Qua khảo sát số, nhận đ-ợc độ trung thực trung bình đạt giá trị đơn vị, t-ơng ứng với giá trị lớn nhất, r 2.5 Ngoài ra, xét tr-ờng hợp cố định h + k, hình 4.1 (b) thể độ trung thực trung bình đạt cực đại số photon thêm vào mode nhau, tức h = k 4.3 Viễn tải l-ợng tử với trạng thái kết hợp cặp Theo h-ớng hoàn thiện trình viễn tải l-ợng tử hệ hai mode, sử dụng nguồn đan rối thái kết hợp cặp |Qiab đ-ợc cho ph-ơng trình (1.24) để viễn tải l-ợng tử trạng thái kết hợp |ic mode c, Alice giữ mode a Bob sở hữu mode b Trạng thái vào hệ đ-ợc viết |vào iabc = |Qiab |ic = víi ∞ X n=0 cn,Q(χ)|n, n + Qiab |αic , (4.12) χn (4.13) cn,Q(χ) = NQ p n!(n + Q)! Tiếp theo, Alice thực phép đo hai mode a c Chúng ta hÃy khảo sát trình viễn tải l-ợng tử theo hai kiểu đo Alice, đo thành phần biên độ trực giao đo tổng số hạt hiệu pha 4.3.1 Sử dụng phép đo thành phần biên độ trực giao Sau phép đo Alice, trạng thái (ch-a chuẩn hãa) cđa Bob trë thµnh |Φib = ca hβ|Φvµo iabc e−|α−β| √ = π ∞ /2 X n=0 cn,Q(χ)(α − β)n √ |n + Qib , n! 80 (4.14) |iac đ-ợc cho ph-ơng trình (4.5) Alice gửi cho Bob kết đo đ-ợc kênh thông tin cổ điển Sau nhận đ-ợc số liệu từ Alice, đầu tiên, Bob thực phép biến đổi số hạt photon từ n + Q thành n sử dụng toán tử [78] X ˆQ = U |jihj + Q| (4.15) j=0 ˆ Tiếp theo, Bob tác dụng toán tử D() trạng thái (đà chuẩn hóa) e|| /2 X cn,Q (χ)(α − β)n ˆ √ D(β)|ni, |Φrai = p n! P (β)π n=0 (4.16) ®ã P (β) xác suất phép đo đ-ợc cho ∞ e−|α−β| X |cn,Q(χ)|2n|α − β|2n P (β) = n! n=0 (4.17) Để thấy đ-ợc hiệu trình viễn tải l-ợng tử, hÃy khảo sát yếu tố độ trung thực trung bình Độ trung thực đ-ợc cho F = |c h|ra i|2 Từ đó, độ trung thực trung bình đ-ợc xác định lµ Z Z Ftb = F P (β)d β = |hα|Φra i|2P (β)d2 β Z = |hα|Ωra i|2d2 β, (4.18) (4.19) víi e−|α−β| √ |Ωrai = π ∞ /2 X n=0 cn,Q (χ)(α − β)n ˆ √ D(β)|ni n! (4.20) Dựa vào ph-ơng trình (4.19) (4.20), ta dễ dàng nhận thấy độ trung thực trung bình lúc không phụ thuộc xác suất phép đo P () Kết tính toán độ trung thực trung bình = || NQ2 X |/2|m+n (m + n)! p Ftb = m,n=0 m!n! m!n!(m + Q)!(n + Q)! 81 (4.21) KÕt qu¶ ph-ơng trình (4.21) thể độ trung thực trung bình không phụ thuộc biên độ trạng thái đ-ợc viễn t¶i |α| 0.8 Ftb 0.7 Q=0 Q=1 Q=3 Q=6 0.6 0.5 0.4 10 È ΧÈ Hình 4.2: Sự phụ thuộc độ trung thực trung bình Ftb vào = || với Q = (đ-ờng liền nét), Q = (đ-ờng gạch - gạch), Q = (đ-ờng gạch - chấm) Q = (đ-ờng chấm chấm) Dựa vào ph-ơng trình (4.21) thảo luận việc nâng cao độ trung thực trung bình trình viễn tải l-ợng tử trạng thái kết hợp thông qua trạng thái kết hợp cặp Hình 4.2 biểu diễn phụ thuộc độ trung thực trung bình Ftb vào || t-ơng ứng với số giá trị Q Kết thể độ trung thực trung bình đ-ợc cải thiện Q tăng Giá trị Ftb đạt gần đơn vị Q trở nên lớn Đây -u điểm giao thức viễn tải l-ợng tử thông qua trạng thái kết hợp cặp mà đà đ-a Trong sử dụng trạng thái làm nguồn rối để viễn tải l-ợng tử trạng trạng thái kết hợp, độ trung thực trung bình theo Agarwal Gabris đạt tới giá trị cao nhÊt cì 0.76 [53] 4.3.2 Sư dơng phÐp ®o tổng số hạt photon hiệu pha Giao thức viễn tải l-ợng tử trạng thái đơn mode thông qua ngn ®an rèi hai mode sư dơng phÐp ®o tỉng số hạt photon hiệu pha đ-ợc đ-a 82 Yu Sun [117] Ta viết trạng thái đ-ợc viễn tải |ic dạng trạng thái Fock lµ ∞ ∞ X X e−|α| /2αm √ |αic = dm |mic , |mic = m! m=0 m=0 víi (4.22) e−|α| /2 αm dm = √ m! (4.23) Chúng viết lại ph-ơng trình (4.12) d-ới dạng |vàoiabc = X m,n=0 cn,Q ()dm |n, n + Q, miabc (4.24) B©y giê Alice thùc hiƯn phép đo tổng số hạt photon hiệu pha hai mode a c, trạng thái hệ đà chuÈn hãa cã d¹ng |Φbi = − ac hφN |Φin iabc √ P = P −1/2|Ψbi, (4.25) víi P lµ xác suất để thu đ-ợc tổng số hạt photon N vµ hiƯu pha φ− vµ P = hΨb |Ψbi, |φ− N iac trạng thái riêng toán tử tổng số hạt photon =N a + N c to¸n tư hiƯu pha φˆ− = φˆa − φˆc Trạng thái đ-ợc cho N ph-ơng trình d-ới ®©y [88] N |φ− N iac X ijφ− e |jia |N − jic , =√ 2π j=0 (4.26) − − − víi φ− lµ sè thùc vµ φ− ≤ φ < φ0 + 2π, φ0 lµ mét sè thực Chúng viết đ-ợc trạng thái ph-ơng trình (4.25) lµ N |Φb i = P víi −1/2 P −1/2 X − |Ψbi = √ cn,Q (χ)dN −n e−inφ |n + Qib , 2π n=0 (4.27) N X − cn,Q(χ)dN −n e−inφ |n + Qib |Ψbi = √ 2π n=0 83 (4.28) Tõ ®ã N X P = hb Ψ|Ψbi = |cn,Q (χ)|2|dN −n |2 2π n=0 (4.29) Sau phÐp ®o, Alice gưi cho Bob số N kênh thông tin cổ điển Sử dụng số liệu này, Bob xoay pha cđa m×nh b»ng sư dơng ˆ = ei(Nˆb −Q)φ− , N b toán tử số hạt tác dụng lên trạng thái toán tử unita U mode b Trạng thái Bob trở thành N P 1/2 X cn,Q(χ)dN −n |n + Qib |Φi = √ 2π n=0 (4.30) Tiếp theo, Bob biến đổi số hạt photon trạng thái từ n + Q thành N n, trạng thái đ-ợc chuẩn hóa N P −1/2 X |Φrai = √ cn,Q(χ)dN −n |N − ni 2π n=0 P −1/2 e−|α| √ = 2π N /2 X αN −n |N − ni cn,Q(χ) p (N − n)! n=0 (4.31) §é trung thùc trình viễn tải F = |c h|ra i| N X