Bài tập lớn phương pháp tính

lOMoARcPSD|15963670 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - - BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH GVHD:Nguyễn Đình Dương LỚP:L04 NHÓM:05 Danh sách thành viên Họ Tên MSSV Nguyễn Văn Nhân 2013977 Huỳnh Nguyên Vũ 2015085 Lê Phương Uyên 2015014 Trịnh Hùng Vương 2015111 Nhiệm vụ Problem 2,3 Problem 2,và tổng hợp Problem 1,3 Problem 1,và tổng hợp Tp.Hồồ Chí Minh, ngày 27 tháng 04 năm 2021 Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 Problem 1) Lý thuyết 1.1 Giới thiệu phương trình phi tuyến Cho phương trình hàm liên tục [a;b] Nghiệm phương trình giá trị cho Về mặt hình học, nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm đường cong với trục hồnh Khoảng đóng [a;b] mà tồn nghiệm phương trình gọi khoảng li nghiệm Nếu hàm liên tục đoạn [a;b] giá trị hàm trái dấu hai đầu mút phương trình có nghiệm [a;b] Thêm vào đó, hàm đơn điệu nghiệm Giả sử hàm liên tục [a;b], khả vi (a;b) Nếu nghiệm gần nghiệm xác [a;b] Thế ta có cơng thức đánh giá sai số tổng quát sau đây: 1.2 Phương pháp chia đôi Giả sử (a, b) khoảng cách ly nghiệm phương trình Đặt Nếu Nếu dấu với Nếu Đặt Nếu Đặt Lặp trình cho ta ,… Giả sử sau n lần chia đơi, ta tìm đoạn có độ dài Từ ta có cơng thức tính sai số: 1.3 Phương pháp cát tuyến Phương pháp cát tuyến giống với phương pháp chia đôi thay chia khoảng cách chọn điểm phương pháp cát tuyến chia khoảng đường thẳng nối điểm cuối Phương pháp cát tuyến ln hội tụ đến nghiệm phương trình với điều kiện hàm hàm liên tục [a;b] Với hàm liên tục đoạn [a;b] Một nghiệm phương trình đảm bảo Định lý Giá trị Trung gian Xét đoạn thẳng nối giá trị điểm cuối Đường nối hai điểm gọi đường cát tuyến tính tốn cơng thức: Phương trình hồnh độ giao điểm với trục hồnh: Từ ta tìm giá trị công thức: Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 Đầu tiên ta chọn khoảng li nghiệm ban đầu , sau tính giá trị tính cơng thức: Nếu Đặt Nếu Đặt Lặp trình cho ta ,… Để đánh giá sai số phương pháp cát tuyến, ta sử dụng công thức đánh giá sai số tổng quát: 1.4 Phương pháp lặp đơn Cho hàm số với , tìm giá trị thoả mãn Từ ta đưa dạng phương trình tương đương (có thể có nhiều lựa chọn) Khi Nếu với có điểm bất động [a;b] Về mặt hình học hồnh độ giao điểm đường thẳng đường cong Chọn giá trị ban đầu tuỳ ý Xây dựng dãy lặp theo công thức lặp: Nếu hàm liên tục [a;b] khả vi (a;b) cho với hệ số co Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) hàm co [a;b] lOMoARcPSD|15963670 Giả sử hàm co đoạn [a;b] với hệ số co q Đồng thời, , Khi với giá trị ban đầu [a;b] dãy lặp hội tụ nghiệm phương trình ta có công thức đánh giá sai số tiên nghiệm hậu nghiệm: Công thức đánh giá sai số tiên nghiệm: Công thức đánh giá sai số hậu nghiệm: 1.5 Phương pháp Newton-Raphson Phương trình tiếp tuyến đường cong điểm có dạng: Phương trình hồnh độ giao điểm tiếp tuyến với trục hồnh: Từ ta tìm giá trị cơng thức: Ta có cơng thức tổng qt với n bước lặp sau: Cho phương trình có khoảng phân ly [a;b] Giả sử không đổi dấu (a, b) Nếu xấp xỉ ban đầu chọn cho dãy hội tụ Ngồi ra, tồn thoả mãn thì: Ta có điểm thoả mãn gọi điểm Fourier Để đánh giá sai số phương pháp Newton-Raphson, ta sử dụng công thức đánh giá sai số tổng quát: Giải tốn 2.1 Đề bài: Giả sử ta có bồn chứa nước hình trụ nằm ngang hình vẽ: Các ẩn r, h, L bán kính bồn chứa, độ sâu mực chất lỏng chiều dài bồn chứa a) Giải thích chi tiết cơng thức tính thể thích mực chất lỏng có bồn: Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 b) Cho V=8 (m3), L=5(m), r=2(m), tìm độ sâu mực chất lỏng h phương pháp chia đôi phương pháp cát tuyến với sai số nhỏ 10-5 (Dự đoán khoảng cách li nghiệm) c) Đề xuất cách tìm độ sâu mực chất lỏng h với số liệu nêu phương pháp tìm điểm bất động (trong đó, đưa phương trình dạng tương đương , với hàm mà áp dụng cho phương pháp tìm điểm bất động) Nếu có thể, tìm độ sâu mực chất lỏng h với công thức sai số tiên nghiệm nhỏ 10-5 (h0 chọn tuỷ ý) d) Bằng phương pháp Newton-Raphson, chọn giá trị h0 thích hợp, tìm độ sâu mực chất lỏng với sai số nhỏ 10-5 2.2 Bài giải: a) Giải thích chi tiết cơng thức tính thể thích mực chất lỏng có bồn: Ta có: Nhận xét: *Trường hợp 1: h>r Trong đó: Dựa vào hình vẽ ta thấy: Từ (1) (2) suy ra: Ta không nhận trường hợp h>r *Trường hợp 2: h Với số đoạn chia vừa tìm được, tìm xấp xỉ I Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 Ta có a=0, b=1, Gọi n số đoạn chia, ta h=1/n Số đoạn chia n tìm từ bất đẳng thức: Từ ta Vậy số đoạn cần chia n=41 Khi ta có: điểm chia Khi Và Ta so sánh với giá trị xác I= Tương tự vậy, với phương pháp Simpson: ta có: So với giá trị xác ta có sai số khoảng 0,305 Kết luận, nhận xét: Tích phân phương pháp thường dùng để ước lượng diện tích đường, thể tích vật thể trịn xoay, độ dài cung diện tích mặt đường cong mặt trịn xoay Ngồi ra, cịn ứng dụng vật lý cơng, lực chất lỏng, trọng tâm Ứng dụng vào thương mại, kinh tế khoa học đời sống Nội suy phương pháp ước tính giá trị điểm liệu chưa biết phạm vi tập hợp rời rạc chứa số điểm liệu biết Trong khoa học kỹ thuật, người ta thường có số điểm liệu biết giá trị cách lấy mẫu thực nghiệm Những điểm giá trị đại diện hàm số biến số độc lập có lượng giới hạn giá trị Thường phải nội suy (hoặc ước tính) giá trị hàm số cho giá trị trung gian biến độc lập Điều thực phương pháp đường cong phù hợp phân tích hồi quy Có nhiều phương pháp nội suy khác Một số lưu ý lựa chọn phương pháp phù hợp là: Độ xác , chi phí, số điểm liệu cần thiết Nội suy cơng cụ tốn học ứng dụng rộng rãi nhiều ngành thực nghiệm công nghệ thơng tin, kinh tế, tài chính, dầu khí, xây dựng, y học, truyền hình, điện ảnh ngành cần xử lý liệu số khác… Phương pháp hình thang phương pháp Simpson phương pháp cho phép tính gần phép tính phép tích phân thơng qua bảng giá trị đại lượng hàm đại lượng khác, biểu thức hàm mà biết số giá trị tương ứng với giá điểm Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com)