Điều khiển sự phân bố trị riêng của các hệ dao động nhiều bậc tự do có cản nhớt

Định lý Cayley-Hamilton

Khái niệm ma trận phụ hợp (Adjugate Matrix)

Cho A là một ma trận vuông cấp n, A   a ik  nn Ma trận A ik được xây dựng từ ma trận A bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ k

Ma trận A ik được gọi là ma trận con phụ tương ứng với với phần tử a ik của ma trận A Định thức M ik  det

 A ik  được gọi là định thức con phụ của phần tử a ik của ma trận A Định nghĩa phần phụ đại số : Đại lượng

 k M ik (1.2) ik được gọi là phần phụ đại số (Cofactor) của phân tử a ik của ma trận A Định nghĩa ma trận phụ hợp của ma trận A : Từ các phần phụ đại số các phần tử a ik của ma trận A , ta xây dựng ma trận C như sau :

Ma trận C T được gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A và ký hiệu là adj( A )

Trong giáo trình Đại số tuyến tính, người ta đã chứng minh được công thức tính ma trận nghịch đảo như sau

Từ (1.5) ta suy ra adj( A )  det( A ).A 1  A.adj( A )  det( A).E (1.6)

Từ đó suy ra adj( A   E )  det( A   E ).( A  E) 1 (1.7) Chú ý rằng ma trận B  adj( A   E) có thể viết dưới dạng

Trong đó B 0 , B 1 , , B n 1 là các ma trận vuông cấp n, không chứa phần tử 

Định lý Cayley-Hamilton

Định lí 1.1 Cho A  Mat ( n , ) Gọi p A (  ) là đa thức đặc trưng của ma trận A n p A (  )  c 0  c 1   c n  n   c k  k (1.9) k 0

Ma trận A thỏa mãn phương trình đặc trưng của nó p ( A )  c 0 E  c 1 A  c 2 A 2   c n A n  0 (1.10)

Chứng minh định lý : Theo công thức (1.7) ta có adj( A   E ).( A   E )  det( A   E ).( A   E)  1 ( A  Vậy E) adj ( A   E ).( A   E )  det( A   E).E  p A ( ).E

Nhân phương trình thứ nhất của (1.12) với ma trận A 0  E ,phương trình thứ hai của (1.12) với ma trận A 1 ,phương trình thứ ba với A 2 , ,phương trình cuối với A n rồi cộng lại ta được vế phải của phương trình (1.11)

Vế phải của phương trình (1.12) sau khi nhân có dạng

(1.13) c 0 E  c 1 A  c 2 A 2   c n A n  p A ( A) (1.14) Vậy ta có p A ( A )  0 Định lý được chứng minh

Một số thí dụ áp dụng của định lý Cayley-Hamilton

a) Tính ma trận nghịch đảo bằng định lý Cayley-Hamilton

Cho A  Mat ( n , ) Đa thức đặc trưng của ma trận A có dạng p A ( )

 AE  c 0  c 1   ( 1) n  n (1.15) Theo định lý Cayley-Hamilton ta có p A ( A)  c 0 E  c 1 A   ( 1) n A n  0

Từ phương trình trên ta suy ra

  6 0  b) Tính hàm mũ ma trận A k sử dụng định lý Cayley-Hamilton

Cho A  Mat ( n , ) Từ công thức p A ( A)  c 0 E  c 1 A   ( 1) n A  n  0

Nhân hai vế của phương trình trên với A ta được

Biểu thức (1.19) biểu diễn hàm mũ A n1 của ma trận A vuông cấp n dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các ma trận E , A , , A n1 Suy rộng ra ta có n1

Trong đó  k  i là các hằng số phụ thuộc vào các hệ số a 1 , a 2 ,…, a n của đa thức đặc trưng.

Thí dụ 1.2: Tính A 5  0 1 của ma trận A   

Phương trình đặc trưng của ma trận A p A ()

A 2 A2E Nhân phương trình trên với A ta được

Tìm nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số bằng phương pháp ma trận

Hàm mũ ma trận e At

Xuất phát từ biểu thức:

Thí dụ 1.3: Cho ma trận A

Trước hết ta tính A 2 , A 3 ,… và thu được:

  b) Định lý (đạo hàm của e A t )

Cho A  Mat  n,  , t  ,hàm e A t khả vi và ta có hệ dtd  e A t   A e A t với mọi t 

Chứng minh: Theo định nghĩa (1.22) ta có: e A t    t k A k , với mọi t  k 0 k! e A t  ( k )

Ta ký hiệu ij (t ) là các phần tử của ma trận,ij

A k Do tính chất hội tụ của chuỗi các ma trận với mọi

(1.23) là các phần tử của ma trận t  ,ta có:

Do chuỗi ma trận  A k hội tụ với mọi t  , mà các chuỗi lũy thừa thực (1.24) k 0 k! cũng hội tụ trên toàn trục số thực, vậy bán kính hội tụ là .Do đó các hàm ij ( t ) khả vi trên toàn trục số thực, và ta có đạo hàm:

Cho A  Mat ( n, ) , với t , s  bất kỳ ta có:

Cho A, B  Mat ( n, ) tùy ý, với mọi t  ta có

5) e A t  Q e Q 1 AQ t Q 1 , với mọi ma trận không suy biến Q Mat ( n, )

6) Nếu A chéo hóa được: A  diag( A 1 , , A m ), A i là các ma trận vuông nằm trên đường chéo chính của A còn các phần tử khác bằng 0, thì : e diag ( A 1 , , A m )t  diag ( e A 1 t , , e A m t )

Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng

Ta tìm nghiệm của phương trình x  Ax dưới dạng x(t )  e A t

Theo công thức (1.31) ta có d x  A e A t dt

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng x(t )  e A t c (1.33)

Vecto c được xác định từ các điều kiện đầu x (t 0 )  e A t 0 c  x 0

Là hàm truyền hoặc ma trận cơ bản Khi đó ta có biểu thức x(t )  Φ(t  t 0 )x(t 0 ) Khi t 0  0 , từ (1.36) ta suy ra x (t )  Φ(t )x 0

Các tính chất của ma trận truyền Φ(t , t 0 )  e A( t t 0 )

19 x (t )  Ax (t )  Bu(t ) , x(t 0 )  x 0 (1.40) Như phần trên , nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (1.31) có dạng x h (t )  Φ(t  t 0 )c Trong đó c là vecto hằng áp dụng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange , tìm nghiệm riêng của hệ phương trình (1.40) dưới dạng x * (t)  Φ(t  t 0 )q(t) , x * (t 0 )  0 (1.41) Trong đó q( t ) là một vecto chưa biết Đạo hàm biểu thức (1.41) rồi thay vào (1.40) ta được

Nên biểu thức trên có dạng) Φ (t  t 0 )q (t )  Bu(t )

 Tích phân phương trình (1.43) từ t 0 đến t ta được t q(t )   Φ  1 (  t 0 ) Bu ( ) d   q(t 0 ) t 0

Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính có vế phải hệ số hằng số

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (1.40) là t x (t )  x h (t )  x * (t )  Φ(t  t 0 ) x(t 0 )   Φ (t  ) Bu( ) d t 0

Chú ý: Biểu thức có dạng y (t )  cx (t )  Du(t ) t y(t )  cΦ (t  t 0 ) x(t 0 )  c  Φ (t   ) Bu( ) d  Du(t ) t 0

Tính điều khiển được và tính quan sát được của các hệ động lực tuyến tính 21

Tính điều khiển được của hệ động lực tuyến tính

B  n  m , C p  n , a) Định nghĩa 1 : Vecto x(t ) của hệ động lực (1.47) là điều khiển được, khi và chỉ khi tồn tại hàm điều khiển liên tục từng khúc u(t ) sao cho vecto x(t ) từ vị trí ban đầu x(t 0 ) đến vị trí cuối x(t 1 ) trong khoảng thời gian  t 1  t 0   0

(1.47) là điều khiển được khi và chỉ khi

Ma trận S được gọi là ma trận điều khiển và có kích thước n x m 

Chứng minh: (Tiêu chuẩn Kalman 1)

Theo (1.45) nghiệm của phương trình vi phân (1.47) có dạng t x(t )  Φ(t  t 0 ) x(t 0 )   Φ (t   ) Bu( ) d

(1.51) t 0 Để đơn giản cho chứng minh ta chọn x(t 1 ) t 1 x (t 1 )  Φ (t 1  t 0 ) x( t 0 )   Φ (t 1   ) Bu ( ) d 

Khi đó từ (1.51) ta suy ra:

Chú ý rằng theo ta có Φ  1 ( t )  Φ( t)  Φ  1 (t  t)  Φ(t

Thay (1.53) vào (1.52) ta được t 1 x(t 0 )   Φ (t 0   ) Bu( ) d (1.54) t 0

Từ định lý Cayley-Hamilton ta suy ra

Sủ dụng (1.55) ma trận cơ bản Φ(t ) có dạng k t k k

Biểu thức (1.60) có thể viết lại dưới dạng

Do u m nên q i  m Vậy phương trình (1.62) là một hệ n phương trình đại số tuyến tính n  m ẩn Bài toán đặt ra là : xác định vecto u(t) sao cho x(t 1 ) =0 , đưa về giải hệ phương trình (1.62) Từ đại số tuyến tính ta biết rằng để cho hệ phương trình (1.62) có nghiệm thì hạng của ma trận S phải bằng n, hay điều kiện phải thõa mãn.

Tính quan sát được của hệ động lực tuyến tính

Trong bài toán điều khiển người ta thường đề cập đến việc thiết kế bộ điều khiển phản hồi các tín hiệu trạng thái hoặc các tín hiệu ra Vấn đề muốn nói ở đây không phải là sự cần thiết của việc phản hồi mà phải làm thế nào để thực hiện được việc phản hồi những tín hiệu đó Tất nhiên rằng ta phải đo chúng, phải xác định được giá trị của các tín hiệu cần phản hồi.

Thông thường, việc xác định giá trị tín hiệu một cách đơn giản nhất là đo trực tiếp nhờ các thiết bị cảm biến Song không phải mọi tín hiệu đều có thể đo được một cách trực tiếp Rất nhiều tín hiệu chỉ có thể có nhờ đo gián tiếp thông qua những tín hiệu đo được khác Chẳng hạn:

- Gia tốc không thể đo trực tiếp được mà phải được suy ra từ việc đo tốc độ trong một khoảng thời gian

-Giá trị công suất có thể có được nhờ việc đo dòng điện và điện áp. Để thống nhất chung, người ta sử dụng một khái niệm “Quan sát một tín hiệu” để chỉ công việc xác định tín hiệu gián tiêp thông qua các tín hiệu khác. a) Định lí 2 (Tiêu chuẩn Kalman2): Hệ động lực tuyến tính hệ số hằng số mô tả bởi phương trình trạng thái cấp n và phương trình đo x  Ax  Bu với

24 x(0)=0 y (t )  Cx(t ) là quan sát được hoàn toàn khi và chỉ khi

Chứng minh định lý 2 (Tiêu chuẩn Kalman2):

Theo (1.46) biểu thức đo y(t) có dạng: y (t )  cx (t )  Du(t ) t y(t )  cΦ (t  t 0 ) x(t 0 )  c  Φ (t   ) Bu( ) d  Du(t ) t 0

Từ định nghĩa hệ quan sát được chúng ta nhận thấy rằng quan sát được của x(t 0 ) chỉ phụ thuộc vào cΦ(t  t 0 )x(t 0 ) Do đó tín hiệu ra y(t ) khi u(t ) = 0 là: y (t )  CΦ(t  t 0 )x(t 0 ) (1.65) Theo (1.56) của phần chứng minh Tiêu chuẩn Kalman 1 Φ(t )  i0 n1  γ i (t )A i

Thay vào biểu thức (1.65) ta được y(t )  n1 i0  γ i (t )CA i x(t 0 ) Điều kiện đầu tại t 0  0 là x(0)  x 0 nên y(t )  n1 i0  γ i (t )CA i x 0

Hoặc có thể viết y(t )  γ 0 (t )CA 0 x 0  γ 1 (t )CA 1 x 0   γ n 1 (t)CA n1 x 0

Nếu hệ quan sát được thì tất cả đáp ứng ra của hệ xác định được trong khoảng thời gian t 0  t  t 1 thì Rank của ma trận

Từ phân tích trên chúng ta phát biểu điều kiện khả năng quan sát của hệ như sau:

Hệ động lực tuyến tính hệ số hằng (3.1) và (3.2) với tín hiệu vào bằng không (u(t)=0) có thể quan sát được khi và chỉ khi ma trận

Có Rank bằng n hoặc n vecto cột độc lập tuyến tính Ma trận U gọi là ma trận quan sát được Nếu định thức của ma trận quan sát được khác không thì hệ có khả năng quan sát được.

Thí dụ 1.7: Cho hệ động lực mô tả bởi phương trình

Sử dụng tiêu chuẩn Kalman2 để kiểm tra tính quan sát được ta có

Do vậy hệ là quan sát được

Thí dụ 1.8: Cho hệ động lực mô tả bởi phương trình

Sử dụng tiêu chuẩn Kalman2 để kiểm tra tính quan sát được ta có

Do vậy hệ là quan sát được

Tính điều khiển được và quan sát được của một mô hình dao động

Xét mô hình dao động hai bậc tự do như trên Hình 1.1, trong đó u 1 , u 2 là các kích động ngoài Thiết lập phương trình trạng thái, phương trình đo của hệ để khảo sát tính quan sát được và điều khiển được của hệ.

Dễ dàng có được phương trình vi phân dao động của hệ nhờ định lý Lagrange II m 1 q 1  c 1 q 1  c 2 ( q 2 q 1 )  u1 (1.66) m 2 q 2  c 2 ( q 2  q 1 )  c 3 q 2  u 2

Hình 1.2 Mô hình dao động hai bậc tự do Đưa vào biến mới s  t và ký hiệu   '  d Đối với biến s hệ phương trình ds vi phân (1.66) có dạng q '' 

Ta chọn véc tơ trạng thái có dạng x T   q 1 ( s ),q 2 ( s ), q 1 '( s ), q 2 '( s )  T

Khi đó ta có hệ phương trình không gian trạng thái của hệ như sau: x ' ( s )  x ( s

2 2 1 Đặt các ký hiệu không thứ nguyên k 

Từ (1.68) suy ra phương trình trạng thái của hệ viết dưới dạng ma trận

Phương trình đo của hệ dao động trên Hình 1.1 có dạng

Dạng của ma trận C phụ thuộc vào các đại lượng cần đo.

Nếu các đại lượng cần đo là dịch chuyển tuyệt đối q 1 ( s ), q 2 ( s) thì

Từ các phương trình trạng thái (1.69) và phương trình đo (1.70) ta suy ra dạng của ma trận A và ma trận đo C như sau:

Trong đó E là ma trận đơn vị cấp hai, K,C 1 ,C 2 là các ma trận vuông cấp hai.

Trong bài toán này A là ma trận vuông cấp bốn (n=4) Do dó ma trận Q 0 theo tiêu chuẩn Kalman 2 có dạng

Do đó ma trận Q 0 có dạng

Với phương án đo là dịch chuyển tuyệt đối q 1 ( s ), q 2 ( s ) thì các ma trận C 1 và C 2 có dạng

Từ đó ma trận Q 0 có dạng khá đơn giản

Dễ dàng tính được hạng của ma trận Q 0

Do vậy theo tiêu chuẩn Kalman 2 thì hệ dao động khảo sát là một hệ quan sát được hoàn toàn. Để khảo sát tính điều khiển được hoàn toàn của hệ ta viết lại phương trình (1.69) dưới dạng: d x  Ax + Bu ds

Ma trận Q c theo tiêu chuẩn Kalman có dạng

0 0  Để xác định hạng của ma trận này ta tính định thức con sau

Suy ra hạng của ma trận Q c là 4

Do đó theo tiêu chuẩn Kalman 1 hệ dao động khảo sát là điều khiển được hoàn toàn.

Trong phần nội dung của chương này tác giả đã tập trung vào việc phân tích tính điều khiển được và quan sát được của các hệ động lực thông qua định lí về điều khiển và quan sát của Kalman Các định lý được chứng minh cẩn thận và trình bày các ví dụ cụ thể để làm rõ định lý.

ĐIỀU KHIỂN SỰ PHÂN BỐ TRỊ RIÊNG CÁC HỆ DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH N BẬC TỰ DO KHÔNG CẢN

Các định nghĩa về ổn định chuyển động

2.1.1 Khái niệm ổn định Liapunov

Phương trình trạng thái của một hệ cơ học f chuyển động của nó có dạng y  f (t , y ) , y

Trong lý thuyết phương trình vi phân chúng ta đã biết nghiệm của hệ phương trình vi phân y  f (t , y ) , y (t 0 )  y 0 (2.2) phụ thuộc liên tục vào điều kiện đầu, khi t thay đổi liên tục trên đoạn [a, b], nếu vế phải f (t , y ) thoả mãn các điều kiện về tồn tại và duy nhất nghiệm Trong phần này ta sẽ nghiên cứu sự phụ thuộc của nghiệm phương trình vi phân (2.2) vào các điều kiện đầu, khi t thay đổi trong khoảng vô hạn [t 0, )

Nếu (2.1) là phương trình trạng thái của một hệ cơ học thì mỗi nghiệm của hệ phương trình này cho biết một trạng thái chuyển động của cơ hệ Ta cần nghiên cứu ổn định của nghiệm y *  (t ) Trong cơ học chúng ta quy ước gọi chuyển động cần nghiên cứu ổn định là chuyển động không bị nhiễu Các chuyển động y (t ) khác mà lúc đầu ở gần (t ) được gọi là chuyển động bị nhiễu Nếu các chuyển động bị nhiễu lúc đầu (t  t 0 ) ở gần (t ) mà sau đó vẫn luôn ở gần (t ) thì chuyển động không bị nhiễu (t ) được gọi là ổn định. Định nghĩa 2.1 Nghiệm y *  (t ) của hệ phương trình vi phân (2.2) được gọi là ổn định theo nghĩa Lyapunov nếu như với mọi  dương cho trước bé tuỳ ý, luôn có thể tìm được một số dương  ( , t 0) sao cho mọi nghiệm y (t )của hệ phương trình vi phân (2.2) tại thời điểm đầu ở khá gần nghiệm y *  (t )

33 y  f (t , y ) , y (t 0 )  y 0 (2.3) thì nó sẽ luôn thoả mãn điều kiện y (t ) 

(t )   , t  [t 0,  ) (2.4) Định nghĩa 2.2 Nghiệm y *  (t ) của hệ phương trình vi phân (2.2) được gọi là ổn định tiệm cận, nếu y *  (t ) ổn định theo nghĩa Lyapunov và thoả mãn thêm điều kiện lim y (t ) 

(t )  0 (2.5) t Định nghĩa 2.3 Nghiệm y *  (t ) của hệ phương trình vi phân (2.2) là không ổn định nếu nó không thoả mãn định nghĩa 2.1 về ổn định theo nghĩa Lyapunov. Điều đó có nghĩa là tồn tại một nghiệm y  nào đó của hệ phương trình vi phân

(2.2) mà tại thời điểm đầu t 0 thoả mãn điều kiện y  (t 1 )  y (t 1)

  (2.6) nhưng tồn tại một thời điểm t 1  t 1 ( )  t 0 mà (2.7) y  (t 1 )  y (t 1)

Trên Hình 2.1 minh họa khái niệm ổn định Liapunov, còn trên Hình 2.2 minh họa khái niệm không ổn định Liapunov.

Một trạng thái cơ học ( q  (t ), q * (t )) được gọi là ổn định tiệm cận theo nghĩa Lyapunov, nếu do tác dụng của một nhiễu tức thời nào đó làm thay đổi trạng thái ( q * (t ), q * (t )) đó của cơ hệ, thì sau đó cơ hệ có khả năng tự quay trở lại trạng thái ( q * (t ), q * (t )) của nó.

2.1.2 Biến đổi phương trình trạng thái, đưa chuyển động không bị nhiễu về gốc toạ độ

Thực hiện phép đổi biến số x (t )  y (t )  (t ) (2.8) Thế (2.8) vào phương trình (2.2) chúng ta được x  y    f (t , x   )  f (t , )  g (t , x ) (2.9)

Từ (2.9) ta thấy hàm g (t , x ) có tính chất g (t , 0 )  0 Vậy nếu y *  (t ) là nghiệm của phương trình sự ổn định của nghiệm y * định của nghiệm x * (t ) 

0 thì x *  0 là nghiệm của phương trình (2.2) Như thế

 (t ) của phương trình (2.2) tương đương với sự ổn của phương trình (2.9)

Khi g ( x ) không phụ thuộc vào t, từ (2.9) ta suy ra x  g ( x ) (2.10)

Hệ (2.10) được gọi là hệ ôtônôm, còn hệ (2.9) được gọi là hệ phi ôtônôm.

35 Định nghĩa 2.4 Nghiệm cân bằng x *  0 của hệ phương trình vi phân ôtônôm

(2.10) được gọi là ổn định theo nghĩa Lyapunov nếu như với mọi  dương cho trước bé tuỳ ý, luôn có thể tìm được một số dương ( ) sao cho mọi nghiệm x (t ) của hệ phương trình vi phân (2.10) tại thời điểm đầu ở khá gần nghiệm x *  0 x (t 0 )   (t 0 , ) (2.11) thì nó sẽ luôn thoả mãn điều kiện x (t )   , t  [t 0,  ) (2.12)

Hình 2.3 Quỹ đạo pha Hình 2.3 minh họa khái niệm ổn định của nghiệm x * (t )  0 trong không gian hai chiều Trong đó đường 1 biểu diễn ổn định của nghiệm x * (t )  0 , đường 2 biểu diễn ổn định tiệm cận của nghiệm x * (t )  0 , còn đường 3 biểu diễn sự không ổn định của nghiệm x * (t )  0 Định nghĩa 2.5 Nghiệm cân bằng x *  0 của hệ phương trình vi phân phi ôtônôm (2.9) được gọi là ổn định theo nghĩa Lyapunov nếu như với mọi  dương cho trước bé tuỳ ý, luôn có thể tìm được một số dương  (t 0, ) sao cho mọi nghiệm x (t )của hệ phương trình vi phân (2.10) tại thời điểm đầu ở khá gần nghiệm x *  0

36 thì nó sẽ luôn thoả mãn điều kiện x (t )   , t  [t 0  ) (2.14)

2.1.3 Khái niệm ổn định đầu vào – đầu ra (Ổn định BIBO )

Xét hệ phương trình trạng thái của một hệ cơ học có điều khiển y  f (t , y , u ) , y    y 1 , y n   T , u 

Trong đó u k ( k  1, , m) là các điều khiển Các tín hiệu này còn được gọi là các tín hiệu vào. Định nghĩa 2.6: Một hệ cơ học được gọi là ổn định đầu vào – đầu ra, nếu tín hiệu vào u(t) bị chặn thì tín hiệu ra y(t) cũng bị chặn u(t )    y(t )   (2.16)

Tín hiệu đầu vào thường là các lực tác dụng hoặc một bộ phận của nó, tín hiệu ra là các tọa độ suy rộng và vận tốc các tọa độ suy rộng của cơ hệ Ổn định đầu vào ra – Đầu ra còn được gọi là ổn định BIBO Ổn định đầu vào – Đầu ra liên quan trực tiếp đến khái niệm ổn định động lực

Phân tích ổn định của nghiệm phương trình vi phân tuyến tính

2.2.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

Xét hệ n phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất. x  Ax (2.17)

Trong (2.17) A là ma trận vuông cấp n hệ số hằng số Gọi  j là các giá trị riêng của ma trận A, tức là  j là nghiệm của phương trình đặc trưng

Trong đó E là ma trận đơn vị Ta có định lý sau đây: Định lý 2.1 Nếu tất cả các trị riêng của ma trận A đều có phần thực âm thì nghiệm cân bằng x  0 của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (2.17) sẽ ổn định tiệm cận.

37 Định lý 2.2 Nếu ít nhất có một trị riêng của ma trận A có phần thực dương thì nghiệm cân bằng x  0 của hệ phương trinh vi phân tuyến tính thuần nhất (2.17) sẽ không ổn định

2.2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất

Xét hệ n phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng số x  Ax  g(t ) (2.19) Định nghĩa 2.7 Hệ phương trinh vi phân tuyến tính không thuần nhất (2.14) là ổn định (hoặc không ổn định) nếu tất cả các nghiệm x  x(t ) của nó là ổn định (hoặc không ổn định) theo định nghĩa Liapunov Định lý 2.3 Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất ổn định với hàm g (t ) tùy ý (Khả vi liên tục) là nghiệm tầm thường x

 0 của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng ổn định

Chú ý: Theo trên, ta thấy tất cả các nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính hoặc là cùng ổn định hoặc là cùng không ổn định Không có khái niệm ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính, mà chỉ có khái niệm ổn định của nghiệm phương trình vi phân phi tuyến mà thôi.

Khi ma trận A là ma trận vuông cấp n, thi phương trình đặc trưng (2.18) là một phương trình đại số tuyến tính bậc n Phương trình này có thể viết dưới dạng đa thức như sau p ( )

Từ (2.20) ta xây dựng ma trận Hurwitz vuông cấp n theo qui tắc a a a 0 

Ma trận (2.21) được gọi là ma trận Hurwitz

Các định thức trên đường chéo chính của ma trận này được gọi là các định thức Hurwitz và có dạng như sau

38 của phương trình đa thức a n  a  n  1   a   a n  0, a 0  0 (2.22)

0 1 n 1 Đều có phần thực âm là tất cả các định thức con Hurwitz 1, 2 , 3 , ,  n đều dương.

Một số trường hợp đặc biệt

Khi n  2 , phương trình (2.20) có dạng a  n  a  n 1   a   a n  0, a 0  0 (2.23)

Ma trận Hurwitz có dạng a 0 

Theo tiêu chuẩn Hurwitz ta có a n  a  n  1   a   a n  0, a 0  0 (2.24)

Khi n  3 , từ phương trình (2.20) ta suy ra p( )  a  3  a 2   a 2   a

Ma trận Hurwitz bây giờ có dạng

Theo tiêu chuẩn Hurwitz ta có

Phân tích ổn định của dao động tuyến tính n bậc tự do không cản

2.3.1 Trị riêng và véc tơ riêng của hệ tuyến tính không cản

Phương trình vi phân dao động tự do của hệ n bậc tự do không cản có dạng:

Trong đó M và K là các ma trận vuông cấp n, có các phần tử là các hằng số Trong nhiều bài toán thực tế chúng là các ma trận thực và đối xứng Giả sử M là ma trận không suy biến, det  M   0 , do đó có ma trận nghịch đảo M  1 Từ công thức (2.27) ta suy ra: q  M 1 Kq  0 (2.28)

Phương trình (2.27) có dạng q  Aq  0 (2.30)

Ta tìm nghiệm phương trình vi phân (2.30) dưới dạng q ( t )  a eit (2.31)

Trong đó a là vector hằng số Thế (2.31) vào (2.30) ta được

Ký hiệu    2 , từ (2.32) ta suy ra

Như đã biết từ đại số tuyến tính, khi A là ma trận vuông cỡ n  n , ta gọi  là trị riêng của ma trận A, x là vector riêng tương ứng với trị riêng , nếu  và x thỏa mãn phương trình

Trong đó I là ma trận đơn vị cỡ n  n Để cho x 0 ta có điều kiện

Phương trình (2.35) được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A

Khi A là ma trận vuông cỡ n  n , phương trình (2.35) là một đa thức bậc n có n nghiệm Ký hiệu các trị riêng là  j Khi đó theo lý thuyết ma trận ta có n (2.36) det( A   j I)   (    j )  0 j 1

Khi  j là nghiệm bội m j , thì k det( A   j I)   (    j ) m j  0 (2.37) j 1

40 j1 Định nghĩa: Tập các trị riêng và các vector riêng của ma trận A được gọi là cấu trúc riêng của ma trận A.

2.3.2 Các thí dụ áp dụng Để minh họa cho các lý thuyết đã trình bày ở trên dưới đây đi tìm các trị riêng của ma trận sau a) Tìm các trị riêng của ma trận A

Với  là trị riêng của ma trận A ta có det( A   I )  1 

Ta được các trị riêng của ma trận A :

1 2 2 b) Xác định miền ổn định của nghiệm x  y  z  0 của phương trình vi trạng thái sau phân x   x  y y   x  y  z z   y  z

Trong đó  và  là các hằng số thực.

Ma trận hệ số của hệ trên có dạng

Phương trình đặc trưng có dạng det( A   I )

Từ phương trình trên ta suy ra a 0  1, a 1  3, a 2  3  2 , a 3  1  2

Theo tiêu chuẩn Hurwitz ta có điều kiện cân bằng như sau: a 0  1, a 1  0, a 3  0, a 1 a 2  a 0 a 3  0,

Trong thí dụ này ta có a  1, a  3  0, a  1  2  0 

Vậy theo tiêu chuẩn Hurwitz, miền ổn định của nghiệm x  y  z  0 là miền xác định bởi hệ thức   1

Trong phần nội dung chương 2 này tác giả đã tổng hợp trình bày một cách logic các khái niệm ổn định Lyapunov, một số định lý về lý về ổn định của các hệ tuyến tính, phục vụ cho việc áp dụng nghiên cứu điều khiển các trị riêng của các hệ dao động tuyến tính nhiều bậc tư do có cản ở chương tiếp theo.

ĐIỀU KHIỂN SỰ PHÂN BỐ TRỊ RIÊNG CỦA CÁC HỆ

Trị riêng và vector riêng của hệ tuyến tính có cản

Phương trình vi phân mô tả dao động tuyến tính có cản của hệ n bậc tự do có dạng

Trong đó M , D , K là các ma trận vuông cỡ n  n , q là vector có n phần tử.

Ta tìm nghiệm của phương trình vi phân (3.1) dưới dạng q (t )  a e  t a là vecto hằng (3.2)

Thế biểu thức nghiệm (3.2) vào phương trình vi phân (3.1) rồi đơn giản đi thừa số e t ta được phương trình đại số tuyến tính

Phương trình (3.3) được gọi là phương trình riêng tổng quát Trong đó  được gọi là trị riêng, còn a là vector riêng của hệ dao động tuyến tính có cản (3.1) Điều kiện cần và đủ để cho các phần tử của vector a không đồng thời triệt tiêu là: p( )  det   2 M  D  K 

Phương trình (3.4) được gọi là phương trình đặc trưng Khi M là ma trận chính quy, det  M   0, thì p() là đa thức bậc 2n của  với các hệ số thực Giải phương trình (3.4) ta được các nghiệm  j  j 1, , 2n  Ứng với

 j ta có vector riêng a j xác định bởi công thức

Tập 2n các trị riêng  j của phương trình đặc trưng (3.4) có thể xắp xếp lại thành 2 tập con như sau :

Tập các trị riêng phức liên hợp

Tập các trị riêng thực

Phân tích ổn định của hệ dao động tuyến tính có cản

Nghiệm của hệ phương trình (3.1) có dạng q k (t )  e   k t cos( k t) ,  k 1, ,n 

Trường hợp 2 : Khi s  n ,  k  0 ,  j  0 (với mọi giá trị j nào đó) Ứng với  j  0 ta có nghiệm q j (t )  e   j t  cos j t  i sin  j t   0 khi t  

Trường hợp 3 : Khi s  n ,  l  0 ,  s  0 Ứng với các trị riêng ta có nghiệm q l (t )  e   l t  0 khi t  

Trường hợp 4 : Khi  k  0 (với ít nhất một số k nào đó) hoặc  l  0(với một số l nào đó) thì các nghiệm của hệ dao động tuyến tính có cản (3.1) tiến tới  khi t 

Trường hợp 5 : Khi  k có  k  0 hoặc  l  0 Khi đó ứng với  k   k  i  k ta có q k (t )  sin  k t , q k (t )  cos k t Ứng với  l   l  0 ta có q l (t )  e 0t 1

Kết luận 1 Khi R e  k  0 (k ) thì nghiệm riêng của hệ dao động tuyến tính có cản (3.1) sẽ tiến tới 0 khi t   Hệ dao động tuyến tính có cản (3.1) ổn định tiệm cận.

Kết luân 2 Khi trong tập  k có ít nhất một số âm thì hệ dao động tuyến tính có cản (3.1) sẽ không ổn định.

44 nghiệm khác có phần thực âm thì hệ dao động tuyến tính có cản (3.1) sẽ ổn định biên. Ứng với trị riêng  k , hệ phương trình đại số (3.5) có dạng

Khi biết  k , từ (3.6) ta xách định được các vector riêng a k

Chú ý : Từ giải phương trình đại số tuyến tính , ta đã biết : Nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng (3.4) là nghiệm đơn hoặc nghiệm bội mà bội đại số bằng bội hình học, thì các vector riêng tương ứng sẽ độc lập tuyến tính Ta có thể sắp xếp 2n trị riêng  k ứng với 2n vector riêng a k Các vector riêng được xách định sai khác một hằng số nhân Các vector riêng ứng với các trị riêng phức thường là các số phức Các trường hợp khác ta chưa xét trong luận văn này.

Chương trình tính tần số riêng dao động tự do có cản dựa trên phần mềm MATLAB

Xét phương trình dao động hệ n bậc tự do có cản

Giả sử det M  0 , do đó tồn tại M 1 Từ (3.7) ta suy ra q  M  1 Dq  M  1 Kq 

Phương trình (3.10) có dạng y  Ay (3.12)

Ta tìm nghiệm y dưới dạng

(3.15) là phương trình đặc trưng của ma trận A.Giải phương trình (1.27) ta được các trị riêng 1 , 2 , , 2n Dưới đây là sơ đồ khối tính các trị riêng của phương trình dao động (3.1)

Hình 3.1 Sơ đồ khối chương trình tính toán trị riêng

Trên cơ sở sơ đồ khối như trên ta xây dựng một chương trình tính các trị riêng  j của phương trình dao dộng tuyến tính (3.1) dựa vào phần mềm đa năng

MATLAB, và đặt tên chương trình là Matlab-E.

Chương trình tính Matlab-E có cấu trúc như phụ lục A3.1

Thí dụ 3.1 Cho mô hình dao động của hệ 2 bậc tự do như hình 3.1

Hình 3.2 Mô hình dao động của hệ 2 bậc tự do Biểu thức động năng,thế năng và hàm hao tán của hệ là

Sử dụng phương trình lagrange loại 2 :

 mx 1  3bx 1  2bx 2  2cx 1  cx 2 

 mx 1  3bx 1  2bx 2  2 cx 1  cx 2  0

 2 mx 2  2 bx 1  4 bx 2  cx 1  2 cx 2  0 hay

Ta có phương trình dao động

Cho các tham số: m = 2 (Kg) c = 100 (N/m) b = 4 (Ns/m) ta có

Ta tính được các trị riêng của ma trận A

Sử dụng chương trình Matlab-E theo phụ lục A3.2

Hình 3.3 Mô hình dao động cơ hệ ba bậc tự do Biểu thức động năng, thế năng và hàm hao tán của cơ hệ là :

Sử dụng phương trình Lagrange loại 2 :

Cho biết các tham số: m i  2

Ta tính được các trị riêng của ma trận A

Sử dụng chương trình Matlab-E theo phụ lục A3.3

Thí dụ 3.3 Mô hình dao động cơ hệ năm bậc tự do

Hình 3.4 Mô hình dao động cơ hệ năm bậc tự do

Biểu thức động năng,thế năng và hàm hao tán của hệ là

T  1 mx 2  1 mx 2  1 mx 2  1 mx 2  1 mx 2

Sử dụng phương trình Lagrange loại 2 :

 mx 1  2bx 1  bx 2  2cx 1  cx 2  0 Tương tự ta có được hệ phương trình vi phân

mx 1  2bx 1  bx 2  2cx 1  cx 2 

0 mx  bx  2bx  bx  cx  2cx  cx  0

  bx 2  2bx 3  bx 4  cx 2  2cx 3  cx 4  0 (1)

 mx  bx  2bx  bx  cx  2cx  cx  0

mx  bx  bx  cx  cx  0

Cho biết các tham số: m  1(Kg), c = 100 (N/m ), b=2(Ns/m)

Sử dụng chương trình Matlab-E để tính các giá trị riêng của hệ (2), ta được

Điều khiển dao động tuyến tính hệ n bậc tự do có cản

Cho phương trình hệ tuyến tính có cản

Giả sử ta biết được các trị riêng của phương trình vi phân (3.16)  k mà

Bây giờ xét hệ dao động tuyến tính có cản có điều khiển

Trong đó M , D , K là các ma trận vuông cỡ n  n q  n , u  m , B là ma trận cỡ n  m (m  n)

Giả sử vector điều khiển phản hồi trạng thái có dạng u ( t )   F k q  F D q (3.18)

Trong đó F D và F k là các ma trận cỡ m  n (m  n) Thế (3.18) vào (3.17) được ta

Bài toán : Xác định các ma trận lợi ích (gain matrix) F k , F D sao cho các trị riêng của phương trình vi phân (3.19) có phân bố giống như các trị riêng của phương trình vi phân (3.16).

Giả sử det( M 0 )  0 , tồn tại ma trận M 0 1 Từ (3.16) ta suy ra q  M 1 D q M 1 K q  0 (3.20)

Giả sử det(M)  0 tồn tại ma trận M 1 Từ (3.19) ta suy ra q  M  1  D  BF D  q  M  1  K  BF k  q  0 (3.21)

Nếu phương trình (3.19) có cùng các trị riêng như phương trình thiết kế (3.16) thì từ (3.20) và (3.21) ta suy ra

M  1  D  BF D   M 0  1 D 0 (3.23) Nhân bên trái phương trình (3.22) với ma trận M ta suy ra

Do B là ma trận chữ nhật cỡ n  m (m  n) , ma trận tựa nghịch đảo của ma trận

B được xác định bởi công thức

Nhân bên trái phương trình (3.24) với phương trình (3.26) ta được

Nhân bên trái phương trình (3.25) với phương trình (3.26) ta có

Các phương trình (3.28) và (3.29) cho phép ta xác định các ma trận điều khiển

F k và F D của luật điều khiển (3.18).

3.2.2 Điều khiển có phản hồi sự phân bố trị riêng của hệ tuyến tính có cản

Cho phương trình hệ dao động tuyến tính có cản

Giả sử ta đã biết tất cả các trị riêng của hệ phương trình vi phân (2.30). Chúng đều có phần thực âm, Re k  0  k 

Xét hệ dao động tuyến tính có cản nhớt có điều khiển phản hồi gồm hai loại phương trình như sau :

Trong đó M, D, K là các ma trận vuông cỡ n  m , q  n , u  m , B là ma trận chữ nhật cỡ n  m (m  n).

Phương trình đo y  C d q; y C v q (3.32) trong đó C d , C v là các ma trận chữ nhật cỡ r  n (r  n) , y  r

Lực điều khiển u(t ) được tìm dưới dạng u(t )  F K y F D y (3.33) trong đó F K , F D là các ma trận lợi ích cỡ m  r

Thế (3.32) vào (3.33) ta được u(t )  F K C d q F D C v q (3.34) Thế (3.34) vào (3.31) ta được

Bài toán: Tìm ma trận lợi ích F K , F D sao cho các trị riêng của hệ dao động

(3.35) có các phần thực âm để hệ ổn định tiệm cận.

Trước hết từ phương trình (3.30), khi det(M 0 )  0 ta có q 

Từ hệ phương trình dao động (3.35) , khi det M 0 ta có q  M  1  D  BF D C v  q  M  1  K  BF K C d  q

So sánh và cân bằng các ma trận hệ số của (3.37) và (3.36) ta suy ra hệ phương trình ma trận sau

Nhân bên trái phương trình ma trận (3.38) vơi ma trận M và xắp xếp lại ta được

Nhân bên phải phương trình (3.40) với ma trận tựa nghịch đảo B  ta được

Nhân bên phải phương trình (3.41) với ma trận tụa nghịch đảo C  ta có d 55

Do B là ma trận chữ nhật cỡ n  m (m  n) nên ma trận tựa nghịch đảo dạng

Do C d là ma trận chữ nhật cỡ r  n (r  n) nên ta có

Từ (3.42) (3.43) (3.44) ta được phương trình xác định ma trận lợi ích

(3.45) Để tìm ma trận lợi ích F D ta tính toán tương tự Nhân phương trình (3.39) với ma trận M và xắp xếp lại ta được

Nhân bên trái phương trình (3.46) với ma trận tựa nghịch đảo B  ta có

Nhân bên phải phương trình (3.47) với ma trận tựa nghịch đảo C  v ta được

Do C v là ma trận chữ nhật cỡ r  n (r  n) nên ta có

Thế (3.49) (3.43) vào (3.48) ta được phương trình xác định ma trận lợi ích

3.2.3 Chương trình tính toán các ma trận tiện ích trong bài toán điều khiển sự phân bố các trị riêng của hệ tuyến tính có cản dựa trên MATLAB

Dựa trên các công thức (3.28), (3.29), (3.45), (3.50) ta có sơ đồ khối tính các ma trận lợi ích như sau:

Sơ đồ khối chương trình Matlab-E

Chon he dao dong mau on dinh.

Dieu khien co phan hoi ? đ  (r  0)

Tinh cac ma tran loi ich

Tri rieng cua he dao dong da dieu khien q  M 1  D  BF D C v  q  M 1  K  BF K C d  q  0

Tinh cac ma tran loi ich

Tinh tri rieng cua he dao dong da dieu khien

Hình 3.5 Sơ đồ khối chương trình MATLAP-E

Thí dụ 3.4 Tính toán trị riêng của hệ dao động mô tả trên Hình 3.6

Hình 3.6 Mô hình dao động con lắc ngược.

Các thông số bao gồm m 1 : Khối lượng của xe m 2 : Khối lượng của thanh l : Chiều dài thanh l c : Là khoàng cách từ O đến trọng tâm C của thanh

I : Momen quán tính đối với trục đi qua tâm của thanh

 : Là góc hợp bởi thanh với mặt phẳng thẳng đứng k 1 , k 2 : Độ cứng lò xo c 1 , c 2: Hệ số cản nhớt Động năng của xe

1 2 1 Động năng của thanh OA

Nên động năng của hệ là

Hàm hao tán của hệ

Thế các biểu thức động năng, thế năng và hàm hao tán của hệ vào phương trình Lagrange loại II d  T

Ta được phương trình vi phân chuyển động Tính toán chi tiết ta có

Vậy ta có hệ phương trình vi phân dao động

Xét dao động quanh vị trí x  x 0 *  const , x  0;   0,  =0 Bỏ qua các số hạng phi tuyến bậc cao, sin   , cos 1, ta có

Hệ phương trình vi phân (8) có thể viết lại dưới dạng sau

Mô phỏng số : Chọn các tham số m 1  10(kg ), m 2 =1(kg ), k1 0(N/m), k2  50(Nm / rad ),c1 =2(Ns/m)

Thay bộ số vào tính toán ta có các ma trận

Thay số vào ta được

Giải tìm được giá trị riêng của hệ phương trình vi phân (9)

Thí dụ 3.5 Tính toán trị riêng của hệ dao động như Hình 3.7

Hình 3.7 Mô hình con lắc ngược

Phương trình vi phân chuyển động bé của hệ quanh vị trí x  x 0 *  const , x  0;   0,  =0 Bỏ qua các số hạng phi tuyến bậc cao, sin   , cos 1, ta có

 2 c 2 c     0 m 2 l c g  Tính trị riêng của phương trình vi phân

Do 3  4.4429 > 0 nên hệ dao động không ổn định.

Các ma trận F K ,F D xác định bởi các công thức

Với bộ số liệu thí dụ 3.5 ta có

Trị riêng của hệ có dạng

Tất cả các trị riêng của hệ (9) đều có phần thực âm nên hệ dao động con lắc ngược sau khi có điều khiển là ổn định.

Chương trình MATLAP giải ví dụ 3.4, ví dụ 3.5 có cấu trúc như phụ lục

A3.4 Chương trình MATLAP giải thí dụ 3.4 và 3.4 với hệ khảo sát n=2

Nội dung chương 3 này tập trung bài toán phân tích ổn định và điều khiển các trị riêng của các hệ dao động tuyến tính có cản nhớt Việc xác định các trị riêng của các hệ tuyến tính từ hai bậc tự do trở lên khá phức tạp nên người ta hay sử dụng các phần mềm có sẵn như MAPLE, MATLAB tính toán.

ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU SỰ PHÂN BỐ TRỊ RIÊNG CÁC HỆ

Nguyên lý cực đại Pontryagin

Xét một quá trình điều khiển được mô tả bằng hệ phương trình: x i  f i (x, u,t ) i  1 n

Trong đó x là véc tơ n chiều, u là véc tơ r chiều

Bài toán : Tìm điều khiển u để đối tượng được mô tả bằng hệ phương trình vi phân (4.1) với điều kiện đầu: x (t 0 )  x 0 (4.2) làm hàm Pontryagin n

(4.3) i 1 đạt cực đại tại tới điểm cuối t f

Hàm  được gọi là hàm mục tiêu

Pontryagin đã đề xuất nguyên lý để giải bài toán đặt ra được gọi là nguyên lý cực đại Pontryagin, thường được gọi tắt là nguyên lý tối ưu Pontryagin, hay nguyên lý Pontryagin

Nếu hàm u là điều khiển tối ưu, tức là đảm bảo phiếm hàm (4.3) cực tiểu (cực đại) thì hàm Hamilon H:

H ( x,u,p, t)   p,f  n   p i f i i1 đạt cực đại (cực tiểu), trong đó biến liên hợp trình liên hợp:

Từ (4.5) khi tính đạo hàm của hàm Hamilton đối với các biến liên hợp ta nhận được

Dựa vào hệ phương trình (4.8) và các phương trình (4.1) và (4.6) ta có x  H i p i (4.9) p i    H

4.1.3 Lộ trình giải bài toán tối ưu theo nguyên lý Pontryagin a) Bài toán

Phương trình mô tả quá trình (4.1) và hàm mục tiêu có dạng:

Bằng cách đưa vào biến mới t f x n 1   I  x, u , t  dt  g  x f ,t f  (4.11) t 0

Lúc đó phiếm hàm (4.11) tương đương với phương trình vi phân x n1  I  x, u,t  (4.12)

Bài toán tối ưu phiếm hàm (4.10) với điều kiện biên (4.2) đưa về xét tối ưu của phiếm hàm t f

Trong đó J có dạng (4.10), f , x phù hợp với (4.1), p là ma trận cỡ   n  1   n  Từ đó ta được t f

Từ (4.13) và (4.14) ta suy ra t f

Sử dụng tích phân từng phần ta có

Từ đó biểu thức (4.15) có thể viết lại dưới dạng

Phiếm hàm J đạt cực trị thì J * cũng đạt cực trị, tức là gia số của nó bằng không Do đó

Từ đây ta có điều kiện để phiếm hàm J đạt cực trị là

1 Phương trình chuyển động của đối tượng điều khiển dạng (4.1) có thể được viết dưới dạng sau: x  H

2 Hàm Hamilton thường được viết dưới dạng n

Trong trường hợp yêu cầu phiếm hàm (4.10) đạt cực tiểu (tức là hàm H đạt cực đại), chọn p 0 =1 Trong trường hợp ngược lại, tức là yêu cầu phiếm hàm (4.10) đạt cực đại (tức là hàm H đạt cực tiểu), chọn p 0 =-1 b) Lộ trình giải bài toán

Từ khảo sát trên, có thể thấy xây dựng lộ trình giải bài toán tối ưu như sau:

1 Xây dựng phương trình chuyển động của đối tượng điều khiển có dạng phương trình (4.1)

2 Xây dựng hàm mục tiêu có dạng (4.13)

3 Xây dựng hệ biến mở rộng (x,z) trong đó biến z có dạng t f z   I  x, u, t  dt  g  x f ,t f  t 0

5 Xây dựng các tham số điều khiển tối ưu được tìm từ điều kiện max H u

Trong trường hợp riêng (không có các ràng buộc đặt lên các biến điều khiển) thì điều khiển tối ưu sẽ là nghiệm của phương trình sau:

6 Xây dựng hệ phương trình p   H

7 Giải hệ phương trình trên ta được lời giải.

Thí dụ 4.1 : Khảo sát chuyển động của đối tượng, phương trình chuyển động trong hệ biến chính tắc có dạng

Với phiếm hàm mục tiêu t f

Trong điều kiện vị trí cuối có ràng buộc thêm điều kiện x 1 f  x 2 f t f Đưa vào thêm biến phụ z (t )  1

H  I  p T f  0.5 x 1 2  u 2   p 1 x 2  p 2 u Điều khiển tối ưu được xác định từ hệ thức sau:

Phương trình đối với các biến liên hợp p 1   H

Vậy hệ phương trình để giải bài toán sẽ là

Với các điều kiện biên như đã nêu ở đầu bài.