Đang tải... (xem toàn văn)
Tổng Hợp Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022 2023 CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 Trang 52 Tỉnh Nghệ An bảng B Câu 1 (3,5 điểm) a) Cho a, b[.]
Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 Học sinh giỏi Câu TUYẾN TẬP ĐÈ HỌC SINH GIỎI CÁP TINH — NAM 2022-2023 ) Tỉnh Nghệ An bảng B (3,5 điểm) a) Cho a, b số tự nhiên lẻ không chia hết cho Chứng minh a” — bÝ chia hết cho 24 b) Tim tat số nguyên dương n để 9n” -+- ón — 35 số nguyên tố guy Cau2 (6,5 diém) a) Giai phuong trinh 3x +1=/8x +14 V2x—1 b) Giai phuong trinh Cau x(y — x) =2 (1,5 diém) Cho cac sé thuc khong 4m X, y,Z thoa man x +3y + 2z=3 Tim gia tri lon nhat x? biêu thức P = Cau xy +2xy+1=7x+9 + 9y* xy +1 +z{z (7,0 điểm) Cho tam giác ABC —8z +17) nội tiếp đường trịn (O R) Trên cung BC khơng chứa điểm A lay điểm M bát kỳ (M không trùng với B C) a) Chứng minh MA = MB + MC b) Gọi D giao điểm AM BC Chứng minh ¬ c) Xac định vị trí M Cau " 12 dé tong: —— +—— MA MD MD B MD +——=I MC 1 + 2023] —— + ——| MB MC a dat gia tri nho nhat (1,5 diém) Trén mot khu dat hinh chir nhat kich thudc 100m x 120m Ngudi ta muén xây sân bóng nhân tạo có nên đất hình chữ nhật kích thước 25m x 35m bồn hoa hình trịn đường kính 5m Chứng minh dù xây trước bồn hoa vị trí phần đất cịn lại ln tìm nên đất kích thước 25m x 35m để xây sân bóng -Hết - CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 52 Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYEN TAP DE HOC SINH GIOI CAP TINH — NAM 2022-2023 HUONG DAN GIAI (3,5 diém) a) Cho a, b lacac sé tự nhiên lẻ không chia hết cho Chứng minh a” — bỂ chia hết cho 24 b) Tim tat số nguyên dương n để 9n” + 6n — 35 số nguyên tó guy Loi giải a) — b không chia hét cho a’ =1(mod3 ( ) —va? b2:3 (1) b’ =1(mod3) +) Do a không chia hết cho = k, a — chiaia hethế cho a khong :2 =a’—1:8, a—1 va a+1 la hai sé chan liên tiếp — +) Do +) Tuong tu b’ —1:8 Do dé a’ —b’ =(a*—1)-(b’-1) :8 (2) Tu (1), (2) suy a* —b? : 24 b) Ta có 9n? +6n—35=(9n? + 6n +1)—36=(3n+1) —36 = (3n +1—6)(3n +1+6)=(3n—5)(3n +7) Lại có: 3n— 5< 3n +7, Vn Suy 9n” +6n—35 số nguyên tô 3n— 5=1n=2 Thử lại ta thây n=2 thỏa mãn yêu câu toán (6,5 điểm) a) Giai phuong trinh 3x +1=/8x + b) Giai phuong trinh +4 2x—] xy +2xy+1=7x+9 x(y — x) =2 Lời giải a) Điều kiện KBs Dat a=xSx+I b=x2x-l Phương trình cho tương đương với: 6x+2=2(N8x +] +A2x-]) (a>0,b>0) + 6x+2=(8x+1)—(2x—1)=a’ —b” Phương trình trở thành: a” — b” = 2(a+ b) ©(a+b)(a—b—2)=0@a—b—2=0, a+b>0 Với a—b=2= V8x+ -J2x~1=2@ f8 +1 =x2x—1+20 (3x —1) =4(2x—1) 3% Trang 53 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 ©+ x> I x=l - 9x” —14x+5=0 TUYEN TAP DE HOC SINH GIOI CAP TINH — NAM 2022-2023 5s Vậy phương trình cho có nghiệm x =], x = 9° X9 x (xy + 1)) =7x+9 xy=x°42 b) Hệ phương trình cho tương đương với —~Tx49 x4 Thay (2) vào (1) ta có: (x? +3) ( (1 ) (2) 46x? 7x —0 x(x`+6x—7)=0 Sx(x=DÐÈtx27)=0 T Thay vào (2) ta thấy: Khi x=0 =0y=3 (không thỏa mãn) Khi x=l=>y=3 Vậy nghiệm hệ cho (x;y)= (1:3) (1,5 điểm) Cho số thực không âm X, V,Z thỏa mãn x + 3y + 2z = Tìm giá trị lớn x? biêu thức P = + Oy’ xy +1 +z‡z —8z +17) Lời giải +) Ta có: x+3y 42253 +) Lại có 3—2z) x’ 49y? x+3y= 3-23-22 x? +9y° 466 xy +1 xy +1 +6 x 20-7255 OY + Oxy +6 Q xy +1 (x+3y) +6 _ xy +1 3y =3-2 xy >0 Khi P