T8 25 bài tập tổng hợp tam giác tứ giác

Toán G/v : Lê Đức Nguyên Tam giác & Tứ giác BÀI TẬP TỔNG HỢP TAM GIÁC & TỨ GIÁC A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1/ Định lý Pythagore & định lý Pythagore đảo - Trong tam giác vng, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng D ABC vng A Þ BC = AB + AC - Nếu tam giác có bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh tam giác tam giác vng D ABC có · BC = AB + AC Þ BAC = 900 2/ Tứ giác - Tứ giác có cạnh, đường chéo, đỉnh góc - Tứ giác lồi: Tứ giác lồi tứ giác ln nằm phía đường thẳng chứa cạnh tứ giác - Tổng góc tứ giác: Tổng góc tứ giác 360° Sơ đồ nhận biết loại tứ giác Toán G/v : Lê Đức Nguyên B.CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bài Tìm góc x,y,z t chưa biết hình bên Bài Cho tam giác nhọn ABC Kẻ AH vng góc với BC (H thuộc BC) Cho biết AB = 13cm, AH = 12cm, HC = 16cm Tính độ dài AC, BC Bài Tính chiều cao tường hình bên biết chiều dài thang 4m chân thang cách tường 1m (làm tròn kết đến hàng phần mười) Bài Bạn Hà muốn đóng nẹp chéo AC để khung hình chữ nhật ABCD vững Tính độ dài AC biết AD = 48 cm, CD = 36cm Toán G/v : Lê Đức Nguyên Bài Tìm x hình vẽ sau : Bài Hình ảnh bên thiết kế ngơi nhà hình tam giác cân xu khắp giới phân khúc nhà nhỏ Đây thiết kế động, thi cơng lắp dựng nhanh có chi phí rẻ Trước ngơi nhà có lắp kính chống vỡ có dạng tam giác cân Biết cạnh đáy, cạnh bên miếng kính có độ dài 8m 10m Tính chiều cao kính tam giác cân (làm trịn kết đến hàng phần mười) ? Bài Hai xuồng máy xuất phát từ bến A thẳng theo hai hướng tạo với B C góc 90 (hình minh họa) Chiếc xuồng máy thứ 12km dừng lại bến C, cịn xuồng máy thứ hai với vận tốc 18km/h đến B chuyển hướng thẳng bến C với vận tốc không đổi A a/ Hỏi sau phút từ lúc xuồng máy thứ hai chuyển hướng đến bến C gặp xuồng máy thứ ? b/ Tính diện tích tam giác ABC tạo thành hình vẽ Bài Cho tam giác có AB = 7cm, AC = 25cm, BC = 24cm có phải tam giác vng khơng ? Bạn Linh giải tốn sau : Ta có : AB  AC 7  252 49  625 674 BC 242 576 Toán G/v : Lê Đức Nguyên 2 Do 674  576 nên AB  AC BC Vậy tam giác ABC tam giác vuông Bạn Nhật cho Bạn Linh giải sai tam giác ABC vng Theo em , sai ? Giải thích ? 80cm A Bài Khi nói đến ti vi 21 inch, ta hiểu đường chéo hình ti vi dài 21 inch (inch : đơn vị đo chiều dài sử dụng nước Anh số nước khác, inch  2,54cm) Hỏi ti vi (hình bên) thuộc loại tivi inch (làm tròn kết đến hàng đơn vị ) ? B 60cm C D Bài 10 Cho hình vẽ bên Tính chiều dài cần cẩu AB Bài 11 C Khoảng cách từ hai bến tàu A B tới đảo C 17km 10km (hình ảnh họa) Tính khoảng cách AB hai bến tàu biết hồn đảo cách đất liền 8km 17km A ? B 10km 8km H Toán G/v : Lê Đức Nguyên Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A , đường trung tuyến AM Gọi H điểm đối xứng với M qua AB , E giao điểm MH AB Gọi K điểm đối xứng với M qua AC , F giao điểm MK AC a) Các tứ giác AEMF , AMBH , AMCK hìn gì? Vì sao? h b) Chứng minh H đối xứng với K qua A c) Tam giác vuông ABC cần thêm điều kiện tứ giác AEMF hình vng? Lời giải a) Tứ giác AEMF hình chữ nhật Các tứ giác AMBH , AMCK hình thoi b) Theo a) suy HA  BC , AK  MC  H , A , K thẳng hàng Lại có AH  AM  AK  H , K đối xứng với qua A c) Để hình chữ nhật AEMF hình vng cần thêm điều kiện AE EM  AB  AC Vậy tam giác ABC vuông cân A  Bài 12 Cho hình bình hành ABCD có BC 2 AB , Aˆ 60 Gọi E , F theo thứ tự trung điểm BC , AD Vẽ I đối xứng với A qua B a) Tứ giác ABEF hình gì? Vì sao? b) Chứng minh tứ giác AIEF hình thang cân c) Chứng minh BICD hình chữ nhật d) Tính góc AED Lời giải a) Vì AB EF BF  AF  BC  Tứ giác ABEF hình thoi Tốn G/v : Lê Đức Nguyên    b) Dễ thấy EF  AI , IB BE ; IBE IAD 60 AIEF hình thang cân  BIE Do đó, IE  AF suy c) BEDF hình thoi Suy BD đường phân giác ADI Có BI  AB DC AB  DC hay BI  DC Vậy tứ giác BICD hình bình hành có cặp cạnh đối song song Thấy BD vừa đường trung tuyến, phân giác  90  Tứ giác BICD hình chữ nhật hình ADI Suy BD  BI hay DBI bình hành có góc vng d) Vì BICD hình chữ nhật nên E trung điểm DI Ta có DAI cân A , mà  AE đường trung tuyến nên đồng thời đường cao Suy AE  DI , AED 90 Bài 13 Cho hình thang cân ABCD ( AB CD, AB  CD) , đường cao AH , BK a) Tứ giác ABKH hình gì? Vì sao? b) Chứng minh DH CK c) Gọi E điểm đối xứng với D qua H Các điểm D E đối xứng với qua đường nào? d) Tứ giác ABCE hình gì? Lời giải a) Tứ giác ABKH hình chữ nhật b) ADH BKC (ch - gn) Nên suy DH KC c) D E đối xứng với qua đường thẳng AH Toán G/v : Lê Đức Nguyên d) Dễ thấy HE  EK EK  KC  AB EC Do đó, ABCE hình bình hành Bài 14 Cho tam giác ABC vuông B Gọi E , F trung điểm AC , BC Kẻ Ex song song với BC cắt AB M a) Chứng minh tứ giác BMEF hình chữ nhật b) Gọi K đối xứng với B qua E Tứ giác BAKC hình gì? Vì sao? c) Gọi G đối xứng với E qua F Tứ giác BGCE hình gì? Vì sao? d) Tam giác ABC cần thêm điều kiện để tứ giác BGCE hình vng? Lời giải a) Tứ giác BMEF hình chữ nhật có góc vng EF đường trung bình tam giác ABC  EF  BC  BFE 90  BMEF hình chữ nhật b) Tứ giác BAKC có hai đường chéo cắt trung điểm đường Lại có ABC 90 nên BAKC hình chữ nhật c) Tứ giác BGCE hình thoi có hai đường chéo cắt trung điểm đường BE EC (trung tuyến ứng với cạnh huyền) d) Tam giác ABC vuông cân Bài 15 Cho tam giác ABC vuông A có AB  AC Gọi M trung điểm BC , kẻ MD vng góc với AB D , ME vng góc với AC E a) Chứng minh AM DE b) Chứng minh tứ giác DMCE hình bình hành Tốn G/v : Lê Đức Nguyên c) Gọi AH đường cao tam giác ABC ( H  BC ) Chứng minh tứ giác DHME hình thang cân A đối xứng với H qua DE Lời giải a) Dễ thấy ADME hình chữ nhật, suy đpcm b) Dễ thấy đpcm MD  EC , MD EC  AC  ME DH  AD  AB c) ; HM  DE nên DHME hình thang cân A , H đối xứng với qua DE AB  AD  CD  ˆ ˆ Bài 16 Cho hình thang vng ABCD có A D 90 , kẻ BH vng góc với CD a) Chứng minh tứ giác ABHD hình vng b) Gọi M trung điểm BH Chứng minh A đối xứng với C qua M c) Kẻ DI vng góc với AC AH cắt DI , DM P Q Chứng minh tứ giác DPBQ hình thoi Lời giải a) ABHD hình vng hình chữ nhật có hai cạnh kề AB HC DH  DC b) Có AB  HC nên tứ giác ABCH hình bình hành  M trung điểm AC Vậy A đối xứng với C qua M Toán G/v : Lê Đức Nguyên c) Có APD APB (c.g.c) nên PD PB ; DHQ BHQ (c.g.c) nên DQ QB        Lại có ADP MCD (cùng phụ với góc DAC )  ADP QDH (vì QDH MCD ) Vậy ADP HDQ (g.c.g)  DP DQ  Tứ giác DPBQ hình thoi có bốn cạnh Bài 17 Cho hình vuông ABCD E điểm cạnh DC , F điểm tia đối tia BC cho BF DE a) Chứng minh tam giác AEF vuông cân b) Gọi I trung điểm EF Chứng minh I thuộc BD c) Lấy điểm K đối xứng với A qua I Chứng minh tứ giác AEKF hình vng Lời giải   DAE a) ADE ABF  AE  AF ; FAB Dễ thấy   DAE  EAB 90    FAB  EAB 90 Do đó, AEF tam giác vuông cân A AI CI  EF b) Chứng minh Do I nằm đường trung trực AC Mà BD đường trung trực AC (tính chất hình vng ABCD ) nên I  BD c) Vì AEF tam giác vuông cân nên AI  EF Hơn AI IK AI  EF IE IF nên  AI IK IE IF Vậy tứ giác AEKF hình vng Bài 18 Cho tam giác ABC vuông A , đường trung tuyến AM Gọi D trung điểm AB , E điểm đối xứng M qua D a) Chứng minh E đối xứng với M qua đường thẳng AB b) Các tứ giác AEMC , AEBM hình gì? Vì sao? c) Tam giác vng ABC cần thêm điều kiện tứ giác AEBM hình vng? Lời giải Tốn G/v : Lê Đức Nguyên a) Vì MD  AC nên MD  AB  E đối xứng với M qua đường thẳng AB b) Có AB EM cắt trung điểm D đường nên tứ giác AEBM hình bình hành  AE BM MC Vậy tứ giác AEMC hình bình hành có AE  BM hay AE  MC AE MC c) Hình bình hành AEBM có hai đường chéo vng góc với nên hình thoi Để hình thoi AEBM hình vng cần điều kiện AB EM Vì tứ giác AEMC hình bình hành nên EM  AC Vậy AB EM suy AB  AC Lúc tam giác ABC cân A Vậy để tứ giác AEBM hình vng tam giác vng ABC cần thêm điều kiện AB  AC hay tam giác ABC vuông cân A  Bài 19 Cho hình bình hành MNPQ có MN 2MQ Mˆ 120 Gọi I , K trung điểm MN , PQ A điểm đối xứng Q qua M a) Tứ giác MIKQ hình gì? Vì sao? b) Chứng minh tam giác AMI c) Chứng minh tứ giác AMPN hình chữ nhật Lời giải a) Vì MIKQ MQ IK  NP  MN MI IN PK KQ  Tứ giác hình thoi   b) Tam giác AMI có AM MI nên cân A IMA 60 nên  AMI tam giác c) Dễ dàng nhận thấy tứ giác AMPN hình bình hành Vì tam giác AMI tam giác nên AI IM IN Vậy tam giác MAN có AI đường AI  MN trung tuyến nên tam giác MAN tam giác vuông A (trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền) Vậy hình bình hành AMPN có góc vng nên tứ giác AMPN hình chữ nhật 10 Tốn G/v : Lê Đức Nguyên Bài 20 Cho tứ giác ABCD , E trung điểm cạnh AB Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC F Qua F kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD G Qua G kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD H a) Chứng minh tứ giác EFGH hình bình hành b) Tứ giác ABCD cần thêm điều kiện để tứ giác EFGH hình chữ nhật Lời giải a) Có EH  BD  FG EF  AC  HG nên tứ giác EFGH hình bình hành có cặp đối song song với b) Để tứ giác EFGH hình chữ nhật EH  HG hay BD  AC EH  BD HG  AC Vậy điều kiện để tứ giác EFGH hình chữ nhật tứ giác ABCD phải có hai đường chéo vng góc Bài 21 Cho tam giác ABC vuông A Gọi E , G , F trung điểm AB , BC , AC Từ E kẻ đường thẳng song song với BF , đường thẳng cắt GF I a) Tứ giác AEGF hình gì? Vì sao? b) Chứng minh tứ giác BEIF hình bình hành c) Chứng minh tứ giác AGCI hình thoi d) Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác AGCI hình vng Lời giải a) Tứ giác AEGF hình chữ nhật có góc vng b) Có GF  AE hay FI  BE Vậy tứ giác BEFI hình bình hành có hai cặp cạnh đối song song c) Tứ giác AGCI hình thoi có hai đường chéo cắt trung điểm đường  vng góc với ( GFA 90 )    d) Để tứ giác AGCI hình vng AGC 90 Vậy tam giác ABC thành tam giác vuông cân A 11