Tài liệu Môn tấm và vỏ - Chương 9 Tính vỏ thoải
Chương 9 TÍNH VỎ THOẢI Vỏ thoải được sử dụng rộng rãi trong lĩnh vực xây dựng công trình như mái che ga sân bay, mái che sân vận động, kết cấu vỏ máy bay, kết cấu tàu thủy, Trong chương này giới hạn xét bài toán vỏ thoải có hình chiếu bằng là hình chữ nhật chịu tải trọng pháp tuyến. 9.1. CÁC GIẢ THIẾT CƠ BẢN 9.1.1. Khái niệm về vỏ thoải Vỏ thoải là vỏ thỏa mãn điều kiện: 1 5 min f l ≤ ( ( , ) min l min a b= ) hoặc góc giữa mặt phẳng tiếp tuyến với mặt trung bình và mặt phẳng XOY khoảng 20 0 , hình 9-1, với f là độ vồng của vỏ. 9.1.2. Các giả thiết tính vỏ thoải 1. Giả thiết hình học Vỏ thoải đến mức có thể coi hình học bề mặt vỏ trùng với hình học mặt phẳng hình chiếu bằng của nó. Theo giả thiết này có thể xấp xỉ dạng bình phương thứ nhất: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )ds A d B d dx dy= α + β = + Như vậy, khi tính vỏ thoải tọa độ cong xα = ; yβ = ; 1A B= = . 2. Giả thiết tĩnh học Đối với vỏ thoải, ứng suất do mô men bằng hay nhỏ hơn ứng suất do lực màng nên có thể bỏ qua chuyển vị u , v trong công thức tính 1 χ , 2 χ , χ . Điều đó cho phép bỏ qua lực cắt 1 Q , 2 Q trong hai phương trình cân bằng đầu (5.36a) và (5.36b) của lý thuyết mô men [16]. Khi tính vỏ thoải thừa nhận qui luật đối ngẫu: 1 2 S S S= = và 1 2 H H H= = . 9.2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VỎ THOẢI Các phương trình cơ bản của lý thuyết vỏ thoải được suy từ các phương trình cơ bản của lý thuyết mô men có chú ý đến các giả thiết tính của vỏ thoải. 9.2.1. Các phương trình cơ bản 1. Phương trình cân bằng Hệ phương trình cân bằng của lý thuyết vỏ thoải được suy từ (5.36) của lý thuyết mô men: 1 1 0 N S p x y ∂ ∂ + + = ∂ ∂ (9.1a) 234 Hình 9-1. Vỏ thoải 2 2 0 N S p y x ∂ ∂ + + = ∂ ∂ (9.1b) 1 2 1 1 2 2 3 0 Q Q k N k N p x y ∂ ∂ − − + + + = ∂ ∂ (9.1c) 2 2 0 MH Q x y ∂∂ + − = ∂ ∂ (9.1d) 1 1 0 MH Q y x ∂∂ + − = ∂ ∂ (9.1e) 2. Phương trình hình học Các phương trình hình học được suy từ (5.6) ÷ (5.11) và bỏ qua chuyển vị u , v trong công thức tính 1 χ , 2 χ , χ có dạng: 1 1 u k w x ∂ ε = + ∂ (9.2a) 2 2 v k w y ∂ ε = + ∂ (9.2b) u v y x ∂ ∂ γ = + ∂ ∂ (9.2c) 2 1 2 w x ∂ χ = − ∂ (9.2d) 2 2 2 w y ∂ χ = − ∂ (9.2e) 2 w x y ∂ χ = − ∂ ∂ (9.2f) 3. Phương trình vật lý Các phương trình vật lý có dạng (5.38) của lý thuyết mô men, trong đó các nội lực uốn và xoắn chỉ phụ thuộc chuyển vị w . 9.2.2. Dẫn các phương trình cơ bản về các phương trình giải được Hệ phương trình cân bằng với các phương trình hình học có thể biến đổi về 02 phương trình liên hợp với các hàm ẩn là hàm ứng suất ϕ và chuyển vị w . 1. Phương trình thứ nhất Biểu diễn nhóm lực màng qua hàm ứng suất ϕ : 2 1 2 N y ∂ ϕ = ∂ 2 2 2 N x ∂ ϕ = ∂ 2 S x y ∂ ϕ = − ∂ ∂ (9.3) Từ phương trình (9.1.d) và (9.1.e) rút ra: 1 1 M H Q x y ∂ ∂ = − ∂ ∂ (9.4a) 2 2 M H Q y x ∂ ∂ = − ∂ ∂ (9.4b) 235 Thay 1 M , 2 M , H theo (5.38) vào (9.4) trong đó 1 χ , 2 χ , χ chỉ phụ thuộc vào chuyển vị w : ( ) 2 2 2 1 2 2 2 1 p w w w Q D x y x y ∂ ∂ ∂ ∂ = −µ − − −µ ÷ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 p p w w D D w x x y x ∂ ∂ ∂ ∂ = − + = − ∇ ∂ ∂ ∂ ∂ (9.5a) tương tự cho 2 Q : 2 2 p Q D w y ∂ = − ∇ ∂ (9.5b) Giới hạn xét trường hợp 1 2 0p p= = và vỏ chỉ chịu tải trọng pháp tuyến 3 p . Khi đó, 1 N , 2 N , S tính theo hàm ứng suất ϕ thì hai phương trình cân bằng đầu tiên của (9.1) đồng nhất bằng không. Để dẫn về phương trình xác định chuyển vị w , thay 1 N , 2 N , S theo (9.3) và 1 Q , 2 Q theo (9.5) vào (9.1c), nhận được: 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 2 0 p p k k D w D w p y x x y ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ∂ − − − ∇ − ∇ + = ∂ ∂ ∂ ∂ (9.6a) hay: 2 2 2 3 0 k p D w p∇ ϕ + ∇ ∇ − = (9.6b) Phương trình (9.6) là phương trình cơ bản thứ nhất để giải bài toán vỏ thoải, biểu thị điều kiện cân bằng theo phương pháp tuyến. Trong (9.6), ký hiệu: 2 2 2 2 2 x y ∂ ∂ ∇ = + ∂ ∂ (9.7) 2 2 2 1 2 2 2 k k k y x ∂ ∂ ∇ = + ∂ ∂ (9.8) 1 1 1 k r = và 2 2 1 k r = là độ cong của vỏ. Nếu mặt cong được biểu diễn bằng phương trình ( ) ,Z f x y= thì: 1 k - độ cong theo phương trục x : ( ) 2 1 2 ,f x y k x ∂ = ∂ 2 k - độ cong theo phương trục y : ( ) 2 2 2 ,f x y k y ∂ = ∂ 2. Phương trình thứ hai Lấy tổng đạo hàm bậc 2 của 1 ε và 2 ε theo (9.2): 2 2 3 2 3 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 u w v w k k y x x y y y x x ∂ ε ∂ ε ∂ ∂ ∂ ∂ + = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 236 Song 3 3 2 2 2 u v x y y x x y ∂ ∂ ∂ γ + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ nên: 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 w w k k y x x y y x ∂ ε ∂ ε ∂ γ ∂ ∂ + = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (9.9) Ba thành phần đầu của (9.9) là phương trình biến dạng liên tục của bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi; hai thành phần sau là tích độ cong hình học và độ cong uốn của vỏ. Biểu diễn các thành phần biến dạng 1 ε , 2 ε , γ qua nội lực màng theo (6.4), sau đó biểu diễn qua hàm ứng suất ϕ theo (9.3), khi đó (9.9) có dạng: 2 2 2 1 0 k w Eh ∇ ∇ ϕ−∇ = (9.10) Phương trình (9.10) biểu thị điều kiện liên tục biến dạng của mặt trung bình. Như vậy, nghiệm bài toán vỏ thoải có hình chiếu bằng hình chữ nhật chịu tải trọng pháp tuyến được xác định từ hệ 02 phương trình cơ bản (9.6) và (9.10): 2 2 2 3 2 2 2 0 1 0 k p k D w p w Eh ∇ ϕ + ∇ ∇ − = ∇ ∇ ϕ−∇ = (9.11) Nếu mặt cong vỏ có dạng ( ) ,Z f x y= thì: 2 2 1k k k x x y y ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = + ÷ ÷ ∂ ∂ ∂ ∂ (9.12) Giải hệ phương trình (9.11) xác định được hàm ứng suất ϕ và chuyển vị w . Khi đó: - Từ hàm ứng suất ϕ xác định được nội lực màng 1 N , 2 N , S theo (9.3); - Từ chuyển vị w xác định được độ cong uốn 1 χ , 2 χ và độ cong xoắn χ theo (9.2), sau đó xác định được mô men uốn 1 M , 2 M và mô men xoắn theo (5.38), còn lực cắt 1 Q , 2 Q xác định theo (9.5). 9.3. GIẢI HỆ 2 PHƯƠNG TRÌNH CỦA LÝ THUYẾT VỎ THOẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN BUTNOP-GALOOCKIN Việc giải hệ 02 phương trình của lý thuyết vỏ thoải (9.11) ngay cả trong trường hợp độ cong hình học 1 2 ,k k const= dưới dạng giải tích cũng không thực hiện được do gặp khó khăn về mặt toán học. Dưới đây dẫn ra cách giải gần đúng theo phương pháp Butnop-Galoockin. 9.3.1. Phương pháp biến phân Butnop-Galoockin Khảo sát bài toán với toán tử vi phân: 237 ( ) ' " , , , , , 0 m F x f f f f = (1) Nghiệm gần đúng của (1) được tìm dưới dạng chuỗi: 1 n i i i f a f = = ∑ (2) trong đó: i f - hàm chọn trước, độc lập tuyến tính và thỏa mãn điều kiện biên; i a - hệ số cần tìm. Nếu f là nghiệm chính xác thì sẽ thỏa mãn (1) nghĩa là 0F = . Nếu f là nghiệm gần đúng thì 0F ≠ . Nếu f càng tiệm cận với nghiệm chính xác thỏa mãn (1) thì hàm sai số F càng gần với giá trị không. Để xác định các hằng số i a sử dụng phương pháp Butnop-Galoockin và tính chất trực giao giữa hàm F với tất cả các thành phần của chuỗi (2), nghĩa là: ( ) ( ) ' 1 1 1 1 1 , , , , , 0 n n n n i F x a f a f a f a f f dx = ∫ ( ) 1,2, i n= (9.13) Nếu là bài toán 2 chiều thì tích phân là tích phân mặt với ( ) , i f x y và dxdy . Khai triển (9.13) và sử dụng tính chất trực giao giữa các hàm f , giữa hàm f và đạo hàm của hàm f hoặc giữa các đạo hàm của hàm f sẽ nhận được hệ phương trình đại số xác định các hằng số i a với ( ) 1,2, i n= . 9.3.2. Giải bài toán vỏ thoải Hàm ứng suất ϕ và chuyển vị pháp w được biểu diễn dưới dạng chuỗi: mn mn m n Aϕ = ϕ ∑∑ (9.14) mn mn m n w B w= ∑∑ (9.15) Tải trọng pháp tuyến: 3 mn mn m n p C w= ∑∑ (9.16) trong đó: , , mn mn mn A B C - các hằng số cần xác định; , mn mn wϕ - hàm chọn trước thỏa mãn điều kiện biên. Hàm , mn mn wϕ được biểu diễn dưới dạng tích hai hàm số, mỗi hàm chỉ phụ thuộc một biến: ( ) ( ) . mn n m x Y yϕ = φ (9.17) ( ) ( ) mn n m w w x y= ψ (9.18) Các hàm ( ) ( ) , n m x Y yφ , ( ) ( ) , n m w x yψ được chọn dưới dạng hàm dầm có điều kiện biên như điều kiện biên của vỏ, bảng 9-1. 238 1. Xác định mn C Nhân hai vế của (9.16) với ( ) ( ) n m w x yψ và tích phân trên toàn mặt cong vỏ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 0 0 0 a b a b n m n m mn n m m n p w x y dxdy w x y C w x y dxdy ψ = ψ ψ ∑∑ ∫∫ ∫∫ sử dụng tính chất trực giao, nhận được: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 0 0 0 0 a b a b n m n m p w x y dxdy w x y dxdyψ = ψ ∫∫ ∫∫ rút ra: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 0 2 2 0 0 a b n m mn a b n m p w x y dxdy C w x y dxdy ψ = ψ ∫∫ ∫∫ (9.19) 2. Xác định mn A và mn B Áp dụng (9.13) đối với hai phương trình của vỏ thoải (9.11) với mn mn m n Aϕ = ϕ ∑∑ theo (9.14), mn mn m n w B w= ∑∑ theo (9.15) và 3 mn mn m n p C w= ∑∑ theo (9.16): 2 2 2 2 2 2 0 0 mn k mn p mn mn mn mn mn m n m n m n S mn mn mn k mn mn m n m n S A D B w C w w dxdy A B w dxdy Eh ∇ ϕ + ∇ ∇ − = ÷ ∇ ∇ ϕ − ∇ ϕ = ÷ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∫ ∑∑ ∑∑ ∫ (9.20) Khai triển (9.20) với , 1,2,3 m n = nhận được hệ phương trình đại số xác định mn A và mn B : ' ' 0 mn mn mn mn mn mn mn mn mn A r B r A B + = ∆ δ − δ = (9.21) trong đó: 2 2 1 mn mn mn S dxdy Eh δ = ∇ ∇ ϕ ϕ ÷ ∫ (9.22a) ( ) ' 2 mn k mn mn S w dxdyδ = ∇ ϕ ∫ (9.22b) ( ) 2 2 mn p mn mn S r D w w dxdy= ∇ ∇ ∫ (9.22c) 239 ( ) ' 2 mn k mn mn S r w dxdy= ∇ ϕ ∫ (9.22d) 2 mn mn mn S C w dxdy ϕ ∆ = ∫ (9.22e) Biểu diễn các hàm mn w , mn ϕ qua hàm một biến theo (9.17), (9.18) và thay vào (9.22) nhận được: ( ) 2 '' '' 2 1 2 IV IV mn m m n m m n n m n n S Y Y Y Y Y dxdy Eh δ = φ φ + φ φ + φ ÷ ∫ (9.23a) ( ) ' '' '' 2 1mn m m n n m m n n S k w Y k w Y dxdyδ = φ φ + φ ψ ∫ (9.23b) ( ) 2 '' '' 2 2 IV IV mn m m n n m n m m n n S r w w w w w dxdy= ψ + ψ ψ + ψ ψ ∫ (9.23c) ( ) ' '' '' 2 1mn m m m n m m n n S r k w Y k w Y dxdy= φ ψ + φ φ ∫ (9.23d) 2 2 mn mn m n S C w dxdy∆ = ψ ∫ (9.23e) Giải hệ phương trình (9.21) nhận được: ' ' ' mn mn mn mn mn mn mn A r r ∆ δ = δ + δ (9.24a) ' ' mn mn mn mn mn mn mn B r r ∆ δ = δ + δ (9.24b) 9.3.3. Biểu thức nội lực, chuyển vị và chọn hàm dầm Kết hợp (9.14) và (9.17), hàm ứng suất có dạng: ( ) ( ) mn n m m n A x Y yϕ = φ ∑∑ (9.25) Kết hợp (9.15) và (9.18), hàm chuyển vị có dạng: ( ) ( ) mn n m m n w B w x y= ψ ∑∑ (9.26) 1. Biểu thức nội lực Từ hàm ứng suất ϕ xác định được nội lực màng 1 2 , ,N N S theo (9.3) và từ chuyển vị w xác định được độ cong uốn 1 χ , 2 χ và độ cong xoắn χ theo (9.2), sau đó xác định được mô men uốn 1 M , 2 M và mô men xoắn theo (5.38), còn lực cắt 1 Q , 2 Q xác định theo (9.5). Biểu thức nội lực xác định qua hàm dầm có dạng: ( ) ( ) '' 1 mn n m m n N A x Y y= φ ∑∑ (9.27) 240 ( ) ( ) '' 2 mn n m m n N A x Y y= φ ∑∑ (9.28) ( ) ( ) ' ' mn n m m n S A x Y y= φ ∑∑ (9.29) ( ) ( ) '' 1 p mn n m m n M D B w x y= ψ ∑∑ (9.30) ( ) ( ) '' 2 p mn n m m n M D B w x y= ψ ∑∑ (9.31) ( ) ( ) ' ' p mn n m m n H D B w x y= − ψ ∑∑ (9.32) ( ) ( ) ( ) ( ) '' ' '' 1 p mn n m n m m n Q D B w x y w x y = − ψ + ψ ∑∑ (9.33) ( ) ( ) ( ) ( ) ''' '' ' 2 p mn n m n m m n Q D B w x y w x y = − ψ + ψ ∑∑ (9.34) 2. Biểu thức chuyển vị Trên cơ sở quan hệ biến dạng-chuyển vị- nội lực, biểu thức chuyển vị có dạng: ( ) ( ) ''' '' 1 mn n m m n u A x Y y Eh = φ ∑∑ (9.35) ( ) ( ) '' ''' 1 mn n m m n v A x Y y Eh = φ ∑∑ (9.36) ( ) ( ) mn n m m n w B w x y= ψ ∑∑ (9.37) 3. Chọn hàm dầm a) Vỏ ngàm theo chu vi Điều kiện biên: 0 w u v w x ∂ = = = = ∂ tại 0x = và x a= (1) 0 w u v w y ∂ = = = = ∂ tại 0y = và y b= (2) Xét điều kiện biên (1) tại biên 0x = và x a= : - Khi 0u = theo (9.35): ( ) ( ) ''' '' 1 0 mn n m m n u A x Y y Eh = φ = ∑∑ với mọi giá trị biến y , do đó rút ra: ( ) ''' 0 n xφ = (3) - Khi 0v = theo (9.36): ( ) ( ) '' ''' 1 0 mn n m m n v A x Y y Eh = φ = ∑∑ với mọi giá trị biến y , do đó rút ra: ( ) '' 0 n xφ = (4) Từ (3) và (4): ( ) ( ) ''' '' 0 n n x xφ = φ = tra bảng 9-1 suy ra hàm dầm: ( ) n III x Zφ ≡ (9.38a) Tiến hành tương tự với 0w = và 0 w x ∂ = ∂ rút ra: 241 ( ) n II w x Z≡ (9.38b) Xét điều kiện biên (2) tại biên 0y = và , tiến hành tương tự như trên, nhận được: ( ) n III Y y Z≡ (9.38c) ( ) m II y Zψ ≡ (9.38d) b) Vỏ tựa khớp theo chu vi Điều kiện biên: 1 0u v w M= = = = tại 0x = và x a= (5) 2 0u v w M= = = = tại 0y = và y b= (6) Tiến hành tương tự như trên, nhận được: ( ) n III x Zφ = ( ) n I w x Z= (9.39a) ( ) m III Y y Z= ( ) m I y Zψ = (9.39b) 9.3.4. Thí dụ Xét vỏ tựa tự do trên biên chịu tải trọng phân bố đều, chiều dày vỏ 0,1h m= , mô đun đàn hồi của vật liệu 7 2 2.10 /E kN m= , hình 9-2, [15]. Phương trình mặt cong có dạng: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 x a y b z f a b − − = − − (1) Điều kiện biên: 1 1 0u v w M N= = = = = tại 0x = và x a= 2 2 0u v w M N= = = = = tại 0y = và y b= Với các điều kiện biên nêu trên, các hàm dầm có dạng: ( ) n n x sin xφ = λ ( ) n n w x sin x= λ (2) ( ) m m Y y sin y= µ ( ) m m y sin yψ = µ (3) Với: n n a π λ = m m b π µ = (4) Khi đó, mn m n n x m y A sin sin a b π π ϕ = ∑∑ (5) mn m n n x m y w B sin sin a b π π = ∑∑ (6) với 1,3,5, ; 1,3,5, m n= = . Tải trọng được phân tích dưới dạng chuỗi lượng giác kép: 242 Hình 9-2. Vỏ thoải chịu tải trọng pháp tuyến phân bố đều 3 mn m n n x m y p q C sin sin a b π π = − = ∑∑ với 0 0 2 2 2 0 0 16 a b mn a b n m n x m y qsin sin dxdy a b q C mn sin xsin ydxdy π π − = = − π λ µ ∫∫ ∫∫ (7) Từ (9.23) xác định các hệ số của phương trình xác định , mn mn A B : ( ) 4 2 2 4 2 2 0 0 1 2 . a b mn n n m m n m sin x sin ydxdy Eh δ = λ + λ µ +µ λ µ = ∫∫ ( ) ( ) 2 4 2 2 4 2 2 2 4 4 n n m m n m ab ab Eh Eh = λ + λ µ +µ = λ +µ (8) ( ) ( ) ' 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 0 0 . 4 a b mn n m n m n m ab k k sin x sin ydxdy k kδ = − λ − µ λ µ = − λ + µ ∫∫ (9) ( ) 2 2 2 4 mn n m ab r D= λ +µ (10) ( ) 2 ' 2 2 2 1 4 mn n m ab r k k= − λ + µ (11) 2 2 2 2 0 0 16 4 . a b mn n m q qab sin xsin ydxdy mn mn ∆ = − λ µ = − π π ∫∫ (12) thay vào (9.24): ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 4 2 2 2 2 2 1 16 n m mn n m n m k k q A D mn k k Eh λ + µ = π λ + µ + λ +µ (13) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 1 16 n m mn n m n m q B D mn k k Eh λ + µ = − π λ + µ + λ + µ (14) Đối với vỏ trên hình 9-2: 10 ;a m= 12 ;b m= 1 ;f m= 0,1 ;h m= 1 0,04;k = 2 0,0278;k = 2 6 2 4 2.10 / ; 8,33.10 12 D h E T m Eh − = = = , xét các thành phần chuỗi với: , 1,3,5m n = , tương ứng có: 1 0,314λ = 1 0,262µ = ; 3 0,942λ = 3 0,786µ = ; 5 1,570λ = 5 1,310µ = Thay vào (12) và (13) nhận được các hệ số: 11 297A q= 13 19,2A q= 31 12,5A q= 33 1,34A q= 15 1,64A q= 51 1,07A q= 35 0,217A q= 53 0,153A q= 2 55 3,3.10A q − = 3 11 7,55.10B q − = − 3 13 1,79.10B q − = − 243 [...]... B51 = −0, 268.10−3 q B35 = −7, 28.10−5 q B53 = −5,5.10−5 q B55 = −2, 09. 10−5 q Thay các hệ số Amn , Bmn vào (5), (6) xác định được hàm ứng suất ϕ và hàm chuyển vị w , từ đó xác định được chuyển vị và nội lực tại điểm bất kỳ ( x, y ) trong vỏ Thực tế tính toán cho thấy, chỉ cần tính m, n = 1,3,5, 7 ,9 là kết quả đã hội tụ 244 Bảng 9- 1 Hàm dầm Điều kiện biên TT α=0 ZI Z I = 0 ; Z I" = 0 Z I = 0 ; Z I"... sh n α − µ cos n α + ch n α ÷ l l l m m m α − sh n α − µ cos n α − ch n α ÷ l l l m m sin n α − µsh n α l l m m sin n α + µsh n α l l sin mn l m sin n l m sin n l sin Hệ số µ Giá trị mn - nπ sinmn − shmn cosmn − chmn sinmn − shmn cosmn − chmn sinmn + shmn cosmn + chmn sinmn shmn sinmn shmn 2n + 1 π 2 2n + 1 π 2 2n − 1 π 2 4n + 1 π 4 4n + 1 π 4 Chúc các bạn thành công 245 . mặt trung bình và mặt phẳng XOY khoảng 20 0 , hình 9- 1 , với f là độ vồng của vỏ. 9. 1.2. Các giả thiết tính vỏ thoải 1. Giả thiết hình học Vỏ thoải đến mức có thể coi hình học bề mặt vỏ trùng với. dxdy ψ = ψ ∫∫ ∫∫ (9. 19) 2. Xác định mn A và mn B Áp dụng (9. 13) đối với hai phương trình của vỏ thoải (9. 11) với mn mn m n Aϕ = ϕ ∑∑ theo (9. 14), mn mn m n w B w= ∑∑ theo (9. 15) và 3 mn mn m. Chương 9 TÍNH VỎ THOẢI Vỏ thoải được sử dụng rộng rãi trong lĩnh vực xây dựng công trình như mái che ga sân bay, mái che sân vận động, kết cấu vỏ máy bay, kết cấu tàu thủy, Trong chương