VietJack com Facebook Học Cùng VietJack Học trực tuyến khoahoc vietjack com Youtube VietJack TV Official GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI VÀO LỚP 10 Dạng 1 Giải phương trình chứa căn thức (phương trình vô tỉ)[.]
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 Dạng 1: Giải phương trình chứa thức (phương trình vơ tỉ) Giải phương pháp bình phương hai vế Phương pháp -B1: Đặt điều kiện cho phương trình -B2: Bình phương hai vế thu phương trình hệ -B3: Giải phương trình hệ quả, tìm nghiệm -B4: Đối chiếu nghiệm tìm với điều kiện kết luận Ví dụ: Giải phương trình 5x + 10 = − x Giải 5x + 10 5x −10 x −2 −2 x 8 − x x x Điều kiện: Phương trình 5x + 10 = − x 5x + 10 = ( − x ) 5x + 10 = 64 − 16x + x x − 21x + 54 = x = x = 18 Ta thấy x = thỏa mãn điều kiện (nhận) Ta thấy x = 18 không thỏa mãn điều kiện (loại) Vậy phương trình có nghiệm x = Giải cách đưa phương trình tích Phương pháp -B1: Đặt điều kiện cho phương trình Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack -B2: Biến đổi đưa phương trình cho phương trình tích việc sử dụng số đẳng thức sau u + v = + uv (u – 1)(v – 1) = au + bv = ab + uv (u – b)(v – a) = a − b = ( a − b )( a + b ) a − b3 = ( a − b ) ( a + ab + b ) -B3: Giải phương trình tích tìm nghiệm -B4: Đối chiếu nghiệm tìm với điều kiện kết luận Ví dụ: Giải phương trình x + + x + = + x + 3x + (1) Giải Ta có x + 3x + = x + x + 2x + = x ( x + 1) + ( x + 1) = ( x + 1)( x + ) Phương trình (1) 3 x + + x + = + x + x + (dạng u + v = + uv) x + + x + − − x + x + = ( x + − 1) − x + 2( x + − 1) = ( x + − 1)(1 − x + 2) = x + = x + = x = −1 x + −1 = 3 x + = x = x + = x + − = Vậy phương trình có nghiệm x = 0, x = -1 Giải cách dùng đẳng thức Phương pháp Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack - B1: Biến đổi biểu thức dấu dạng: ( a − b ) ( a + b ) (a − b) ( a + b ) -B2: Sử dụng công thức (a b) = a b ( a b ) = a b để khử dấu -B3: Giải phương trình kết luận x + − x − x + − x =1 Ví dụ: Giải phương trình Giải Vì x + − x = đương với ( ) x − ;x + − x = x −2 − ( x −3 ) nên phương trình cho tương x − =1 Điều kiện: x x − x x x phương trình trở thành TH1: x − x ( ) ( x −2 − ) x − = = phương trình có vơ số nghiệm x x − x x x phương trình trở thành x x − x TH2: ( ) ( ) x − − − x = x = x = x = (không thỏa mãn ≤ x < 9) loại x − x x x x x x − TH3: phương trình vơ nghiệm Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack x − x x x phương trình trở thành TH4: x x − x ( − x ) − (3 − x ) = = phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình có vơ số nghiệm x ≥ Dạng 2: Giải phương trình cách đặt ẩn phụ Đặt ẩn phụ hoàn toàn Phương pháp -B1: Đặt điều kiện cho phương trình (nếu có) -B2: Biến đổi phương trình cho (nếu cần), đặt ẩn phụ đưa điều kiện cho ẩn phụ Đưa phương trình cho phương trình hồn tồn theo ẩn phụ -B3: Giải phương trình tìm ẩn phụ -B4: Thay giá trị ẩn phụ vào biểu thức đặt ẩn phụ B2 để tìm ẩn ban đầu - B5: Đối chiếu nghiệm tìm với điều kiện sau kết luận Ví dụ: Giải phương trình (x + 1)4 + (x + 3)4 = (1) Giải x + = t − (*) Thay (*) vào phương trình (1) ta x + = t + Đặt t = x + ( t − 1) + ( t + 1) 4 =2 (( t − 1) ) + (( t + 1) ) + ( t − 1) ( t + 1) − ( t − 1) ( t + 1) = 2 2 2 2 2 2 ( t + 1) + ( t − 1) − ( t + 1) ( t − 1) = Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack ( ) t + 2t + + t − 2t + − ( t + 1)( t − 1) = ( ) ( ) 2 2t + − t − = 4t + 8t + − 2t + 4t − − = 2t + 12t = ( ) 2t t + = t2 = t = −6 Với t = t = x + = x = −2 Với t2 = -6 ( phương trình vơ nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm x = -2 Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn Phương pháp -B1: Đặt điều kiện cho phương trình (nếu có) -B2: Biến đổi phương trình cho (nếu cần), đặt ẩn phụ đưa điều kiện cho ẩn phụ Đưa phương trình cho phương trình vừa chứa ẩn cũ vừa chứa ẩn phụ -B3: Giải phương trình bước tìm mối liên hệ ẩn cũ ẩn phụ -B4: Kết hợp kết tìm bước với biểu thức đặt ẩn phụ bước để tìm ẩn ban đầu - B5: Đối chiếu nghiệm tìm với điều kiện sau kết luận Ví dụ: Giải phương trình x + 5x + = ( x + ) x + (1) Giải Đặt t = x + (t ≥ 1) t = x + Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Phương trình (1) trở thành : t2 + 5x = (x + 5)t t + 5x = tx + 5t t + 5x − tx − 5t = t ( t − x ) − 5( t − x ) = ( t − x )( t − ) = t = t = x 2 Với t = (thỏa mãn) = x + x + = 25 x = 24 x = 24 = 2 x x vô nghiệm 2 = x = x + Với t = x x = x + Vậy phương trình có nghiệm x = 2 Dạng 3: Giải phương trình cách đưa hệ phương trình (hệ tạm) Phương pháp Nếu phương trình có dạng A + B = C mà A – B = C ( C số biểu thức x) ta biến đổi sau Phương trình A + B =C Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com ( ( ( A+ B ( )( A− B A− B A−B A− B C A− B ) =C ) =C ) ) =C A − B = Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack A + B = C 2 A =C+ Khi ta có hệ phương trình A − B = 2x + x + + 2x − x + = x + (1) Ví dụ: Giải phương trình Giải 71 0 Ta có 2x + x + = x + x + = x + + 4 2 1 2x − x + = x − x + = x − + 4 phương trình xác định với x Điều kiện phải thêm: VP = x + ( ) ( ) Ta thấy 2x + x + − 2x − x + = 2x + = ( x + ) Với x = -4 (1) trở thành phương trình (1) Với x ≠ -4 37 + 37 = (vơ lí) x = -4 không nghiệm 2x + x + − 2x − x + nên ta nhân chia VT(1) với biểu thức 2x + x + − 2x − x + Phương trình (1) 2( x + 4) 2x + x + − 2x − x + 2 =x+4 = 2x + x + − 2x − x + x + = 2x + x + + 2x − x + Khi ta có hệ 2 = 2x + x + − 2x − x + 2x + x + = x + ( 2x + x + ) = ( x + ) Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack 8x + 4x + 36 = x + 12x + 36 7x − 8x = x(7x − 8) = x = x = x = 7x − = Ta thấy x = 0, x = thỏa mãn x ≠ -4 thử vào phương trình ban đầu nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm x = 0, x = Dạng 4: Giải phương trình chứa ẩn mẫu Phương pháp Thực bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định phương trình Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế khử mẫu thức Bước 3: Giải phương trình vừa nhận Bước 4: Trong giá trị tìm ẩn, loại giá trị khơng thoả mãn điều kiện xác định, giá trị thoả mãn điều kiện xác định nghiệm phương trình cho Ví dụ 1: Giải phương trình: 14 =1− x −9 3− x Giải 14 =1− (ĐKXĐ : x 3 ) x −9 3− x Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack 14 =1+ (x − 3)(x + 3) x −3 14 (x − 3)(x + 3) + (x + 3) = (x − 3)(x + 3) (x − 3)(x + 3) 14 = ( x – 3)( x + 3) + ( x + 3) x – + x + – 14 = x + x – 20 = Ta có: a = 1;b = 1;c = −20 = b – 4ac = 12 – 4.1.( –20 ) = 81 = 81 = Phương trình có nghiệm có nghiệm phân biệt : x1 = −b + −1 + = = (thỏa mãn điều kiện) 2a 2.1 x2 = −b − −1 − = = −5 (thỏa mãn điều kiện) 2.a 2.1 Vậy phương trình cho có nghiệm: x1 = 4, x2 = -5 Ví dụ : Giải phương trình 3x − 2x + −1 = − (1) x −1 x + x + 2x − Giải Phương trình (1) 3x − 2x + −1 = − x −1 x + ( x − 1)( x + 3) Điều kiện : x ≠ -3 x ≠ Phương trình 3x − 2x + −1 = − x −1 x + ( x − 1)( x + 3) (3x − 1) ( x + 3) − ( x − 1)( x + 3) ( 2x + )( x − 1) − = ( x − 1)( x + 3) ( x − 1)( x + 3) 3x + 8x − − x − 2x + = 2x + 3x − − 3x = −9 x = −3 Ta thấy x = -3 khơng thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình vơ nghiệm Dạng 5: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Phương pháp Để giải phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối ta tìm cách khử dấu giá trị tuyệt đối cách: + Dùng định nghĩa tính chất dấu giá tri tuyệt đối A, A •A = − A, A • A = A2 • A + B = A + B A.B • A − B = A + B A.B + Bình phương hai vế phương trình + Đặt ẩn phụ Một số dạng phương trình f ( x ) f ( x ) = g ( x ) + Dạng 1: f ( x ) = g ( x ) f ( x ) −f x = g x ( ) ( ) + Dạng 2: f ( x ) = g ( x ) f ( x ) = g ( x ) f ( x ) = −g ( x ) + Dạng 3: a f ( x ) + b g ( x ) = h ( x ) Để giải phương trình ta thường dùng phương pháp khoảng Ví dụ: Giải phương trình sau a 2x − = x + Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack b x + = 2x − c x − 2x − x − + = d x + + − x = 10 Giải 2x 2x − 2x − − x − = 2x − = x + a Phương trình 2x − = x + 2x 2x − −2x + − x − = −2x + = x + x x x = x = x − = −2 x = x x −2 −3x − = x = Vậy phương trình có nghiệm x = 4, x = −2 x + = 2x − x + − 2x + = b Phương trình x + = 2x − x + = − 2x + x + + 2x − = x = −x + = −1 x = 3x + = Vậy phương trình có nghiệm x = 3, x = −1 c Phương trình x − 2x − x − + = x − 2x + − x − + = ( x − 1) − x − + = Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Đặt t = x − , t Khi phương trình trở thành t − 5t + = t = (thỏa mãn t ) t = x − = x = x − = x = Với t = x − = x − = −2 x = −1 Với t = x − = x − = − x = −2 Vậy phương trình có nghiệm x = 3, x = -1, x = 4, x = -2 d Sử dụng định nghĩa dấu giá trị tuyệt đối ta có bảng phá dấu giá trị tuyệt đối sau x − -3 x+3 -x – 7−x 7–x | x+3 + 7−x -2x + | + x+3 | x+3 7–x x-7 10 | 2x - Với x < -3 phương trình cho trở thành -2x + =10 -2x = x = -3 Ta thấy x = -3 không thỏa mãn điều kiện x < -3 (loại) Với -3 ≤ x ≤ phương trình cho trở thành 10 = 10 phương trình có vơ số nghiệm thỏa mãn -3 ≤ x ≤ Với x > phương trình cho trở thành 2x - =10 2x = 14 x = Ta thấy x = không thỏa mãn điều kiện x > (loại) Vậy tập nghiệm phương trình S = x R : −3 x 7 Bài tập áp dụng Bài 1: Giải phương trình sau 4x + = 2x + Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com 2x − = − 2x Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack 4x − 17 = x − 4x − 2x − + 2x − 7x + = x + 6x + x + + 10 = 9x − 6x − 3x − − = x − + − x = 2x x − 2x + x − − = Bài 2: Giải phương trình sau 2x x2 − x + = 1) x + (x + 1)(x − 4) 3) x+2 −2 − = x x − x − 2x x − x + 6x + x − 5x 5) + = x+2 x +3 x −5 7)x + 4x ( x + 2) 2) 5x − −4= x+2 x+2 4) 3x − 2x + −1 = − x −1 x + x + 2x − 6)x + x − − =0 x + x +1 = 12 Bài : Giải phương trình sau 1 1 + + + + = x + 5x + x + 7x + 12 x + 9x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 14 Bài 4: Giải phương trình sau 1) 2x − = x − 2) x + 2x + = − x 3) x − 2x + − ( − x )( x + ) = 11 4) 3x − − x + = 5) 3x − + x − = 3x − 5x + + 4x − Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Bài 5: Giải phương trình (x - 1)4 + (x – 7)4 = (x - 6)4 + (x – 2)4 = -224 (x +1)(x + 3)(x + 6)(x + 4) = -8 (x +5)(x + 4)(x - 1)(x - 2) = 112 Bài 6: Giải phương trình a x + + x2 = x + x2 + x b x + + 2x x + = 2x + x + 4x + c x +3 + 4x = 4x x+3 d x + = 9x − x − x + 10x + 21 = x + + x + − e Bài 7: Giải phương trình a x + 3x + = ( x + 3) x + b ( − x )( − x ) = x + ( − x )(10 − x ) c x + = x − + 2x − d x − + 3x − = 3x − e 2x + 16x + 18 + x − = 2x + Bài 8: Giải phương trình a x − + − x = x − 8x + 18 b − x2 + − x2 = c x − 2x + + x − = Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official