4 he pt giang day

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ Nguyễn Thị Cẩm Vân Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Ngày 12 tháng năm 2018 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 12 tháng năm 2018 / 98 NỘI DUNG BÀI HỌC ĐẶT VẤN ĐỀ Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 12 tháng năm 2018 / 98 NỘI DUNG BÀI HỌC ĐẶT VẤN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP GAUSS Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 12 tháng năm 2018 / 98 NỘI DUNG BÀI HỌC ĐẶT VẤN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP GAUSS PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LU Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 12 tháng năm 2018 / 98 NỘI DUNG BÀI HỌC ĐẶT VẤN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP GAUSS PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LU PHƯƠNG PHÁP CHOLESKI Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 12 tháng năm 2018 / 98 NỘI DUNG BÀI HỌC ĐẶT VẤN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP GAUSS PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LU PHƯƠNG PHÁP CHOLESKI CHUẨN CỦA VÉCTƠ, CHUẨN CỦA MA TRẬN Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 12 tháng năm 2018 / 98 NỘI DUNG BÀI HỌC ĐẶT VẤN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP GAUSS PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LU PHƯƠNG PHÁP CHOLESKI CHUẨN CỦA VÉCTƠ, CHUẨN CỦA MA TRẬN NHỮNG PHƯƠNG PHÁP LẶP Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 12 tháng năm 2018 / 98 Đặt vấn đề ĐẶT VẤN ĐỀ Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 12 tháng năm 2018 / 98 Đặt vấn đề ĐẶT VẤN ĐỀ Hệ phương trình đại số tuyến tính   a 11 x + a 12 x + + a 1i x i + + a 1n x n       x1 + x2 + + i xi + + n xn        a x + a x + + a x + + a x n1 n2 ni i nn n = = = b1 bi bn (1) thường xuất toán kỹ thuật Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 12 tháng năm 2018 / 98 Đặt vấn đề Ta xét hệ gồm n phương trình n ẩn số, A = (ai j ) ∈ Mn (K ) d et A 6= Do hệ có nghiệm X = A −1 B Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 12 tháng năm 2018 / 98 Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Đưa hệ (1) dạng tương đương X = T X +C Chọn véctơ xấp xỉ ban đầu X (0) (thường ta chọn X (0) = C ) Trong     t 11 t  21 T =  t n1 t 12 t 22 t n2 c1  c      C =      cn Từ hệ phương trình (2) ta (D − L)X = U X + B ⇒ X = (D − L)−1U X + (D − L)−1 B Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) t 1n t 2n t nn HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 12 tháng năm 2018 84 / 98 Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel Đặt T g = (D − L)−1U ,C g = (D − L)−1B ta cơng thức lặp Gauss-Seidel có dạng X (m) = T g X (m−1) +C g , Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) m = 1, 2, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 12 tháng năm 2018 85 / 98 Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel DẠNG TƯỜNG MINH CỦA CÔNG THỨC LẶP GAUSS-SEIDEL x 1(m) = c + n X t j x m−1 , j j =2 x 2(m) = c + t 21 x 1(m) + n X t j x m−1 , j j =3 iX −1 n X x i(m) = c i + t i j x (m) + t i j x m−1 , j j j =1 j =i +1 n−1 X t n j x (m) x n(m) = c n + , (m = 1, 2, ) j j =1 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 12 tháng năm 2018 86 / 98 Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel Phương pháp Gauss-Seidel xem biến dạng phương pháp lặp Jacobi, khác phương pháp Jacobi chỗ: tính thành phần thứ i véctơ lặp X (m) ta sử dụng thành phần x 1(m) , x 2(m) , , x i(m) vừa tính −1 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 12 tháng năm 2018 87 / 98 Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel SỰ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP GAUSS-SEIDEL Điều kiện hội tụ phương pháp Gauss-Seidel hoàn toàn giống với phương pháp Jacobi Công thức đánh giá sai số nghiệm gần ||X (m) − X || É ||T g || − ||T g || ||X (m) Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) − X || É ||X (m) − X (m−1) || ||T g ||m − ||T g || ||X (1) − X (0) || HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 12 tháng năm 2018 88 / 98 Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel VÍ DỤ 6.3 Bằng phương pháp lặp Gauss-Seidel, tìm nghiệm gần hệ phương trình với sai số theo công thức hậu nghiệm nhỏ 10−4 , chọn chuẩn vô    4x + 0.24x − 0.08x = 0.09x + 3x − 0.15x =   0.04x − 0.08x + 4x = 20 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 12 tháng năm 2018 89 / 98 Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel Giải Ta thấy |0.24| + | − 0.08| < |4|; |0.09| + | − 0.15| < |3|; |0.04| + | − 0.08| < |4| nên ma trận hệ số A hệ ma trận đường chéo trội nghiệm ngặt Đưa hệ dạng X (m) = T g X (m−1) +C g ,  (m)   x1 = x 2(m) =   x (m) = Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) m = 1, 2, (8 − 0.24x 2(m−1) + 0.08x 3(m−1) ) (9 − 0.09x 1(m) + 0.15x 3(m−1) ) (20 − 0.04x 1(m) + 0.08x 2(m) ) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 12 tháng năm 2018 90 / 98 Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel T g = (D − L)−1 U =  −1   −0.24 0.08 0     0.15  =  0.09   0 0 0.04 0.08   −0.06 0.02   0.0494   1.8.10−3 −4 −3 5.64.10 −1.188.10 Khi cơng thức lặp có dạng X (m) = T g X (m−1) +C g , m = 1, 2,     (0) Chọn X =   tính X (1) , X (2) , Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 12 tháng năm 2018 91 / 98 Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel x 1(1) = c + t 12 x 2(0) + t 13 x 3(0) , x 2(1) = c + t 21 x 1(1) + t 23 x 3(0) , x 3(1) = c + t 31 x 1(1) + t 32 x 2(1) Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 12 tháng năm 2018 92 / 98 Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel Bấm máy A = (8 − 0.24B + 0.08C ) ÷ : B = (9 − 0.09A + 0.15C ) ÷ : C = (20 − 0.04A + 0.08B ) ÷ CALC B=3, C=5 (không nhập A) Nhấn tiếp dấu ”=” nghiệm x 1(3) , x 2(3) , x 3(3) Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 12 tháng năm 2018 93 / 98 Những phương pháp lặp m x 1(m) Phương pháp Gauss-Seidel x 2(m) x 3(m) 1.92 3.1924 5.044648 1.9093489 3.194952 5.0448056 1.909199 3.1949643 5.0448073 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 12 tháng năm 2018 94 / 98 Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel Đánh giá sai số ||X (3) − X (2) ||∞ = max |x i(3) − x i(2) | = i =1,2,3 −4 max{| − 1.499.10 |, |0.123.10−4 |, |0.017.10−4 |} = 1.499 × 10−4 ||T g ||∞ = max{|0|+|−0.06|+|0.02|, |0|+|1.8.10−3 |+|0.0494|, |0| + |5.64.10−4 | + | − 1.188.10−3 |} = max{0.08, 0.0512, 1.744.10−3 } = 0.08 ||X (3) − X ||∞ É ||T g || − ||T g || · ||X (3) − X (2) ||∞ = 0.08 × 1.499 × 10−4 ≈ 0.1303 × 10−4 < 10−4 − 0.08 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 12 tháng năm 2018 95 / 98 Những phương pháp lặp Bài tập trắc nghiệm BÀI TẬP 9.1 ( Cho hệ phương trình 15x − 6x = Với −5x + 8x = x (0) = [0.3, 0.2]T , véctơ x (3) tính theo phương pháp Gauss-Seidel à à 0.753 1.099 ! 0.755 1.097 ! à Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) à 0.757 1.095 ! ! 0.759 1.093 Các câu sai HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 12 tháng năm 2018 96 / 98 Những phương pháp lặp Bài tập trắc nghiệm A = (5 + 6B ) ÷ 15 : B = (5 + 5A) ÷ CALC B=0.2 (khơng nhập A) (3) (3) Nhấn tiếpà dấu ”=” nghiệm x , x2 ! Vậy x (3) = 0.755 ⇒ Câu 1.096875 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 12 tháng năm 2018 97 / 98 Những phương pháp lặp Bài tập trắc nghiệm CÁM ƠN CÁC EM Đà CHÚ Ý LẮNG NGHE Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 12 tháng năm 2018 98 / 98