BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ĐỒNG KHẮC CHUNG CHUỖI LUỸ THỪA, HÀM SINH VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số Mã số 8 46 01 04 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TO.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ĐỒNG KHẮC CHUNG CHUỖI LUỸ THỪA, HÀM SINH VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 8.46.01.04 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, NĂM 2018 Luận văn hoàn thành Trường Đại học Hồng Đức Người hướng dẫn: TS Trần Nam Trung Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học Tại: Vào hồi: ngày tháng năm 2018 Có thể tìm hiểu luận văn Thư viện trường Đại học Hồng Đức Hoặc Bộ mơn Tốn - Trường Đại học Hồng Đức i LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỘT SỐ KÝ HIỆU TOÁN HỌC DÙNG TRONG LUẬN VĂN v LỜI MỞ ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đồng dư thức 1.2 Phương trình đồng dư 1.3 Thặng dư bậc hai Chương 2: LIÊN PHÂN SỐ 2.1 Liên phân số hữu hạn 2.2 Liên phân số vô hạn 2.3 Liên phân số vơ hạn tuần hồn 12 Chương 3: ỨNG DỤNG CỦA LIÊN PHÂN SỐ 15 3.1 Biểu diễn số thực 15 3.2 Phương trình nghiệm nguyên tuyến tính 15 3.3 Phương trình đồng dư tuyến tính 17 3.4 Tổng hai số phương 17 3.5 Phương trình Pell 18 3.6 Phương pháp bẻ khoá RSA Wiener 20 KẾT LUẬN 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO 24 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Liên phân số phương pháp biểu diễn số thực, thu phép lặp viết số thành tổng phần nguyên với nghich đảo số thực khác, sau lại biểu diễn số thực nhận thành tổng phần nguyên nghịch đảo số thực khác, trình lặp lại Nếu trình dừng lại sau số hữu hạn bước, ta có liên phân số hữu hạn, trường hợp phép lặp khơng dừng, ta có liên phân số vơ hạn Về mặt cấu trúc số, liên phân số hữu hạn biểu diễn số hữu tỷ liên phân số vơ hạn biểu diễn số vơ tỉ Liên phân số có nhiều tính chất thú vị liên quan đến thuật toán Euclid cho số nguyên số thực Nó có nhiều ứng dụng toán học lý thuyết toán học ứng dụng Nhận thức tầm quan trọng này, tác giả mong muốn tìm hiểu thêm liên phân số Qua đó, tác giả mong muốn có thêm tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên việc tìm hiểu liên phân số ứng dụng Mong muốn đưa tác giả đến với việc lựa chọn đề tài : "Liên phân số ứng dụng" Tài liệu tham khảo sách "An Introduction to the Theory of Numbers" ba tác giả Niven, Zuckerman Montgomery báo "Cryptanalysis of short RSA secret exponents" Wiener Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn gồm có 45 trang, có phần mở đầu, ba chương nội dung, phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở phép chia số nguyên thuật toán chia Euclid đồng dư thức, phươnhg trình đồng dư thức thặng dư bậc hai Chương 2: Liên phân số Trong chương này, chúng tơi trình bày lý thuyết liên phân số Mục 2.1, trình bày liên phân số hữu hạn Mục 2.2 trình bày liên phân số vơ hạn Cịn Mục 2.5 trình bày liên phân số vơ hạn tuần hồn Chương 3: Ứng dụng liên phân số Trong chương này, chúng tơi trình bày số ứng dụng liên phân số Cụ thể: Mục 3.1 trình bày biểu diễn số thực liên phân số Mục 3.2 trình bày giải phương trình nghiệm ngun tuyến tính Mục 3.3 trình bày phương pháp giải phương trình đồng dư bậc Mục 3.4 đưa phương pháp biểu diễn số nguyên tố dạng 4n + thành tổng hai số phương Mục 3.5 trình bày lý thuyết phươnh trình Pell Và cuối Mục 3.6 trình bày phá hệ mã RSA số trường hợp Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài xem xét ứng dụng liên phân số việc biểu diễn số thực việc giải phương trình nghiệm nguyên ứng dụng lý thuyết mật mã Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tìm hiểu lý thuyết liên phân số để biểu diễn số thực, giải phương trình nghiệm nguyên bậc nhất, phương trình đồng dư thức bậc nhất, phương trình Pell, gải mã RSA số trường hợp Đối tượng nghiên cứu Biểu diễn số thực liên phân số Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp sở lý thuyết số Đóng góp đề tài Luận văn dùng tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên, học viên cao học nghiên cứu liên phân số, phương pháp giải phương trình nghiệm nghuyên liên phân số tài liệu tham khảo cho giáo viên phổ thông bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề số học Chương 1.1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Đồng dư thức Chúng ta bắt đầu phép chia tập số nguyên Định lý 1.1.1 (Thuật toán chia Euclid) Cho số nguyên a b, với b 6= 0, tồn số nguyên q r cho a = bq + r r < |b| Trong Định lý trên, q r gọi thương dư phép chia a cho b Nếu số dư r = 0, ta nói a gọi chia hết cho b kí hiệu a b, b ước a kí hiệu b | a Số nguyên c gọi ước chung a b c | a c | b Ký hiệu ước chung lớn a b (a, b) Từ thuật tốn chia Euclid, có thuật tốn Euclid tìm (a, b) sau: Định lý 1.1.2 (Thuật toán Euclid) Cho hai số nguyên a b, với b > 0, thực liên tiếp thuật toán chia Euclid: a = bq1 + r1 , < r1 < b; b = r1 q2 + r2 , < r2 < r1 ; r1 = r2 q3 + r3 , < r3 < r2 ; ··· r j−2 = r j−1 q j + r j , < r j < r j−1 ; r j−1 = r j q j+1 Khi đó, (a, b) = r j , số dư cuối khác không dãy phép chia Hai số nguyên a b gọi đồng dư với theo mô-đun m, với m > 0, chúng có số dư chia cho m Điều tương đương với hiệu a − b chia hết cho m, hay m | a − b Kí hiệu a ≡ b (mod m) Nếu a b không đồng dư với theo mơ-đun m, kí hiệu a 6≡ b (mod m) Phép đồng dư mơ-đun có tính chất sau: quan hệ tương đương tập số nguyên Z (phản xạ, đối xứng, bắc cầu); cộng, trừ, nhân nâng lên lũy thừa đồng dư thức Như vậy, f (x) đa thức với hệ số nguyên a ≡ b (mod m), f (a) ≡ f (b) (mod m) Định lý 1.1.3 ax ≡ ay (mod m) x ≡ y (mod m (a,m) ) a ≡ b (mod mi ), i = 1, , n, a ≡ b (mod [m1 , m2 , , mn ]) Định lý 1.1.4 (Định lý Fermat) Cho p số nguyên tố, a số nguyên không chia hết cho p, ta có a p−1 ≡ (mod p) 1.2 Phương trình đồng dư Phương trình đồng dư bậc n biểu thức có dạng f (x) ≡ (mod m) f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 đa thức bậc n với hệ số nguyên; an 6≡ (mod m) Số nguyên u nghiệm phương trình f (x) ≡ (mod m) f (u) ≡ (mod m) Khi đó, v ≡ u (mod m), f (v) ≡ f (u) ≡ (mod m), nên v nghiệm Vì vậy, nói x ≡ u (mod m) nghiệm phương trình f (x) ≡ (mod m), theo nghĩa số nguyên v, mà v ≡ u (mod m), thỏa mãn phương trình f (x) ≡ (mod m) Chú ý hai nghiệm x ≡ u1 (mod m) x ≡ u2 (mod m) khác u1 6≡ u2 (mod m) Để đếm số nghiệm phương trình f (x) ≡ (mod m), nhắc lại khái niệm hệ thặng dư đầy đủ Một tập số nguyên {r1 , r2 , , rm } gọi hệ thặng dư đầy đủ mô-đun m với số nguyên a tồn số j cho cho a ≡ r j (mod m) Ví dụ, hệ thặng dư đầy đủ mô-đun m {0, 1, , m − 1} Cho r1 , , rm hệ thặng dư đầy đủ mơ-đun m Số nghiệm phương trình f (x) ≡ (mod m) số số ri cho f (ri ) ≡ (mod m) Định lý 1.2.1 Nếu p số nguyên tố, phương trình đồng dư f (x) ≡ (mod p) bậc n có khơng q n nghiệm Tiếp theo xét phương trình đồng dư tuyến tính, tức phương trình có dạng ax ≡ b (mod m) a 6≡ (mod m) Định lý 1.2.2 Đặt d = (a, m) Phương trình ax ≡ b (mod m) có nghiệm d | b Khi đó, Phương trình a/d = b/d (mod m/d) có nghiệm nhất, gọi nghiệm x ≡ u (mod m/d) Phương trình ax ≡ b (mod m) có dúng d nghiệm x ≡ u + k(m/d) (mod m), với k = 0, 1, , d − 1.3 Thặng dư bậc hai Cho m số nguyên dương Số nguyên a gọi thặng dư bình phương m (a, m) = phương trình x2 ≡ a (mod m) có nghiệm Nếu ngược lại, a gọi không thặng dư bậc hai m Nếu p số nguyên tố lẻ, số 1, 2, , p − có nửa thặng dư bình phương Định lý 1.3.1 Nếu p số nguyên tố lẻ, số 1, 2, , p − có (p − 1)/2 thặng dư bình phương p Để kiểm tra số nguyên a có phải thặng dư bậc hai p hay khơng, tính kí hiệu Legendre Cho p số nguyên tố lẻ a số nguyên Kí hiệu Legendre a p định nghĩa sau: 1 a = −1 p 0 a thặng dư bình phương p a khơng thặng dư bình phương p p | a Chúng ta có tiêu chuẩn Euler sau để tính kí hiệu Legendre Định lý 1.3.2 (Tiêu chuẩn Euler) Cho p số nguyên tố lẻ a số nguyên Khi đó, a ≡ a(p−1)/2 (mod p) p Từ tiêu chuẩn Euler, tính chất sau hiển nhiên Cho hai số ngun a, b khơng chia hết cho p, ta có: • ab p = a p b p , đặc biệt • Nếu a ≡ b (mod p), a2 p a p = = b p Trong thực hành, tính chất sau cho phép tính tốn thuận tiện các ký hiệu Legendre Định lý 1.3.3 Cho số nguyên tố lẻ p, ta có: (p−1)/2 −1 p = (−1) 2 p = (−1)(p −1)/8 Nếu q số nguyên tố lẻ khác p, ta có luật thuận nghịch p−1 q−1 p q = (−1) q p Chương 2.1 LIÊN PHÂN SỐ Liên phân số hữu hạn u0 với u0 , u1 số nguyên, u1 > Áp dụng thuật tốn u1 chia Euclid liên tiếp, ta có: Cho số hữu tỷ u0 = u1 a0 + u2 , < u2 < u1 u1 = u2 a1 + u3 , < u3 < u2 u2 = u3 a2 + u4 , < u4 < u3 u j−1 = u j a j−1 + u j+1 , (2.1) < u j+1 < u j u j = u j+1 a j Với i = 0, , j, đặt ξi = ui ui+1 Khi đó, Cơng thức (2.1) trở thành: ξi = + ξi+1 , , ≤ i ≤ j − 1, , ξ j = a j Tương ứng với i = i = là: ξ0 = a0 + 1 ξ1 = a1 + ξ1 ξ2 Thế ξ1 từ Phương trình thứ hai vào Phương trình thứ nhất, ta có: ξ0 = a + a1 + ξ2 (2.2) 10 ri − ri−2 = Đặc biệt, phân số (−1)i ki ki−2 hi tối giản, tức (hi , ki ) = ki Định lý 2.2.4 Các số rn = ha0 , a1 , , an i thỏa mãn dãy bất đẳng thức: r0 < r2 < r4 < r6 < · · · < r7 < r5 < r3 < r1 , nói cách khác rn với số chẵn dãy số tăng với số lẻ dãy số giảm r2n nhỏ r2 j−1 Hơn nữa, tồn lim rn n→∞ với j ≥ ta có r2 j < lim rn < r2 j+1 n→∞ Từ định lí trên, đến định nghĩa sau Định nghĩa 2.2.1 Một dãy vô hạn số nguyên a0 , a1 , a2 , thỏa mãn > với i > Khi đó: Ký hiệu ha0 , a1 , a2 , i gọi liên phân số vô hạn Với n ≥ 0, phân số rn = ha0 , a1 , a2 , , an i = hn kn gọi giản phân bậc n liên phân số vô hạn ha0 , a1 , a2 , i Trong trường hợp liên phân số hữu hạn ha0 , a1 , a2 , , an i ta gọi số ha0 , a1 , a2 , am i giản phân bậc m ha0 , a1 , a2 , , an i Giá trị liên phân số ha0 , a1 , a2 , i định nghĩa lim rn = lim ha0 , a1 , a2 , an i n→∞ n→∞ giới hạn tồn Định lí 2.2.3 Định lý 2.2.5 Giá trị liên phân số vô hạn số vơ tỉ Câu hỏi: có hai liên phân số vơ hạn khác hội tụ tới giá trị không? Câu trả lời không 11 Định lý 2.2.6 Hai liên phân số vô hạn phân biệt hội tụ tới hai giá trị khác Như liên phân số vô hạn biểu diễn số vô tỉ Ngược lại cho số vô tỉ ξ , ta biểu diễn thành liên phân số vô hạn sau: Đầu tiên ta đặt ξ0 = ξ , a0 = [ξ0 ] , ξ1 = ξ0 − a Tiếp theo: a1 = [ξ1 ] , ξ2 = ξ1 − a1 ··· = [ξi ] , ξi+1 = , i≥0 ξi − (2.6) số nguyên định nghĩa, ξi số vô tỉ ξ0 vô tỉ kéo theo ξ1 số vô tỉ, ξ2 số vô tỉ, Hơn nữa, ≥ với i ≥ ai−1 = [ξi−1 ] ξi−1 số vơ tỉ, suy ra: ai−1 < ξi−1 < + ai−1 ξi = < ξi−1 − ai−1 < 1 > , = [ξi ] ≥ ξi−1 − ai−1 Tiếp theo ta lại áp dụng Thuật toán 2.6 cho ξi = + ξi+1 vào dãy: ξ = ξ0 = a0 + = ha0 , ξ1 i ξ 1 = ha0 , a1 , ξ2 i = a0 , a1 + ξ2 = a0 , a1 , , am−2 , am−1 + = ha0 , a1 , , am−1 , ξm i ξm thu ξ giá trị liên phân số ha0 , a1 , a2 , i Chúng ta tổng hợp lại kết phần định lí sau 12 Định lý 2.2.7 Mỗi số vơ tỉ ξ có biểu diễn liên phân số vô hạn ha0 , a1 , a2 , i Ngược lại, liên phân số vô hạn biểu diễn số vô hn tỉ Liên phân số hữu hạn ha0 , a1 , · · · , an i có giá trị hữu tỉ = rn gọi kn giản phân bậc n ξ Phương trình (2.5) biểu diễn mối quan hệ hi ki với Với n = 0, 2, 4, giản phân tạo thành dãy tăng có giới hạn ξ Tương tự, với n = 1, 3, 5, giản phân tạo thành dãy giảm hội tụ ξ Các mẫu số kn giản phân dãy tăng số nguyên dương với n > Cuối cùng, với ξi xác định Thuật tốn 2.6 ta có ha0 , a1 , i = ha0 , a1 , , an−1 , ξn i với ξn = han , an+1 , an+2 , i 2.3 Liên phân số vơ hạn tuần hồn Một liên phân số vô hạn ha0 , a1 , a2 , i gọi tuần hồn có số nguyên n > cho ar = an+r với số nguyên r đủ lớn Do liên phân số tuần hồn viết dạng b0 , b1 , b2 , , b j , a0 , a1 , , an−1 , a0 , a1 , , an−1 , = b0 , b1 , b2 , , b j , a0 , a1 , , an−1 , (2.7) gạch ngang chữ a0 , a1 , , an−1 số nguyên lặp lại vô hạn Số n nhỏ thỏa mãn điều kiện gọi chu kỳ liên phân số Ví dụ 2, để kí hiệu liên phân số h2, 3, 2, 3, 2, 3, i chu kỳ Ví dụ Tính giá trị liên phân số θ = 2, Ta có: θ = 2, 3, 2, = h2, 3, θ i = + + θ1 Hay, 3θ − 6θ − = Như vậy, θ nghiện dương phương trình này, √ nên ta θ = (3 + 15)/3 Định nghĩa 2.3.1 Số toàn phương số thực thỏa mãn phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = với hệ số a, b, c hữu tỷ Một số toàn phương số vơ tỉ gọi số vơ tỉ tồn phương 13 Định lý 2.3.1 Mỗi liên phân số vơ hạn tuần hồn biểu diễn số vơ tỉ tồn phương Bây cho ξ số vơ tỉ tồn phương, ξ có khai√triển thành liên phân a+ b số tuần hoàn sau Trước hết, biểu diễn ξ = với a, b, c nguyên c thỏa mãn b > 0, c 6= Số nguyên b số phương số ξ vơ tỉ Chú ý √ √ ac + bc2 −ac + bc2 ξ= c > 0; ξ = c < 0, c2 −c2 nên viết ξ dạng √ m0 + d ξ= , q0 q0 | (d − m20 ); m0 q0 số nguyên với q0 6= 0, d số ngun dương khơng phương Bằng cách viết ξ vậy, đơn giản hóa Thuật tốn 2.6 khai triển ξ thành liên phân số ha0 , a1 , a2 , i sau: √ m0 + d , a0 = [ξ0 ] • Đặt ξ0 = ξ = q0 • Nếu biết ξi , mi , qi , với i > 0, √ d − m2i+1 mi+1 + d mi+1 = qi − mi , qi+1 = , ξi+1 = , qi qi+1 a j+1 = [ξi+1 ] (2.8) Chúng ta chứng tỏ dãy vô hạn số nguyên mi , qi , , số vô tỉ ξi thỏa mãn Phương trình (2.6), ta có khai triển liên phân số ξ0 ξ0 = ha0 , a1 , a2 , i Thật vậy, bắt đầu với ξ0 , m0 , q0 , ta có a0 = [ξ0 ] Bây chứng minh quy nạp theo i mi qi số nguyên thỏa mãn qi 6= qi | (d − m2i ) Thật vậy, điều với i = Giả sử khẳng định với i, ta thấy mi+1 = qi − mi số ngun Khi đó, từ phương trình qi+1 = d − m2i+1 d − m2i = + 2ai mi − a2i qi , qi qi 14 suy qi+1 nguyên Hơn qi+1 khơng thể 0, qi+1 = d = d − m2i+1 m2i+1 , tức d số phương, mâu thuẫn Cuối cùng, từ qi = qi+1 suy qi+1 | (d − m2i+1 ) Tiếp theo có √ √ d − m2i+1 −ai qi + mi + d d − mi+1 ξi − = = = √ qi qi qi ( d + mi+1 ) qi+1 =√ = ξ d + mi+1 i+1 Từ Thuật toán 2.6, ta suy ξ0 = ha0 , a1 , a2 , i với xách định Thuật toán 2.8 √ Định nghĩa 2.3.2 Cho số toàn phương ξ = r + s d với r, s số hữu tỷ, d số nguyên √ dương khơng phương Liên hợp ξ số tồn phương ξ = r − s d Định lý 2.3.2 Mọi số vơ tỉ tồn phương có khai triển thành liên phân số vơ hạn hồn Một lớp số vơ tỉ bậc hai có biểu diễn liên phân túy tuần hoàn, tức liên phân số có dạng ha0 , a1 , , an−1 i Các liên phân số đặc trưng Định lý sau Định lý 2.3.3 Liên phân số số vô tỉ bậc hai ξ túy tuần hoàn ξ > −1 < ξ < Bây chuyển sang biểu diễn liên phân số dương không phương √ d với d số Định lý√2.3.4 Cho d số dương khơng phương Khi đó, liên phân số d có dạng h√ i √ d = a0 , a1 , a2 , · · · , ar−1 , 2a0 , với a0 = d √ Hơn Thuật toán 2.8 để khai triển liên phân số d với a0 = [ξ0 ] = √ [ d], q0 = 1, m0 = 0, ta có qi = √ r | i qi 6= −1 với i, r chu kì tuần hồn liên phân số d 15 Chương 3.1 ỨNG DỤNG CỦA LIÊN PHÂN SỐ Biểu diễn số thực Chúng ta biết tập số hữu tỉ trù mật tập số thực, tức số thực xấp xỉ số hữu tỉ với độ xác tùy ý Sử dụng lý thuyết liên phân số có mơ tả chi tiết rõ ràng cho tính chất Cụ thể với số vô tỉ ξ , khai triển ξ thành liên phân số vô hạn khơng tuần hồn ha0 , a1 , a2 , i, dãy giản phân hn rn = liên phân số hội tụ ξ Hơn nữa, cịn kn đánh giá sai số phép xấp xỉ Định lý 3.1.1 Với n ≥ 0, ta có h n ξ − < |ξ kn − hn | < kn kn kn+1 kn+1 Một vấn đề thú vị số hữu tỷ a/b xuất dãy giản phân ξ Câu hỏi trả lời phần Định lý sau Định lý 3.1.4 Cho số thực ξ số hữu tỉ a/b với b ≥ cho a