16 đề thi hsg tỉnh và lời giải

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC SỐ BÁO DANH: KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn thi: Tốn - Vịng I (Khóa ngày 11 tháng 10 năm 2012) Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (2.5 điểm): Giải phương trình: Câu (2.5 điểm): Cho dãy số xác định bởi công thức: Tính: ? Câu (1.5 điểm): Cho số thực dương x, y, z Chứng minh rằng: Câu (2.0 điểm): Cho tam giác ABC có M trung điểm cạnh BC, N chân đường phân giác góc Đường thẳng vng góc với NA N cắt đường thẳng AB, AM P, Q theo thứ tự Đường thẳng vng góc với AB P cắt AN O Chứng minh OQ vng BC Câu (1.5 điểm): Tìm nghiệm ngun dương phương trình: HẾT SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn thi: Tốn - Vịng I (Khóa ngày 11 tháng 10 năm 2012) HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án, hướng dẫn có trang) yêu cầu chung * ỏp ỏn ch trỡnh bày lời giải cho Trong làm học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng * Trong bài, học sinh giải sai bước giải trước cho điểm bước giải sau có liên quan * Điểm thành phần nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần 0,5 điểm tuỳ tổ giám khảo thống để chiết thành 0,25 điểm * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm * Điểm toàn tổng (khơng làm trịn số) điểm tất Câu Nội dung Điểm 2,5 điểm Phương trình: Đặt t = x2n 0, phương trình (1) trở thành: 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 Giải phương trình (2) ta được: thỏa mãn điều kiện 0,25 Phương trình có nghiệm: , 0,5 2,5 điểm Theo công thức xác định dãy , ta có Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: 0,5 0,5 Do đó: Mặt khác: 0,5 Vậy Giả sử, là dãy số giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn .Ta có: 0,5 0,5 Vậy: 1.5 điểm 0,25 Ta có: 0,25 Do đó: 0,25 Mặt khác: 0,25 Suy ra: Dấu “=” xảy khi: x = y = z = 0,25 0,25 2.0 điểm A 0,25 y B Q N P C M O x Chọn hệ trục tọa độ Nxy cho A, N nằm trục hồnh Vì AB khơng song song với trục tọa độ nên phương trình có dạng : y = ax + b (a 0) Khi đó : , 0,25 0,25 AC qua A đối xứng với AB qua trục hồnh nên có phương trình : y = -ax – b PO qua P, vng góc với AB nên có phương trình : O giao điểm PO trục hoành nên BC qua gốc tọa độ nên : +) Nếu BC không nằm trục tung phương trình BC có dạng y = cx với c 0,c a (vì B, C khơng thuộc trục hồnh, BC khơng song song với AB AC) B giao điểm BC AB nên tọa độ B nghiệm hệ : 0,25 0,25 C giao điểm BC AC nên tọa độ C nghiệm hệ : 0,25 Do đó : , suy ra : Từ ta có phương trình AM là : Q giao điểm AM với trục tung nên   Do vectơ pháp tuyến BC nên QO vng góc BC Giả sử nghiệm nguyên dương phương trình Ta có: 1,5 điểm 0,25 0,25 Nếu Nếu (vơ lý) Thử lại, ta thấy: (4; 3; 1) (4; 1; 3) nghiệm phương trình Vậy: nghiệm nguyên dương phương trình cho (4; 3; 1) (4; 1; 3) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC 0,25 0,5 0,25 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN THI : TỐN - Vịng Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) Câu (2 điểm) a) Cho hàm số hàm số Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai điểm phân biệt hoành độ chúng dương b) Giải bất phương trình: Câu (2 điểm) a) Giải phương trình: b) Giải phương trình: Câu (2 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành A(hoành độ A dương), d cắt trục tung B(tung độ B dương) Tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác OAB b) Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C): điểm Đường thẳng qua A, cắt (C) M N Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng MN Câu (3 điểm) a) Chứng minh tứ giác lồi ABCD hình bình hành b) Tìm tất tam giác ABC thỏa mãn: cao qua A (trong AB=c; AC=b; đường ) Câu (1 điểm) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: …………………Hết………………… Họ tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………………………… Chữ ký giám thị 1:………………….Chữ ký giám thị 2:……………………… ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Câu Ý Nội dung Tìm m: cắt hai điểm a phân biệt hoành độ dương u cầu tốn PT sau có hai nghiệm dương phân biệt Điểm 1,00 0,25 0,25 0,25 Kết hợp nghiệm, kết luận Giải bất phương trình: b TXĐ: Nếu 0,25 1,00 0,25 , bất phương trình nghiệm với x: 0,25 Nếu bất pt cho 0,25 Kết hợp nghiệm, trường hợp ta có: Tập nghiệm bpt cho: 0,25 Giải phương trình: a Đặt (1) (1) có dạng: 1,00 Khi nghiệm 0,25 (1) x ứng với (x;y) nghiệm (I) (I) 0,25 TH1: y = -x kết hợp(2), có nghiệm (1): TH2: 0,25 Nếu có nghiệm Tương tự có Khi VT (2) Chứng tỏ TH2 vô nghiệm KL (1) có nghiệm b ĐK: Giải phương trình: 0,25 1,00 0,25 (*) Do 0,25 nên pt(*) 0,25 Vậy pt cho có nghiệm x=3 Đg thẳng d qua M, d cắt trục hoành A; d cắt trục tung a B Tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác OAB( ) 0,25 1,00 Giả sử A(a;0); B(0;b), a>0; b>0 PT đường thẳng AB: 0,25 Vì AB qua M nên 0,25 0,25 Diện tích tam giác vng OAB( vng O)là S Vậy S nhỏ d qua A(2;0), B(0;8) b (C): ; qua A, cắt (C) M N Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng MN 0,25 1,0 (C) có tâm I(2;-3), bán kính R=3 Có A nằm đường trịn(C) 0,25 Kẻ IH vng góc với MN H ta có 0,25 Mà a 0,25 Vậy MN nhỏ H trùng A hay MN vng góc với IA A Chứng minh tứ giác lồi ABCD hình bình hành Tứ giác lồi ABCD hình bình hành 0,25 1,5 0,25 0,25 0,25 (*) ( ) (*) (Đpcm) ( Chú ý: làm chiều cho 0,75 đ) b Tìm tất tam giác ABC thỏa mãn: Có 0,25 0,25 0,25 (1) 1,5 0,25 0,25 (1) 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy tam giác ABC vuông A có 1,00 XétM= 0,25 0,25 Vì ; 0,25 Làm hồn tồn tương tự với hai biểu thức lại Suy M (Đpcm); “=” 0,25 Hình vẽ câu 3b: I M A N H Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VỊNG 1) Mơn: TỐN ( BẢNG A ) Thời gian: 180 phút (không kể giao đề) Ngày thi: 06/10/2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: ( 5,0 điểm ) a Giải phương trình sau: với b Giải phương trình: Câu 2: ( 5,0 điểm ) a Cho tam giác lấy điểm vuông cân thỏa , cạnh Trong mặt phẳng chứa tam giác Tìm quỹ tích điểm M b Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM CN hợp với góc Tính độ dài trung tuyến lại tam giác ABC , Câu 3: ( 4,0 điểm ) Cho dãy số xác định với a Xác định số hạng tổng quát dãy số b Tính tổng Câu 4: ( 3,0 điểm ) Cho ba số thực khơng âm thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn biểu thức: Câu 5: ( 3,0 điểm ) Tìm để hệ phương trình sau có nghiệm: với số thực ……………… Hết ……………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:……………………………………;Số báo danh:………… 10