Đang tải... (xem toàn văn)
Untitled BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ TRỊNH THỊ HỒNG QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ CỦA HIGGS BOSON h→ Zγ VÀ h→ µτ TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH 3 3 1 LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ Chuyên ngà[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ TRỊNH THỊ HỒNG QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ CỦA HIGGS BOSON h → Zγ VÀ h → µτ TRONG MỘT SỐ MƠ HÌNH 3-3-1 LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã chuyên ngành: 44 01 03 Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Thanh Phong TS Lê Thọ Huệ Hà Nội - 2020 Lời cảm ơn Trước tiên, xin gửi lời biết ơn chân thành sâu sắc đến TS Lê Thọ Huệ, PGS TS Nguyễn Thanh Phong GS Hoàng Ngọc Long Những người thầy hướng dẫn, giúp đỡ tạo điều kiện cho suốt thời gian làm NCS Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS.TS Hà Thanh Hùng, TS Nguyễn Huy Thảo hợp tác giúp tơi nhiều cơng trình nghiên cứu thủ tục hành Xin cảm ơn Khoa Vật Lý, Phịng Đào tạo Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo kiều kiện thuận lợi để tơi hồn thành thủ tục hành bảo vệ luận án Tôi xin cảm ơn Trường Đại học An Giang đồng nghiệp tạo điều kiện động viên tơi q trình học tập, nghiên cứu Cuối cùng, gửi lời cảm ơn đến tất người thân gia đình ủng hộ, động viên tơi vật chất lẫn tinh thần suốt thời gian học tập Hà Nội, ngày 04 tháng 04 năm 2020 NCS Trịnh Thị Hồng i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận án gồm kết mà thân tơi thực thời gian làm nghiên cứu sinh Cụ thể, phần Mở đầu Chương phần tổng quan giới thiệu vấn đề trước liên quan đến luận án Trong Chương 2, Chương 3, Chương phụ lục sử dụng kết thực với thầy hướng dẫn cộng Cuối cùng, tơi xin khẳng định kết có luận án "QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ CỦA HIGGS BOSON h → Zγ VÀ h → µτ TRONG MỘT SỐ MƠ HÌNH 3-3-1" kết không trùng lặp với kết luận án cơng trình có NCS Trịnh Thị Hồng ii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Các ký hiệu chung vi Danh sách bảng viii Danh sách hình vẽ ix PHẦN MỞ ĐẦU Chương TỔNG QUAN 13 1.1 Tương tác ứng với trình rã h → Zγ mơ hình chuẩn 13 1.2 Nguồn LFV liên quan đến rã h → µτ mơ hình chuẩn mở rộng 17 1.3 Tìm kiếm rã Higgs thực nghiệm 19 Chương QUÁ TRÌNH RÃ h → Zγ TỔNG QUÁT 21 2.1 Quy tắc Feynman quy ước chung 21 2.2 Công thức giải tích cụ thể đóng góp bậc vịng 26 2.2.1 Giản đồ chứa boson chuẩn 26 2.2.2 Giản đồ chứa fermion 32 2.2.3 Các giản đồ khác 34 iii 2.3 Kết luận chương 37 Chương QUÁ TRÌNH RÃ H → Zγ, W γ TRONG MỘT SỐ MƠ HÌNH CỤ THỂ 38 3.1 Quá trình rã h → Zγ, γγ SM 38 3.2 Quá trình rã H → Zγ, W γ mơ hình GHU Georgy- Machacek 41 3.3 Quá trình rã h → Zγ mơ hình 331β0 45 3.4 Đóng góp số hạt mang điện nặng đến trình rã h → Zγ mơ hình LR HTM 50 3.5 Kết luận chương 62 Chương Q TRÌNH RÃ h01 → µτ TRONG MƠ HÌNH 331ISS 64 4.1 Cấu trúc hạt Higgs mơ hình 331ISS 64 4.2 Phổ khối lượng trạng thái vật lý hạt 68 4.3 Đỉnh tương tác cho đóng góp vào q trình rã h01 → µτ 81 4.4 Khảo sát số biện luận 89 4.5 Kết luận chương 94 KẾT LUẬN 97 Danh sách công bố tác giả 100 PHỤ LỤC 120 Phụ lục A Hàm PV LoopTools 121 A.1 Định nghĩa, ký hiệu biểu thức giải tích 121 A.2 Công thức giải tích trường hợp đặc biệt m1 = m2 = m 124 iv Phụ lục B Công thức giải tích tính biên độ rã h → Zγ chuẩn unitary Phụ lục C Cơng thức giải tích tính ∆L,R LFVHD (i)V chuẩn unitary Phụ lục D 126 140 Cơng thức giải tích tính biên độ rã LFVHD 331ISS v 147 Các ký hiệu chung Trong luận án sử dụng ký hiệu sau: vi Viết tắt BSM Br cLFV GIM GHU HTM ISS 331ISS Tên Beyond the Standard Model (Mơ hình chuẩn mở rộng) Branching ratio (Tỷ lệ rã nhánh) Lepton flavor violating decays of the charged leptons (Rã vi phạm số lepton hệ lepton mang điện) Glasshow-Iliopoulos-Maiani The Gauge-Higgs Unification Model (Mơ hình thống Higgs trường chuẩn) Higgs Triplet Models (Mơ hình chuẩn với tam tuyến Higgs) Inverse seesaw (Cơ chế seesaw ngược) 3-3-1 model with inverse seesaw neutrino masses (Mơ hình 3-3-1 với chế seesaw ngược) LHC Large Hadron Collider (Máy gia tốc lớn Hadron) LFV Lepton flavor violating (Vi phạm số lepton hệ) lepton flavor violating decay of the standard-model-like LFVHD Higgs boson (Rã vi phạm số lepton hệ Higgs boson tựa mơ hình chuẩn) LR MSSM, NP PV QCD 331RHN SM Left Right Model (Mơ hình đối xứng trái-phải) Minimal Supersymmetric Standard Model (Mơ hình chuẩn siêu đối xứng tối thiểu), new physics (vật lý mới) Passarino-Veltman (Hàm Passarino-Veltman) Quantum chromodynamics (Sắc động học lượng tử) 3-3-1 model with right handed neutrinos (Mơ hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải) Standard Model (Mơ hình chuẩn) SUSY Supersymmetry (Siêu đối xứng) VEV Vacuum expectation value (Giá trị trung bình chân khơng) vii Danh sách bảng 1.1 Tương tác Higgs boson với fermion 15 1.2 Hệ số liên hệ với đỉnh tương tác Z boson với fermion 16 1.3 Đỉnh tương tác boson chuẩn unitary 16 2.1 Đỉnh tương tác trình rã Higgs trung hòa CP chẵn h → Zγ chuẩn unitary 25 3.1 Các đỉnh hệ số đỉnh liên quan đến đóng góp boson chuẩn Higgs boson mang điện vào biên độ rã bậc vịng Higgs boson tựa mơ hình chuẩn h → Zγ mơ hình LR 60 4.1 Số lepton thông thường L (trái) số lepton L (phải) lepton Higgs boson mơ hình 331RHN 68 4.2 Đỉnh liên quan đến trình rã Higgs boson tựa SM h01 → ea eb mô hình 331ISS 84 viii Danh sách hình vẽ 2.1 Giản đồ đóng góp bậc vịng h → Zγ , với fi,j , Si,j Vi,j fermions, Higgs boson chuẩn tương ứng 22 2.2 Các số hạng phản (counterterm) giản đồ bậc vịng đóng góp vào biên độ q trình rã h → Zγ 23 3.1 Cường độ tín hiệu q trình rã H1 → Zγ mơ hình 331β0 theo hàm mH ± , đường ngang tương ứng với giá trị cho SM 1, 0.99, 1.01 49 3.2 Đồ thị fV m2V /m2W , fW,S fW,V hàm mV 4.1 51 Giản đồ Feynman cho đóng góp bậc vịng q trình rã h01 → ea eb chuẩn unitary Với V ± = W ± , Y ± 85 4.2 Đồ thị biểu diễn tỷ lệ rã nhánh Br(µ → eγ) (trái) Br(h01 → µτ ) (phải) theo mH2± với k = 500 91 4.3 Đồ thị biểu diễn tỷ lệ rã nhánh Br(µ → eγ) (trên) Br(h01 → µτ ) (dưới) theo mH2± với k = 5.5 (trái) k = (phải) 92 4.4 Đồ thị mật độ Br(h01 → µτ ) đường bao (contour plots) Br(µ → eγ) (đường màu đen) theo mH2± z , với k = 5.5 (trên) k = (dưới) 93 ix Phụ lục B Công thức giải tích tính biên độ rã h → Zγ chuẩn unitary Như đề cập trên, có giản đồ 1, hình 2.1 cần thiết để tính chi tiết phụ lục Biên độ đóng góp từ giản đồ hình 2.1 Z i(q/2 + m2 ) dd q × Tr −i Y P + Y P iM(1)à = (1) ì hf L L hf R R ij ij (2π)d D2 i h i(q / + m ) i(q/1 + m2 ) ∗ ∗ ×(ie Q γν ) i gZf γ PL + gZf γ PR ij L µ ij R µ D1 D0 Z d dq = −e Q × d (2π) D0 D1 D2 h + − × Tr /q2 γν /q1 γµ + m2 γµ γν KLL,RR − KLL,RR γ5 i − + γ5 + KLR,RL + (q/2 γν γµ/q + γν /q1 γµ/q) KLR,RL Biên độ đóng góp từ sơ đồ hình 2.1 trường hợp hướng vector xung lượng hạt có chiều ngược lại Z dd q iM(1)à = e Q ì (2)d D0 D1 D2 126 +∗ h ì Tr /q2 /q1 + m2 γµ γν KLL,RR + KLL,RR γ5 i −∗ +∗ + (q/2 γν γµ/q + γν /q1 γµ/q) KLR,RL − KLR,RL γ5 Tổng hai giản đồ cho kết cuối F21,fijj f5,fijj biểu thức liên hợp phức tương ứng với đóng góp M′(1)µν Sử dụng thuộc tính ma trận Dirac để tính vết biểu thức biên độ Tính chi tiết giản đồ hình 2.1 theo chiều thuận Z dd q × Tr Y P + Y P (q/2 + m2 ) iM(1)à = (eQ) ì hf L L hf R R ij ij (2π)d D0 D1 D2 i ∗ ∗ (B.1) ×(γν )(q/1 + m2 ) gZfij L γµ PL + gZfij R γµ PR (q/ + m1 ) Xét Yhfij L PL (q/2 + m2 ) ∗ ∗ ×(γν )(q/1 + m2 ) gZfij L γµ PL + gZfij R γµ PR (q/ + m1 ) + Yhfij R PR (q/2 + m2 ) ∗ ∗ ×(γν )(q/1 + m2 ) gZfij L γµ PL + gZfij R γµ PR (q/ + m1 ) Tr [I] = Tr = Tr [1] + Tr [2]] Tính số hạng thành phần (B.2) sau Yhfij L PL (q/2 + m2 ) i ∗ ∗ ×(γν )(q/1 + m2 ) gZfij L γµ PL + gZfij R γµ PR (q/ + m1 ) = Tr Yhfij L PL (q/2 + m2 ) i ∗ ×(γν )(q/1 + m2 ) gZfij L γµ PL (q/ + m1 ) + Tr Yhfij L PL (q/2 + m2 ) i ì( )(q/1 + m2 ) gZfij R PR (q/ + m1 ) Tr [1] = Tr 127 (B.2) (B.3) = Tr [a] + Tr [b] , với Tr [a] = Tr h ∗ gZf ij L Yhfij L PL (q/2 + m2 ) ×(γν )(q/1 + m2 )γµ PL (q/ + m1 )] h ∗ = Tr gZfij L Yhfij L PL (q/2 + m2 ) ì( )(q/1 + m2 )à (1 )(q/ + m1 )] h ∗ = Tr gZfij L Yhfij L PL [(q/2 + m2 )(γν )(q/1 + m2 )γµ (q/ + m1 ) −(q/2 + m2 )(γν )(q/1 + m2 )γµ γ5 (q/ + m1 )]] ∗ = gZf Yhfij L Tr [PL (X − Y )] , (B.4) ij L đặt Tr[PL X] = Tr[PL (q/2 + m2 )(γν )(q/1 + m2 )γµ (q/ + m1 )] = Tr[PL (q/2 γν /q1 γµ/q + /q2 γν γµ m2/q + m2 γν /q1 γµ/q + m22 γν γµ/q + /q2 γν /q1 γµ m1 + /q2 γν γµ m2 m1 + m2 m1 γν /q1 γµ + m22 m1 γν γµ )] = Tr[PL (m2/q2 γν γµ/q + m2 γν /q1 γµ/q + m1/q2 γν /q1 γµ + m22 m1 γν γµ )] Tr[PL Y ] = Tr[PL (m2/q2 γν γµ γ5/q + m2 γν /q1 γµ γ5/q + m1/q2 γν /q1 γµ γ5 + m22 m1 γν γµ γ5 )] (B.5) Do suy ∗ Yhfij L Tr[PL (m2 (q/2 γν γµ/q + γν /q1 γµ/q) + m1 (q/2 γν /q1 γµ + m22 γν γµ ) Tr[a] = gZf ij L − m2 (q/2 γν γµ γ5/q + γν /q1 γµ γ5/q) − m1 (q/2 γν /q1 γµ γ5 + m22 γν γµ γ5 ))] ∗ Tr[b] = gZf Yhfij L Tr[PL (m2 (q/2 γν γµ/q + γν /q1 γµ/q) + m1 (q/2 γν /q1 γµ + m22 γν γµ ) ij R + m2 (q/2 γν γµ γ5/q + γν /q1 γµ γ5/q) + m1 (q/2 γν /q1 γµ γ5 + m22 γν γµ γ5 ))] (B.6) 128 Vậy ∗ Tr[1] = gZf Yhfij L PL Tr[(m2 (q/2 γν γµ/q + γν /q1 γµ/q) + m1 (q/2 γν /q1 γµ + m22 γν γµ ) ij L − m2 (q/2 γν γµ γ5/q + γν /q1 γµ γ5/q) − m1 (q/2 γν /q1 γµ γ5 + m22 γν γµ γ5 )) ∗ + gZf Yhfij L PL Tr(m2 (q/2 γν γµ/q + γν /q1 γµ/q) + m1 (q/2 γν /q1 γµ + m22 γν γµ ) ij R + m2 (q/2 γν γµ γ5/q + γν /q1 γµ γ5/q) + m1 (q/2 γν /q1 γµ γ5 + m22 γν γµ γ5 ))] ∗ Tr[2] = gZf Yhfij R PR Tr[(m2 (q/2 γν γµ/q + γν /q1 γµ/q) + m1 (q/2 γν /q1 γµ + m22 γν γµ ) ij L − m2 (q/2 γν γµ γ5/q + γν /q1 γµ γ5/q) − m1 (q/2 γν /q1 γµ γ5 + m22 γν γµ γ5 )) ∗ Yhfij R PR Tr(m2 (q/2 γν γµ/q + γν /q1 γµ/q) + m1 (q/2 γν /q1 γµ + m22 γν γµ ) + gZf ij R + m2 (q/2 γν γµ γ5/q + γν /q1 γµ γ5/q) + m1 (q/2 γν /q1 γµ γ5 + m22 γν γµ γ5 ))] (B.7) Do suy Tr[I] = Tr[1] + Tr[2] 1h ∗ = gZfij L Yhfij L m1 Tr[(1 − γ5 )q/2 γν /q1 γµ + (1 − γ5 )m22 γν γµ ] ∗ Yhfij L m2 Tr[(1 − γ5 )q/2 γν γµ/q + (1 − γ5 )γν /q1 γµ/q] +gZf ij R ∗ Yhfij R m2 Tr[(1 + γ5 )q/2 γν γµ/q + (1 + γ5 )γν /q1 γµ/q] gZf ij L ∗ +gZf ij R Yhfij R m1 Tr[(1 + γ5 )q/2 γν /q1 γµ + (1 + γ5 )m22 γν γµ ] i i h ∗ ∗ = Tr (q/2 γν /q1 γµ + m2 γν γµ )(gZfij L Yhfij L m1 + gZfij R Yhfij R m1 ) h ∗ ∗ Yhfij R m2 ) Yhfij L m2 + gZf + Tr (q/2 γν γµ/q + γν /q1 γµ/q)(gZf ij L ij R i ∗ ∗ +(q/2 γν γµ/q + γν /q1 γµ/q)(gZfij L Yhfij R m2 − gZfij R Yhfij L m2 ) h + − = Tr (q/2 γν /q1 γµ + m22 γν γµ )(KLL,RR − kLL,RR γ5 ) i + − (q/2 γν γµ/q + γν /q1 γµ/q)(KRL,LR + kLR,RL γ5 ) (B.8) 129 Đến tiếp tục đặt a = (q/2 γν γµ/q + γν /q1 γµ/q) (B.9) b = (q/2 γν /q1 γµ + m22 γν γµ ) c = (q/2 γν γµ γ5/q + γν /q1 γµ γ5/q) (B.10) d = (q/2 γν /q1 γµ γ5 + m22 γν γµ γ5 ) Do ∗ Tr[I] = gZf Yhfij L PL Tr (m2 a + m1 b − m2 c − m1 d) ij L ∗ + gZf Yhfij L PL Tr (m2 a + m1 b + m2 c + m1 d) ij R ∗ Yhfij R PR Tr (m2 a + m1 b − m2 c − m1 d) + gZf ij L ∗ Yhfij R PR Tr (m2 a + m1 b + m2 c + m1 d) + gZf ij R 1h ∗ = Yhfij L Tr ((1 − γ5 )(m2 a + m1 b − m2 c − m1 d)) g Zfij L ∗ Yhfij L Tr ((1 − γ5 )(m2 a + m1 b + m2 c + m1 d)) +gZf ij R ∗ Yhfij R Tr ((1 + γ5 )(m2 a + m1 b − m2 c − m1 d)) +gZf ij L ∗ +gZf ij R = X Yhfij R Tr ((1 + γ5 )(m2 a + m1 b + m2 c + m1 d)) T r(1′ + 2′ + 3′ + 4′ ) i (B.11) i=1 Tính số hạng tổng (B.11) 1h ∗ ′ Yhfij L Tr ((m2 a + m1 b − m2 c − m1 d) g Tr[1 ] = Zfij L −γ5 (m2 a + m1 b − m2 c − m1 d))] 1h ∗ = g Yhfij L Trm2 (q/2 γν γµ/q + γν /q1 γµ/q − /q2 γν γµ γ5/q + γν /q1 γµ γ5/q) Zfij L +m1 (q/2 γν /q1 γµ + m22 γν γµ − /q2 γν /q1 γµ γ5 − m22 γν γµ γ5 ) 130 −m2 (γ5/q2 γν γµ/q + γ5 γν /q1 γµ/q − γ5/q2 γν γµ γ5/q − γ5 γν /q1 γµ γ5/q) −m1 (γ5/q2 γν /q1 γµ + m22 γ5 γν γµ − γ5/q2 γν /q1 γµ γ5 − m22 γ5 γν γµ γ5 ) ∗ = gZf , γ γ Y m Tr (1 − γ )q / γ / q γ + (1 − γ )m ν µ hf L ν µ ij ij L 1h ∗ ′ Yhfij L Tr [(m2 a + m1 b + m2 c + m1 d) g Tr[2 ] = Zfij R −γ5 (m2 a + m1 b + m2 c + m1 d)]] ∗ = gZf Yhfij L Tr [m2 (q/2 γν γµ/q + γν /q1 γµ/q + /q2 γν γµ γ5/q + γν /q1 γµ γ5/q) ij R +m1 (q/2 γν /q1 γµ + m22 γν γµ + /q2 γν /q1 γµ γ5 + m22 γν γµ γ5 ) −m2 (γ5/q2 γν γµ/q + γ5 γν /q1 γµ/q + γ5/q2 γν γµ γ5/q + γ5 γν /q1 γµ γ5/q) −m1 (γ5/q2 γν /q1 γµ + m22 γ5 γν γµ + γ5/q2 γν /q1 γµ γ5 + m22 γ5 γν γµ γ5 ) ∗ Yhfij L m2 Tr [2q/2 γν γµ/q + 2γν /q1 γµ/q − 2γ5/q2 γν γµ/q − 2γ5 γν /q1 γµ/q] = gZf ij R ∗ Yhfij L m2 Tr [(1 − γ5 )q/2 γν γµ/q + (1 − γ5 )γν /q1 γµ/q] = gZf ij R ∗ Tr[3′ ] = gZf Yhfij R Tr[(1 + γ5 )(m2 a + m1 b − m2 c − m1 d)] ij L ∗ Yhfij R Tr [m2 (q/2 γν γµ/q + γν /q1 γµ/q − /q2 γν γµ γ5/q − γν /q1 γµ γ5/q) = gZf ij L +m1 (q/2 γν /q1 γµ + m22 γν γµ − /q2 γν /q1 γµ γ5 − m22 γν γµ γ5 ) +m2 (γ5/q2 γν γµ/q + γ5 γν /q1 γµ/q − γ5/q2 γν γµ γ5/q − γ5 γν /q1 γµ γ5/q) +m1 (γ5/q2 γν /q1 γµ + m22 γ5 γν γµ − γ5/q2 γν /q1 γµ γ5 − m22 γ5 γν γµ γ5 ) ∗ Yhfij R m2 Tr [2q/2 γν γµ/q + 2γν /q1 γµ/q + 2γ5/q2 γν γµ/q + 2γ5 γν /q1 γµ/q] = gZf ij L ∗ = gZf Yhfij R m2 Tr [(1 + γ5 )q/2 γν γµ/q + (1 + γ5 )γν /q1 γµ/q] ij L ∗ Yhfij R Tr[(1 + γ5 )(m2 a + m1 b + m2 c + m1 d)] Tr[4′ ] = gZf ij R ∗ Yhfij R Tr [m2 (q/2 γν γµ/q + γν /q1 γµ/q + /q2 γν γµ γ5/q + γν /q1 γµ γ5/q) = gZf ij R +m1 (q/2 γν /q1 γµ + m22 γν γµ + /q2 γν /q1 γµ γ5 + m22 γν γµ γ5 ) 131 +m2 (γ5/q2 γν γµ/q + γ5 γν /q1 γµ/q + γ5/q2 γν γµ γ5/q + γ5 γν /q1 γµ γ5/q) +m1 (γ5/q2 γν /q1 γµ + m22 γ5 γν γµ + γ5/q2 γν /q1 γµ γ5 + m22 γ5 γν γµ γ5 ) ∗ = gZf Yhfij R m1 ij R × Tr 2q/2 γν γµ/q + 2m22 γν γµ + 2m22 γ5 γν γµ + 2γ5/q2 γν γµ/q ∗ γ γ Y m Tr (1 + γ )q / γ / q γ + (1 + γ )m = gZf hfij R ν µ ν µ ij R (B.12) Cộng Tr[1′ + 2′ + 3′ + 4′ ] vừa tính ta có ∗ γ γ Y m Tr (1 − γ )q / γ / q γ + (1 − γ )m 2Tr[I] = gZf hfij L ν µ ν µ ij L ∗ Yhfij L m2 Tr [(1 − γ5 )q/2 γν γµ/q + (1 − γ5 )γν /q1 γµ/q] + gZf ij R ∗ Yhfij R m2 Tr [(1 + γ5 )q/2 γν γµ/q + (1 + γ5 )γν /q1 γµ/q] + gZf ij L ∗ γ γ Y m Tr (1 + γ )q / γ / q γ + (1 + γ )m + gZf (B.13) ν µ hf R ν µ ij ij R h ∗ ∗ Yhfij R m1 ) Yhfij L m1 + gZf = Tr (q/2 γν /q1 γµ + m22 γν γµ )(gZf ij R ij L i ∗ ∗ +(q/2 γν /q1 γµ + m2 γν γµ )(gZfij R Yhfij R m1 γ5 − gZfij L Yhfij L m1 γ5 ) 1h ∗ ∗ Yhfij R m2 ) Yhfij L m2 + gZf (q/2 γν γµ/q + γν /q1 γµ/q)(gZf + ij L ij R i ∗ ∗ +(q/2 γν γµ/q + γν /q1 γµ/q)(gZfij L Yhfij R m2 − gZfij R Yhfij L m2 ) h − + γ5 ) − KLL,RR = Tr (q/2 γν /q1 γµ + m22 γν γµ )(KLL,RR i + − +(q/2 γν γµ/q + γν /q1 γµ/q)(KRL,LR + KLR,RL γ5 ) =⇒ 1h − + Tr[I] = − (q/2 γν /q1 γµ + m22 γν γµ )γ5 KLL,RR (q/2 γν /q1 γµ + m22 γν γµ )KLL,RR i − + +(q/2 γν γµ/q + γν /q1 γµ/q)KRL,LR + (q/2 γν γµ/q + γν /q1 γµ/q)γ5 KLR,RL = Tr[A + B + C + D], với Tr[A] = Tr[(q/2 γν /q1 γµ + m22 γν γµ )] = 4Tr[γα γν γβ γµ ]q2α q1β 132 = 4q2α q1β [gαν gβµ + gαµ gνβ − gαβ gµν ] = 4[q2ν q1µ + q2µ q1ν − q1 q2 gµν ] ⊃ 4[(qν − p1ν )qµ + (qµ − p2µ )(qν − p1ν )] = 4[qµ qν − qµ p1ν + qµ qν − qµ p1ν − qν p2µ + p1ν p2µ ] = 4[2qµ qν − 2qµ p1ν − qν p2µ + p1ν p2µ ], (B.14) Tr[B] ⊃ −Tr[(q/2 γν /q1 γµ γ5 )] = −q2α q1β Tr[γ5 γα γν γβ γµ ] = −q2a lphaq1β (−4i)εµναβ = 4iq2α q1β εµναβ = −4iq2α q1β εµανβ , (B.15) Tr[C] = Tr[q/2 γν γµ/q + γν /q1 γµ/q] = q2α q β Tr[γα γν γµ γβ ] + q1α q β Tr[γν γα γµ γβ ] = 4q2α q β [gαν gβµ + gαβ gµν − gαµ gνβ ] + 4q1α q β [gνα gµβ + gνβ gαµ − gµν gαβ ] = 4[q2ν qµ + qq2 gµν − q2µ qν ] + 4[q1ν qµ + q1µ qν − qq1 gµν ] ⊃ 4[2qµ (qν − p1ν ) − qν (qµ − p2µ ) + qµ qν − 0] = 4[2qµ qν − 2qµ p1ν + qν p2µ ], (B.16) Tr[D] = Tr[(q/2 γν γµ/q + γν /q1 γµ/q)γ5 ] = 4iq2α q β εµναβ − 4iq1α q β εµναβ =⇒ Tr[I] 1h + = 4(2qµ qν − 2qµ p1ν − qν p2µ + p1ν p2µ )KLL,RR + 4iq2α q1β εµναβ i α + ì KLL,RR + 4(2qà q − 2qµ p1ν + qν p2µ )KRL,LR + 4i(q2 q − q1 q )εµναβ + + )(qµ qν − qµ p1ν ) + KLR,RL = 4(KLL,RR + + + + 2(KRL,LR − KLL,RR )qν p2µ + 2KLL,RR p2µ p1ν − − − ) εµανβ + 2iεµανβ q α pβ2 (KLL,RR − KLR,RL − 2ipα1 pβ2 KLL,RR Chuyển sang hàm PV qµ qν ⊃ (C12 + C22 )p2µ p1ν D0 D1 D2 133 (B.17) qµ p1ν ⊃ −C2 p2µ p1ν D0 D1 D2 qµ p2µ ⊃ −(C1 + C2 )p2µ p1ν D0 D1 D2 (B.18) Biên độ giản đồ hình 2.1 xung lượng hạt có chiều ngược lại Z h dd q ′ ∗ ∗ iM(1)à = (1) ì ì Tr i Yhfij L PR + Yhfij R PL (2π)d i(−q/ + m1 ) i gZfij L γµ PL + gZfij R γµ PR × D0 i(−q/2 + m2 ) i(−q/1 + m2 ) (ie Q γν ) × D1 D0 Z d dq iM(1)à = e Q ì (2)d D0 D1 D2 +∗ h −∗ × Tr /q2 γν /q1 γµ + m2 γµ γν KLL,RR + KLL,RR γ5 i iM′(1)µν −∗ +∗ γ5 − KLR,RL + (q/2 γν γµ/q + γν /q1 à/q) KLR,RL Z dd q e Q ì (2π)d D0 D1 D2 n + + × KLL,RR + KLR,RL (qµ qν − qµ p1ν ) + + + p2µ p1ν +2 −KLL,RR + KLR,RL p2µ qν + 2KLL,RR h i o − − − − KLR,RL + pλ1 pα2 × 2KLL,RR +ià q p2 ì KLL,RR (B.19) Ở chúng tơi sử dụng tính chất vết tích ma trận γ khơng đổi đảo ngược thứ tự tất vị trí ma trận, xem phụ lục tài liệu [131] Ví dụ chứng minh được: Tr[q/2 γν γµ/q] = Tr[q/γµ γν /q2 ] Đóng góp F21 từ giản đồ hình 2.1 e Q Nc h + (1) + KLL,RR + KLR,RL + c.c (C12 + C22 + C2 ) F21,fijj = F21 = − 16π 134 +2 + KLL,RR − + KLR,RL + c.c (C1 + C2 ) + + 2(KLL,RR i + c.c.)C0 (B.20) Giản đồ hình 2.1: Chi tiết thành phần phương trình (2.14) tính sau V1,1 V2,1 = [2qµ gβλ − (q + p1 ) gà (q1 p1 ) gà ] ì [−(q1 + p2 )β gνλ − (q2 − p2 )λ gνβ + 2q1ν g βλ ] = 4qµ q1ν d − 2qµ (q1 + p2 )ν − 2qµ (q2 − p2 )ν − 2q1ν (q + p1 )µ + (q + p1 )ν (q1 + p2 )µ + (q + p1 )(q2 − p2 )gµν − 2q1ν (q1 − p1 )µ + (q1 − p1 )(q1 + p2 )gµν + (q1 − p1 )ν (q2 − p2 )µ = 4qµ q1ν d − 2qµ (q1ν + p2ν ) − 2qµ (q2ν − p2ν ) − 2q1ν (qµ + p1µ ) + (qν + p1ν )(q1µ + p2µ ) − 2q1ν (q1µ − p1µ ) + (q1ν − p1ν )(q2µ − p2µ ) = 4qµ q1ν d − 2qµ q1ν − 2qµ p2ν − 2qµ q2ν + 2qµ p2ν − 2qµ q1ν − 2q1ν p1µ + qµ qν + qν p2µ + qµ p1ν + p1ν p2µ − 2qµ q1ν + 2q1ν p1µ + q1ν q2µ − q1ν p2µ − p1ν q2µ + p1ν p2µ = 4qµ (qν − p1ν )d − 6qµ (qν − p1ν ) − 2qµ (qν − p1ν ) − 2(qν − p1ν )p1µ + qµ qν + qν p2µ + qµ p1ν + 2p1ν p2µ + 2(q p1 )p1à + (q p1 ) ì (qµ − p2µ ) − (qν − p1ν )p2µ − p1ν (qµ − p2µ ) = 4dqµ qν − 4dqµ p1ν − 6qµ qν + 6qµ p1ν − 2qµ qν + 2qµ p1ν − 2qν p1µ + 2p1µ p1ν + qµ qν + qν p2µ + qµ p1ν + 2p1ν p2µ + 2qν p1µ − 2p1µ p1ν + qµ qν − qν p2µ − qµ p1ν + p1ν p2µ − qν p2µ + p1ν p2µ − qµ p1ν + p1ν p2µ = (4d − 6)qµ qν + (7 − 4d)qµ p1ν − p2µ qν + 5p2µ p1ν Tương tự ta có V1,2 V2,2 = −qµ q1 + (q12 p21 )gà 135 (B.21) ì [q1 δνβ q22 − q1ν q2β + q2β δνλ q12 − q1ν q1λ ] = −qµ q12 q22 qν − qµ q.q2 q12 q1ν + 2qµ q1ν q12 q.q2 + (q12 − p21 )[q1µ qν q22 + q.q2 q12 gµν − 2q1ν q1µ q.q2 ] = qµ [−q12 q22 qν − q.q2 q12 q1ν + 2q1ν q12 q.q2 ] + (q12 − p21 )[q1µ qν q22 − 2q1ν q1µ q.q2 ] = qµ [q12 q.q2 (qν − p1ν ) − q12 q22 qν ] + (q12 − p21 )q1à ì [q q22 2(q p1 )qq2 ] = qµ [q12 q.q2 qν − q12 q.q2 p1ν − q12 q22 qν ] + (q12 − p21 )qµ [q22 qν − 2qq2 qν + 2qq2 p1ν ] = q12 q.q2 qµ qν − q12 q.q2 qµ p1ν − q12 q22 qµ qν + qµ qν (q12 − p21 )q22 − 2qµ qν q.q2 (q12 − p21 ) + 2q.q2 qµ p1ν (q12 − p21 ) = qµ qν [−p21 q22 + q.q2 (2p21 − q12 )] − qµ p1ν (2p21 − q12 ) = qµ qν [−p1 q22 + 1/2(q + q22 − p23 )(2p21 − q12 )] qµ p1ν − (q + q22 − p23 )(2p21 − q12 ), V1,2 V2,1 = qβ [−qµ q1λ + (q12 p21 )gà ] ì [(q1 + p2 )β gνλ − (q2 − p2 )λ gνβ + 2q1ν g βλ ] = q(q1 + p2 )qµ q1ν + qν qµ q1 (q2 − p2 ) − 2qµ q1ν q.q1 − (q12 − p21 ) × q(q1 + p2 )gµν − (q12 − p21 )(q2 − p2 )µ qν + 2q1ν qµ (q12 − p21 ) → qµ q1ν [qq1 + qp2 − 2qq1 + 2q12 − 2p21 ] + qµ qν q1 (q2 − p2 ) − (q12 − p21 )(qµ − 2p2µ )qν = qµ q1ν (2q12 − 2p21 − q.q1 + qp2 ) + qµ qν q1 (q2 − p2 ) − (q12 − p21 )(qµ qν − 2p2µ qν ) = qµ qν (2q12 − 2p21 − qq + qp2 + q1 q2 − q1 p2 − q12 + p21 ) 136 − qµ p1ν (2q12 − 2p21 − qq1 + qp2 ) + qν p2µ (2q12 − 2p21 ) = qµ qν [q12 − p21 + q1 (q2 − q) + p2 (q − q1 )] − qµ p1ν (2q12 − 2p21 − qq1 + qp2 ) + qν p2µ (2q12 − 2p21 ) = qµ qν (1/2q22 − 1/2q − 1/2p21 + q12 + p1 p2 ) + qµ p1ν (1/2q + 1/2q22 − 2q12 + 3/2p21 − p1 p2 ) + qν p2µ (2q12 − 2p21 ), V1,1 V2,2 = [2qµ gβλ − (q + p1 )λ gµbeta − (q1 p1 ) gà ] ì [q1 (g q22 q1ν q2β ) + q2β (gνλ q12 − q1ν q1λ )] = 2qµ [q1nu q22 − q1ν q1 q2 ] + 2qµ [q2ν q12 − q1ν q1 q2 ] − q1 (q + p1 )[q22 gµν − q1ν q2µ ] − q2µ [(q + p1 )ν q12 − q1ν q1 (q + p1 )] − q1µ [(q1 − p1 )ν q22 − q1ν q2 (q1 − p1 )] − q2 (q1 − p1 )[gµν q12 − q1µ q1ν ] → q1ν q2µ q1 (q + p1 ) − q2µ [(q + p1 )ν q12 − q1ν q1 (q + p1 )] − q1µ (q1 − p1 )ν q22 + q1µ q1ν q2 (q1 − p1 ) + q1µ q1ν q2 (q1 − p1 ) = 2q1ν q2µ q1 (q + p1 ) − q2µ (q + p1 )ν q12 − q1µ (q1 − p1 )ν q22 + q1µ q1ν q2 × (q1 − p1 ) + q1µ q1ν q2 (q1 − p1 ) + 2qµ qν (q22 − q1 q2 + q12 − q1 q2 ) = 2q2µ q1ν q1 (+p1 ) + 2q1µ q1ν q2 (q1 − p1 ) − (qµ − p2µ )(qν + p1ν )q12 − qµ (qν − 2p1ν )q22 + 2qµ (qν − p1ν )(q2 − q1 )2 = 2(qν − p1ν )(qµ − p2µ )q1 (q + p1 ) + 2qµ (qν − p1ν )q2 (q1 − p1 ) − (qµ − p2µ )(qν + p1ν )q12 − qµ (qν − 2p1ν )q22 = (qµ qν − qν p2µ − qµ p1ν + p1ν p2µ )2q1 (q + p1 ) + (qµ qν − qà p1 )2q2 ì (q1 p1 ) (qà qν − qν p2µ + qµ p1ν − p1ν p2µ )q12 − (qµ qν − 2qµ p1ν )q22 = qµ qν (q + q12 − p21 + 2p1 p2 ) + qµ p1ν (−q − 3q12 + q22 + p21 − 2p1 p2 ) + qν p2µ (−2q + q12 + 2p21 ) + p2µ p1ν (2q + q12 − 2p21 ) 137 (B.22) Giản đồ hình 2.1: Bởi photon ln kết hợp với hai boson chuẩn giống hệt nhau, biên độ tương ứng với giản đồ hình 2.1 ! Z α α′ p p dd q −i ′ g αα − 22 iM(7)µν = (ighZZ gµα ) 2 d (2π) p2 − mZ mZ λ ρ −i q q × [−igZVi Vi Γα′ βλ (p2 , q2 , −q1 )] g λρ − 21 D1 m1 ! δ β −i q q × [−ie QΓνρδ (−p2 , q1 , −q2 )] g δβ − 22 D2 m1 Z dd q ′ V2ν′αβ , V1µαβ (B.23) = (e Q ghZZ gZVi Vi ) d (2π) mZ D1 D2 đổi biến số q → q1 = q − p1 , dẫn đến q − p2 → q2 dd q → dd q1 = dd q Các ký hiệu khác phương trình (B.23) viết sau ! α α′ p p ′ ′ ≡ gµα g αα − 22 Γραβ (p2 , q2 , −q1 ) V1µλβ mZ → (q1 + q2 )µ gλβ + gµβ (−q2 + p2 )λ + gµλ (−q1 − p2 )β p2µ + (−2q1 p2 gλβ + p2λ q1β + q2λ p2β ) mZ ′ ′ , + V1,2µβλ ≡ V1,1µβλ mZ λβ λβ + V2,2ν V2νλβ → V2,1ν , m1 V2νλβ đồng dạng với V2νλβ phương trình (2.12) với m2 → m1 Sử dụng thay (2.10), chúng tơi có Z dd q 1 iM(7)µν → (e Q ghZZ gZVi Vi ) × d (2π) D1 D2 mZ ′ ′ V3,1 V1,1 V3,2 V1,2 ′ ′ + + V1,1 V3,2 , × V1,1 V3,1 + m2W m2Z mW ′ V3,1 → (2d − 3)(q1 + q2 )µ q1ν = (2d − 3)(2q1 − p2 )µ q1ν , V1,1 ′ V3,2 → q1µ q1ν (D1 + D2 + 2m2W ) − p2µ q1ν (−D1 + 2D2 + m2W ), V1,1 ′ V3,1 → p2µ q1ν (q1 p2 ) × (−4d + 6), V1,2 138 ′ V3,2 → p2µ q1ν −(q1 p2 )(D1 + D2 + 2m2W ) V1,1 (B.24) Thay đổi biến tích phân q → q − p1 = q1 , dẫn đến q2 → q1′ = q − p2 , D1 → D0 D2 → D1′ = (q − p2 )2 − m2W chứa động lượng bên p2 Kết iM(7)µν → (e Q ghZZ gZVi Vi ) Z 2qµ qν p2à q dd q (2d 3)mW ì − × (2π)d m2Z m41 D0 D1′ D0 D1′ 1 2m2W m2W +mW qµ qν + − p2µ q1ν − ′ + + + D1′ D0 D0 D1′ D1 D0 D0 D1′ p2µ qν (q.p2 ) qν 2m2W qν q (4d + 6)m4W ì p2à (q.p2 ) + + + m2Z D0 D1′ D0 D1′ D0 D1′ (B.25) Tất số hạng phương trình (B.25) chứa yếu tố qν Do kết cuối viết theo dạng hàm PV, M(7)µν bao gồm hàm A B chứa hệ số gµν p2ν , khơng đóng góp vào F21 p2µ p1ν 139 Phụ lục C (i)V Cơng thức giải tích tính ∆L,R LFVHD chuẩn unitary (i)W Các biểu thức giải tích ∆L,R , i có ý nghĩa giản đồ (i) 4.1 (1)W ∆L (1)W ∆R (5)W ∆L g cα ma X ν∗ ν n (1) (2) (1) (2) − m − B − B m B U U = b B1 n bi 0 i 64π m3W i=1 2 + 2mW + mh01 m2ni C0 − 2m2W 2m2W + m2ni + m2a − m2b i h i o 2 2 2 + mni mh01 C1 2mW ma − mh01 + mb mh01 C2 , g cα mb X ν∗ ν n (1) (2) (1) (2) = Uai Ubi −mni B1 + B0 + B0 + m2a B1 64π mW i=1 i h 2 2 2 2 + 2mW + mh01 mni C0 − 2mW mb − mh + ma mh01 C1 i o h 2 2 2 + 2mW 2mW + mni − ma + mb + mni mh01 C2 , h g cα ma X ν∗ ν n 0∗ (12) = U U m λ − m2W C0 + (2m2W + m2ni nj B bj ij 64π mW i,j=1 h io (1) − m2a )C1 + λ0ij mni B1 + (2m2W + m2nj − m2b )C1 , 140