Hằng đẳng thức đáng nhớ chi tiết nhất I Hằng đẳng thức đáng nhớ Bình phương của một tổng Diễn giải Bình phương của một tổng hai số bằng bình phương của số thứ nhất, cộng với hai lần tích của số thứ nh[.]
Hằng đẳng thức đáng nhớ chi tiết I Hằng đẳng thức đáng nhớ Bình phương tổng Diễn giải: Bình phương tổng hai số bình phương số thứ nhất, cộng với hai lần tích số thứ nhân với số thứ hai, cộng với bình phương số thứ hai Bình phương hiệu Diễn giải: Bình phương hiệu hai số bình phương số thứ nhất, trừ hai lần tích số thứ nhân với số thứ hai, cộng với bình phương số thứ hai Hiệu hai bình phương Diễn giải: Hiệu hai bình phương hai số tổng hai số đó, nhân với hiệu hai số Lập phương tổng Diễn giải: Lập phương tổng hai số lập phương số thứ nhất, cộng với ba lần tích bình phương số thứ nhân số thứ hai, cộng với ba lần tích số thứ nhân với bình phương số thứ hai, cộng với lập phương số thứ hai Lập phương hiệu Diễn giải: Lập phương hiệu hai số lập phương số thứ nhất, trừ ba lần tích bình phương số thứ nhân với số thứ hai, cộng với ba lần tích số thứ nhân với bình phương số thứ hai, sau trừ lập phương số thứ hai Tổng hai lập phương Diễn giải: Tổng hai lập phương hai số tổng hai số đó, nhân với bình phương thiếu hiệu hai số Hiệu hai lập phương Diễn giải: Hiệu hai lập phương hai số hiệu hai số đó, nhân với bình phương thiếu tổng hai số II Hệ đẳng thức Ngồi ra, ta có đẳng thức hệ đẳng thức Thường sử dụng biến đổi lượng giác chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, Hệ với đẳng thức bậc Hệ với đẳng thức bậc Hệ tổng quát Một số hệ khác đẳng thức Hy vọng tài liệu bổ ích giúp em hệ thống lại kiến thức, vận dụng vào làm tập tốt Chúc em ôn tập đạt kết cao kỳ thi tới III. Các dạng toán bảy đẳng thức đáng nhớ Dạng 1: Tính giá trị biểu thức Dạng 2: Chứng minh biểu thức A mà không phụ thuộc biến Dạng 3: Áp dụng để tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức. Dạng 4: Chứng minh đẳng thức Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức Dạng 6: Phân tích đa thức thành nhân tử Dạng 7: Tìm giá trị x Dạng 8: Thực phép tính phân thức Dạng 1: Tính giá trị biểu thức Bài :tính giá trị biểu thức : A = x2 – 4x + x = -1 Giải Ta có : A = x2 – 4x + = A = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2 Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2=(-3)2= Vậy : A(-1) = Dạng 2: Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến B = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x) Giải B =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x + – x2 + 3x + – x = : số không phụ thuộc vào biến x Dạng : Tìm giá trị nhỏ biểu thức C = x2 – 2x + Giải Ta có : C = x2 – 2x + = (x2 – 2x + 1) + = (x – 1)2 + Mà : (x – 1)2 ≥ với x Suy : (x – 1)2 + ≥ hay C ≥ Dấu “=” xảy : x – = hay x = Nên : Cmin= x = Dạng 4: Tìm giá trị lớn biểu thức D = 4x – x2 Giải Ta có : D = 4x – x2 = – + 4x – x2 = – (4 + x2 – 4x) = – (x – 2)2 Mà : -(x – 2)2 ≤ với x Suy : – (x – 2)2 ≤ hay D ≤ Dấu “=” xảy : x – = hay x = Nên : Dmax= x = Dạng 5: Chứng minh đẳng thức (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2) Giải VT = (a + b)3 – (a – b)3 = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3 = 6a2b + 2b3 = 2b(3a2 + b2) ->đpcm Vậy : (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2) Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức Biến đổi bất đẳng thức dạng biểu thức A ≥ A ≤ Sau dùng phép biến đổi đưa A đẳng thức Dang 7: Phân tích đa thức thành nhân tử F = x2 – 4x + – y2 Giải Ta có : F = x2 – 4x + – y2 = (x2 – 4x + 4) – y2 [nhóm hạng tử] = (x – 2)2 – y2 [đẳng thức số 2] = (x – – y )( x – + y) [đẳng thức số 3] Vậy : F = (x – – y )( x – + y) Bài 1: A = x3 – 4x2 + 4x = x(x2 – 4x + 4) = x(x2 – 2.2x + 22) = x(x – 2)2 Bài 2: B = x – 2xy – x + 2y = (x 2– x) + (2y – 2xy) = x(x – 1) – 2y(x – 1) = (x – 1)(x – 2y) Bài 3: C = x2 – 5x + = x2 – 2x – 3x + = x(x – 2) – 3(x – 2) = (x – 2)(x – 3) Dạng : Tìm x biết : x2 ( x – ) – 4x + 12 = Giải x2 ( x – ) – 4x + 12 = x2 ( x – ) – 4(x – ) = ( x – ) (x2 – 4) = ( x – ) (x – 2)(x + 2) = ( x – ) = hay (x – 2) = hay (x + 2) = x = hay x = hay x = –2 : x = 3; x = 2; x = –2 Dạng 9: Thực phép tính phân thức Tính giá trị phân thức M = x = –1 Giải ta có : M = = Khi x = -1 : M = Vậy : M = x = -1 IV. Một số lưu ý đẳng thức đáng nhớ Lưu ý: a b dạng chữ (đơn phức đa phức) hay a,b biểu thức Khi áp dụng đẳng thức đáng nhớ vào tập cụ thể điều kiện a, b cần có để thực làm tập đây: Biến đổi đẳng thức chủ yếu biến đổi từ tổng hay hiệu thành tích số, kỹ phân tích đa thức thành nhân tử cần phải thành thạo việc áp dụng đẳng thức rõ ràng xác Để hiểu rõ chất việc sử dụng đẳng thức áp dụng vào tốn, bạn chứng minh tồn đẳng thức đắn cách chuyển đổi ngược lại sử dụng đẳng thức liên quan đến việc chứng minh toán Khi sử dụng đẳng thức phân thức đại số, tính chất tốn bạn cần lưu ý có nhiều hình thức biến dạng công thức chất công thức trên, biến đổi qua lại cho phù hợp việc tính tốn V Bài tập đẳng thức Bài 1: Tính a) (x + 2y)2; b) (x - 3y)(x + 3y); c) (5 - x)2 d) (x - 1)2; e) (3 - y)2 f) (x - )2 Bài 2: Viết biểu thức sau dạng bình phương tổng a) x2+ 6x + 9; b) x2+ x + ; c) 2xy2 + x2y4 + Bài 3: Rút gọn biểu thức a) (x + y)2+ (x - y)2; b) 2(x - y)(x + y) +(x - y)2+ (x + y)2; Bài 4: Tìm x biết a) (2x + 1)2- 4(x + 2)2= 9; b) (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1; c) 3(x + 2)2+ (2x - 1)2- 7(x + 3)(x - 3) = 36; Bài 5: Tính nhẩm đẳng thức sau a) 192; 282; 812; 912; b) 19 21; 29 31; 39 41; c) 292- 82; 562- 462; 672 - 562; Bài 6: Chứng minh biểu thức sau dương với giá trị biến x a) 9x2- 6x +2; b) x2 + x + 1; c) 2x2 + 2x + Bài 7: Tìm giá trị nhỏ biểu thức a) A = x2- 3x + 5; b) B = (2x -1)2+ (x + 2)2; Bài 8: Tìm giá trị lớn biểu thức a) A = - x2 + 2x; b) B = 4x - x2; Bài 9: Tính giá trị biểu thức A x3+ 12x2+ 48x + 64 x = 6 B = x3 – 6x2 + 12x – x = 22 C= x3+ 9x2+ 27x + 27 x= - 103 D = x3 – 15x2 + 75x - 125 x = 25 Bài 10.Tìm x biết: a) (x - 3)(x2+ 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1; b) (x + 1)3- (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = -10 Bài 11: Rút gọn a (x - 2)3 – x(x + 1)(x – 1) + 6x(x – 3) d (x + y)3 – (x - y)3 – 2y3 b (x - 2)(x2 – 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x +4) e (x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y) e (2x + y)(4x2– 2xy +y2) – (2x - y)(4x2+ 2xy + y2) Bài 12: Chứng minh a a3+ b3 = (a + b)3– 3ab(a + b) b a3 - b3 = (a - b)3 – 3ab(a - b) Bài 13: a Cho x + y = Tính giá trị biểu thức x3 + y3 + 3xy Cho x - y = Tính giá trị biểu thức x3- y3- 3xy Bài 14: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = (2x + 3)(4x2– 6x + 9) – 2(4x3– 1) B = (x + y)(x2– xy + y2) + (x - y)(x2+ xy + y2) – 2x3 Bài 15 Cho a + b + c = Chứng minh M= N= P với M = a(a + b)(a + c); N = b(b + c)(b + a); P = c(c + a)(c + b);