PHỤ LỤC A TS Nguyễn Phạm Anh Dũng 437 PHỤ LỤC A MỘT SỐ HÀM VÀ BIẾN ĐỔI SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI BÀI TẬP 1 CHUYỂN ĐỔI CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN Nếu X, Y , U, V là các biến ngẫu và tồn tại quan hệ U = g1(X,Y) V = g2(X[.]
TS Nguyễn Phạm Anh Dũng PHỤ LỤC A MỘT SỐ HÀM VÀ BIẾN ĐỔI SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI BÀI TẬP CHUYỂN ĐỔI CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN Nếu X, Y , U, V biến ngẫu tồn quan hệ: U = g1(X,Y) V = g2(X,Y) (A.1) X = h1(U,V) Y = h2(U,V) (A.2) biến đổi ngược: Thì hàm mật độ xác suất liên hợp biến ngẫu nhiên U, V xác định qua hàm mật độ xác suất liên hợp cuả biên ngẫu nhiên X, Y sau: fU,V(u,v) = fX,Y(x,y)|J(u,v)| (A.3) giá trị mẫu x, y xác định theo giá trị mẫu u v sau: x = h1(u,v) y = h2(u,v) (A.4) Jacobian J(u,v) : 437 TS Nguyễn Phạm Anh Dũng x u J(u,v) = y u x v y v (A.5) HÀM LỖI Hàm lỗi erf(u) định nghĩa sau: u exp( z )dz erf(u) 0 (A.6) Hàm lỗi bù định nghĩa sau: erfc(u) exp( z )dz u (A.7) Tồn quan hệ sau hai hàm lỗi trên: erfc(u) = 1- erf(u) (A.8) Có thể xác định hai giới hạn hàm lỗi bù theo bất đẳng thức sau: exp( u ) exp( u ) 1 erfc(u ) u 2u u (A.9) Khi u>0 ta khai triển tiệm cận erfc(u) sau: exp( u 2) erfc u 1.3 1.3.5 (2n 1) 2u 2 u n u 2n (A.10) 438 TS Nguyễn Phạm Anh Dũng Hàm Q định nghĩa sau: z Q(u) = exp dz 2 u (A.11) Tồn quan hệ sau hàm Q hàm lỗi bù: u erfc 2 Q(u) = (A.12) Ngược lại đặt v=u/ ta được: erfc(v)=2Q ( 2v) (A.13) Bảng A.1 cho thấy giá trị hàm Q Bảng A Hàm Q(u) (1 / 2 ) exp( z / 2)dz u Q(u) u 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483 0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2168 0.2148 0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 1.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 439 TS Nguyễn Phạm Anh Dũng 1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455 1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 2.0 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183 2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0153 2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084 2.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064 2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048 2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036 2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026 2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019 2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014 3.0 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010 3.1 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0.0007 3.2 0.0007 0.0007 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0005 3.3 0.0005 0.0005 0.0005 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0003 3.4 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002 440 TS Nguyễn Phạm Anh Dũng PHỤ LỤC B PHAĐINH VÀ DỊCH DOPPLER KHI TRUYỀN MỘT TẦN SỐ PHÂN BỐ RAYLEIGH Ta xét trường hợp tần số fc phát máy di động nhận M tín hiệu tán xạ với thời gian trễ Tín hiệu tán xạ i đến máy di động góc i so với phương chuyển động cuả máy di động bị dịch Doppler sau: fdi vfc c cosi (B.1) dó v tốc độ chuyển động máy di động c tốc độ ánh sáng i biến ngẫu nhiên có xác suất phân bố với hàm mật độ xác suất sau: , [-,) (B.2) p ( ) 0, nÕu kh¸c Ta biểu diễn tín hiệu cuả tia tán xạ i thu máy di động sau: vf cosi (B.3) xi (t) Ricos 2fct 2 c t i c Trong Ri biên độ ngẫu nhiên sóng i, i pha ngẫu nhiên phân bố sóng i Ta biểu diễn tần số sóng i sau: fi () fc vfc c cosi (B.4) Khai triển lượng giác (A.3) ta được: 441 TS Nguyễn Phạm Anh Dũng vf cosi vf cosi xi (t) Ricos c t i cos2fct Risin c t i sin 2fct c c = RIi(t)cos2fct-RQi(t)sin2fct (B.5) Trong đó: vfc cosi t i c vfc cosi t R Qi (t ) Risin i c Ta biểu diễn tín hiệu tổng M tia tán xạ sau R Ii (t ) Ricos M M i 1 i 1 (B.6) (B.7) x(t ) R Ii (t )cos2fct R Qi (t )sin2fct = RI(t)cos2fct-RQ(t)sin2fct =r(t)[cos2fct+(t)] (B.8) Trong M R I (t ) R Ii (t ) (B.9) i 1 M R Q (t ) R Qi (t ) (B.10) i 1 2 r (t ) R I (t ) R Q (t ) R Q (t ) R I (t ) (t ) arctang (B.11) (B.12) RI(t) RQ(t) biến ngẫu nhiên độc lập, biến ngẫu nhiên có xác suất phân bố với hàm mật độ xác suất sau: , [-,) f ( ) 0, nÕu kh¸c (B.13) 442 TS Nguyễn Phạm Anh Dũng Theo định lý giới hạn trung tâm, số M lớn cách gần ta coi RI(t) RQ(t) q trình ngẫu nhiên Gauss khơng tương quan có trung bình khơng phương sai 2 Khi ta có: u rcos v rsin (B.14) giá trị biến ngẫu nhiên U V trình ngẫu nhiên độc lâp phân bố Gauss với phương sai 2 trung bình khơng Ta biểu diễn hàm mật độ xác suất liên hiệp cuả hai biến sau: fU ,V (u, v) u2 v2 2 e (B.15) Hàm mật độ xác suất liên hợp hai biến ngẫu nhiên trình ngẫu nhiên r(t) (t) xác định đổi biến sau: f , (r, ) (B.16) fU,V (u, v).J(r, ) r, giá trị biến ngẫu nhiên ; J(.) Jacobi xác định sau: J(r, ) u r v r u v = cos sin -rsin rcos = rcos2 + rsin2= r Sử dụng (A.17) ta biểu diễn (A.16) sau: f , (r, ) r 2 e r2 2 (B.17) (B.18) Ta biểu diễn hàm mật độ xác suất liên hiệp hai biến tích hàm mật độ xác suất f f: f , (r, ) f (r).f ( ) (B.19) 443 TS Nguyễn Phạm Anh Dũng Từ (A.18) (A.19) ta hàm mật độ xác suất đường bao tín hiệu thu ảnh hưởng tán xạ đường truyền sau: r f (x) e r2 2 , r (B.20) nÕu kh¸c Phân bố (A.20) gọi phân bố Rayleigh Ta biểu diễn (A8) phần thực cuả hàm phức sau đây: M M i1 i 1 x(t ) Re R Ii (t ) j R Qi (t ) e j2 fc t j2 f t = Re R I (t ) jR Q (t ) e c j f t ( t ) = Re r (t )e c PHÂN BỐ RICE (B.21) Giả sử tín hiệu tán xạ xét phần trên, máy thu cịn nhận tín hiệu thẳng (LOS) Trong trường hợp ta biểu diễn tín hiệu thu sau: x(t)= A cos2fct+ RI(t)cos2fct-RQ(t)sin2fct (B.22) A biên độ tín hiệu thẳng Ta viết lại (A.22) sau: x(t)= R'I(t)cos2fct-RQ(t)sin2fct (B.23) R'I(t)= A+RI(t) R'Q(t)=RQ(t) (B.24) 444 TS Nguyễn Phạm Anh Dũng Từ (A.24) nhận xét phân trước ta nói R'I(t) R'Q(t) trình ngẫu nhiên độc lập phân bố Gauss với trung bình A, phương sai 2 Ta ký hiệu: 2 r (t) R 'I (t) R Q (t) R Q (t ) R 'I (t) Tương tự ta ký hiệu: (t ) arctang u rcos v rsin fU,V (u, v) (B.25) (B.26) (B.27) ta được: e (u A)2 v 2 (B.28) Xét tương tự phần ta hàm mật độ xác suất liên hợp cho biến ngẫu nhiên và trình ngẫu nhiên r(t) (t) sau: f , (r, ) r 2 e r A 2Arcos 2 (B.29) Trong trường hợp ta biểu diễn hàm mật độ xác suất liên hiệp f , (r, ) tích hàm mật độ xác suất f(r) f(), tích rcos gồm hai biến phụ thuộc với trung giá trị khác khơng A thành phần cos Đễ tìm hàm phân bố xác suất đường bao tín hiệu thu biến ta lấy tích phân cho tất giá trị có để nhận hàm mật độ xác suất biên sau: 445 TS Nguyễn Phạm Anh Dũng f (r) f , (r, )d r 2 e r A2 2 rAcos e (B.30) d Tích phân vế phải (A.30) có dạng hàm Bessel cải tiến loại bậc không sau đây: I (x) e xcos d (B.31) Nếu đặt x=Ar/ , ta viết lại (A.31) sau: f (r) r e r A2 2 I0 Ar (B.31) Ta xác định hàm mật độ xác suất pha , f() sau: f ( ) f , (r, )dr = e cos e(- sin ) 1 erfc( cos ) (B.32) đó: A2 2 (B.33) Phân bố Rayliegh trường hợp đặc biệt phân bố Rice, A=0 I0(0)=1 Đặt I0(0)=1 vào (A.31) ta phân bố Rayleigh theo (A.20) Ngoài A=0, =0 ta f() phân bố theo (A.13) 446 TS Nguyễn Phạm Anh Dũng s (f) s1 (f) Eb Tb x1 E b Tc Sinc ((f Tb ((f fc )Tc fc )Tc x1 ((f Sinc ((f fc )Tc fc )Tc Trả lời: (d) Bài Từ phương trình (3.22) ta =7/4: (d) Bài Thành phần tần thấp (3.24) thứ trường hợp nhận từ tích sau: 2E br Tb d(t-)sin(2fct+') sin(2fct+") 2E br Tb d(t-)cos('-") Vì tín hiều u(t) giảm Trả lời: (b) Bài 10 SNR0= 2E br N0 2.10 200 : (c) Bài 11 E br N0 / PT j c /2 SNR E br N0 Pr N0 R b SNR N0 R b 2Pr N R b Pj / G p 2Pr N0 R b Pj / G p Pr (E br / N0 ) 0,01 (1/ 100)w=0,01w 50 / 2000 57,14 Trả lời: (b) Bài 12 451 TS Nguyễn Phạm Anh Dũng 2E br SNR N0 Pj / B j 2Pr N0 R b PR j b / Rc 2Pr N R b Pj / G p Trả lời: (d) Bài 13 Từ phương trình (3.42 ta có Để thành phần gây nhiễu không thằng: s0, Ebr1 cos( ')R c ( ') không ta cần đảm bảo: '=15m/c= 15m/(3.108m/s)Tc=1/Rc Vậy tốc độ chip cực tiểu bằng: Rcmin= (3.108m/s)/15m= 20Mcps: (d) Bài 14 (xem 13) Trả lời: (b) Bài 15 E br1 No, N0 E br1 (D11/ D12)Pr1 / R c N0 E br1 P T r1 b Tc Tb N0 E br1 4E br1 / G p Ebr1=!00N0 Vậy: E br1 No, E br1 N0 0, 4N0 E br1 1, 4N0 Trả lời: (a) CHƯƠNG Bài Z số ngẫu nhiên 2Tb E 2Tb n(t)c(t) sin(2 fc t )dt E(n(t))c(t) sin(2 fc t )dt 0 452 TS Nguyễn Phạm Anh Dũng Trả lời: (a) Bài 2Tb 2Tb E n(t)n(s)c(t)c(s) sin(2 fc t ) sin(2 fc s )dtds 2Tb 2Tb = (N0 / 2) (t s)c(t)c(s)sin(2 fc t )sin(2 fcs )dtds 2Tb c(t)2 sin (2 fc t N0 / )dt N0Tb / Trả lời: (a) Bài Khơng tồn quan hệ tuyến tính Pb, K, N, SNR Trả lời: (e) Bài Số người sử dụng cell tính theo cơng thức : K max K max Gp ' (E br / N ) (1 (1, 25.10 0,6 ) /9, 6).0, 10 0, 6.(1 + 0, 5) 2, = 80, Vậy số người sư dụng đoạn ô Kmax/3=26,4 Trả lời: (b) Bài Do hệ thống trải phổ DS/SS – BPSK nên ta có xác suất lỗi bit hệ thống xác định sau: Hệ thống DS/SS-BPSK có xác xuất lỗi : 453 TS Nguyễn Phạm Anh Dũng K max Gp ' (E br / N ) (1 ) Eb (1 N'0 ) Rc 9, 6.G 9, 6.192 2E b ;x N0 2E b N0 2.4,8 K max G Rc G 9, 40.4,8.(1 0,6).0, 0,8.1 192 (lần) 1, 8(Mcps) : (c) Bài Pe Q Pe e 9/2 3; 1,5.10 : (b) /(2,5 3) Bài 10 (a) Các đầu tương quan Y1 Y2 thời điểm t=T là: Y1 Er1 d1 Er2 d2 R 12 (0) +n1 Y2 E r d1 Er1 d2 R 21 (0) +n2 Trong R 12 (0) Tb R 21 (0) n1 Tb C1 (t)C2 (t)dt Tb Tb n(t)C1dt (b) Do trung bình n1 n2 khơng: E[n1]=E[n2]=0 Tb Nên E n E Tb C1 (t)n(t)dt C1 (u)n(u)du 454 TS Nguyễn Phạm Anh Dũng Tb Tb E C1 (t)C1 (u)n(t)n(u)dtdu 0 Tb Tb E n(t)n(u) C1 (t)C1 (u)dtdu 0 N0 N0 Tb Tb (t u)C1 (t)C1 (u)dtdu Tb C1 (u)C1 (u)dt N0 Tương tự ta có : N0 2 CHƯƠNG Bài 13 c / fc f fc fd 3.108 1850.10 1850.10 0,162m 80.10 3600 0,162 1850,000137MHz Trả lời: (c) Bài 14 f=fc-fd= 1850.106-137.10-6= 1849,999863MHz: (c) Bài 15 (d) Bài 16 =100:64=1,5625s: (c) 455 TS Nguyễn Phạm Anh Dũng Bài 17 (1)(5) (0,1)(1) (0,1(2) (0,001)(0) [0,01+0,1+0,1+1] 4, 38 s : (c) Bài 18 (1)(5)2 (0,1)(1)2 (0,1)(2)2 1, 21 (0,01)(0) 21,07 s2 : (d) Bài 19 21,07 (4,38)2 1,37 s : (c) Bài 20 Bc 5(1, 37 s) 146kHz : (b) CHƯƠNG Bài 15 Chuyển bảng lý lịch trễ công suất vào số lần (ns) 110 190 410 a2 0,107 1(0) = 0,012 0,0052 0,107(110) 0,012(190) 0,0052(410) 0,107 0,012 0,0052 11,77 2, 28 2,132 =14,4ns: (b) 1,1242 Bài 16 1(0)2 0,107(110)2 0,012(190) 0,0052(410) 0,107 0,012 0,0052 456 ... Phạm Anh Dũng x u J(u,v) = y u x v y v (A. 5) HÀM LỖI Hàm lỗi erf(u) định ngh? ?a sau: u exp( z )dz erf(u) 0 (A. 6) Hàm lỗi bù định ngh? ?a sau: erfc(u) exp( z )dz u (A. 7) Tồn quan... TS Nguyễn Phạm Anh Dũng PHỤ LỤC B PHAĐINH VÀ DỊCH DOPPLER KHI TRUY? ??N MỘT TẦN SỐ PHÂN BỐ RAYLEIGH Ta xét trường hợp tần số fc phát máy di động nhận M tín hiệu tán xạ với thời gian trễ Tín hiệu... phải (A. 30) có dạng hàm Bessel cải tiến loại bậc không sau đây: I (x) e xcos d (B.31) Nếu đặt x=Ar/ , ta viết lại (A. 31) sau: f (r) r e r A2 2 I0 Ar (B.31) Ta xác định hàm mật độ xác suất pha ,