BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THỊ THANH HUỲNH THUẬT TOÁN CHAMBOLLE–POCK CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH NĂM 2021 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI H[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THỊ THANH HUỲNH THUẬT TOÁN CHAMBOLLE–POCK CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2021 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THỊ THANH HUỲNH THUẬT TOÁN CHAMBOLLE–POCK CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU LỒI Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 Người hướng dẫn: TS NGUYỄN VĂN THÀNH e Lời cam đoan Luận văn hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn TS Nguyễn Văn Thành Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tơi Các kết luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố trước Bình Định, ngày 28 tháng năm 2021 Học viên Trần Thị Thanh Huỳnh e Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến TS Nguyễn Văn Thành, người tận tình bảo, hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô Khoa Tốn Thống kê dạy dỗ tận tình, truyền đạt kiến thức quý báu suốt hai năm học tập vừa qua Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè bạn lớp Cao học Toán K22 ln động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập thực luận văn Trong trình học tập nghiên cứu viết luận văn chắn tránh khỏi sai sót nội dung hình thức Tơi mong nhận thơng cảm ý kiến đóng góp, chỉnh sửa quý Thầy, Cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn e i Mục lục Lời nói đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm tập lồi hàm lồi Rn 1.1.1 Tập lồi 1.1.2 Hàm lồi 1.2 Bài toán tối ưu lồi 1.2.1 Tồn nghiệm điều kiện tối ưu 1.2.2 Đối ngẫu Lagrange Thuật toán Chambolle–Pock 2.1 Bài toán tổng quát thuật toán Chambolle–Pock 2.2 Sự hội tụ thuật toán 2.3 So sánh với số thuật toán khác 2.3.1 Phương pháp Arrow–Hurwicz (θ = 0) 2.3.2 Thuật toán tách Douglas–Rachford 2.3.3 ADMM điều chỉnh (preconditioned ADMM) 3 10 19 19 21 28 28 29 31 Ứng dụng thuật tốn Chambolle–Pock giải phương trình Hamilton–Jacobi 3.1 Phương trình Hamilton–Jacobi 3.2 Rời rạc hoá 3.3 Tính tốn số 3.4 Một số ví dụ 33 33 35 39 41 Kết luận 44 Danh mục tài liệu tham khảo 45 e Lời nói đầu Tối ưu lồi vấn đề quan trọng lý thuyết tối ưu với nhiều ứng dụng thực tế Trải qua nửa kỷ, công trình nghiên cứu vấn đề vơ đa dạng, phong phú lý thuyết, phương pháp, thuật toán ứng dụng Tuy nhiên, nhu cầu ứng dụng, hấp dẫn mặt toán học tính phức tạp tốn thực tế đến nay, việc nghiên cứu giải hiệu tốn tối ưu lồi mang tính thời thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học nước Đặc biệt mơ hình tốn cụ thể thực tế, việc vận dụng thuật toán cách linh hoạt quan trọng giúp việc giải vấn đề trở nên dễ dàng Thuật toán xét đến thuật toán Chambolle–Pock với khả ứng dụng rộng rãi, chẳng hạn xử lý ảnh, vận tải tối ưu phương trình đạo hàm riêng Đó lí mà chúng tơi chọn đề tài “Thuật toán Chambolle–Pock cho toán tối ưu lồi” Luận văn “Thuật toán Chambolle–Pock cho toán tối ưu lồi” gồm có ba chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị tập lồi, hàm lồi, toán tối ưu lồi, toán đối ngẫu điều kiện tối ưu dùng toàn luận văn Chương 2: Thuật toán Chambolle–Pock Trong chương chúng tơi giới thiệu thuật tốn, xét hội tụ so sánh thuật toán với thuật tốn khác Đây nội dung luận văn e Chương 3: Ứng dụng thuật toán Chambolle–Pock giải phương trình Hamilton–Jacobi Chương chúng tơi nghiên cứu ứng dụng thuật toán Chambolle–Pock giải số toán cụ thể Mặc dù luận văn thực với nỗ lực thân giúp đỡ thầy, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp q thầy giáo để luận văn hồn thiện Bình Định, ngày 28 tháng năm 2021 Học viên Trần Thị Thanh Huỳnh e Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị tập lồi, hàm lồi, toán tối ưu lồi toán đối ngẫu điều kiện tối ưu dùng toàn luận văn Các kết chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1, 4, 8, 13] 1.1 Khái niệm tập lồi hàm lồi Rn 1.1.1 Tập lồi Định nghĩa 1.1.1 ([4]) Đoạn thẳng nối hai điểm x y Rn tập hợp véctơ z có dạng {z ∈ Rn |z = λx + (1 − λ)y, λ ∈ [0, 1]} Định nghĩa 1.1.2 ([4]) Một tập C ⊆ Rn gọi tập lồi C chứa đoạn thẳng nối hai điểm Tức là, C tập lồi ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] =⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Ví dụ 1.1.3 (a) Tập C = Rn+ := {(x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn : xi ≥ 0, ∀i = 1, , n} tập lồi (b) Tập C = [−2; 3) tập lồi R S (c) Tập C = (−2; 0) (0; 3) không tập lồi R e 1.1.2 Hàm lồi Định nghĩa 1.1.4 ([4], Hàm nhận giá trị thực mở rộng) Với hàm S f : Rn → R {+∞}, miền hữu hiệu domf , đồ thị Grf đồ thị epif định nghĩa tập hợp domf := {x ∈ Rn |f (x) < +∞}, Grf := {(x, f (x)) ∈ Rn × R|x ∈ domf }, epif := {(x, t) ∈ Rn × R|f (x) ≤ t} Khi domf 6= ∅, ta nói f hàm thường Định nghĩa 1.1.5 ([4], Tính nửa liên tục) Cho hàm (chính thường) S f : Rn → R {+∞} (i) Hàm f gọi nửa liên tục x lim inf f (x) ≥ f (x) x→x n Hàm f gọi nửa liên tục R nửa liên tục điểm Rn (ii) Hàm f gọi hàm nửa liên tục −f hàm nửa liên tục Mệnh đề 1.1.6 ([4], Tiêu chuẩn nửa liên tục dưới) Cho hàm (chính S thường) f : Rn → R {+∞} Khi phát biểu sau tương đương: (i) f nửa liên tục (ii) epif tập đóng Rn × R (iii) Với t ∈ R tập mức [f ≤ t] đóng Rn Mệnh đề 1.1.7 ([4], Phép tốn bảo tồn tính chất nửa liên tục dưới) e (i) (fj )j∈J họ hàm nửa liên tục hàm f := sup fj nhận j∈J cách lấy supremum theo điểm f (x) := sup fj (x) j∈J nửa liên tục (ii) Nếu f g nửa liên tục hàm tổng f + g nửa liên tục Định nghĩa 1.1.8 ([4], Hàm lồi) Một hàm f : Rn → R S {+∞} lồi domf tập lồi ∀x, y ∈ domf , ≤ λ ≤ 1, ta có f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) Hàm f gọi lồi chặt nếu: ∀x, y ∈ domf , x 6= y, < λ < f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y) Hàm f gọi lõm −f lồi Mệnh đề 1.1.9 ([4], Đặc trưng epigraph) Cho hàm (chính thường) f : S Rn → R {+∞} Khi f lồi epif tập lồi Rn+1 Trước đến kết tổng quát hơn, xem xét tính chất khả vi tiêu chuẩn đạo hàm đặc trưng tính lồi Mệnh đề 1.1.10 ([4]) Cho f hàm số khả vi tập lồi mở C ⊆ Rn Khi phát biểu sau tương đương: (i) f hàm lồi C (ii) Với x, x∗ ∈ C ta ln có f (x) ≥ f (x∗ ) + ∇f (x∗ )(x − x∗ ) e ... trình đạo hàm riêng Đó lí mà chúng tơi chọn đề tài ? ?Thuật tốn Chambolle? ? ?Pock cho toán tối ưu lồi? ?? Luận văn ? ?Thuật toán Chambolle? ? ?Pock cho tốn tối ưu lồi? ?? gồm có ba chương Chương 1: Một số kiến thức... tập lồi, hàm lồi, toán tối ưu lồi, toán đối ngẫu điều kiện tối ưu dùng toàn luận văn Chương 2: Thuật tốn Chambolle? ? ?Pock Trong chương chúng tơi giới thiệu thuật toán, xét hội tụ so sánh thuật toán. .. Thuật toán Chambolle? ? ?Pock 2.1 Bài toán tổng quát thuật toán Chambolle? ? ?Pock 2.2 Sự hội tụ thuật toán 2.3 So sánh với số thuật toán khác 2.3.1 Phương