BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ THỊ PHƯƠNG NHI MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MÔĐUN ĐỐI COHEN MACAULAY DÃY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định Năm 2019 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ THỊ PHƯƠNG NHI MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MƠĐUN ĐỐI COHEN-MACAULAY DÃY LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2019 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ THỊ PHƯƠNG NHI MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MÔĐUN ĐỐI COHEN-MACAULAY DÃY Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 8460104 Người hướng dẫn: TS NGUYỄN THÁI HÒA e i Mục lục MỞ ĐẦU 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đầy đủ 1.2 Địa phương hóa 1.3 Sự phân tích nguyên sơ 1.4 Chiều Krull 10 1.5 Dãy quy độ sâu 13 1.6 Môđun Artin 14 1.7 Biểu diễn thứ cấp 16 1.8 Chiều Noether, hệ tham số số bội 17 1.9 Môđun đối đồng điều địa phương môđun đồng điều địa phương 21 1.10 Môđun Cohen-Macaulay môđun đối Cohen-Macaulay 24 1.11 Môđun Cohen-Macaulay dãy 27 MÔĐUN ĐỐI COHEN-MACAULAY DÃY 30 2.1 Lọc chiều môđun Artin 30 2.2 Môđun đối Cohen-Macaulay dãy 37 2.3 Đặc trưng môđun đối Cohen-Macaulay dãy 42 e ii KẾT LUẬN 50 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 e MỞ ĐẦU Cho (R, m) vành giao hoán, Noether, địa phương với iđêan cực đại m; M R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim(M ) = d Trong phạm trù môđun Noether, lớp môđun Cohen-Macaulay đóng vai trị trung tâm cấu trúc chúng biết đến đầy đủ Môđun M môđun Cohen-Macaulay depth M = dim M Đặc biệt, chúng đặc trưng qua số bội độ dài sau: M môđun Cohen-Macaulay tồn hệ tham số x = (x1 , , xd ) M cho I(x; M ) = `(M/xM ) − e(x; M ) = 0, e(x; M ) số bội M tương ứng với hệ tham số x Tiếp tục mở rộng, D A Buchsbaum đưa giả thuyết phát biểu lại sau: I(x; M ) số với hệ tham số x Các nhà Toán học W Vogel J Stuckrad đưa phản ví dụ cho giả thuyết từ lý thuyết mơđun Buchsbaum đời, sau N T Cường, P Schenzel Ngô Việt Trung tiếp tục nghiên cứu lớp mơđun thỏa mãn tính chất SupI(x; M ) < ∞ Lớp môđun gọi lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng Một hướng mở rộng khác lớp mơđun Cohen-Macaulay lớp mơđun Cohen-Macaulay dãy đưa R P Stanley [24] cho mơđun phân bậc hữu hạn sinh, sau P e Schenzel [25], Nguyễn Tự Cường, Đoàn Trung Cường Lê Thanh Nhàn [7], [8] định nghĩa cho trường hợp vành địa phương Trong phạm trù môđun Artin, lớp mơđun đóng vai trị quan trọng tương tự lớp mơđun Cohen-Macaulay nhiều nhà Tốn học quan tâm nghiên cứu gọi môđun đối Cohen-Macaulay Nó định nghĩa sau: Một R-mơđun Artin A gọi đối Cohen-Macaulay WidthA = N-dimA Cấu trúc lớp môđun đặc trưng qua dãy đối quy, số bội, đồng điều địa phương (Xem [10], [15], [21], [27]) Với mục đích tìm hiểu sâu Đại số giao hốn, chúng tơi đọc hiểu trình bày chi tiết kết báo "Về môđun đối CohenMacaulay dãy" N T Dung [9] Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn gồm hai chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày vắn tắt kiến thức Đại số giao hoán như: Đầy đủ; Địa phương hóa; Sự phân tích ngun sơ; Chiều Krull; Dãy quy độ sâu; Mơđun Artin; Biểu diễn thứ cấp; Chiều Noether, hệ tham số số bội; Môđun đối đồng điều địa phương môđun đồng điều địa phương; Môđun Cohen-Macaulay môđun đối Cohen-Macaulay; Môđun Cohen-Macaulay dãy Chương 2: Mơđun đối Cohen-Macaulay dãy Chương trình bày chứng minh chi tiết kết môđun đối Cohen-Macaulay dãy như: Lọc chiều môđun Artin; Môđun đối Cohen-Macaulay dãy; Đặc trưng môđun đối Cohen-Macaulay dãy e Luận văn hoàn thành khóa 20 đào tạo thạc sĩ khoa Tốn Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn TS Nguyễn Thái Hịa Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Thầy hướng dẫn, người tận tình giảng dạy khích lệ tơi vượt qua lúc khó khăn suốt thời gian thực đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn thầy, giáo ngồi khoa tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn học viên lớp cao học Tốn khóa 20, đồng nghiệp Trường THPT Phạm Kiệt, người thân gia đình bạn bè ln bên tơi, động viên, giúp đỡ tạo điều kiện cho suốt q trình học tập thực khố luận Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận góp ý q thầy, cô giáo bạn đọc để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn Ngày 26 tháng năm 2019 Học viên thực đề tài Lê Thị Phương Nhi e Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong toàn chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức 1.1 Đầy đủ Nội dung phần trình bày theo tài liệu [18] Cho R vành giao hốn có đơn vị Định nghĩa 1.1.1 Một vành lọc R vành R với họ (Rn )n>0 nhóm R thỏa mãn điều kiện: (i) R0 = R; (ii) Rn+1 ⊂ Rn với n > 0; (iii) Rn Rm ⊂ Rn+m với n, m > Ví dụ 1.1.2 (i) Giả sử R vành Lấy R0 = R Rn = với n > Khi (Rn )n>0 lọc R gọi lọc tầm thường (ii) Cho I iđêan R Khi (I n )n>0 lọc R, gọi lọc I -adic (iii) Cho (Rn )n>0 lọc R S vành R Khi (Rn ∩ S)n>0 lọc S , gọi lọc cảm sinh S e Định nghĩa 1.1.3 Cho R vành lọc với lọc (Rn )n>0 Một R-môđun M lọc R-môđun M với họ (Mn )n>0 R-môđun M thỏa mãn điều kiện: (i) M0 = M ; (ii) Mn+1 ⊂ Mn với n > 0; (iii) Rn Mm ⊂ Mn+m với n, m > Ví dụ 1.1.4 (i) Cho M R-mơđun R có lọc tầm thường Khi M có lọc tầm thường định nghĩa M0 = M Mn = với n > (ii) Cho I iđêan R xét lọc I -adic R Định nghĩa lọc I -adic M cách lấy Mn = I n M Khi M R-môđun lọc Cho M R-môđun lọc Lọc (Mn )n>0 M xác định tôpô M tương thích với cấu trúc nhóm abel M mà (Mn )n>0 sở lân cận cận Tôpô gọi tôpô cảm sinh lọc (Mn )n>0 Cho M R-môđun với lọc (Mn )n>0 tôpô định nghĩa lọc (Mn )n>0 Chúng nhắc lại khái niệm dãy Cauchy: Một dãy (xn ) phần tử M gọi dãy Cauchy với k ∈ N, tồn n0 cho xm − xn ∈ Mk , với m, n > n0 Gọi T tập tất dãy Cauchy M Trên T quan hệ hai định nghĩa bởi: Với (xn ), (yn ) ∈ T , (xn ) ∼ (yn ) với m ∈ N tồn n0 cho xn − yn ∈ Mm , với n > n0 Khi quan hệ tương đương Kí hiệu c = T / = {(xn ) | (xn ) ∈ T } M ∼ e Tương tự, S tập dãy Cauchy R tương ứng với lọc (Rn )n>0 Kí hiệu b = S/ = {(an ) R n>0 | (an ) ∈ S} ∼ b +, ) vành giao hốn có đơn vị với hai phép tốn Với Khi (R, (an )n>0 , (bn )n>0 ∈ R, (an ) + (bn ) = (an + bn )n>0 , (an ).(bn ) = (an bn )n>0 c định Tiếp theo, hai phép tốn cộng nhân vơ hướng M nghĩa bởi: c, (xn ) + (yn ) = (xn + yn ) Với (xn ), (yn ) ∈ M b (xn ) ∈ M c, (an ).(xn ) = (an xn ) Với (an ) ∈ R, c R b-mơđun Khi M Định nghĩa 1.1.5 Cho I iđêan vành R, tôpô định nghĩa c gọi M lọc I -adic gọi tôpô I -adic bao đầy đủ M bao đầy đủ I -adic 1.2 Địa phương hóa Tiếp theo, chúng tơi trình bày khái niệm địa phương hóa theo [18] Cho R vành giao hốn có đơn vị Tập S ⊂ R gọi tập nhân đóng ∈ S với x, y ∈ S xy ∈ S Xét tập S × R = {(s, r) | s ∈ S r ∈ R} e ... Môđun Cohen- Macaulay dãy Chương 2: Môđun đối Cohen- Macaulay dãy Chương trình bày chứng minh chi tiết kết môđun đối Cohen- Macaulay dãy như: Lọc chiều môđun Artin; Môđun đối Cohen- Macaulay dãy; ... MÔĐUN ĐỐI COHEN- MACAULAY DÃY 30 2.1 Lọc chiều môđun Artin 30 2.2 Môđun đối Cohen- Macaulay dãy 37 2.3 Đặc trưng môđun đối Cohen- Macaulay dãy 42 e ii KẾT LUẬN... Krull; Dãy quy độ sâu; Môđun Artin; Biểu diễn thứ cấp; Chiều Noether, hệ tham số số bội; Môđun đối đồng điều địa phương môđun đồng điều địa phương; Môđun Cohen- Macaulay môđun đối Cohen- Macaulay; Môđun