Đang tải... (xem toàn văn)
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN ÁI TRINH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ IĐÊAN CHIỀU KHÔNG TRONG VÀNH ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định Năm 2020 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌ[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN ÁI TRINH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ IĐÊAN CHIỀU KHÔNG TRONG VÀNH ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2020 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN ÁI TRINH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ IĐÊAN CHIỀU KHÔNG TRONG VÀNH ĐA THỨC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 46 01 04 Người hướng dẫn: TS NGÔ LÂM XUÂN CHÂU e LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Ngơ Lâm Xn Châu người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Toán Đại học Quy Nhơn dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè anh chị lớp Cao học Toán K21 giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn Trong trình học tập nghiên cứu viết luận văn, chắn tránh khỏi thiếu sót, mong nhận thơng cảm ý kiến đóng góp Thầy Xin trân trọng cảm ơn e Mục lục Mở đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đại số đa thức 1.2 Thứ tự đơn thức phép chia đa thức 1.3 C s Grăobner 10 1.4 Đa tạp afin 16 1.5 Cơ sở đại số tuyến tính 18 Chuyn i c s Gră obner 21 2.1 Cỏc đại số hữu hạn chiều 22 2.2 Thuật toán chuyển đổi s Grăobner FGLM 25 2.2.1 Bước lặp 25 2.2.2 Bước kiểm tra tính dừng 26 2.2.3 Bước chọn đơn thức 26 Giải hệ phương trình dựa vào giá trị riêng 31 3.1 Ánh xạ tuyến tính xác định đa thức 31 3.2 Giá trị hàm đa thức điểm đa tạp 35 i e Kết luận 41 ii e Mở đầu Giải hệ phương trình đa thức f1 = f2 = · · · = fs = 0, fi đa thức n biến với hệ số trường số phức C vấn đề đại số đa thức hình học đại số tính tốn Một cách tiếp cận đại số để nghiên cứu tập nghiệm hệ phương trình đa thức xét iđêan I = hf1 , f2 , , fs i sinh đa thức xác định hệ phương trình Khi tập nghiệm hệ phương trình tập nghiệm iđêan I Dựa vào tính chất ta tìm hệ sinh khác iđêan I mà hệ sinh giúp ta giải h phng trỡnh C s Grăobner ca I i vi thứ tự từ điển hệ sinh đáp ứng yêu cầu (Chú ý xem tổng quát hóa phương pháp khử Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính cho hệ phương trình đa thức) Tuy nhiên, việc tính sở Grăobner ca I i vi th t t in trường hợp iđêan I tùy ý vành đa thức với số biến lớn nói chung nhiều thời gian Đối với iđêan chiều không, tương ứng với trường hợp hệ phương trình có hữu hạn nghiệm vic tớnh mt c s Grăobner nh vy tr nờn đơn giản nhờ vào thuật toán chuyển đổi sở FGLM Mặt khác, iđêan I có chiều khơng đại số A = C[x1 , x2 , , xn ]/I không gian véctơ hữu hạn chiều e trường C Khi nghiên cứu nghiệm I dựa vào ma trận biểu diễn số toán tử tuyến tính khơng gian véctơ A sở định A Điều cho phép ta sử dụng công cụ đại số tuyến tính để nghiên cứu tập nghiệm I Vì chọn đề tài "Một số vấn đề iđêan chiều khơng vành đa thức” nhằm tìm hiểu thuật tốn chuyển đổi sở FGLM tìm nghiệm I trường hợp chiều I khơng Với mục đích nêu trên, ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành chương Chương trình bày số kiến thức đại số đa thức n biến trường, thứ tự đơn thức phép chia đa thức nhiều biến, s Grăobner, thut toỏn Buchberger tỡm mt c s Grăobner, nh lý khụng im ca Hilbert (Nullstellensatz), nh lý Cayley-Hamilton Các kết dùng cho phép chứng minh chương luận văn Chương trình bày đại số hữu hạn chiều tương ứng với iđêan chiều khơng thuật tốn FGLM dựng chuyn i c s Grăobner ca mt iờan chiều khơng Chương trình bày phương pháp giải hệ phương trình đa thức dựa vào giá trị riêng toán tử nhân e Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức đại số đa thức n biến trường, thứ tự đơn thức v phộp chia a thc nhiu bin, c s Grăobner, thut toỏn Buchberger tỡm mt c s Grăobner, nh lý không điểm Hilbert (Nullstellensatz), định lý Cayley-Hamilton Các kết dùng cho phép chứng minh chương luận văn Các kết chương tham khảo từ tài liệu [CLO1], [NVTrung] 1.1 Đại số đa thức Cho R vành x1 , x2 , , xn (n ≥ 1) biến Ta gọi đơn thức biểu thức có dạng xa11 xa22 · · · xann ∈ N, i = 1, , n Nếu a1 = · · · = an = đơn thức kí hiệu Phép nhân tập đơn thức định nghĩa sau (xa11 · · · xann )(xb11 · · · xbnn ) = xa11 +b1 · · · xann +bn Từ biểu thức có dạng αxa11 · · · xann , α ∈ R gọi hệ số từ Hai từ khác không αxa11 xann βxa11 xann đồng dạng với e Để cho tiện ta kí hiệu x = (x1 , , xn ), a = (a1 , , an ) ∈ Nn xa = xa11 · · · xann Đa thức n biến x1 , , xn vành R tổng hình thức từ: f (x) = X αa x a có hữu hạn hệ số αa 6= Từ αa xa với αa 6= gọi từ đa thức f (x) xa đơn thức f (x) P P βa xa xem αa xa g(x) = Hai đa thức f (x) = a∈N n a∈N n n αa = βa với a ∈ N Phép cộng đa thức định nghĩa sau: ! X αa x a ! + a∈Nn X βa xa a∈Nn = X (αa + βa ) xa a∈Nn Phép nhân đa thức định nghĩa sau: ! ! X X X a a αa x · βa x = γa xa , a∈Nn γa = a∈Nn P a∈Nn αb βc b,c∈Nn , b+c=a Định nghĩa 1.1.1 Tập hợp tất đa thức n biến với hệ số vành R, ký hiệu R[x1 , , xn ], lập thành vành giao hốn, có đơn vị 1, gọi vành đa thức n biến vành R Mệnh đề 1.1.1 Cho R vành giao hốn, có đơn vị Các điều kiện sau tương đương: i) Mọi tập khác rỗng iđêan R có phần tử cực đại (đối với quan hệ bao hàm) ii) Mọi dãy tăng iđêan R I1 ⊆ I2 ⊆ ⊆ In ⊆ In+1 ⊆ e dừng, tức tồn k để Ik = Ik+1 = iii) Mọi iđêan R hữu hạn sinh, tức với iđêan I ⊆ R tồn f1 , f2 , , fs ∈ I cho I = (f1 , f2 , , fs ) Định nghĩa 1.1.2 Một vành giao hốn, có đơn vị, thỏa mãn ba điều kiện tương đương gọi vành Noether Định lý 1.1.1 (Định lý sở Hilbert) Cho R vành Noether x biến Khi vành R[x] vành Noether Hệ 1.1.1 Vành đa thức n biến K[x1 , , xn ], K trường, vành Noether Định lý 1.1.2 (Định lý chia đa thức biến) Cho K trường g(x) đa thức khác K[x] Khi đa thức f ∈ K[x] viết dạng f (x) = q(x).g(x) + r(x), q(x), r(x) ∈ K[x] r(x) = deg r(x) < deg g(x) Hơn nữa, q(x) r(x) xác định Hệ 1.1.2 Vành đa thức K[x] trường tùy ý vành iđêan chính, nghĩa iđêan sinh đa thức 1.2 Thứ tự đơn thức phép chia đa thức Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X tập hợp, S phận X × X, S gọi quan hệ thứ tự (bộ phận) X điều kiện sau thỏa mãn: i) (Phản xạ) Với x ∈ X : xSx e ... TRINH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ IĐÊAN CHIỀU KHÔNG TRONG VÀNH ĐA THỨC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 46 01 04 Người hướng dẫn: TS NGÔ LÂM XUÂN CHÂU e LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, ... cụ đại số tuyến tính để nghiên cứu tập nghiệm I Vì chúng tơi chọn đề tài "Một số vấn đề iđêan chiều không vành đa thức” nhằm tìm hiểu thuật tốn chuyển đổi sở FGLM tìm nghiệm I trường hợp chiều. .. trường số phức C vấn đề đại số đa thức hình học đại số tính tốn Một cách tiếp cận đại số để nghiên cứu tập nghiệm hệ phương trình đa thức xét iđêan I = hf1 , f2 , , fs i sinh đa thức xác định