BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ THÀNH CÔNG CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC GIÁ TRỊ FRÉCHET LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định 2019 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ THÀNH[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ THÀNH CƠNG CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC GIÁ TRỊ FRÉCHET LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2019 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ THÀNH CÔNG CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC GIÁ TRỊ FRÉCHET Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS.TS THÁI THUẦN QUANG Bình Định - 2019 e i Mục lục DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU iii MỞ ĐẦU 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 1.2 Một số vấn đề Giải tích hàm 1.1.1 Không gian Fréchet đối ngẫu 1.1.2 Tơpơ chặn đóng liên kết 1.1.3 Giới hạn quy nạp 14 Hàm chỉnh hình 17 1.2.1 Đa thức không gian lồi địa phương 17 1.2.2 Hàm chỉnh hình Gâteaux hàm chỉnh hình giá trị véctơ 19 1.2.3 Mầm chỉnh hình giá trị véctơ 20 CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC GIÁ TRỊ VƠ HƯỚNG 27 2.1 2.2 Tập đa cực xạ ảnh 27 2.1.1 Các khái niệm số ví dụ 27 2.1.2 Các đặc trưng tập đa cực xạ ảnh 29 Chuỗi lũy thừa hình thức giá trị vơ hướng 32 2.2.1 Một số bổ đề chuẩn bị 32 e ii 2.2.2 Sự hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức giá trị vơ hướng 33 CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC GIÁ TRỊ FRÉCHET 38 3.1 Bổ đề Hartogs cho hàm đa điều hịa vơ hạn chiều 38 3.2 Sự hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức giá trị Fréchet 43 Kết luận 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 e iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU K : Trường số thực R số phức C E, F : Các không gian véctơ trường K E# : Đối ngẫu đại số E E0 : Đối ngẫu tôpô E P SH(Ω) : Tập hàm đa điều hòa Ω HP SH(Cn ) : Tập hàm đa điều hòa Cn limind Eγ , uγ : Giới hạn quy nạp Eγ uγ La (n E; F ) : Khơng gian ánh xạ n-tuyến tính từ E vào F Lsa (n E; F ) : Không gian ánh xạ n-tuyến tính đối xứng từ E vào F Pa (n E; F ) : Không gian véctơ đa thức n- từ E vào F HG (D, F ) : Không gian hàm chỉnh hình Gâteaux D với giá trị F H(U, F ) : Khơng gian hàm chỉnh hình D với giá trị F H(0E ) : Các khơng gian mầm chỉnh hình vơ hướng ∈ E (E, F ) : Một cặp đối ngẫu A0 : Polar tập A B(E) : Tập tất tập bị chặn, lồi tuyệt đối không gian lồi địa phương E e MỞ ĐẦU Trong tốn học, chuỗi lũy thừa hình thức tổng quát hóa đa thức đối tượng hình thức, số lượng số hạng phép vô hạn Sự quan tâm đến việc hình thức hóa khơng tầm quan trọng mặt lý thuyết nội tốn học hình thức hố mà cịn cho kết nối với đa thức với chuỗi Laurent hình thức Việc hình thức hóa chuỗi lũy thừa lựa chọn chiến lược việc xây dựng thư viện toán học việc trợ giúp chứng minh Một lợi ích khả xác định số hàm số cách dễ dàng hơn, chẳng hạn cách sử dụng đệ quy Ví dụ, ta xác định số Bell thứ n (trong lý thuyết tổ hợp) n! lần hệ số thứ n chuỗi lũy thừa hình thức cho ee x −1 Trong tài liệu tốn học, chuỗi lũy thừa hình thức biết hàm sinh mà ta hiểu dây phơi mà ta treo chuỗi số (phần tử) để thị Cho trước dãy (an )n∈N ∞ P hàm sinh thường ký hiệu A(X) = an X n Điều quan n=0 trọng ký hiệu không nên hiểu hàm theo biến X tổng vô hạn giá trị miền Trong thực tế, X phần tử hình thức ta nhìn thấy rằng, với nó, ký hiệu có nghĩa Tuy nhiên, ta xác định đánh giá chuỗi lũy thừa ∞ P hình thức điểm y đó, an y n Với giả thiết n=0 e hội tụ, có mối quan hệ tốn tử hình thức chuỗi lũy thừa hình thức với tốn tử thơng thường tương ứng miền Lý thuyết chuỗi lũy thừa hình thức thu hút ý nhà toán học làm việc nhiều hướng khác ứng dụng rộng rãi Người ta tìm thấy ứng dụng chuỗi lũy thừa hình thức Giải tích tốn học cổ điển lý thuyết Đại số Riordan Đặc biệt, đặt tảng cho phận đáng kể lý thuyết tổ hợp giải tích thực phức Chuỗi lũy thừa hình thức f (z1 , , zn ) = P cα1 , ,αn z1α1 znαn Cn , n ≥ 2, với hệ số C gọi hội tụ hội tụ tuyệt đối lân cận Cn Một kết cổ điển Hartogs nói chuỗi f hội tụ fz (t) = f (z1 t, , zn t) hội tụ chuỗi theo biến t, với z ∈ Cn Điều hiểu tương tự hình thức Định lý Hartogs tính giải tích theo biến Bởi chuỗi lũy thừa phân kỳ cịn hội tụ theo hướng cho nên, mong muốn tự nhiên xem xét tập hợp tất z ∈ Cn cho fz hội tụ Vì fz (t) hội tụ fw (t) hội tụ với w ∈ Cn đường thẳng affine qua z, bỏ qua trường hợp tầm thường z = 0, tập hợp hướng mà dọc theo f hội tụ đồng với tập không gian xạ ảnh CPn−1 Tập hội tụ Conv(f ) chuỗi lũy thừa phân kỳ f xác định tập tất hướng ξ ∈ CPn−1 cho fz (t) hội tụ với z ∈ %−1 (ξ) đó, % : Cn \ {0} → CPn−1 phép chiếu tự nhiên Trong trường hợp 2-biến, Lelong [14] chứng minh Conv(f ) tập dạng Fσ -cực (tức là, hợp đếm tập đóng với dung lượng logarit triệt tiêu) CP1 nữa, tập hợp dạng Fσ -cực CP1 chứa Conv(g) chuỗi e lũy thừa hình thức g Một kết tối ưu sau nhận Sathaye [21] Ơng chứng tỏ lớp tập hội tụ chuỗi lũy thừa phân kỳ 2-biến xác lớp tập hợp dạng Fσ -cực CP1 Levenberg Molzon, [15], khẳng định hạn chế f tập đủ nhiều tập (không đa cực) đường thẳng phức qua gốc tọa độ hội tụ lân cận nhỏ ∈ C f biểu diễn hàm chỉnh hình lân cận ∈ Cn Bằng cách sử dụng ước lượng tinh vi thể tích đa tạp phức khơng gian xạ ảnh, Alexander [2, Theorem 6.1] chứng minh hạn chế dãy (fm )m≥1 chuỗi lũy thừa hình thức đường thẳng phức qua gốc Cn hội tụ tập compact (của đĩa đơn vị ∆ ⊂ C) (fm )m≥1 dãy hàm chỉnh hình hội tụ hình cầu đơn vị ∆n ∈ Cn tập compact Bằng cách xét lớp P SHω (Pn ) hàm ω -đa điều hòa Pn với dạng toán tử Monge-Ampère ω := ddc log |Z| Pn , Ma Neelon chứng minh hợp đếm tập đa cực đầy đủ đóng Pn nằm Conv(Pn ) Điều tổng quát kết Lelong [14], Levenberg Molzon [15], Sathaye [21] Cũng cơng trình đó, họ chứng tỏ tập hội tụ (của chuỗi lũy thừa phân kỳ) hợp đếm bao xạ ảnh tập đa cực compact Gần đây, dựa sở nghiên cứu tập đa cực xạ ảnh Cn (thông qua hàm đa điều hòa logarit) Long Hưng [16] vừa chứng minh dãy (fm )m≥1 chuỗi lũy thừa hình thức Cn hội tụ tập compact hình cầu ∆n (r0 ) ⊂ Cn với r0 > với m ≥ 1, hạn chế fm đường thẳng phức `a := Ca chỉnh hình đĩa ∆(r0 ) ⊂ C với a ∈ A, tập không đa cực xạ ảnh Cn e Luận văn “Chuỗi lũy thừa hình thức giá trị Fréchet” nghiên cứu điều kiện cho tập không đa cực xạ ảnh A cho trước không gian Fréchet E, chuỗi lũy thừa hình thức f đa thức liên tục bậc n giá trị Fréchet hội tụ lân cận ∈ E hạn chế f đường thẳng phức `a hội tụ, với a ∈ A vấn đề tương tự để f hàm ngun (chỉnh hình tồn khơng gian) trường hợp hữu hạn biến Ngoài Phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm ba chương Chương 1: Một số kiến thức sở Chương chuẩn bị số kiến thức tảng Giải tích hàm lý thuyết hàm chỉnh hình khơng gian lồi địa phương có ích nghiên cứu kết Luận văn Chương 2: Chuỗi lũy thừa hình thức giá trị vơ hướng Bên cạnh tìm hiểu khái niệm tính chất tập đa cực xạ ảnh, Chương chúng tơi hệ thống trình bày cách chi tiết kết chuỗi lũy thừa hình thức giá trị vơ hướng từ tài liệu tham khảo [16] Chương 3: Chuỗi lũy thừa hình thức giá trị Fréchet Bổ đề Hartogs cho hàm đa điều hịa vơ hạn chiều kết Chương Đó cơng cụ để nghiên cứu kết Chương hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức giá trị Fréchet Luận văn hồn thành hướng dẫn khoa học thầy PGS TS Thái Thuần Quang, Khoa Toán Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận e văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy TS Liên Vương Lâm, giảng viên Trường Đại học Phạm Văn Đồng, tận tình giúp đỡ góp ý cho tơi chỉnh sửa luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn, q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Tốn giải tích khóa 20 dày cơng giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia đình, bạn bè ln tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn e ... 29 Chuỗi lũy thừa hình thức giá trị vơ hướng 32 2.2.1 Một số bổ đề chuẩn bị 32 e ii 2.2.2 Sự hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức giá trị vơ hướng 33 CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC... Luận văn ? ?Chuỗi lũy thừa hình thức giá trị Fréchet? ?? nghiên cứu điều kiện cho tập không đa cực xạ ảnh A cho trước khơng gian Fréchet E, chuỗi lũy thừa hình thức f đa thức liên tục bậc n giá trị Fréchet. .. tơi hệ thống trình bày cách chi tiết kết chuỗi lũy thừa hình thức giá trị vô hướng từ tài liệu tham khảo [16] Chương 3: Chuỗi lũy thừa hình thức giá trị Fréchet Bổ đề Hartogs cho hàm đa điều hòa