CHƯƀNG 1 CÆC KHÆI NIểM CÆ€ BẢN CHƯƠNG 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Bùi Tiến Lên Đại học Khoa Học Tự Nhiên 01/01/2017 NỘI DUNG 1 KHÁI NIỆM ĐỒ THỊ 2 KHÁI NIỆM BẬC CỦA ĐỈNH 3 MỘT SỐ DẠNG ĐỒ THỊ 4 CÁC Q[.]
NỘI DUNG CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Bùi Tiến Lên Đại học Khoa Học Tự Nhiên 01/01/2017 KHÁI NIỆM ĐỒ THỊ KHÁI NIỆM BẬC CỦA ĐỈNH MỘT SỐ DẠNG ĐỒ THỊ CÁC QUAN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ CÁC KHÁI NIỆM VỀ DÂY CHUYỀN, ĐƯỜNG ĐI, CHU TRÌNH VÀ MẠCH TÌM KIẾM, DUYỆT TRÊN ĐỒ THỊ MỘT SỐ KHÁI NIỆM KHÁC TRÊN ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ CÓ TRỌNG SỐ 10 MỘT SỐ LOẠI ĐỒ THỊ ỨNG DỤNG KHÁI NIỆM ĐỒ THỊ Đồ thị có hướng Định nghĩa 1.1 Đồ thị G gọi đồ thị có hướng (directed graph) định nghĩa I Tập hợp đỉnh (vertex) V 6= ∅ I Tập hợp cạnh (edge) E I Mỗi cạnh e ∈ E liên kết với cặp đỉnh (vi , vj ), vi gọi đỉnh đầu vj gọi đỉnh cuối Đồ thị ký hiệu G = (V , E ) I I Số lượng đỉnh V gọi bậc (order) đồ thị G Số lượng cạnh E gọi kích thước (size) đồ thị G Spring 2017 Graph Theory Đồ thị có hướng (cont.) Đồ thị có hướng (cont.) Lưu ý Định nghĩa 1.2 Các đỉnh cạnh đồ thị I Gán nhãn I Gán màu I Gán trọng số I I Cạnh khuyên (loop edge) cạnh có đỉnh cuối trùng với đỉnh đầu Hai cạnh song song (multiple edges) hai cạnh có đỉnh đầu trùng đỉnh cuối trùng Mục đích biểu diễn thơng tin liệu để giải tốn Spring 2017 Graph Theory Đồ thị có hướng (cont.) e7 Đồ thị G gọi đồ thị vô hướng (undirected graph) định nghĩa e3 e9 e5 Định nghĩa 1.3 a d Graph Theory Đồ thị vô hướng e1 e4 Spring 2017 e2 e8 c I Tập hợp đỉnh V 6= ∅ I Tập hợp cạnh E I e6 Mỗi cạnh e ∈ E liên kết với cặp đỉnh {vi , vj } khơng phân biệt thứ tự b Hình 1.1: Đồ thị có hướng đỉnh cạnh Hãy xác định cạnh khuyên song song Spring 2017 Graph Theory Spring 2017 Graph Theory Đồ thị vô hướng (cont.) Đồ thị vô hướng (cont.) e8 d e2 c Đồ thị vơ hướng có cách loại bỏ hướng cạnh đồ thị có hướng gọi đồ thị (underlying undirected graph) e7 e4 e5 e6 a Định nghĩa 1.4 e3 e1 b Hình 1.2: Đồ thị vô hướng đỉnh cạnh Hãy xác định cạnh khuyên song song Spring 2017 Graph Theory Đồ thị vô hướng (cont.) d c Spring 2017 Graph Theory 10 Đồ thị hỗn hợp d c Định nghĩa 1.5 Đồ thị hỗn hợp (mixed graph) đồ thị có cạnh có hướng cạnh vơ hướng a a b (a) đồ thị có hướng G b (b) đồ thị vơ hướng G Hình 1.3: Đồ thị có hướng G đồ thị vơ hướng G Spring 2017 Graph Theory 11 Spring 2017 Graph Theory 12 Đồ thị hỗn hợp (cont.) Quan hệ kề c d Định nghĩa 1.6 Cho đồ thị G = (V , E ) a Quan hệ đỉnh đỉnh Nếu hai đỉnh vi vj liên kết cạnh e hai đỉnh gọi kề (adjacent) b Quan hệ cạnh cạnh Nếu hai cạnh ei ej có đỉnh chung v hai cạnh gọi kề (adjacent) Hình 1.4: Đồ thị hỗn hợp đỉnh cạnh Quan hệ cạnh đỉnh Khi cạnh e liên kết cặp đỉnh (vi , vj ) đỉnh vi vj kề, liên thuộc (incident) với cạnh e, cạnh e kề với đỉnh vi đỉnh vj Spring 2017 Graph Theory 13 Quan hệ kề (cont.) d Spring 2017 Graph Theory 14 Quan hệ kề (cont.) e5 c Định nghĩa 1.7 Cho đồ thị G = (V , E ) e3 e2 I e4 I a e1 b Hình 1.5: Đồ thị vô hướng đỉnh cạnh Hãy xác định mối quan hệ kề đỉnh-đỉnh, cạnh-cạnh liên thuộc đỉnh-cạnh Spring 2017 Graph Theory 15 I Tập hợp V ⊂ V cho đỉnh không kề gọi tập đỉnh độc lập (independent vertex set or stable set) Tập hợp E ⊂ E cho cạnh không kề gọi tập cạnh độc lập (independent edge set or matching set) Tập hợp V ⊂ V cho đỉnh đơi kề gọi nhóm (clique) Spring 2017 Graph Theory 16 Quan hệ kề (cont.) Quan hệ kề (cont.) j j i d g i d a f g c b e Graph Theory 17 c Spring 2017 Graph Theory KHÁI NIỆM BẬC CỦA ĐỈNH j i d a f b c e Hình 1.8: Các đỉnh {a, b, c} tạo thành nhóm Spring 2017 b Hình 1.7: Các cạnh {ab, ef, ij} độc lập Quan hệ kề (cont.) g f e Hình 1.6: Các đỉnh {a, e, g, j} độc lập Spring 2017 a Graph Theory 19 18 Bậc đỉnh Bậc đỉnh (cont.) Định nghĩa 1.9 Định nghĩa 1.8 Cho đồ thị G bậc (degree) đỉnh v đồ thị tổng số cạnh kề với đỉnh v (qui ước cạnh khuyên tính lần) Bậc đồ thị ký hiệu deg(v) d(v) I I Bậc cực đại (maximum degree) đồ thị G (ký hiệu ∆(G)) giá trị lớn bậc đỉnh đồ thị G Cho đồ thị có hướng G đỉnh v đồ thị I I Nửa bậc (out-degree) đỉnh v số cạnh khỏi đỉnh v ký hiệu d + (v) Nửa bậc (in-degree) đỉnh v số cạnh vào đỉnh v ký hiệu d − (v) Bậc cực tiểu (maximum degree) đồ thị G (ký hiệu δ(G)) giá trị nhỏ bậc đỉnh đồ thị G Spring 2017 Graph Theory 21 Bậc đỉnh (cont.) Spring 2017 Graph Theory 22 Bậc đỉnh (cont.) d Định nghĩa 1.10 I Đỉnh cô lập (isolated vertex) đỉnh có bậc I Đỉnh treo (pendant vertex) đỉnh có bậc I Cạnh treo (pendant edge) cạnh kề với đỉnh treo d a f h f c e b e g (a) Đồ thị vô hướng a c b (b) Đồ thị có hướng Hình 1.9: Hãy xác định bậc đỉnh đồ thị Spring 2017 Graph Theory 23 Spring 2017 Graph Theory 24 Những định lý bậc đỉnh Những định lý bậc đỉnh (cont.) Hệ 1.1 Định lý 1.1 (Định lý thứ - định lý bắt tay) Trong đồ thị G = (V , E ), tổng bậc đỉnh hai lần tổng số cạnh X d(v) = |E | (1.1) v∈V Số đỉnh bậc lẻ đồ thị số chẵn Chứng minh I Chứng minh I I Nhận thấy cạnh e = (u, v) tính lần d(u) lần d(v) Từ suy tổng tất bậc đỉnh hai lần số cạnh Spring 2017 Graph Theory 25 Gọi Veven Vodd tương ứng tập đỉnh bậc chẵn tập đỉnh bậc lẻ đồ thị G = (V , E ) Khi X X |E | = d (v) + d (v) (1.2) v∈Veven I v∈Vodd Vế trái số chẵn tổng thứ số chẵn nên tổng thứ hai số chẵn Vì d(v) lẻ với v ∈ Vodd số phần tử Vodd phải số chẵn Spring 2017 Graph Theory 26 Những định lý bậc đỉnh (cont.) Những định lý bậc đỉnh (cont.) Định lý 1.2 Định lý 1.3 Cho đồ thị có hướng G = (V , E ) ta có cơng thức sau X X d + (v) = d − (v) = |E | Cho đồ thị đơn có số đỉnh n ≥ ln tồn hai đỉnh có bậc v∈V (1.3) v∈V Chứng minh Sinh viên tự chứng minh Spring 2017 Graph Theory 27 Chứng minh Sinh viên tự chứng minh Spring 2017 Graph Theory 28 Những định lý bậc đỉnh (cont.) Những định lý bậc đỉnh (cont.) Định lý 1.4 Định nghĩa 1.11 Cho đồ thị đơn có số đỉnh n ≥ có hai đỉnh bậc hai đỉnh khơng thể đồng thời có bậc bậc n − Một dãy số nguyên không âm {d1 , d2 , , dn } gọi khả đồ thị (graphical) tồn đồ thị G cho dãy số bậc đỉnh đồ thị Chứng minh Sinh viên tự chứng minh Spring 2017 Graph Theory 29 Spring 2017 Graph Theory 30 Những định lý bậc đỉnh (cont.) Những định lý bậc đỉnh (cont.) Định lý 1.5 (Định lý Havel & Hakimi) Định lý 1.6 (Định lý Erdos & Gallai) Một dãy n số nguyên không âm không tăng Một dãy n số nguyên dương không tăng {d1 , d2 , , dn } {d1 , d2 , , dn } dãy bậc đồ thị đơn dãy thỏa với d1 ≥ d2 ≥ ≥ dn ≥0, n ≥ 2, d1 ≥ dd1 +1 ≥ khả đồ thị dãy n − số nguyên sau k X {d2 − 1, , dd1 +1 − 1, dd1 +2 , , dn } i=1 khả đồ thị n X {k, dj } j=k+1 với k = 1, , n − Chứng minh Sinh viên tự chứng minh Spring 2017 di ≤ k (k + 1) + Chứng minh Sinh viên tự chứng minh Graph Theory 31 Spring 2017 Graph Theory 32 Giới thiệu MỘT SỐ DẠNG ĐỒ THỊ Đồ thị đồ thị vơ hạn (infinite graph) đồ thị hữu hạn (finite graph) Trong môn học xem xét đồ thị hữu hạn Có nhiều dạng đồ thị hữu hạn I Đồ thị đơn I Đồ thị rỗng I Đồ thị I Đồ thị đầy đủ I Đồ thị phân đôi I Đồ thị phân đôi, đủ I Đồ thị vòng I Đồ thị I Đồ thị bánh xe I Đồ thị n-lập phương Spring 2017 Graph Theory Đồ thị đơn Đồ thị rỗng Định nghĩa 1.12 Định nghĩa 1.13 I I Đồ thị đơn (simple graph) đồ thị khơng có cạnh khun khơng có cạnh song song 34 Đồ thị rỗng (null graph) đồ thị có tập cạnh tập rỗng Đa đồ thị (multigraph) đồ thị có cạnh khuyên cạnh song song (a) đồ thị rỗng đỉnh (b) đồ thị rỗng đỉnh Hình 1.10: Các đồ thị rỗng Spring 2017 Graph Theory 35 Spring 2017 Graph Theory 36 Đồ thị Đồ thị (cont.) Định nghĩa 1.14 Đồ thị (regular graph) đồ thị đơn có đỉnh bậc Gọi k bậc đỉnh đồ thị gọi k-đều (a) đồ thị 0-đều (b) đồ thị 1-đều (c) đồ thị 2-đều (d) đồ thị 4-đều Hình 1.11: Các kiểu đồ thị k-đều Spring 2017 Graph Theory 37 Đồ thị (cont.) Graph Theory 38 Đồ thị đầy đủ Tính chất 1.1 Đồ thị k-đều có n đỉnh có Spring 2017 Spring 2017 n.k Định nghĩa 1.15 cạnh Graph Theory Đồ thị đầy đủ (complete graph) đồ thị đơn mà hai đỉnh có cạnh nối chúng Đồ thị đủ có n đỉnh ký hiệu Kn 39 Spring 2017 Graph Theory 40 ... thị 0-? ?ều (b) đồ thị 1-? ?ều (c) đồ thị 2-? ?ều (d) đồ thị 4-? ?ều Hình 1.11: Các kiểu đồ thị k-đều Spring 2017 Graph Theory 37 Đồ thị (cont.) Graph Theory 38 Đồ thị đầy đủ Tính chất 1.1 Đồ thị k-đều... Graph Theory KHÁI NIỆM BẬC CỦA ĐỈNH j i d a f b c e Hình 1.8: Các đỉnh {a, b, c} tạo thành nhóm Spring 2017 b Hình 1.7: Các cạnh {ab, ef, ij} độc lập Quan hệ kề (cont.) g f e Hình 1.6: Các đỉnh {a,... Theory Hình 1.17: Đồ thị bánh xe W5 49 Đồ thị n-lập phương Spring 2017 Graph Theory 50 Đồ thị n-lập phương (cont.) Định nghĩa 1.21 Đồ thị n-lập phương (n-cube graph) đồ thị đơn có 2n đỉnh Mỗi đỉnh