x x x 1 3x 2 x x xy 2x y y yz 2 y z z zx 2z x 3xyz SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒN G ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2021 – 20 22 ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian là[.]
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2021 – 2022 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHỊNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MƠN TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Lưu ý: Đề thi gồm 01 trang, thí sinh làm vào tờ giấy thi Bài (2 điểm) 1) Cho biểu thức A x 1 x x 1 . x x 1 (với x5 x 0, x 1) x 1 Rút gọn biểu thức A tìm tất giá trị x để 2) Cho hai phương trình (ẩn x ; tham số a, b ) A2 1 2 x ax b x2 bx 2a Tìm tất cặp số thực a;b để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x2 x1 x0 , x0 nghiệm chung hai phương trình x1 , x2 lại phương trình 1 , phương trình hai nghiệm Bài (2 điểm) 1) Giải phương trình 3x 2 x 2x x y xy x 2) Giải hệ phương trình y 2xy y Bài (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC AB AC nội tiếp đường tròn O Gọi I tâm đường tròn bàng tiếp góc O E B‸AC tam giác ABC Đường thẳng AI cắt BC D , cắt đường tròn E A a)Chứng minh E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC b) Kẻ IH vng góc với BC H Đường thẳng EH cắt đường tròn O F Chứng minh AF FI c) Đường thẳng FD cắt đường tròn O N N M Đường thẳng qua M M F E F , đường thẳng IM cắt đường tròn O O song song với FI cắt AI J , đường thẳng qua J song song với AH cắt IH P Chứng minh ba điểm N , E, P thẳng hàng Bài (1 điểm) Cho số thực dương x, y, z Chứng minh x xy y yz z zx 3xyz 2x y 2yz 2z x Bài (2 điểm) 1) Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn y4 y2 x2 3x 2) Cho tập hợp X 1; 2;3; ;101 Tìm số tự nhiên n n 3 nhỏ cho với tập A tùy ý gồm n phần tử X tồn phần tử đôi phân biệt a, b, c thỏa mãn abc A - HẾT Họ tên thí sinh: .Số báo danh: Cán coi thi 1: Cán coi thi 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2021 – 2022 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN CHUN HDC ĐỀ CHÍNH THỨC Hướng dẫn gồm 04 trang Bài Đáp án Điểm 1) (1,0 điểm) 1 x x A x x 1 x 1 x1 x 1 x x x 1 x x1 1 x x 1 x x (2,0 điểm) A2 x2 0,25 x 2 x 01 1 x x x (TMĐK) 2) (1,0 điểm) 2a b x ax b a b x0 2a b x (vì a b 2a b a b l ) Có ab 2a 0x bx a x x x a , thay vào : a2 ab 2a a a b 2 ab20 +TH1: a x0 , thay vào 1 : b 1 (tm toán) x a a 2;b l +TH2: a b thay vào 1 : a2 8a 12 a 6;b tmbt ba2 Vậy có hai cặp số 0; 1, 6;8 thỏa mãn đề 1) (1,0 điểm) ĐKXĐ: x PT (2,0 điểm) 0,25 2x x 2 x 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 1 3x x 3x x 1 1,x nên phương trình 1 vô nghiệm 3x x 3x x Với x x (TMĐKXĐ) 0,5 0,25 0,25 b) (1,0 điểm) x y xy x x y 3xy x y x y 1 x y 2 y 2xy y y 2xy y 2 y2 2xy y y 1; x Thay vào (2): x y 1 x y 3y y y ;x 3 1 17 x y x y Thay vào (2): y2 y y x 17 1 17 17 1 17 Vậy hệ phương trình có nghiệm 3; 1, ; , ; , ; 2 3 a) (1,0 điểm) Trang 1/5 0,5 0,25 0,25 A F N O Q J D B C H M E P I (3,0 điểm) Có AI phân giác góc B‸AC B‸AE C‸AE EB EC (1) ‸ACB ‸AEB 180 ‸ABC B‸AC Có E‸BI C‸BI C‸BE BEI cân E EB EI (2) 2 2 Từ (1) (2) suy E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCI b) (1,0 điểm) I‸AF D‸HE sđ E‸F sđ F‸C sđ B‸E 2 FCE# CHE EC EF.EH EI EF.EH EIH # EFI E‸HI E‸IF Suy I‸AF ‸AIF D‸HE E‸HI 90 AF FI c) (1,0 điểm) OJ FI nên OJ AF J tâm đường tròn ngoại tiếp AFI J trung điểm AI P trung điểm IH 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 Gọi Q điểm đối xứng với I qua E Có DQ.DI DM DF DB.DC MQFI tứ giác nội tiếp Q‸FM Q‸IM , mà M‸NE M‸FE 0,25 N‸EQ Q‸FE EQ EI EH EF EQH # EFQ Q‸FE H‸QE 0,25 Suy N‸EQ H‸QE Q‸FE 0,25 EN QH Mà E điểm P IH hay N , E, P thẳng hàng Trang 2/5 trung điểm IQ nên EN qua trung BĐT P x z 2x y (1,0 điểm) y x 2 y z z 0,25 y 2z x x y z P 3 (BĐT Côsi) 3z 2x y 3x y z 3y 2z x 0,25 2 x 3z x 2x y y 3x y y z z 3y z 2z x x y z 2 (BĐT Bunhiacopxki) (đpcm) Đẳng thức xảy x y z 2 2 x y z 4 xy yz xz 0,5 a) (1,0 điểm) PT y y 12 4x 12x y 2 2x 3 y 2x 1 y 2x 2 2 y 2x 1 2 y 2x 1 Với x, y nguyên dương y 2x 1 nên 2 2 y 2x 2 y 2x x 2 y 2x 1 4x 6 (loại) 2 2 y 2x y 2x 1 y 1 2 y 2x 1 4x x , loại trường hợp y 1 2 2 y 2x 2 y 2x 1 y 1 Vậy phương trình có nghiệm x; y 3;1 (2,0 điểm) 0,5 0,25 0,25 b) (1,0 điểm) Cách 1: Dễ thấy tập hợp gồm 51 số lẻ không thỏa mãn điều kiện đề Ta chứng minh n nhỏ 52 0,25 Xét tập A X A 52 có phần tử xếp a1 a2 a52 1 a1 50 Nếu a1 51 số cịn lại A ln tồn số ngun liên tiếp, thỏa mãn điều kiện đề 0,25 Ta chia số a1 1, a1 2, ,101 vào tập Bi gồm phần tử k cho k i mod a1 , i 1, a1 101 i (ở ta kí hiệu a số ngun lớn khơng vượt số thực a ) B i a1 a1 Nếu 101⁝ a1 51⁝a1 a 17 Ta xét trường hợp a1 , trường hợp a1 17 tương tự B1 33, B2 33, B3 32 Trong 51 số lại A tập B1 , B2 chứa nhiều 17 số, không tồn hai phần tử có hiệu Vậy tập B3 chứa 17 số nên B3 chứa hai phần tử có hiệu Trang 3/5 0,25 Nếu 51⁝ a , 51 1 101 i , i 1, a nên tập B i 1, a 1 chứa tối đa 51 1 phần i a1 a1 a1 tử 51 phần tử lại A 51 51 phần tử lại A B chứa 51 a 1 a1 a 1 51 101 Ta chứng minh 51 a 1 1 B 1 a1 a a1 1 51 101 51 52,5 a1 a1 a1 a1 51 51 101 50,5 Do a 51 52,5 nên B có nửa số phần tử thuộc A B 2 1 a1 a1 a1 a1 a1 a1 chứa phần tử am , an thỏa mãn am an a1 , trừ trường hợp B1a lẻ 0,25 Nếu Ba1 có phần tử, tồn tập Bj có phần tử chứa phần tử A thỏa mãn có hai phần tử có hiệu a1 Nếu Ba1 , phần tử 2a1 , 4a1 , 6a1 A thỏa mãn 2a1 4a1 6a1 Ta có đpcm trường hợp A 52 Cách 2: Bổ đề: Xét tập A X cho không tồn phần tử đôi phân biệt a, b, c A thỏa mãn 101 a b c Gọi x A; k Khi x a) Trong tập Bm x 2mx 1; x 2mx 2; ;3x 2mx có nhiều x số thuộc A (1) b) A 51 a) Ta có a A a x A suy (1) chứng minh 101 b) TH1: k 2n (1) A n.x 51,5 A 51 x 101 TH2: k 2n (1) A n.x 101 x 2nx 102 x 1 n 102 x 51,5 A 51 2x Vậy A 51, bổ đề chứng minh Suy n nhỏ 52 thỏa mãn tốn Chú ý:- Trên trình bày tóm tắt cách giải, thí sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa ứng với điểm câu biểu điểm - Thí sinh làm đến đâu cho điểm đến theo biểu điểm - Trong câu, thí sinh làm phần sai, khơng chấm điểm - Bài hình học, thí sinh vẽ hình sai khơng chấm điểm Thí sinh khơng vẽ hình mà làm làm cho nửa số điểm câu làm - Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, thí sinh cơng nhận ý để làm ý mà thí sinh làm chấm điểm ý - Điểm thi tổng điểm câu làm khơng làm trịn Trang 4/5 - Trang 5/5