Đang tải... (xem toàn văn)
sách trí tuệ nhân tạo
http://blogthuthuat.com inh Mnh Tng Trang 1 Mục lục Phần I : Giải quyết vấn đề bằng tìm kiếm 1.1 Chơng I - Các chiến lợc tìm kiếm mù 1.1 Biểu diễn vấn đề trong không gian trạng thái1.2 Các chiến lợc tìm kiếm1.3 Các chiến lợc tìm kiếm mù 1.3.1 Tìm kiếm theo bề rộng 1.3.2 Tìm kiếm theo độ sâu 1.3.3 Các trạng thái lặp 1.3.4 Tìm kiếm sâu lặp 1.4 Quy vấn đề về các vấn đề con. Tìm kiếm trên đồ thị v/hoặc1.4.1 Quy vấn đề về các vấn đề con 1.4.2 Đồ thị v/hoặc 1.4.3 Tìm kiếm trên đồ thị v/hoặc Chơng II - Các chiến lợc tìm kiếm kinh nghiệm2.1 Hm đánh giá v tìm kiếm kinh nghiệm 2.2 Tìm kiếm tốt nhất - đầu tiên 2.3 Tìm kiếm leo đồi 2.4 Tìm kiếm beam 1.2 Chơng III - Các chiến lợc tìm kiếm tối u 3.1 Tìm đờng đi ngắn nhất3.1.1 Thuật toán A* 3.1.2 Thuật toán tìm kiếm Nhánh-v-Cận 1.2.1 3.2 Tìm đối tợng tốt nhất 1.2.1.1 3.2.1 Tìm kiếm leo đồi 3.2.2 Tìm kiếm gradient 3.2.3 Tìm kiếm mô phỏng luyện kim 1.2.2 3.3 Tìm kiếm mô phỏng sự tiến hóa. Thuật toán di truyền 1.3 Chơng IV - Tìm kiếm có đối thủ 4.1 Cây trò chơi v tìm kiếm trên cây trò chơi4.2 Chiến lợc Minimax 4.3 Phơng pháp cắt cụt Alpha-Beta Phần II: Tri thức v lập luận http://blogthuthuat.com Đinh Mạnh Tường Trang 2 §inh M¹nh T−êng Gi¸o tr×nh TrÝ tuÖ Nh©n t¹o Khoa CNTT - §¹i Häc Quèc Gia Hμ Néi http://blogthuthuat.com inh Mnh Tng Trang 3 Phần I Giải quyết vấn đề bằng tìm kiếm ----------------------------------- Vấn đề tìm kiếm, một cách tổng quát, có thể hiểu l tìm một đối tợng thỏa mãn một số đòi hỏi no đó, trong một tập hợp rộng lớn các đối tợng. Chúng ta có thể kể ra rất nhiều vấn đề m việc giải quyết nó đợc quy về vấn đề tìm kiếm. Các trò chơi, chẳng hạn cờ vua, cờ carô có thể xem nh vấn đề tìm kiếm. Trong số rất nhiều nớc đi đợc phép thực hiện, ta phải tìm ra các nớc đi dẫn tới tình thế kết cuộc m ta l ngời thắng. Chứng minh định lý cũng có thể xem nh vấn đề tìm kiếm. Cho một tập các tiên đề v các luật suy diễn, trong trờng hợp ny mục tiêu của ta l tìm ra một chứng minh (một dãy các luật suy diễn đợc áp dụng) để đợc đa đến công thức m ta cần chứng minh. Trong các lĩnh vực nghiên cứu của Trí Tuệ Nhân Tạo, chúng ta thờng xuyên phải đối đầu với vấn đề tìm kiếm. Đặc biệt trong lập kế hoạch v học máy, tìm kiếm đóng vai trò quan trọng. Trong phần ny chúng ta sẽ nghiên cứu các kỹ thuật tìm kiếm cơ bản đợc áp dụng để giải quyết các vấn đề v đợc áp dụng rộng rãi trong các lĩnh vực nghiên cứu khác của Trí Tuệ Nhân Tạo. Chúng ta lần lợt nghiên cứu các kỹ thuật sau: Các kỹ thuật tìm kiếm mù, trong đó chúng ta không có hiểu biết gì về các đối tợng để hớng dẫn tìm kiếm m chỉ đơn thuần l xem xét theo một hệ thống no đó tất cả các đối tợng để phát hiện ra đối tợng cần tìm. Các kỹ thuật tìm kiếm kinh nghiệm (tìm kiếm heuristic) trong đó chúng ta dựa vo kinh nghiệm v sự hiểu biết của chúng ta về vấn đề cần giải quyết để xây dựng nên hm đánh giá hớng dẫn sự tìm kiếm. Các kỹ thuật tìm kiếm tối u. Các phơng pháp tìm kiếm có đối thủ, tức l các chiến lợc tìm kiếm nớc đi trong các trò chơi hai ngời, chẳng hạn cờ vua, cờ tớng, cờ carô. http://blogthuthuat.com inh Mnh Tng Trang 4 Chơng I Các chiến lợc tìm kiếm mù --------------------------------- Trong chơng ny, chúng tôi sẽ nghiên cứu các chiến lợc tìm kiếm mù (blind search): tìm kiếm theo bề rộng (breadth-first search) v tìm kiếm theo độ sâu (depth-first search). Hiệu quả của các phơng pháp tìm kiếm ny cũng sẽ đợc đánh giá. 1.4 Biểu diễn vấn đề trong không gian trạng thái Một khi chúng ta muốn giải quyết một vấn đề no đó bằng tìm kiếm, đầu tiên ta phải xác định không gian tìm kiếm. Không gian tìm kiếm bao gồm tất cả các đối tợng m ta cần quan tâm tìm kiếm. Nó có thể l không gian liên tục, chẳng hạn không gian các véctơ thực n chiều; nó cũng có thể l không gian các đối tợng rời rạc. Trong mục ny ta sẽ xét việc biểu diễn một vấn đề trong không gian trạng thái sao cho việc giải quyết vấn đề đợc quy về việc tìm kiếm trong không gian trạng thái. Một phạm vi rộng lớn các vấn đề, đặc biệt các câu đố, các trò chơi, có thể mô tả bằng cách sử dụng khái niệm trạng thái v toán tử (phép biến đổi trạng thái). Chẳng hạn, một khách du lịch có trong tay bản đồ mạng lới giao thông nối các thnh phố trong một vùng lãnh thổ (hình 1.1), du khách đang ở thnh phố A v anh ta muốn tìm đờng đi tới thăm thnh phố B. Trong bi toán ny, các thnh phố có trong các bản đồ l các trạng thái, thnh phố A l trạng thái ban đầu, B l trạng thái kết thúc. Khi đang ở một thnh phố, chẳng hạn ở thnh phố D anh ta có thể đi theo các con đờng để nối tới các thnh phố C, F v G. Các con đờng nối các thnh phố sẽ đợc biểu diễn bởi các toán tử. Một toán tử biến đổi một trạng thái thnh một trạng thái khác. Chẳng hạn, ở trạng thái D sẽ có ba toán tử dẫn trạng thái D tới các trạng thái C, F v G. Vấn đề của du khách bây giờ sẽ l tìm một dãy toán tử để đa trạng thái ban đầu A tới trạng thái kết thúc B. Một ví dụ khác, trong trò chơi cờ vua, mỗi cách bố trí các quân trên bn cờ l một trạng thái. Trạng thái ban đầu l sự sắp xếp các quân lúc bắt đầu cuộc chơi. Mỗi nớc đi hợp lệ l một toán tử, nó biến đổi một cảnh huống trên bn cờ thnh một cảnh huống khác. Nh vậy muốn biểu diễn một vấn đề trong không gian trạng thái, ta cần xác định các yếu tố sau: Trạng thái ban đầu. Một tập hợp các toán tử. Trong đó mỗi toán tử mô tả một hnh động hoặc một phép biến đổi có thể đa một trạng thái tới một trạng thái khác. Tập hợp tất cả các trạng thái có thể đạt tới từ trạng thái ban đầu bằng cách áp dụng một dãy toán tử, lập thnh không gian trạng thái của vấn đề. Ta sẽ ký hiệu không gian trạng thái l U, trạng thái ban đầu l u0 (u0 U). Mỗi toán tử R có thể xem nh một ánh xạ R: UU. Nói chung R l một ánh xạ không xác định khắp nơi trên U. http://blogthuthuat.com inh Mnh Tng Trang 5 Một tập hợp T các trạng thái kết thúc (trạng thái đích). T l tập con của không gian U. Trong vấn đề của du khách trên, chỉ có một trạng thái đích, đó l thnh phố B. Nhng trong nhiều vấn đề (chẳng hạn các loại cờ) có thể có nhiều trạng thái đích v ta không thể xác định trớc đợc các trạng thái đích. Nói chung trong phần lớn các vấn đề hay, ta chỉ có thể mô tả các trạng thái đích l các trạng thái thỏa mãn một số điều kiện no đó. Khi chúng ta biểu diễn một vấn đề thông qua các trạng thái v các toán tử, thì việc tìm nghiệm của bi toán đợc quy về việc tìm đờng đi từ trạng thái ban đầu tới trạng thái đích. (Một đờng đi trong không gian trạng thái l một dãy toán tử dẫn một trạng thái tới một trạng thái khác). Chúng ta có thể biểu diễn không gian trạng thái bằng đồ thị định hớng, trong đó mỗi đỉnh của đồ thị tơng ứng với một trạng thái. Nếu có toán tử R biến đổi trạng thái u thnh trạng thái v, thì có cung gán nhãn R đi từ đỉnh u tới đỉnh v. Khi đó một đờng đi trong không gian trạng thái sẽ l một đờng đi trong đồ thị ny. Sau đây chúng ta sẽ xét một số ví dụ về các không gian trạng thái đợc xây dựng cho một số vấn đề. Ví dụ 1: Bi toán 8 số. Chúng ta có bảng 3x3 ô v tám quân mang số hiệu từ 1 đến 8 đợc xếp vo tám ô, còn lại một ô trống, chẳng hạn nh trong hình 2 bên trái. Trong trò chơi ny, bạn có thể chuyển dịch các quân ở cạch ô trống tới ô trống đó. Vấn đề của bạn l tìm ra một dãy các chuyển dịch để biến đổi cảnh huống ban đầu (hình 1.2 bên trái) thnh một cảnh huống xác định no đó, chẳng hạn cảnh huống trong hình 1.2 bên phải. http://blogthuthuat.com inh Mnh Tng Trang 6 Trong bi toán ny, trạng thái ban đầu l cảnh huống ở bên trái hình 1.2, còn trạng thái kết thúc ở bên phải hình 1.2. Tơng ứng với các quy tắc chuyển dịch các quân, ta có bốn toán tử: up (đẩy quân lên trên), down (đẩy quân xuống dới), left (đẩy quân sang trái), right (đẩy quân sang phải). Rõ rng l, các toán tử ny chỉ l các toán tử bộ phận; chẳng hạn, từ trạng thái ban đầu (hình 1.2 bên trái), ta chỉ có thể áp dụng các toán tử down, left, right. Trong các ví dụ trên việc tìm ra một biểu diễn thích hợp để mô tả các trạng thái của vấn đề l khá dễ dng v tự nhiên. Song trong nhiều vấn đề việc tìm hiểu đợc biểu diễn thích hợp cho các trạng thái của vấn đề l hon ton không đơn giản. Việc tìm ra dạng biểu diễn tốt cho các trạng thái đóng vai trò hết sức quan trọng trong quá trình giải quyết một vấn đề. Có thể nói rằng, nếu ta tìm đợc dạng biểu diễn tốt cho các trạng thái của vấn đề, thì vấn đề hầu nh đã đợc giải quyết. Ví dụ 2: Vấn đề triệu phú v kẻ cớp. Có ba nh triệu phú v ba tên cớp ở bên bờ tả ngạn một con sông, cùng một chiếc thuyền chở đợc một hoặc hai ngời. Hãy tìm cách đa mọi ngời qua sông sao cho không để lại ở bên bờ sông kẻ cớp nhiều hơn triệu phú. Đơng nhiên trong bi toán ny, các toán tử tơng ứng với các hnh động chở 1 hoặc 2 ngời qua sông. Nhng ở đây ta cần lu ý rằng, khi hnh động xẩy ra (lúc thuyền đang bơi qua sông) thì ở bên bờ sông thuyền vừa dời chỗ, số kẻ cớp không đợc nhiều hơn số triệu phú. Tiếp theo ta cần quyết định cái gì l trạng thái của vấn đề. ở đây ta không cần phân biệt các nh triệu phú v các tên cớp, m chỉ số lợng của họ ở bên bờ sông l quan trọng. Để biểu diễn các trạng thái, ta sử dụng bộ ba (a, b, k), trong đó a l số triệu phú, b l số kẻ cớp ở bên bờ tả ngạn vo các thời điểm m thuyền ở bờ ny hoặc bờ kia, k = 1 nếu thuyền ở bờ tả ngạn v k = 0 nếu thuyền ở bờ hữu ngạn. Nh vậy, không gian trạng thái cho bi toán triệu phú v kẻ cớp đợc xác định nh sau: Trạng thái ban đầu l (3, 3, 1). Các toán tử. Có năm toán tử tơng ứng với hnh động thuyền chở qua sông 1 triệu phú, hoặc 1 kẻ cớp, hoặc 2 triệu phú, hoặc 2 kẻ cớp, hoặc 1 triệu phú v 1 kẻ cớp. Trạng thái kết thúc l (0, 0, 0). 1.5 Các chiến lợc tìm kiếm Nh ta đã thấy trong mục 1.1, để giải quyết một vấn đề bằng tìm kiếm trong không gian trạng thái, đầu tiên ta cần tìm dạng thích hợp mô tả các trạng thái cảu vấn đề. Sau đó cần xác định: Trạng thái ban đầu. Tập các toán tử. Tập T các trạng thái kết thúc. (T có thể không đợc xác định cụ thể gồm các trạng thái no m chỉ đợc chỉ định bởi một số điều kiện no đó). Giả sử u l một trạng thái no đó v R l một toán tử biến đổi u thnh v. Ta sẽ gọi v l trạng thái kề u, hoặc v đợc sinh ra từ trạng thái u bởi toán tử R. Quá trình áp dụng các toán tử để sinh ra các trạng thái kề u đợc gọi l phát triển trạng thái u. Chẳng hạn, trong bi toán toán số, phát triển trạng thái ban đầu (hình 2 bên trái), ta nhận đợc ba trạng thái kề (hình 1.3). http://blogthuthuat.com inh Mnh Tng Trang 7 Khi chúng ta biểu diễn một vấn đề cần giải quyết thông qua các trạng thái v các toán tử thì việc tìm lời giải của vấn đề đợc quy về việc tìm đờng đi từ trạng thái ban đầu tới một trạng thái kết thúc no đó. Có thể phân các chiến lợc tìm kiếm thnh hai loại: Các chiến lợc tìm kiếm mù. Trong các chiến lợc tìm kiếm ny, không có một sự hớng dẫn no cho sự tìm kiếm, m ta chỉ phát triển các trạng thái ban đầu cho tới khi gặp một trạng thái đích no đó. Có hai kỹ thuật tìm kiếm mù, đó l tìm kiếm theo bề rộng v tìm kiếm theo độ sâu. T tởng của tìm kiếm theo bề rộng l các trạng thái đợc phát triển theo thứ tự m chúng đợc sinh ra, tức l trạng thái no đợc sinh ra trớc sẽ đợc phát triển trớc. Trong nhiều vấn đề, dù chúng ta phát triển các trạng thái theo hệ thống no (theo bề rộng hoặc theo độ sâu) thì số lợng các trạng thái đợc sinh ra trớc khi ta gặp trạng thái đích thờng l cực kỳ lớn. Do đó các thuật toán tìm kiếm mù kém hiệu quả, đòi hỏi rất nhiều không gian v thời gian. Trong thực tế, nhiều vấn đề không thể giải quyết đợc bằng tìm kiếm mù. Tìm kiếm kinh nghiệm (tìm kiếm heuristic). Trong rất nhiều vấn đề, chúng ta có thể dựa vo sự hiểu biết của chúng ta về vấn đề, dựa vo kinh nghiệm, trực giác, để đánh giá các trạng thái. Sử dụng sự đánh giá các trạng thái để hớng dẫn sự tìm kiếm: trong quá trình phát triển các trạng thái, ta sẽ chọn trong số các trạng thái chờ phát triển, trạng thái đợc đánh giá l tốt nhất để phát triển. Do đó tốc độ tìm kiếm sẽ nhanh hơn. Các phơng pháp tìm kiếm dựa vo sự đánh giá các trạng thái để hớng dẫn sự tìm kiếm gọi chung l các phơng pháp tìm kiếm kinh nghiệm. Nh vậy chiến lợc tìm kiếm đợc xác định bởi chiến lợc chọn trạng thái để phát triển ở mỗi bớc. Trong tìm kiếm mù, ta chọn trạng thái để phát triển theo thứ tự m đúng đợc sinh ra; còn trong tìm kiếm kinh nghiệm ta chọn trạng thái dựa vo sự đánh giá các trạng thái. Cây tìm kiếm http://blogthuthuat.com inh Mnh Tng Trang 8 Chúng ta có thể nghĩ đến quá trình tìm kiếm nh quá trình xây dựng cây tìm kiếm. Cây tìm kiếm l cây m các đỉnh đợc gắn bởi các trạng thái của không gian trạng thái. Gốc của cây tìm kiếm tơng ứng với trạng thái ban đầu. Nếu một đỉnh ứng với trạng thái u, thì các đỉnh con của nó ứng với các trạng thái v kề u. Hình 1.4a l đồ thị biểu diễn một không gian trạng thái với trạng thái ban đầu l A, hình 1.4b l cây tìm kiếm tơng ứng với không gian trạng thái đó. Mỗi chiến lợc tìm kiếm trong không gian trạng thái tơng ứng với một phơng pháp xây dựng cây tìm kiếm. Quá trình xây dựng cây bắt đầu từ cây chỉ có một đỉnh l trạng thái ban đầu. Giả sử tới một bớc no đó trong chiến lợc tìm kiếm, ta đã xây dựng đợc một cây no đó, các lá của cây tơng ứng với các trạng thái cha đợc phát triển. Bớc tiếp theo phụ thuộc vo chiến lợc tìm kiếm m một đỉnh no đó trong các lá đợc chọn để phát triển. Khi phát triển đỉnh đó, cây tìm kiếm đợc mở rộng bằng cách thêm vo các đỉnh con của đỉnh đó. Kỹ thuật tìm kiếm theo bề rộng (theo độ sâu) tơng ứng với phơng pháp xây dựng cây tìm kiếm theo bề rộng (theo độ sâu). 1.6 Các chiến lợc tìm kiếm mù Trong mục ny chúng ta sẽ trình by hai chiến lợc tìm kiếm mù: tìm kiếm theo bề rộng v tìm kiếm theo độ sâu. Trong tìm kiếm theo bề rộng, tại mỗi bớc ta sẽ chọn trạng thái để phát triển l trạng thái đợc sinh ra trớc các trạng thái chờ phát triển khác. Còn trong tìm kiếm theo độ sâu, trạng thái đợc chọn để phát triển l trạng thái đợc sinh ra sau cùng trong số các trạng thái chờ phát triển. Chúng ta sử dụng danh sách L để lu các trạng thái đã đợc sinh ra v chờ đợc phát triển. Mục tiêu của tìm kiếm trong không gian trạng thái l tìm đờng đi từ trạng thái ban đầu tới trạng thái đích, do đó ta cần lu lại vết của đờng đi. Ta có thể sử dụng hm father để lu lại cha của mỗi đỉnh trên đờng đi, father(v) = u nếu cha của đỉnh v l u. 1.6.1 Tìm kiếm theo bề rộng Thuật toán tìm kiếm theo bề rộng đợc mô tả bởi thủ tục sau: procedure Breadth_First_Search; begin http://blogthuthuat.com inh Mnh Tng Trang 9 1. Khởi tạo danh sách L chỉ chứa trạng thái ban đầu; 2. loop do 2.1 if L rỗng then {thông báo tìm kiếm thất bại; stop}; 2.2 Loại trạng thái u ở đầu danh sách L; 2.3 if u l trạng thái kết thúc then {thông báo tìm kiếm thnh công; stop}; 2.4 for mỗi trạng thái v kề u do { Đặt v vo cuối danh sách L; father(v) <- u} end; Chúng ta có một số nhận xét sau đây về thuật toán tìm kiếm theo bề rộng: Trong tìm kiếm theo bề rộng, trạng thái no đợc sinh ra trớc sẽ đợc phát triển trớc, do đó danh sách L đợc xử lý nh hng đợi. Trong bớc 2.3, ta cần kiểm tra xem u có l trạng thái kết thúc hay không. Nói chung các trạng thái kết thúc đợc xác định bởi một số điều kiện no đó, khi đó ta cần kiểm tra xem u có thỏa mãn các điều kiện đó hay không. Nếu bi toán có nghiệm (tồn tại đờng đi từ trạng thái ban đầu tới trạng thái đích), thì thuật toán tìm kiếm theo bề rộng sẽ tìm ra nghiệm, đồng thời đờng đi tìm đợc sẽ l ngắn nhất. Trong trờng hợp bi toán vô nghiệm v không gian trạng thái hữu hạn, thuật toán sẽ dừng v cho thông báo vô nghiệm. Đánh giá tìm kiếm theo bề rộng Bây giờ ta đánh giá thời gian v bộ nhớ m tìm kiếm theo bề rộng đòi hỏi. Giả sử rằng, mỗi trạng thái khi đợc phát triển sẽ sinh ra b trạng thái kề. Ta sẽ gọi b l nhân tố nhánh. Giả sử rằng, nghiệm của bi toán l đờng đi có độ di d. Bởi nhiều nghiệm có thể đợc tìm ra tại một đỉnh bất kỳ ở mức d của cây tìm kiếm, do đó số đỉnh cần xem xét để tìm ra nghiệm l: 1 + b + b2 + . + bd-1 + k Trong đó k có thể l 1, 2, ., bd. Do đó số lớn nhất các đỉnh cần xem xét l: 1 + b + b2 + . + bd Nh vậy, độ phức tạp thời gian của thuật toán tìm kiếm theo bề rộng l O(bd). Độ phức tạp không gian cũng l O(bd), bởi vì ta cần lu vo danh sách L tất cả các đỉnh của cây tìm kiếm ở mức d, số các đỉnh ny l bd. Để thấy rõ tìm kiếm theo bề rộng đòi hỏi thời gian v không gian lớn tới mức no, ta xét trờng hợp nhân tố nhánh b = 10 v độ sâu d thay đổi. Giả sử để phát hiện v kiểm tra 1000 trạng thái cần 1 giây, v lu giữ 1 trạng thái cần 100 bytes. Khi đó thời gian v không gian m thuật toán đòi hỏi đợc cho trong bảng sau: http://blogthuthuat.com inh Mnh Tng Trang 10 Độ sâu d Thời gian Không gian 4 11 giây 1 megabyte6 18 giây 111 megabytes8 31 giờ 11 gigabytes10 128 ngy 1 terabyte12 35 năm 111 terabytes14 3500 năm 11.111 terabytes1.6.2 Tìm kiếm theo độ sâu Nh ta đã biết, t tởng của chiến lợc tìm kiếm theo độ sâu l, tại mỗi bớc trạng thái đợc chọn để phát triển l trạng thái đợc sinh ra sau cùng trong số các trạng thái chờ phát triển. Do đó thuật toán tìm kiếm theo độ sâu l hon ton tơng tự nh thuật toán tìm kiếm theo bề rộng, chỉ có một điều khác l, ta xử lý danh sách L các trạng thái chờ phát triển không phải nh hng đợi m nh ngăn xếp. Cụ thể l trong bớc 2.4 của thuật toán tìm kiếm theo bề rộng, ta cần sửa lại l Đặt v vo đầu danh sách L. Sau đây chúng ta sẽ đa ra các nhận xét so sánh hai chiến lợc tìm kiếm mù: Thuật toán tìm kiếm theo bề rộng luôn luôn tìm ra nghiệm nếu bi toán có nghiệm. Song không phải với bất kỳ bi toán có nghiệm no thuật toán tìm kiếm theo độ sâu cũng tìm ra nghiệm! Nếu bi toán có nghiệm v không gian trạng thái hữu hạn, thì thuật toán tìm kiếm theo độ sâu sẽ tìm ra nghiệm. Tuy nhiên, trong trờng hợp không gian trạng thái vô hạn, thì có thể nó không tìm ra nghiệm, lý do l ta luôn luôn đi xuống theo độ sâu, nếu ta đi theo một nhánh vô hạn m nghiệm không nằm trên nhánh đó thì thuật toán sẽ không dừng. Do đó ngời ta khuyên rằng, không nên áp dụng tìm kiếm theo dộ sâu cho các bi toán có cây tìm kiếm chứa các nhánh vô hạn. Độ phức tạp của thuật toán tìm kiếm theo độ sâu. Giả sử rằng, nghiệm của bi toán l đờng đi có độ di d, cây tìm kiếm có nhân tố nhánh l b v có chiều cao l d. Có thể xẩy ra, nghiệm l đỉnh ngoi cùng bên phải trên mức d của cây tìm kiếm, do đó độ phức tạp thời gian của tìm kiếm theo độ sâu trong trờng hợp xấu nhất l O(bd), tức l cũng nh tìm kiếm theo bề rộng. Tuy nhiên, trên thực tế đối với nhiều bi toán, tìm kiếm theo độ sâu thực sự nhanh hơn tìm kiếm theo bề rộng. Lý do l tìm kiếm theo bề rộng phải xem xét ton bộ cây tìm kiếm tới mức d-1, rồi mới xem xét các đỉnh ở mức d. Còn trong tìm kiếm theo độ sâu, có thể ta chỉ cần xem xét một bộ phận nhỏ của cây tìm kiếm thì đã tìm ra nghiệm. Để đánh giá độ phức tạp không gian của tìm kiếm theo độ sâu ta có nhận xét rằng, khi ta phát triển một đỉnh u trên cây tìm kiếm theo độ sâu, ta chỉ cần lu các đỉnh cha đợc phát triển m chúng l các đỉnh con của các đỉnh nằm trên đờng đi từ gốc tới đỉnh u. Nh vậy đối với cây tìm kiếm có nhân tố nhánh b v độ sâu lớn nhất l d, ta chỉ cần lu ít hơn db đỉnh. Do đó độ phức tạp không gian của tìm kiếm theo độ sâu l O(db), trong khi đó tìm kiếm theo bề rộng đòi hỏi không gian nhớ O(bd)! . phát tri n các trạng thái, ta sẽ chọn trong số các trạng thái chờ phát tri n, trạng thái đợc đánh giá l tốt nhất để phát tri n. Do đó tốc độ tìm kiếm sẽ nhanh. đợc phát tri n theo thứ tự m chúng đợc sinh ra, tức l trạng thái no đợc sinh ra trớc sẽ đợc phát tri n trớc. Trong nhiều vấn đề, dù chúng ta phát tri n các
