Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN BÍCH NGỌC PHƯƠNG PHÁP HỆ ĐỘNG LỰC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC HÀ NỘI 2014 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN BÍCH NGỌC PHƯƠNG PHÁP HỆ ĐỘNG LỰC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2014 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN BÍCH NGỌC PHƯƠNG PHÁP HỆ ĐỘNG LỰC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH PHẠM KỲ ANH HÀ NỘI - 2014 z Mục lục Lời cảm ơn iv Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Phổ tốn tử tuyến tính giới nội(mục 2.3.2 trang 44-48 [5]) 1.2 Định lý ánh xạ phổ (mục 2.3.4 trang 49, 50 [5]) 1.3 Định lý phổ cho toán tử tự liên hợp (mục 2.3.5 trang 50, 51 [5]) 1.4 Đạo hàm Fréchet 1.5 Bài toán đặt chỉnh tốn đặt khơng chỉnh (xem [1]) 10 1.6 Phương pháp hiệu chỉnh biến phân(mục 2.2 trang 30-40 [4]) 12 Phương pháp hệ động lực tốn đặt khơng chỉnh 2.1 Phương pháp hệ động lực toán đặt khơng chỉnh tuyến tính 18 18 2.1.1 Phương pháp hệ động lực(mục 2.6 trang 52-56 [4]) 18 2.1.2 Phương trình với tốn tử bị chặn(mục 4.1 trang 75-83 [4]) 21 2.1.3 Trường hợp liệu bị nhiễu 23 2.2 Phương pháp hệ động lực giải hệ đại số tuyến tính điều kiện xấu(xem [3]) 29 2.2.1 Xây dựng công thức lặp 29 2.2.2 Thử nghiệm số 30 2.2.3 Ví dụ giải số 34 ii z MỤC LỤC 2.2.4 So sánh phương pháp hệ động lực với số phương pháp lặp khác 36 Phương pháp hệ động lực cho phương trình với tốn tử có tính chất đặc biệt 42 3.1 Phương pháp hệ động lực cho phương trình với tốn tử đơn điệu(mục 6.1 trang 109-114 [4]) 42 3.1.1 Kết bổ trợ 42 3.1.2 Phương pháp hệ động lực 47 3.1.3 Trường hợp liệu bị nhiễu 51 3.2 Phương pháp hệ động lực cho phương trình với tốn tử trơn 53 3.2.1 Phương pháp hệ động lực (mục 7.1 trang 121-124 [4]) 53 3.2.2 Trường hợp liệu bị nhiễu (mục 7.2 trang 125, 126 [4]) 56 3.2.3 Nghiệm lặp (mục 7.3 trang 127-129 [4]) 57 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 iii z Lời cảm ơn Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình GS.TSKH Phạm Kỳ Anh Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi muốn muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy đáng kính Qua đây, tơi xin gửi tới thầy cơng tác Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa Cao học 2011 - 2013 lời cảm ơn chân thành công lao dạy dỗ thời gian học tập trường Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người ln cổ vũ, động viên tơi q trình suốt q trình học tập làm luận văn Hà Nội, ngày tháng năm 2014 Học viên Trần Bích Ngọc iv z Lời nói đầu Luận văn trình bày hướng tiếp cận chung đến phương trình tốn tử F (u) = 0, (0.1) F ánh xạ khơng thiết tuyến tính khơng gian Hilbert H Để giải phương trình (0.1), tìm ánh xạ phi tuyến Φ(t, u) cho toán Cauchy ( u˙ = Φ(t, u), (0.2) u(0) = u0 , có nghiệm tồn cục nhất, tức nghiệm tồn với t ≥ có giới hạn u(∞) thỏa mãn lim ||u(∞) − u(t)|| = 0, t→∞ nữa, giới hạn nghiệm phương trình (0.1) F (u(∞)) = Các điều kiện tóm lược sau ∃!u(t) ∀t ≥ 0, ∃u(∞), F (u(∞)) = (0.3) Phương pháp hệ động lực (DSM) giải phương trình (0.1) tìm ánh xạ Φ(t, u) điều kiện ban đầu u0 cho nghiệm toán (0.2) thỏa mãn điều kiện (0.3) Khi u(∞) nghiệm tốn (0.1) Phạm vi ứng dụng DSM rộng DSM áp dụng cho nhiều lớp toán khác nhau: Các toán đặt chỉnh địa phương theo nghĩa toán tử F thỏa mãn điều kiện sup ||F (j) (u)|| ≤ Mj (R), u∈B(u0 ,R) v z ≤ j ≤ 2, (0.4) MỤC LỤC ||[F (u)]−1 || ≤ m(R) sup (0.5) u∈B(u0 ,R) Các tốn đặt khơng chỉnh tuyến tính Bài tốn đặt khơng chỉnh với tốn tử đơn điệu, thỏa mãn điều kiện (0.4) Lớp tốn đặt khơng chỉnh cho F (y) = f, f (y) 6= thỏa mãn điều kiện (0.4) Bài toán đặt khơng chỉnh với tốn tử F đơn điệu, liên tục xác định H Nếu F = L + g, L tốn tử tuyến tính, đóng, với miền xác định trù mật, g tốn tử phi tuyến thỏa mãn (0.4) Khi giải phương trình F (u) = f phương pháp DSM, với điều kiện phương trình có nghiệm, tồn L−1 giới nội Hơn ||[I + L−1 g (u)]−1 || ≤ m(R) sup u∈B(u0 ,R) Như phương pháp hệ động lực áp dụng cho phương trình với tốn tử khơng giới nội DSM sử dụng để chứng minh kết lý thuyết Ví dụ ta chứng minh DSM ánh xạ F : H → H toàn ánh, với (0.4), điều kiện sau thỏa mãn ||[F (u)]−1 || ≤ m(R), sup (0.6) u∈B(u0 ,R) R = ∞ R>0 m(R) sup Có thể sử dụng DSM để giải tốn (0.1) mà khơng cần tìm nghịch đảo F (u) Nếu có giả thiết (0.6) tốn (0.1) giải Khi DSM u˙ = −QF (u), Q˙ = −T Q + A∗ , u(0) = u ; Q(0) = Q , 0 hội tụ tới nghiệm toán (0.1) t → ∞, điều kiện (0.3) thỏa mãn, hàm tốn tử Q nghiệm toán Cauchy ( Q˙ = −T Q + A∗ , Q(0) = Q0 , vi z MỤC LỤC A = F (u), T = A∗ A với A∗ toán tử liên hợp A DSM giải tốn đặt không chỉnh (0.1) không gian Banach Giả sử F : X → X toán tử khả vi liên tục không gian Banach X c ||A−1 ε || ≤ , ε < ε < ε0 , c số, A = F (u), Aε = A + εI với ε số dương ε0 > số nhỏ tùy ý, cố định Khi sử dụng DSM giải phương trình F (u) + εu = 10 DSM xây dựng sơ đồ lặp hội tụ cho việc giải phương trình (0.1) Xét rời rạc (0.2) un+1 = un + hn Φ(tn , un ), u0 = U0 , t n+1 = tn + hn Giả sử sơ đồ (0.7) hội tụ: lim un = u(∞) n→∞ Khi (0.7) sơ đồ lặp hội tụ cho phương trình (0.1) F (u(∞)) = vii z (0.7) Bảng kí hiệu A ∈ B(X, Y ) Tốn tử tuyến tính liên tục đưa khơng gian tuyến tính định chuẩn X vào khơng gian tuyến tính định chuẩn Y ρ(A) Tập giải thức A σ(A) Phổ A σe (A) Phổ riêng A rσ (A) Bán kính phổ A σa (A) Tập giá trị riêng xấp xỉ A w(A) Miền tính tốn A rw (A) Bán kính tính tốn A ∗ A Tốn tử liên hợp A B(X) Khơng gian tốn tử tuyến tính liên tục đưa X vào f (x, h) Đạo hàm Fréchet df (x, h) Vi phân Fréchet N (A) Không gian không điểm A R(A) Miền giá trị A K Tập số thực phức K(A) Số điều kiện ma trận A viii z Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày định nghĩa, số tính chất phổ tốn tử tuyến tính, đạo hàm Fréchet, tốn đặt chỉnh đặt khơng chỉnh số ví dụ minh họa 1.1 Phổ tốn tử tuyến tính giới nội(mục 2.3.2 trang 44-48 [5]) Định nghĩa 1.1.1 (Tập giải thức) Giả sử X0 không gian khơng gian tuyến tính định chuẩn X A : X0 → X tốn tử tuyến tính Khi tập ρ(A) = {λ ∈ K : A − λI : X0 → X song ánh (A − λI)−1 ∈ B(X)}, gọi tập giải thức A Định nghĩa 1.1.2 (Phổ toán tử ) Ký hiệu σ(A) = {λ ∈ K : λ ∈ / ρ(A)}, gọi phổ A Phần tử σ(A) gọi giá trị phổ A, đại lượng rσ (A) = sup{|λ| : λ ∈ σ(A)}, gọi bán kính phổ A Định lý 1.1.1 (Nghịch đảo bị chặn) Giả sử X, Y không gian Banach, X0 không gian X T : X0 → Y z ... 3.1.2 Phương pháp hệ động lực 47 3.1.3 Trường hợp liệu bị nhiễu 51 3.2 Phương pháp hệ động lực cho phương trình với toán tử trơn 53 3.2.1 Phương pháp hệ động. .. Phương pháp hiệu chỉnh biến phân(mục 2.2 trang 30-40 [4]) 12 Phương pháp hệ động lực toán đặt không chỉnh 2.1 Phương pháp hệ động lực tốn đặt khơng chỉnh tuyến tính 18 18 2.1.1 Phương pháp hệ. .. dụ giải số 34 ii z MỤC LỤC 2.2.4 So sánh phương pháp hệ động lực với số phương pháp lặp khác 36 Phương pháp hệ động lực cho phương trình